2014年国庆高中物理竞赛班型入学测试答案及课程建议

2014 年 国庆 高中 物理竞赛 提高班 入学测试答案及课程建议 试卷说明 本测试与 2014 年全国中学生物理竞赛复赛 题型相近，并与本次培训讲解的习题难度相当 。希望学员经由本试卷了解物理竞赛复赛题型及难度，对 15 年 全国中学生物理竞赛 举办之前的学习进度给出合理安排。 本测试用于学生对水平进行提前自我评估。如有学员希望单独得到金牌助教们的阅卷及分析，请通过邮箱与我们取得联系。方式 1：将自测结果（推荐直接在原试卷上给出答案）以照片或扫描件的形式发送。方式 2：将自测答案单独以 excel 或 word 形式发送。我们会在收到答案的两周内进行评阅并进行个性化分析。 （ 2014 年 国庆 集中培训课程使用） QBXT/JY/RXCSDA2014/9-17 2014-9-10 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂集中培训课程入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 2014 年 国庆 高中 物理竞赛 提高班 入学测试 答案 一、 小球以初速 0v 从图示的 O 点作平抛运动，在空中划出一条抛物线，用一根光滑的铅丝弯成此抛物线形状，并固定于竖直平面内，在铅丝上套一质量为 m 的小环，小环从 O点以012v的水平初速开始运动，求当小环下落到距 O 点高为 h 的 P 点处时，它对铅丝的压力 N。 （ 25 分） 【 解析 】 首先由最初的抛体运动确定抛物线轨迹为 2021gty tvx 消去参数 t 得 2202 xvgy 因此对 P 点，有 hyvghx P ,2 0 此题要求压力，即需要知道曲线运动的向心力。对于圆周运动，向心力公式显而易见为 RvmF 2 此处， R 为圆的半径。而对于任意曲线，该公式稍作修改后仍旧成立，即对任意曲线运动，向心力公式为 2vmF 此处， 为曲线在该点的曲率半径。何为曲率半径？利用极限的思想，我们可以想象，当在曲线上取很小的一段时，这一段曲线可以很接近某一个圆周的一部分，而当曲线上的这一小段无限小时，那么它必然会对应于某一个圆周上的一部分圆弧，所对应的圆周的半径即为该点的曲率半径，用数学式子表示为 清北学堂集中培训课程入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 ss 0lim 我们可以通过微积分的知识证明，任意足够光滑（二阶导数存在且不为 0）曲线 )(xfy的曲率半径公式为 yy 232 )1( 这样，对于该问题中的抛物线，在 P 点，其曲率半径为 02320 )2(gvghvP 而 P 点的向心力由铁丝对小球的支持力与小球的重力在垂直于切线方向的分量提供 ，因此 ， 还需要知道 P 点切线的方向。显然， P 点处切线的斜率为 02ta n v ghk P 当小球沿与平抛轨迹重合的铁丝运动时 ， 到达 P 点时的速度由动能定理得 42 202 vghvP P 点出力的关系为 PPvmFNmg 2c o s 又2002cos vghv ， 代入解得 232030)2(4 3 ghv mg vN N 的方向垂直于轨道在 P 点的切线向右上，而小球对轨道的压力与 N 为一对相互作用力，大小相等，方向相反。 二、 如 图所示，长为 l 的轻杆，上端固连小球 P，下端固定在水平地面上 O 点处的光滑小的轴承装置，杆可绕 O 点无摩擦地自由转动，开始时轻杆与竖直轴夹角 0 45，小球具有与杆垂直且沿水平方向的初始速度 0 2v gl （如图中所示），而后，细杆将旋转着朝地面倾倒），小球会与地面发生碰撞。 （ 1） 计算小球倒地时（前瞬间）竖直向下速度分量 v （ 2） 假设小球与地面碰后瞬间，仅有竖直向上的速度分量，且大小为（ 1）问中 v 的清北学堂集中培训课程入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 2/2 倍，试求小球与地面间摩擦系数 （设为常数）的取值范围。 （ 3） 如果竖直向上方向为 z 轴正向，而且 0z 不是地面，而是一个可以让细杆穿越的几何面，即轻杆可以运动到 0z 的下半空间，求小球 P 可以运动到的最小 z坐标。 （ 25 分） 【解析】 首先判断系统的受力及受力矩情况。可以明显看到，系统在重力作用下在竖直方向将产生速度，受杆的约束，该速度将垂直于杆，及在竖直平面内重力力矩为外力矩，角动量不守恒，但轻杆不能产生不沿着杆的作用力，而初速度及由重力做功产生的速度均垂直于杆，故而杆上的拉力不做功，机械能守恒。在水平面内，无外力矩作用，因而在水平面内的运动角动量守恒。 （ 1） 水平面内角动量守恒，因此在到达地面时，水平面内速度由角动量守恒确定为 mvllmv 00 sin 得 glv 。 由 动能定理 得 20220 212121c o s mvmvmvm g l 解得 glv )12( （ 2） 碰撞时 ， 地面对小球有支持力和摩擦力 。 支持力产生冲量使得小球竖直方向的速度发生改变 ， 而 摩擦力产生的冲量使得小球水平方向的速度减少为 0。这一过程中，设地面对小球的支持力为 F，作用时间为 t，摩擦力为f，作用时间也为 t，由冲量定理得 FfmvtfmvvmtF 解得 3 7 7.0)21( 2 23 （ 3） 小球在 Z 方向上不能继续运动，说明竖直平面内速度为 0。 此时 ， 由水平面内角动量守恒及动能定理 ， 设此时杆与竖直方向的锐角夹角为 ， 则有 清北学堂集中培训课程入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 002020s ins in2121)c o s( c o slmvm VlmvmVm g l 将 450 代入整理得 1)c o s1)(c o s222( 2 解得 122521c o s 因此 ， Z 坐标的最小值为 cosmin lZ 三、 长 l2 的线系住两相同的小钢球，放在光滑的地板上，在线中央作用如图所示的水平恒力 F ，求： （ 1） 钢球第一次相碰时，在与 F 垂直的方向上钢球对地的速度。 （ 2） 经若干次碰撞后，最后两球一直处于接触状态下运动，那么因碰撞而失去的总能量是多少？ （ 25 分） 【解析】 分析： 钢球对地的运动是一个曲线运动，绳对球的拉力作功为变为作功问题，因此用牛顿定律来处理本题是行不通的，考虑两球组成的系统为研究对象，则内力（绳中的张力）做功的代数和为零。 解一 （ 1） 以地面为参照系 设 m 沿 F 方向运动距离 S 时，钢球第一次碰撞，此时力 F 作用点拉过距离 Sl ，m 除有 F 方向的水平速度外，还有绕作用点 O 的速度，即为所求的 yV ，由质点系动能定理有 2222212 ymVxmVyVxVmSlF 对系统而言，水平方向受恒力 F 作用，小钢球水平加速度恒定，由动力学和运动学关系有 清北学堂集中培训课程入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 xmaF 2 SaxV x 22 联立 、 、 式解得 MFlVy （ 2） 最后两球一直处于接触状态 。 垂直于 F 方向的速度消失 。 由此而失去的能量即为所求，故 FlmVmVE yyk 22212 解二 在 O 系考察，由对称性可知，质心只有水平方向加速度，大小为 mFa 2 在 O 系中，两钢球对 O 作圆周运动，钢球所受惯性力分别为 ma ，绳的拉力作功为零，在质心系中，由动能定理有 lmamV y 2212 2 由上式得 mFlVy 四、 一个直径 1cm、总带电量 10-8C 的均匀带电塑料球，用一根绝缘线绳悬挂起来，其最底端与一个盐水容器的水面相距 1cm。已知盐水密度为 1000km/m3，求水平面涌起的高度。（ 25 分） 【解析】 盐水是电的良导体，因此其表面会产生感应电荷，可用电像法解。先假设水面的隆起非常微小以至于远小于 3r，则电量 Q 在 P 的电场强度为 201 )3(41 rQE P 点上方实际的电场强度为 Q 与其镜像 -Q 共同产生的电场 清北学堂集中培训课程入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 7 页 201 )3(212 rQEE 根据高斯定理， P 点的表面电荷密度为 20 )3(21 rQE 则水面上单位面积受到的力为 1EAF 该力与因水面升高而产生的附加压强造成的力抵消 ghAF mmrQrQgh 29.0)3(4 1)3(2 11 202 因此前面的假设是正确的 。 五、 如图所示，有二平行金属导轨，相距 l，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）质量均为 m 的两金属杆 ab和 cd 放在导轨上，与导轨垂直初始时刻， 金属杆 ab 和 cd 分别位于 x = x0和 x = 0处。假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为 L。今对金属杆 cd 施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速 v0设导轨足够长， x0也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距 x0，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数 L 是恒定不变的。杆与导轨之间摩擦可不计。求两杆之间的距离第一次达到最大值时导轨构成的回路中的电流 i。 （ 25 分） 【解析】 设在任意时刻 t， ab 杆和 cd 杆的速度分别为 v1和 v2（相对地面参考系 S），当 v1、 v2为正时，表示速度沿 x 轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势 21 vvBlE (1) 当回路中的电流 i 随时间的变化率为 ti 时，回路中的自感电动势 tiLEL (2) 根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有 0 LEE (3) y y c a b x O v 0 d 清北学堂集中培训课程入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 8 页 金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动设系统质心的速度为 VC，有 CmVm 20 v (4) 得 20vCV (5) VC方向与 v0相同，沿 x 轴的正方向 现取一新的参考系 S ，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点 O ，取坐标轴 xO与 x 轴平行设相对 S 系，金属杆 ab 的速度为 u， cd 杆的速度为 u ，则有 uVC 1v (6) uVC 2v (7) 因相对 S 系，两杆的总动量为零，即有 0 ummu (8) 由 (1)、 (2)、 (3)、 (5)、 (6) 、 (7) 、 (8)各式，得 tiLBlu 2 (9) 在 S 系中，在 t 时刻，金属杆 ab 坐标为 x ，在 t t 时刻，它的坐标为 xx ，则由速度的定义 txu (10) 代入 (9) 式得 iLxBl 2 (11) 若将 x 视为 i 的函数，由（ 11）式知 ix 为常数，所以 x 与 i 的关系可用一直线方程表示 biBlLx 2 (12) 式中 b 为常数，其值待定现已知在 t 时刻，金属杆 ab 在 S 系中的坐标 x 021x，这时 i = 0，故得 0212 xiBlLx (13) 或 0212 xxLBli (14) 021x表示 t 0 时刻金属杆 ab 的位置 x 表示在任意时刻 t，杆 ab 的位置，故 021xx就是杆 ab 在 t 时刻相对初始位置的位移，用 X 表示， 清北学堂集中培训课程入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 9 页 021 xxX (15) 当 X0 时， ab 杆位于其初始位置的右侧；当 X0 时， ab 杆位于其初始位置的左侧代入 (14)式，得 XLBli 2 (16) 这时作用于 ab 杆的安培力 XL lBiB lF 222 (17) ab 杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧； ab 杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质金属杆 ab 的运动是简谐振动，振动的周期 LlB mT 2222 (18) 在任意时刻 t， ab 杆离开其初始位置的位移 tTAX 2co s (19) A 为简谐振动的振幅， 为初相位，都是待定的常量通过参考圆可求得 ab 杆的振动速度 tTTAu 2s in2 (20) (19)、 (20)式分别表示任意时刻 ab 杆离开初始位置的位移和运动速度现已知在 t 0时刻， ab 杆位于初始位置，即 X = 0 速度 0000 2121 vvvv CVu 故有 cos0 A s in220 TAv 解这两式，并注意到 (18)式得 23 (21) 224 00 mLBlTA vv (22) 由此得 ab 杆的位移 清北学堂集中培训课程入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 10 页 tTmLBltTmLBlX 2s i n22232co s22 00 vv （ 23） 由参考圆可以知道，经过 t=3T/4 时间，两杆距离第一次达到最大值。回路中的电流由(16) 式得 LmTTmLBlvLBlXLBli 2v)432(s in2222 00 六、 有一内径均匀，两支管等长（长度大于 cm78 ）的 U 型管 ACDB ， A 端封密， B 端开口。用水银将一定质量的理想气体封闭在 A 端后，将管竖直倒立，如图所示。平衡时两管中水银面高度差为 cm2 ，此时闭管中气柱的长度 cml 380 。若保持温度不变，不计水银与管壁的摩擦，当轻轻晃动一下 U 型管使左端液面上升或下降 h（ cmh 2 ）时，将出现什么现象，试加以讨论并说明理由。 （ 25 分） 【解析】 本题由于玻璃管的形状较为特殊，因此液面上下晃动以后可能产生多种情况，需要把管内 CD 部分水银柱所受左、右两边的压强差 P 的表达式写出来，然后加以分析。 以 A 端密封气柱为研究对象，以最初平衡位置为初态，左端液面上升（或下降）了 h（设此时液柱速度为零）为末态，根据玻意尔定律可得 ShLPSLP 000 2 解得 hLLPP000 2 此时 U 型管内 CD 段水银柱所受左、右两边的压强差 hPPhPPP 2222 00 代入 得： hhhP 38 22 由此可见， P 可正可负， h 为 1（或 -1）是临界值，现讨论如下： 清北学堂集中培训课程入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 11 页 （ 1）如果 cmh 1 ， 0P ，水银柱将被压回原来位置，并在原来平衡位置附近振动。 （ 2）如果 cmh 1 ， 0P ，水银柱将继续受到一个向右的压强，左端水银面将继续上升，而且从 P 的表达式可以看出， h 越大， P 也越大，水银将不断地由 A 管流向 B 管。由于两管长度和水银柱长度都大于 78cm，当 A 管液面上升到 C 时， B 管中水银柱长度大于 76cm，因此水银柱将继续流向 B 管，直至有一部分水银流出 B 管口。 （ 3）如果 h=1cm，而且此时水银柱速度又恰好为零，那么由于 P=0，所以，这是一个新的平衡位置。但这是一个不稳定平衡，如果稍有扰动，水银柱就将离开这个位置。如果A 端液面因受扰动而向下运动，那么将出现（ 1）中情况；如果 A 端液面因受扰动而向上运动，那么将出现（ 2）中情况。 七、 一圆柱形的薄 壁玻璃容器浮于水面上，容器底的水深为 h，横截面的直径为 d，容器内底的正中有一物点 A，如图所示。人眼位于容器壁外水面的上方，斜向下去看物点 A，发现人眼在某些位置将看不到物点 A，试求此 “盲区 ”的范围（用人眼和 B 点的连线与竖直方向的夹角 表示），已知水的折射率 n=4/3。 （ 25 分） 【解析】 光从角 B 上方能直接射出，而射向角 B 下方的光有 tg1=2h/d sin1= 242:2 由折射定律 ： sin1=nsin1 sin1=1 242:2 要光能从水面射出，则应满足： sin2=cos1=1 422(42:2) 1 1- 422(42:2) 12 可得： h 78d (1)若 h 78d， 则射到角 B 处的光能从水面射出，射出时的折射角为 2 nsin2=sin2 清北学堂集中培训课程入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 12 页 sin2=2 4242:2 169 4242:2 “盲区 ”的范围为： /2 1 2 (2)若 h78d， 则