微分中值定理推广及其应用

微分中值定理推广及其应用 目 录 一、引言 . 2 二、微分中值定理及其证明 . 2 2.1罗尔定理 . 3 2.2 拉格朗日中值定理 . 3 三、微分中值定理的应用 . 4 3.1 证明方程根的存在性 . 4 3.2证明不等式 . 5 3.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题 . 6 3.4 求极限 . 7 3.5 用来证明函数恒为常数 . 7 3.6 中值点存在性的应用 . 8 3.6.1 一个中值点的情形 . 8 3.6.2.2 泰勒公式法 . 10 四小结： . 11 致谢 . 12 参考文献： . 12 微分中值定理推广及其应用 【摘要 】 微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理 , 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁 . 本文主要对罗尔中值定理的条件做一些适当的改变，能得出如下一些结论，从而 扩大罗尔定理的应用范围。从拉格朗日中值定理的几何意义出发，通过几何直观，把数学分析空间解析几何知识有机的结合起来，改变传统的构造函数差的方法，通过构造行列式函数得出定理的新方法。通过对这两个定理进行分析，并加以推广，结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理。在证明不等式，求函数极限等方面的应用，从而加深对两个定理的理解。 【 关键词 】罗尔定理 拉格朗日中值定理 推广 应用 一、引言 微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。 其中， 拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。 通过查阅大量资料文献和网上查阅，我找到了很多相关资料。 本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及泰勒公式和中值点存在性等几个方面的应用研究比较细致和深入。其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试题中经常出现的题型之一。利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。充分理解微分学的相关知识，掌握微分中值定理的内容，并会熟 练的应用。 使用微分中值定理证题，方法多种多样，技巧性强。 本文对这一部分的典型例题进行整理归纳总结，总结出一套符合初学者认知规律的解题方法是非常必要的，这也是进一步学习数学分析的基础。 二、微分中值定理及其证明 为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理 .微分学是数学分析的重要组成部分 , 微分中值定理作为微分学的核心 , 是沟通导数和函数值之间的桥梁 .罗尔中值定理、 拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分学的基本定理 , 统称为微分学的中值定理 , 这四 个定理作为微分学的基本定理 , 是研究函数形态的有力工具 . 2.1 罗尔定理 若函数 f 满足如下条件 ： （） f 在闭区间 ba, 上连续； （） f 在开区间 ba, 内可导； （） bfaf , 则在 ba, 内至少存在一点 使得 0 f 罗尔定理的几何意义是说：在每一点可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条切线 . 证明：因为 f 在 ba, 上连续，所以有最大值 M 与 m 表示，现分两种情况来讨论： （ 1）若 Mm ,则 f 在 ba, 上必为常数，从而结论显然成立 . （ 2）若 Mm ,则因 bfaf 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 ba, 内某点 处取得，从而 是 f 的极值点，由条件 f 在开区间 ba, 内可导， f在点 处可导，故由费马定理推知 0 f 注：定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立 . 先讲罗尔定理 ,并由此推出微分学的两个基本定理 拉格朗日中值定理和柯西中值定理 . 2.2 拉格朗日中值定理 若函数 f 满足如下条件： （） f 在闭区间 ba, 上连续； （） f 在开区间 ba, 内可导； 则在 ba, 内至少存在一点 使得 ab afbff （ 1） 显然，特别当 bfaf 时为罗尔定理。 这表明 罗尔定理是拉格朗日的定理的一个特殊情形 . 证明：做辅助函数 axab afbfbfxfxF 显然， bFaF (=0),且 F 在 ba, 上满足罗尔定理的另两个条件，故存在 ),( ba 使 fF 0 ab afbf，移项既得到所要证明的（ 1）式 . 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理 条件的曲线 xfy 上至少存在一点 fp , ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线 AB ,我们在证明中引入辅助函数 xF ，正是曲线 xfy 与直线 axab afbfafyAB . 三、微分中值定理的应用 3.1 证明方程根的存在性 把要证明的方程转化为 0xf 的形式 .对方程 0xf 用下述方法： （ 1） 根的存在定理若函数 xf 在区间 ba, 上连续，且 0 bfaf ，则至少存在一点 ba, ， 0f . （ 2） 若函数 xf 的原函数 xF 在 ba, 上满 足罗尔定理的条件，则 xf 在 ba,内至少有一个零值点 . （ 3） 若函数 xf 的原函数 xF 在0x处导数也存在，由费马定理知 00 xF即 00 xf . （ 4） 若函数 xf 的原函数 xF 在0x处导数也存在，由费马定理知 00 xF即 00 xf . （ 5） 在证明方程根的存在性的过程中，经常用到拉格朗日定理，积分中值定理，有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然后利用上的方法来证明方程根的存在性 . 例 若 fx在 ,ab 上连续，在 ,ab 内可导 0a ，证明在 ,ab 内方程 222 x f b f a b a f x 至 少 存 在 一 根 。 分析：由于题目是要求方程 222 x f b f a b a f x 是否有根存在，所以可以先对方程进行变形，把方程变为 2220x f b f a b a f x 。那么方程 222 x f b f a b a f x 有根的话，则原方 程也有根。变形之后的方程有 fx 存在，所以可以利用不定积分把方程 2220x f b f a b a f x ，转变为 2 2 2 0f b f a x b a f x 。现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道 fx在区间 ,ab 上连续，在区间 ,ab 内可导 0a ，由函数的连续性和求导的概念，可以得到函数 2 2 2f b f a x b a f x 在 ,ab 上连续 ,在 ,ab 内可导 0a ，那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。证明 :令 2 2 2F x f b f a x b a f x ， 显然 Fx在 ,ab 上 连续 ,在 ,ab 内可导， 而 22F a f b a b f a F b . 根据 Rolled 定理 , 至少存在一点 ， 使 222 f b f a b a f x . 证毕 本文主要在于辅助函数 2 2 2F x f b f a x b a f x 的构造，我们从结论出发，构造辅助函数，使得该题可以利用中值 定理来证明，接下来是考虑利用微分中值定理中的哪一个即可。对于构造辅助函数我们可以得到 F a F b ，所以选在利用罗尔定理证明。这是对解该类问题的总结，也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式，大家可以借鉴。 3.2 证明不等式 在证明不等式时 ,可以考虑从微分中值定理入手 ,找出切入点 ,灵活运用相关微分中值定理 ,进行系统的分析 ,从而得以巧妙解决 . 例 设 0 ba ,证明 lna b a a ba b b. 证明 显然等式当且仅当 0ab 时成立 . 下证 当 0 ba 时 ,有 lna b a a ba b b 作辅助函数 ( ) lnf x x , 则 ()fx在 , ba 上满足拉格朗日中值定理 ,则 ( , )ba 使 ln ln 1abab 由于 0 ba ,所以 1 1 1ab 由有 1 l n l n 1aba a b b,即 lna b a a ba b b. 小结 一般证明方法有两种 利用泰勒定理把函数 ()fx在特殊点展开 ,结论即可得证 . 利用拉格朗日 中值定理证明不等式 ,其步骤为： 第一步 根据待证不等式构造一个合适的函数 ()fx ,使不等式的一边是这个函数在区间 , ab 上的增量 ( ) ( )f b f a ； 第二步 验证 ()fx在 , ab 上满足拉格朗日中值定理的条件 ,并运用定理 ,使得等式的另一边转化为 ( )( )f b a ； 第三步 把 ()f 适当放大或缩小 . 3.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题 例 若 ()fx在 ( , )a 内可导 ,且 l i m ( ) ( ) 0x f x f x ,求 lim ( )x fx. 分析 由式 ( ) ( ) ( ) xxf x f x e f x e, 引 进 辅 助 函 数( ) ( ) , ( )xxF x f x e g x e,显然 ( ) 0gx . 解 由 l i m ( ) ( ) 0x f x f x ,知 0 , 0X当 xX 时 ( ) ( )f x f x , 令 ( ) ( ) xF x f x e , ()xg x e 对 xX ,在 , Xx上利用柯西中值定理有 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )F x F X Fg x g X g , ( , )Xx 即 ( ) ( ) ( ) ( ) xXxXf x e f X e f f ee e e , 亦有 ( ) ( ) ( ) ( )1 XxXxf x f X e ffe , 或 | ( ) | | ( ) | | ( ) ( ) | ( 1 )X x X xf x f X e f f e 由于 lim 0Xxx e ,所以1 ,xX当1xx时有 Xxe 和 1Xxe , 于是1xx,使 | ( ) | | ( ) | 2f x f X 即 lim ( )x fx 0 . 小结 方法 1 选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合导函数的特点及极限的迫敛性求的 最终结果 . 方法 2 选择适当的函数和区间利用柯西中值定理结合具体题意求的最终结果 . 3.4 求极限 对于有些求极限的题， 如果使用洛必达法则 ,则求导数的计算量很大 .微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效的方法 .其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数 ,使用微分中值定理 ,然后求出极 . 例 求 1112lim nnn aan,其中 0a . 解：对 xaxf 应用拉格朗日中值定理 ,有 1112lim nnn aan = 111lim ；2 nnan xxn = 1lnlim2 nnaann = aln 其中 nn 1,11 3.5 用来证明函数恒为常数 导数是研究函数性态的重要工具 , 但用导数研究函数性态的着眼点在局部范围 . 而在整体上或比较大的范围运用导数这一工具来研究函数性态 , 主要工具还是微分中值定理 ,它是应用导数研究整体性问题的重要工具 . 证明函数恒为常数这是函数的整体性质 ,在 这个应用中微分中值定理很实用 . 例 9 设 xf 在 1,0 上连续 , 0 cf , 1,0c 且在 1,0 内恒有 xfkxf . 其中 k 为小于 1 的常数 ,试证 : xf 为常数函数 . 证明： 1,0x ,不妨设 xc ,则 1cx ,而 0 cf , 所以有 cfxfxf = cxf 1 1 fk , 其中 xc 1 . 同理 cffkkk 1 1 kfk , kkc 1 , 其中nk ,2,1 所以 221 fkfkxf nn fk , 其中 1nc .又 xf 在 1,0 上连续 , 从而 xf 有界 . 故 0lim nnn fk 0lim xfxf n . 即 0 xf (当 xc 时同样成立 ) , 从而 , 0 xf ， 1,0x . 故在 1,0 上 xf 为常数函数 . 3.6 中值点存在性的应用 3.6.1 一个中值点的情形 3.6.1.1原函数法 在利用微分中值定理证明中值点的存在性问题时，关键是根据所证明 的结论构造辅助函数，构造辅助函数最基本最重要的思想就是寻求原函数，而寻求原函数的方法又因所证结论不同而不同 . （ 1）直接法 这种方法的解题思路主要是根据题目所证结论中常数项的特点直接得到辅助函数 . 例 函数 xf 在 ba, 上连续，在 ba, 内可导，证明 :在 ba, 内至少存在一点 ，使得 ffab aafbbf . 分析：结论等号左侧显然是函数 xxf 在区间 ba, 两端点函数值的差与区间长度 ab 之商 ,于是联想到对函数 ()xf x 使用拉格朗日中值定理 . 证明：令 xxfxF ，显然 xF 在 ba, 上满足拉格朗日中值定理条件 . 于是知 ：在 ba, 内至少存在一点 ，使 得 ( ) ( ) ()F b F a Fba ，而( ) ( ) ( ) xF x f x f x ( ) ( )ff ， 即得结论 ( ) ( ) ( ) ( )b f b a f a ffba . （ 2） 积分法 这种方法的基本思想是利用不定积分寻求辅助函数，具体做法如下：将结论中的 换成 x ，通过恒等变形将结论化成 ( ) | 0xFx 的形式，然后用观察或直接积分（如果不易通过观察得到）求得原函数 ()Fx，积分常数取为 0. 例 设函数 ()fx， ()gx在 , ab 上连续，在 ( , )ab 内可导，且 ( ) ( ) 0f a f b， 证明：至少存在一点 ( , )ab ，使 ( ) ( ) ( ) 0f f g . 分析：结论即要证明函数 ( ) ( ) ( )f x f x g x 在 (0,1) 内有零点，因结论中含有函数导数，故考虑利用罗尔定理，而 此函数的原函数通过观察可能感到有点困难 .将 ( ) ( ) ( ) 0f f g 变形为 () ( ) 0()f gf ，即要证明函数 () ()()fx gxfx 在(0,1) 内有零点 .而 () ( ) d()fx g x xfx ()l n ( ) e gxf x c，显然 ()ln ( ) e gxfx 与()( )egxfx 的导数有相同的零点，于是可取原函数为 ()( )egxfx . 证明：令 ()( ) ( ) e gxF x f x ,显然 ()Fx在 , ab 上连续，在 ( , )ab 内可导，且( ) ( ) 0F a F b，于是由罗尔定理知至少存在一点 (0,1) ，使 ( ) 0F ，而 ()( ) ( ) ( ) ( ) e gxF x f x f x g x ， 故 () ( ) ( ) ( ) e 0gf f g ，又 ()e0g ， 于是 ( ) ( ) ( ) 0f f g . 当所证明的结论中出现二阶导数时通常可考虑两次使用中值定理证明 . 3.6.2.2 泰勒公式法 当题设中出现高阶导数（三阶或三阶以上的导数）时，通常可考虑使用泰勒公式证明中值点的存在性 . 例 设函数 ()fx在闭区间 1,1 上具有三阶连续导数，且 ( 1) 0f ， (1) 1f ，(0) 0f .试证：在开区间 ( 1,1) 内至少存在一点 ，使 ( ) 3f . 证明：由 (0) 0f ，得 ()fx在 0x 处的二阶泰勒公式为 23( 0 ) ( )( ) ( 0 ) 2 ! 3 !fff x f x x （ 介于 0与 x 之间， 1,1x ） . 由题设知 1()( 0 )( 1 ) ( 0 ) 026ffff 1( 1 ) ， 2()( 0 )(1 ) ( 0 ) 126ffff 2(0 1)， 两式相减，可得12( ) ( ) 6ff . 又 ()fx 在区间 1,1 连续，从而在12 , 上也连续， 故 ()fx 在区间12 , 上 有最大值 M 和最小值 m . 从而有 121 ( ) ( ) 32m f f M ， 由介值定理知，至少存在一点 12 , 1,1 ，使得 ( ) 3f . 3.6.2 两个中值点的情形 在证明两个中值点存在性的命题时，通常可考虑使用两次中值定理 . 例 函数 ()fx在 , ab 上连续，在 ( , )ab 可导， 0 ab，试证 :存在 , ( , )ab ，使得 ( ) ( )2abff. 分析：结论中两点只要存在即可，不要求一定不同，故可在同一区间上使用两次中值定理 .同时结论中的 ()2f 部分可看作函数 ()fx与 2x 2x 在点 处的导数之商，故联想到柯西中值定理 .再对 ()fx使用拉格朗日中值定理，然后寻求两个结论之间的关系 . 证明：令 2()g x x ，易知 ()fx 与 ()gx 在 , ab 上连续，在 ( , )ab 可导，且( ) 0gx . 由柯西中值定理知 ,存在 ( , )ab ，使得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f b f a fg b g a g 即 22( ) ( ) ( )2f b f a fba ， 22 ()( ) ( ) ( ) 2ff b f a b a . 而由拉格朗日中值定理知，存在 ( , )ab ，使得 ( ) ( )f b f a ( ) ( )b a f . 由以上两式得 :存在 ba, ，使 22 ()( ) ( ) ( ) ,2fb a f b a 即 ( ) ( )2abff . 微分中值定理应用非常广泛 (在使用时应特别注意验证定理的条件 ) ,以上只介绍了几种常见的应用 . 通过对微分中值定理的研究 ,加 深了对微分中值定理的理解 ,有助于更好掌握该定理的解题应用 . 四小结： 微分中值定理是微分学的基本定理， 而且它也是微分学的理论核心 ，有着广泛的应用 。 本课题是对微分中值定理在证明方程根的存在性、证明不等式、求极限、泰勒公式、中值点存在性的应用等几个方面的论述 ,其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。 我们知道，运用微分中值定理证明 有 关命题的关键是构造辅助函数， 构造 满足某个中值定理条件 的 而得