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文档简介

无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念; 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限;3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大;2、无穷小的比较; 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换; 4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质(30分钟),在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟)。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了数列的极限、(、)函数的极限、(、)函数的极限这七种趋近方式。下面我们用表示上述七种的某一种趋近方式,即定义:当在给定的下,以零为极限,则称是下的无穷小,即。例如, 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆;零是可以作为无穷小的唯一的数,任何非零常量都不是无穷小。定义: 当在给定的下,无限增大,则称是下的无穷大,即。显然,时,都是无穷大量,【注意】不能把无穷大与很大的数混淆;无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的,在不同的极限形式下,同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如 , ,所以当时为无穷小,当 时为无穷大。2无穷小与无穷大的关系:在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大,则为无穷小;反之,如果为无穷小,且,则为无穷大。小结:无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量,任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系:定理1 其中是自变量在同一变化过程(或)中的无穷小.证:(必要性)设令则有(充分性)设其中是当时的无穷小,则 【意义】(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);(2)3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如:,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如,观察各极限:不可比.极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1定义: 设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小,且 例1 证:例2 解2常用等价无穷小:(1); (2); (3); (4); (5); (6)(7) (8) (9)用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如3等价无穷小替换定理:证:例3 (1); (2) 解: (1) 故原极限= 8(2)原极限=例4 错解: =0正解: 故原极限【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换,只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例5 解: 原式三、极限的简单计算1. 代入法:直接将的代入所求极限的函数中去,若存在,即为其极限,例如;若不存在,我们也能知道属于哪种未定式,便于我们选择不同的方法。例如,就代不进去了,但我们看出了这是一个型未定式,我们可以用以下的方法来求解。2. 分解因式,消去零因子法例如,。3. 分子(分母)有理化法例如, 又如,4. 化无穷大为无穷小法例如,实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出又如,(分子分母同除)。再如,(分子分母同除)。5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如,(无穷小量乘以有界量)。又如,解:商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得再如,等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3例5。6. 利用两个重要极限求极限(例题参见1.4例3例5)7. 分段函数、复合函数求极限例如,解: 左右极限存在且相等, 【启发与讨论】思考题1:解: 无界, 不是无穷大结论:无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2:若,且,问:能否保证有的结论?试举例说明.解:不能保证. 例 思考题3:任何两个无穷小量都可以比较吗?解:不能例如当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大,故当时和不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限(1);解:原极限=(2)求【分析】 “”型,拆项。解:原极限=(3) ; 【分析】“抓大头法”,用于型解:原极限=,或原极限(4);【分析】分子有理化解:原极限=(5)【分析】型,是不定型,四则运算法则无法应用,需先通分,后计算。解:=(6)【分析】“”型,是不定型,四则运算法则失效,使用分母有理化消零因子。 解:原极限=6(7)解: 先变形再求极限.【内容小结】一、无穷小(大)的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1) 无穷小( 大)是变量,不能与很小(大)的数混淆,零是唯一的无穷小的数;(2) 无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小.(3) 无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较:1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.三、极限求法(不同类型的未定式的不同解法);a.多项式与分式函

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