度高中数学 4.1.1 圆的标准方程同步辅导与检测课件 新人教A版必修2.ppt

4 1圆的方程4 1 1圆的标准方程 圆与方程 1 正确掌握圆的标准方程及其推导过程 2 掌握圆的标准方程的特点 能根据所给有关圆心 半径的具体条件准确地写出圆的标准方程 3 能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径 解决一些简单的实际问题 并会推导圆的标准方程 基础梳理 1 圆的标准方程 圆心为c a b 半径为r的圆的标准方程为 练习1 1 圆心在原点 半径是3的圆的标准方程为 2 已知圆的圆心为 1 2 半径为3 则圆的标准方程为 1 x a 2 y b 2 r2练习1 1 x2 y2 9 2 x 1 2 y 2 2 32 2 点与圆的位置关系设点p到圆心的距离为d 圆的半径为r 则点与圆的位置有如表所示的对应关系练习2 圆 x 1 2 y 2 2 32的圆心为 半径为 练习2 1 2 3 思考应用 下列几种特殊位置的圆的方程是什么 x2 y2 r2 r 0 x a 2 y b 2 a2 b2 a2 b2 0 x a 2 y2 r2 r 0 x2 y b 2 r2 r 0 x a 2 y2 a2 a 0 x2 y b 2 b2 b 0 x a 2 y b 2 b2 b 0 x a 2 y b 2 a2 a 0 x a 2 y b 2 a2 a b 0 自测自评 1 圆心是o 3 4 半径为5的圆的方程为 a x 3 2 y 4 2 5b x 3 2 y 4 2 25c x 3 2 y 4 2 5d x 3 2 y 4 2 25解析 直接代入圆的标准方程可得 答案 d2 点p m 5 与圆x2 y2 24的位置关系是 a 在圆外b 在圆内c 在圆上d 不确定解析 m2 52 25 m2 25 24 点在圆外 答案 a 3 以点 3 4 为圆心 且与x轴相切的圆的方程是 a x 3 2 y 4 2 16b x 3 2 y 4 2 16c x 3 2 y 4 2 9d x 3 2 y 4 2 9解析 因圆与x轴相切 故圆的半径r 4 答案 b4 圆 x 1 2 y2 1的圆心到直线y x的距离是 a b c 1d 解析 圆心c 1 0 再利用点到直线的距离公式得d 答案 a 5 已知圆心在点c 3 4 且经过原点 求该圆的标准方程 并判断点p1 1 0 p2 1 1 p3 3 4 和圆的位置关系 圆的标准方程 求满足下列条件的各圆的方程 1 圆心在y轴上 半径是1 且过点 1 2 2 圆心在点c 3 4 半径是 3 经过点p 5 1 圆心在点c 8 3 解析 根据题设条件 可利用圆的标准方程解决 1 x2 y 2 2 1 2 x 3 2 y 4 2 5 3 解法一 圆的半径r cp 5 圆心在点 8 3 圆的方程是 x 8 2 y 3 2 25 解法二 圆心为c 8 3 故设圆的方程为 x 8 2 y 3 2 r2 又 点p 5 1 在圆上 5 8 2 1 3 2 r2 r2 25 所求圆的方程是 x 8 2 y 3 2 25 点评 确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径 因此圆心和半径被称为圆的两要素 跟踪训练 1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径 1 x2 y2 2 2 x 3 2 y2 a2 a 0 3 x 2 2 y 1 2 b2 b 0 解析 搞清圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 中 圆心为 a b 半径为r 本题易于解决 1 圆心 0 0 半径为 2 圆心 3 0 半径为 a 3 圆心 2 1 半径为 b 点与圆的位置关系 已知两点p 5 6 和q 5 4 求以p q为直径端点的圆的标准方程 并判断点a 2 2 b 1 8 c 6 5 是在圆上 在圆内 还是在圆外 解析 由已知条件及圆的性质可知 圆心m在直径pq的中点处 圆心m的坐标为 0 1 点评 判定点与圆的位置关系 可以判定该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系 也可将该点坐标代入圆的方程判断 方法如下 点a x0 y0 到圆心c a b 的距离为 ac 当点a x0 y0 在圆上时 ac r 即 x0 a 2 y0 b 2 r2 当点a x0 y0 在圆内时 ac r 即 x0 a 2 y0 b 2 r2 跟踪训练 2 判断点m 6 9 n 3 3 o 5 3 与圆 x 5 2 y 6 2 10的位置关系 解析 圆的方程为 x 5 2 y 6 2 10 分别将m 6 9 n 3 3 o 5 3 代入得 6 5 2 9 6 2 10 m在圆上 3 5 2 3 6 2 13 10 n在圆外 5 5 2 3 6 2 9 10 o在圆内 圆的标准方程的应用 如图所示 一座圆形拱桥 当水面在如图位置时 拱顶离水面2m 水面宽12m 当水面下降1m后 水面宽多少m 解析 以圆拱顶为坐标原点 以过拱顶点的垂线为y轴 建立如图所示的直角坐标系 设圆心为c 水面所在弦的端点为a b 则由已知得a 6 2 设圆的半径为r 则c 0 r 即圆的方程为x2 y r 2 r2 将点a的坐标 6 2 代入方程 解得r 10 圆的方程x2 y 10 2 100 当水面下降1m后 可设点a 的坐标为 x0 3 x0 0 代入方程 求得x0 即水面下降1m后 水面宽为2x0 2 14 28m 跟踪训练 3 求以点c 2 1 为圆心 截直线x y 1 0所得的弦长为2的圆的方程 1 已知点p a a 1 在圆x2 y2 25内部 那么a的取值范围是 a 4 a 3b 5 a 4c 5 a 5d 6 a 4解析 由a2 a 1 2 25可得2a2 2a 24 0 解得 4 a 3 答案 a2 方程y 表示的曲线是 a 一条射线b 一个圆c 两条射线d 半个圆解析 当y 0时 平方得x2 y2 25 表示下半圆 答案 d 1 利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径 比较点到圆心的距离与半径的大小能得出点与