江苏专用高考数学复习解答题第一周星期六解答题综合练理.docx

星期六(解答题综合练)2017年_月_日1. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m(a，c)，n2. (cos C，cos A).(1)若mn，ca，求角A；(2)若mn3bsin B，cos A，求cos C的值.解(1)mn，acos Accos C.由正弦定理得sin Acos Asin Ccos C，化简得sin 2Asin 2C.A，C(0，)，2A2C(舍)或2A2C，AC，B，在RtABC中，tan A，A.(2)mn3bcos B，acos Cccos A3bsin B.由正弦定理得sin Acos Csin Ccos A3sin2B，从而sin(AC)3sin2B.ABC，sin(AC)sin B，且sin B0，从而sin B，cos A0，A(0，)，A，sin A.sin Asin B，ab，从而AB，B为锐角，cos B.cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B.2.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点.求证：(1)BEAC；(2)BE平面ACD1.证明(1)如图，连接BD交AC于点F，由于E是A1C1的中点，则连接B1D1交A1C1于点E.因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.因为ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1平面ABCD，又AC平面ABCD，所以BB1AC.又BDBB1B，BD平面B1BDD1，BB1平面B1BDD1，所以AC平面B1BDD1.而BE平面B1BDD1，所以BEAC.(2)如图，连接D1F，因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以四边形B1BDD1为矩形.又E，F分别是B1D1，BD的中点，所以BFD1E，且BFD1E.所以四边形BED1F是平行四边形.所以BED1F.又D1F平面ACD1，BE平面ACD1，所以BE平面ACD1.3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”.(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQx轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)(1)解由题意可知A1(，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e.设椭圆C2的方程为1(ab0)，则b.因为，所以a2.所以椭圆C2的方程为1.(2)证明设P(x0，y0)，y00，则1，从而y122x.将xx0代入1得1，从而y23，即y.因为P，H在x轴的同侧，所以取y，即H(x0，).所以kA1PkA2H1，从而A1PA2H.又因为PHA1A2，所以H为PA1A2的垂心.4.图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2米.(1)当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？解(1)以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，因为AB2米，所以半圆的半径为1米，则半圆的方程为x2y21(1x1，y0).因为水深CD0.4米，所以OD0.6米，在RtODM中，DM0.8米.所以MN2DM1.6米，故沟中水面宽为1.6米.(2)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点P(cos ，sin )是圆弧BC上的一点，过点P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为xcos ysin 1.令y0，得E，令y1，得F.设直角梯形OCFE的面积为S.则S.S，令S0，解得.当时，S0，函数单调递减；当0时，S0，函数单调递增.所以时，面积S取得最小值，最小值为，此时CF，即当渠底宽为米时，所挖的土最少.5.已知无穷数列an的各项均为正整数，Sn为数列an的前n项和.(1)若数列an是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3(Sn)3成立，求数列an的通项公式；(2)对任意正整数n，从集合a1，a2，an中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合.()求a1，a2的值；()求数列an的通项公式.解(1)设无穷等差数列an的公差为d，因为Sn3(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n1，n2时，则有：因为数列an的各项均为正整数，所以d0.可得a11，d0或d2.当a11，d0时，an1，Sn3(Sn)3成立；当a11，d2时，Snn2，所以Sn3(Sn)3.因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an1或an2n1.(2)()记An1，2，Sn，显然a1S11.对于S2a1a21a2，有A21，2，Sn1，a2，1a2，|1a2|1，2，3，4，故1a24，所以a23.()由题意可知，集合a1，a2，an按上述规则，共产生Sn个正整数.而集合a1，a2，an，an1按上述规则产生的Sn1个正整数中，除1，2，Sn这Sn个正整数外，还有an1，an1i，|an1i|(i1，2，Sn)，共2Sn1个数.所以，Sn1Sn(2Sn1)3Sn1.又Sn13，所以Sn3n13n.当n2时，anSnSn13n3n1.而a11也满足an3n1.所以，数列an的通项公式是an3n1.6.已知函数f(x)aln x(a为常数).(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y50垂直，求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当x1时，f(x)2x3恒成立，求a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为x|x0，f(x).又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y50垂直，所以f(1)a12，即a1.(2)由f(x)(x0)，当a0时，f(x)0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0，).当a0时，由f(x)0，得0x，所以f(x)的单调增区间为；由f(x)0，得x，所以f(x)的单调减区间为.(3)设g(x)aln x2x3，x1，)，则g(x)2.令h(x)2x2ax1，考虑到h(0)10，当a1时，h(x)2x2ax1的对称轴x1，h(x)在1，)上是减函数，h(x)h(1)a10，所以g(x)0，g(x)在1，)上是减函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)2x23恒成立.当a1