高考数学总复习 第五章 第六节数列的综合问题课件 文.ppt

第六节数列的综合问题 第五章数列 考纲要求 能利用等差 等比数列的有关知识解决数列的综合问题 课前自修 知识梳理 一 等差 等比数列的一些重要结论1 等差数列 an 中 若m n p q 则am an ap aq 2 等比数列 an 中 若m n p q 则am an ap aq 3 等差数列 an 的任意连续m项的和构成的数列sm s2m sm s3m s2m s4m s3m 仍为等差数列 4 等比数列 an 的任意连续m项的和构成的数列sm s2m sm s3m s2m s4m s3m 仍为等比数列 m为偶数且公比为 1的情况除外 5 两个等差数列 an 与 bn 的和 差构成的数列 an bn an bn 仍为等差数列 6 两个等比数列 an 与 bn 的积 商 倒数构成的数列 an bn 仍为等比数列 7 等差数列 an 的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 8 等比数列 an 的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列 9 若 an 为等差数列 则 c 0 是等比数列 10 若 bn bn 0 是等比数列 则 logcbn c 0且c 1 是等差数列 二 几个数成等差 等比数列的设法三个数成等差的设法 a d a a d 四个数成等差的设法 a 3d a d a d a 3d 三个数成等比的设法 a aq 四个数成等比的错误设法 aq aq3 因为其公比为q2 0 对于公比为负的情况不能包括 三 用函数的观点理解等差数列 等比数列1 对于等差数列an a1 n 1 d dn a1 d 当d 0时 an是关于n的一次函数 对应的点 n an 是位于直线上的若干个离散的点 当d 0时 函数是单调增函数 对应的数列是单调递增数列 当d 0时 函数是常数函数 对应的数列是常数列 当d 0时 函数是减函数 对应的数列是单调递减数列 若等差数列的前n项和为sn 则sn pn2 qn p q r 当p 0时 an 为常数列 当p 0时 可用二次函数的方法解决等差数列问题 2 对于等比数列an a1qn 1 可用指数函数的性质来理解 当a1 0 q 1或a1 0 0 q 1时 等比数列 an 是单调递增数列 当a1 0 0 q 1或a1 0 q 1时 等比数列 an 是单调递减数列 当q 1时 是一个常数列 当q 0时 无法判断数列的单调性 它是一个摆动数列 基础自测 1 2012 山西四校联考 已知等比数列 an 的公比q 0且q 1 又a6 0 则 a a5 a7 a4 a8b a5 a7 a4 a8c a5 a7 a4 a8d a5 a7 a4 a8 2 2012 黄山市模拟 设数列 an 的前n项和为sn n n 关于数列 an 有下列三个命题 若数列 an 既是等差数列又是等比数列 则an an 1 若sn an2 bn a b r 则数列 an 是等差数列 若sn 1 1 n 则数列 an 是等比数列 这些命题中 真命题的个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 不妨设数列 an 的前三项为a d a a d 则其又成等比数列 故a2 a2 d2 d 0 即an an 1 为真命题 由sn的公式 可求出an 2n 1 a b 故 an 是等差数列 为真命题 由sn可求出an 2 1 n 1 故数列 an 是等比数列 为真命题 故选d 答案 d 3 2012 湖南师大附中测试 在数列和中 bn是an与an 1的等差中项 a1 2且对任意n n 都有3an 1 an 0 则数列的通项公式为 4 2012 日照一中月考改编 已知实数a b c d成等比数列 对于函数y lnx x 当x b时取到极大值c 则ad等于 解析 对函数求导得y 1 x 0 当0 x 1时 y 0 当x 1时 y 0 所以当x 1时 函数有极大值为y ln1 1 1 所以b 1 c 1 因为实数a b c d成等比数列 所以ad bc 1 答案 1 bn 4 3 n 考点探究 考点一 等差 等比数列知识的综合 例1 公差不为零的等差数列的第2 3 6项成等比数列 求公比q 变式探究 解析 设等差数列的公差为d 则 1 9 4d 得d 2 而a1 a3 2d 4 9 1 9 且b2 0 所以b2 3 所以 故选d 答案 d 考点二 数列与函数知识的综合 例2 2012 肇庆市二模 数列 an 的前n项和记为sn 点 n sn 在曲线f x x2 4x上 x n 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn an 5 2n 1 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 由点 n sn 在曲线f x x2 4x上 x n 知sn n2 4n 当n 2时an sn sn 1 n2 4n n 1 2 4 n 1 2n 5 当n 1时 a1 s1 3 满足上式 数列 an 的通项公式为an 2n 5 2 由bn an 5 2n 1得bn n 2n tn 1 2 2 22 3 23 n 1 2n 1 n 2n 上式两边乘以2 得2tn 1 22 2 23 3 24 n 1 2n n 2n 1 得 tn 2 22 23 2n n 2n 1 tn n 2n 1 即tn n 1 2n 1 2 变式探究 解析 1 点p an an 1 在直线x y 1 0上 即an 1 an 1 又a1 1 数列 an 是以1为首项 1为公差的等差数列 an 1 n 1 1 n 考点三 数列与指数 对数及三角函数的综合 例3 2012 安徽六校教育研究会联考 数列 an 满足a1 1 a2 1 an 2 4cos2 则a9 a10的大小关系为 a a9 a10b a9 a10c a9 a10d 大小关系不确定 解析 n为奇数时 an 2 2an n为偶数时 an 2 an 4 又a1 a2 1 该数列的奇数项构成首项为1 公比为2的等比数列 a9 1 24 16 该数列的偶数项构成首项为1 公差为4的等差数列 a10 1 5 1 4 17 a9 a10 故选c 答案 c 变式探究 3 2012 珠海一中模拟 设正项等比数列为 an 若等差数列 lgan 的公差d lg3 且 lgan 的前三项和为6lg3 则 an 的通项为 a an nlg3b an 3nc an 3nd an 3n 1 解析 由lga1 lga2 lga3 3lga2 6lg3 得a2 9 又lga2 lga1 lg3 所以a1 a2 3 所以公比为q 3 通项公式为an 3n 故选b 答案 b 考点四 数列与不等式的综合 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 设数列 anbn 的前n项和为tn 求证 tn 2 变式探究 考点五 数列与算法的综合 例5 执行下面框图所描述的算法程序 记输出的一列数依次为a1 a2 an n n n 2011 注 框图中的赋值符号 也可以写成 或 1 若输入 写出输出结果 变式探究 5 2012 常州市模拟 根据如图所示的程序框图 将输出的x y值依次分别记为x1 x2 xn x2012 y1 y2 yn y2012 1 求数列 xn 的通项公式xn 2 写出y1 y2 y3 y4 由此猜想出数列 yn 的一个通项公式yn 并证明你的结论 3 求zn x1y1 x2y2 xnyn x n n 2012 解析 1 由框图知 数列 xn 中 x1 1 xn 1 xn 2 xn 1 2 n 1 2n 1 n n n 2012 2 由框图知 数列 yn 中 yn 1 3yn 2 y1 2 y2 8 y3 26 y4 80 由yn 1 3yn 2 得yn 1 1 3 yn 1 3 y1 1 3 数列 yn 1 是以3为首项 3为公比的等比数列 yn 1 3 3n 1 3n yn 3n 1 n n n 2012 3 zn x1y1 x2y2 xnyn 1 3 1 3 32 1 2n 1 3n 1 1 3 3 32 2n 1 3n 1 3 2n 1 记sn 1 3 3 32 2n 1 3n 则3sn 1 32 3 33 2n 1 3n 1 得 2sn 3 2 32 2 33 2 3n 2n 1 3n 1 2 3 32 3n 3 2n 1 3n 1 2 3 2n 1 3n 1 3n 1 6 2n 1 3n 1 2 1 n 3n 1 6 sn n 1 3n 1 3 又1 3 2n 1 n2 zn n 1 3n 1 3 n2 n n n 2012 考点六 数列的实际应用 例6 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备m m的价值在使用过程中逐年减少 从第2年到第6年 每年初m的价值比上年初减少10万元 从第7年开始 每年初m的价值为上年初的75 1 求第n年初m的价值an的表达式 2 设an 若an大于80万元 则m继续使用 否则须在第n年初对m更新 证明 须在第9年初对m更新 2 证明 设sn表示数列 an 的前n项和 由等差及等比数列的求和公式 得当1 n 6时 sn 120n 5n n 1 an 120 5 n 1 125 5n 当n 7时 由于s6 570 故sn s6 a7 a8 an 变式探究 6 2012 武汉市武昌区调研 某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学 该商场向他提供了三种付酬方案 第一种 每天支付38元 第二种 第一天付4元 第二天付8元 第三天付12元 依此类推 第三种 第一天付0 4元 以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍 工作时间为n天 1 工作n天 记三种付费方式薪酬总金额依次为an bn cn 写出an bn cn关于n的表达式 2 如果n 10 你会选择哪种方式领取报酬 解析 1 三种付酬方式每天金额依次为数列 an bn cn 它们的前n项和依次分别为an bn cn 依题意 第一种付酬方式每天金额组成数列 an 为常数数列 an 38n 第二种付酬方式每天金额组成数列 bn 为首项为4 公差为4的等差数列 则bn 4n 4 2n2 2n 第三种付酬方式每天金额组成数列 cn 为首项是0 4 公比为2的等比数列 则cn 0 4 2n 1 2 由 1 知 当n 10时 a10 38n 38 10 380 b10 2n2 2n 2 102 2 10 220 c10 0 4 2n 1 0 4 210 1 409 2 b10 a10 c10 答 应该选择第三种付酬方案 考点七 数列创新问题 例7 已知数列 an bn cn 的通项公式满足bn an 1 an cn bn 1 bn n n 若数列 bn 是一个非零常数列 则称数列 an 是一阶等差数列 若数列 cn 是一个非零常数列 则称数列 an 是二阶等差数列 1 试写出满足条件a1 1 b1 1 cn 1的二阶等差数列 an 的前五项 2 求满足条件 1 的二阶等差数列 an 的通项公式an 3 若数列 an 首项a1 2 且满足cn bn 1 3an 2n 1 n n 求数列 an 的通项公式 解析 1 因为bn an 1 an cn bn 1 bn n n 由a1 1 b1 1 cn 1 得a2 b1 a1 2 b2 b1 c1 2 a3 b2 a2 4 b3 b2 c2 3 a4 a3 b3 7 b4 b3 c3 4 a5 a4 b4 11 2 依题意bn 1 bn cn 1 n 1 2 3 所以bn bn bn 1 bn 1 bn 2 bn 2 bn 3 b2 b1 b1 1 1 1 1 1 n 又an 1 an bn n n 1 2 3 所以an an an 1 an 1 an 2 an 2 an 3 a2 a1 a1 n 1 n 2 2 1 1 1 3 由已知cn bn 1 3an 2n 1 可得bn 1 bn bn 1 3an 2n 1 即bn 3an 2n 1 an 1 4an 2n 1 法一 整理得an 1 2n 1 4 an 2n 因而数列 an 2n 是首项为a1 2 4 公比为4的等比数列 an 2n 4 4n 1 4n 即an 4n 2n 法二 在等式an 1 4an 2n 1两边同时除以2n 1 得 2 1 令kn 则kn 1 2kn 1 即kn 1 1 2 kn 1 故数列 kn 1 是首项为2 公比为2的等比数列 所以kn 1 2 2n 1 2n 即kn 2n 1 an 2nkn 2n 2n 1 4n 2n 变式探究 7 2012 四川卷 记 x 为不超过实数x的最大整数 例如 2 2 1 5 1 0 3 1 设a为正整数 数列 xn 满足x1 a xn 1 n n 现有下列命题 当a 5时 数列 xn 的前3项依次为5 3 2 对数列 xn 都存在正整数k 当n k时总有xn xk 当n 1时 xn 1 对某个正整数k 若xk 1 xk 则xn 其中的真命题有 写出所有真命题的编号 2 数列作为特殊的函数 在实际问题中有着广泛的应用 如增长率 银行信贷 分期付款 合理定价等 3 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识 又要有良好的逻辑思维能力和分析 解决问题的能力 解题