中考数学总复习 考点清单 4.第四单元 三角形课件.ppt

1 第四单元三角形 第1课时角 相交线和平行线 含命题 有关概念 中考考点清单考点1线段 直线 射线考点2角及角平分线考点3相交线考点4平行线性质及判定考点5命题 第四单元三角形 2 常考类型剖析类型一相交线中角的计算类型二平行线的性质 第四单元三角形 3 1 直线公理 过两点有且只有一条直线 2 线段公理 过两点的所有连线中 最短 3 线段的中点 如图 点b在线段ac上 且把线段ac分成相等的两条线段ab与ac 这时b点叫做线段ac的中点 即ab bc ac 线段 图 返回目录 考点1线段 直线 射线 第四单元三角形 4 返回目录 1 角的概念 一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一位置时所成的图形叫做角 如图 图 第四单元三角形 5 返回目录 2 角平分线的概念及其定理 1 概念 以一个角的顶点为端点的一条射线 如果把这个角分成两个 的角 这条射线叫做该角的角平分线 如图 若oc平分 aob 则 aoc aob 2 定理 角平分线上的点到角两边的距离 如图 若oc平分 aob 点p在oc上 则pm oa pn ob 则pm pn 图 相等 boc 相等 第四单元三角形 6 返回目录 角的分类 90 180 1 分类 2 周角 平角 直角之间的关系和度数1周角 2平角 4直角 360 1平角 2直角 180 1直角 90 1 60 1 60 1 1 考点2角及角平分线 第四单元三角形 7 返回目录 补角和余角 平角 直角 1 补角的定义 如果两个角的和等于一个 即等于180 这两个角互为补角 或者说其中一个是另一个的补角 2 余角的定义 如果两个角的和等于一个 即等于90 这两个角互为余角 或者说其中一个是另一个的余角 3 补角 余角的性质 同角或等角的补角相等 同角或等角的余角相等 第四单元三角形 8 返回目录 两相交直线所成的角 相等 180 图 1 对顶角和邻补角对顶角 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线 如图 1与 3 2与 4都是对顶角 对顶角的性质 对顶角 邻补角 两个角有一个公共顶点和一条公共边 另一边互为反向延长线 如图 1与 2 1与 4 2与 3 3与 4都是邻补角 邻补角的和为 考点3相交线 第四单元三角形 9 垂线及其性质 直角 垂直 垂线 垂足 直角垂线段的长度 最短 1 垂线 两条直线相交所成的四个角中 如果有一个角是 我们就说这两条直线 其中一条直线叫做另一条直线的 两条直线的交点叫做垂足 2 垂线段 过直线外一点 作已知直线的垂线 该点与 之间线段 3 点到直线的距 离 从直线外一点到这条直线的 4 垂线的基本性质 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 垂线段的性质 垂线段 例题链接 第四单元三角形 10 2 三线八角 如图 同位角 1与 5 2与 4与 3与 7 内错角 2与 3与 5 3 同旁内角 3与 8 2与 8 6 8 5 图 例题链接 第四单元三角形 11 平行线的定义 同一平面内没有公共点的两条直线叫做平行线 平行线的性质 1 两直线平行 同位角 2 两直线平行 内错角 3 两直线平行 同旁内角 4 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 5 两条平行线的所有公垂线都相等 相等 相等 互补 例题链接 考点4平行线性质及判定 高频考点 第四单元三角形 12 返回目录 平行线的判定 相等 相等 互补 1 同位角 两直线平行 2 内错角 两直线平行 3 同旁内角 两直线平行 4 平行于同一条直线的两条直线平行 5 在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行 第四单元三角形 13 命题 叙述一件事情的句子 陈述句 如果要么是真的 要么是假的 那么称这个陈述句是一个命题 真命题 如果一个命题叙述的事情是真的 那么称它是真命题 假命题 如果一个命题叙述的事情是假的 那么称它是假命题 逆命题 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 这样的两个命题称为互逆命题 其中的一个叫做另一个的逆命题 返回目录 考点5命题 第四单元三角形 14 14 返回考点 类型一相交线中角的计算 重点 例1题图 c 解析 射线oc平分 dob cob 35 dob 2 cob 2 35 70 aod 180 dob 110 点评与拓展 相交线中角的计算 常常需要借助邻补角 对顶角 角平分线 平行线的性质 判定以及三角形的内 外角和定理等知识点 联合一起解决问题 突破方法是 正确理解 掌握上述概念 定理 例 13大连 如图 点o在直线ab上 射线oc平分 dob 若 cob 35 则 aod等于 35 70 110 145 第四单元三角形 15 15 返回考点 变式题 13南通 如图 直线ab cd相交于点o oe ab bod 20 则 coe等于度 变式题1图 解析 oe ab eoa 90 又 aoc bod 20 coe 90 20 70 70 第四单元三角形 16 16 返回考点 类型二平行线的性质 重点 解析 ab cd bac c 180 c 180 bac 60 ac df cdf c 60 例2题图 a 例2 13黄冈 如图 ab cd ef ac df 若 bac 120 则 cdf a 60 b 120 c 150 d 180 第四单元三角形 17 17 返回考点 思维方式 1 解决平行线性质问题 通常可以利用 f型 z型 h型 等基本模型找准同位角或内错角或同旁内角 2 利用平行线的性质求角 常见的思路为 先根据平行线的性质求得与未知角互补或相等的角 再利用互补或相等关系 求未知的角 先求得与未知角互补或相等的角 再利用平行线的性质求未知角的大小 第四单元三角形 18 18 返回考点 变式题2 13成都 如图 b 30 若ab cd cb平分 acd 则 acd 度 变式题2图 解析 ab cd bcd b 30 cd平分 acd acd 2 bcd 2 30 60 60 第四单元三角形 19 第2课时三角形的基本概念与性质 中考考点清单考点1三角形的分类考点2三角形的基本性质考点3三角形中的重要线段常考类型剖析类型一三角形的三边关系类型二三角形的内角和定理类型三三角形的中位线 第四单元三角形 20 考点1三角形的分类 锐角 钝角 1 按边分2 按角分 返回目录 第四单元三角形 21 1 三角形的三边关系 图 如图 我们知道 连接两点的所有连线中 线段最短 因此有 ac cb ab ba ac bc ab bc ac 由此可见 三角形三边之间有如下关系 三角形任意两边之和 第三边 大于 例题链接 考点2三角形的基本性质 第四单元三角形 22 1 三角形内角和性质 三角形的内角和等于 2 三角形一个外角等于与它不相邻的两内角 一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 如图 acd a b acd b acd a 2 三角形内角和性质及内外角关系 图 180 和 返回目录 第四单元三角形 23 三角形的角平分线 图 三角形的角平分线的描述方式 如图 所示 1 ad是 abc的角平分线 2 ad平分 bac交bc于点d 3 1 2 bac 即 bac 2 1 2 2 返回目录 考点3三角形中的重要线段 第四单元三角形 24 图 2 三角形的中线的描述方式 如图 所示 1 am是 abc的中线 2 am是 abc中bc边上的中线 3 点m是bc边的中点 4 bm cm 返回目录 第四单元三角形 25 三角形的中位线 1 定义 连接三角形 的线段叫做三角形的中位线 2 中位线的性质 三角形的中位线 第三边 并且等于 如图 abc三边中点分别为d e f 则 1 dfbc deac efab 2 s adf s dbe s fec s efd s abc 图 两边中点 第三边的一半 平行 返回目录 第四单元三角形 26 3 三角形的高线 从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 锐角三角形直角三角形钝角三角形 返回目录 第四单元三角形 27 27 类型一三角形的三边关系 重点 解析 3 6 8 3 6 8 能构成 3 6 9 3 6 9 不能构成 3 8 9 3 8 9 能构成 6 8 9 6 8 9 能构成 故最多能组成三个三角形 例 13南通 有2cm 6cm 8cm 9cm的四条线段 任选其中的三条线段组成一个三角形 则最多能组成三角形的个数为 1 2 3 4 c 返回目录 第四单元三角形 28 点评与拓展 1 三边关系定理 三角形两边之和大于第三边 三角形的两边之差小于第三边 实际操作时 只要验证 两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可 2 三角形的三边关系一般和不等式组联系 甚至涉及分类讨论的思想方法 例如求三角形的周长 不能盲目地将三边长相加起来 而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯 把不符合题意的舍去 返回目录 第四单元三角形 29 变式题 13海南 一个三角形的三条边长分别为1 2 x 则 的取值范围是 a 1 x 3b 1 x 3c 1 x 3d 1 x 3 解析 已知三角形两边的长分别是1和2 第三边x的范围是2 1 x 1 2即1 x 3 d 返回目录 第四单元三角形 30 30 类型二三角形内角和定理 重难点 解析 ab ac a 90 acb b 45 edf 90 e 30 f 90 e 60 ace cdf f bce 40 cdf ace f bce acb f 45 40 60 25 例2题图 例2 13威海 将一副直角三角板如图摆放 点c在ef上 ac经过点d 已知 a edf 90 ab ac e 30 bec 40 则 cdf 25 返回目录 第四单元三角形 31 31 变式题2 12湖州 如图 在 abc中 d e分别是ab ac上的点 点f在bc的延长线上 de bc a 46 1 52 则 2 度 变式题2图 解析 dec是 ade的外角 a 46 1 52 dec a 1 46 52 98 de bc 2 dec 98 98 返回目录 第四单元三角形 32 32 类型三三角形的中位线 解析 因为三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 所以bc 2ef 4cm 例3题图 例3 11湘西州 如图 在 abc中 e f分别是ab ac的中点 若中位线 2cm 则bc边的长是 a 1cmb 2cmc 3cmd 4cm 点评与拓展 本题考查了三角形中位线的性质 三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段 中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半 d 返回目录 第四单元三角形 33 33 变式题3 13昆明 如图 在 abc中 点d e分别是ab ac的中点 a 50 ade 60 则 c的度数为 a 50 b 60 c 70 d 80 变式题3图 解析 由题意得 ade 180 a ade 70 点d e分别是ab ac的中点 de是 abc的中位线 de bc c aed 70 c 返回目录 第四单元三角形 34 第3课时全等三角形 中考考点清单考点1全等三角形及其性质考点2三角形全等的判定常考类型剖析类型全等三角形的判定 第四单元三角形 35 考点1全等三角形及其性质 返回目录 1 定义 能完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2 性质 1 全等三角形的对应边 对应角 2 全等三角形的对应线段 角平分线 中线 高线 中位线 相等 对应周长 对应面积 相等 相等 相等 相等 第四单元三角形 36 1 三角形全等的判定方法 图 1 sss 对应相等的两个三角形全等 如图 在 abc与 def中 已知ab de ac df bc ef 则 abc def 2 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 如图 在 abc与 def中 已知ab de a d ac df 则 abc aef sas 三边 返回目录 考点2三角形全等的判定 第四单元三角形 37 3 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 如图 在 abc与 def中 已知 a d ab de b e 则 abc def 4 aas 两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 如图 在 abc与 def中 已知 a d b e ac df 则 abc def 5 hl 在两个直角三角形中 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 如图 在rt abc与rt def中 已知 b e 90 ac df bc ef 则rt abc rt def 图 asa 返回目录 第四单元三角形 38 图 图 返回目录 第四单元三角形 39 2 三角形全等的证明思路 返回目录 第四单元三角形 40 返回目录 第四单元三角形 41 41 类型全等三角形的判定 重点 思路分析 本题需先找出全等的三角形 再利用判定定理给予证明 其中 除 ade abc外 还有三对三角形全等 证明时注意已证明过的结论 可作为未证明的条件加以利用 例 13仙桃 如图 已知 abc ade ab与ed交于点m bc与ed ad分别交于点f n 请写出图中两对全等三角形 abc ade除外 并选择其中的一对加以证明 返回目录 第四单元三角形 42 解 aem acn bmf dnf abn adm 三对任写两对即可 1 选择 aem acn 理由如下 ade abc ae ac e c ead cab eam can 在 aem和 acn中 aem can sas 返回目录 第四单元三角形 43 2 选择 abn adm 理由如下 ade abc ab ad b d ban dam abn adm sas 3 选择 bmf dnf 理由如下 abn adm am an bm dn b d bfm dfn bmf dnf aas 返回目录 第四单元三角形 44 点评与拓展 1 要证三角形全等 至少要有一组 边 的条件 所以一般情况下 我们一般先找对应边 2 要证直角三角形全等 通常先考虑直角边 斜边定理 hl 3 在有一组对应边相等的前提下 我们通常找任意两组对应角相等即可 在有两组对应边分别相等的前提下 可以求第三组对应边相等 或者求两组对应边的夹角相等 注意必须是夹角 若有三组对应边分别相等 则可以直接根据边边边 sss 求解 返回目录 第四单元三角形 45 45 变式题 12贵阳 如图 已知点a d c f在同一直线上 ab de bc ef 要使 abc def 还需要添加一个条件是 a bca fb b ec bc efd a edf 解析 ab de bc ef 若要使 abc def 则应有 b e b 变式题图 返回目录 第四单元三角形 46 第4课时特殊三角形 中考考点清单考点1等腰三角形考点2等边三角形考点3直角三角形常考类型剖析类型一等腰三角形类型二直角三角形 第四单元三角形 47 1 性质 1 等腰三角形是 图形 对称轴是顶角平分线所在直线 2 等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和底边上的高 三线合一 3 等腰三角形的两底角 1 有两边相等的三角形是等腰三角形 2 有两个角相等的三角形是等腰三角形 2 判定 轴对称 相等 返回目录 考点1等腰三角形 第四单元三角形 48 考点2等边三角形 1 性质 1 有三条边相等的三角形是等边三角形 2 有两个角等于 的三角形是等边三角形 3 有一个角是60 的 三角形是等边三角形 2 判定 60 等腰 1 等边三角形的三个内角均相等且等于 2 等边三角形底边上的中线 底边上的高线和所对顶角的角平分线互相重合 60 返回目录 第四单元三角形 49 1 勾股定理即其逆定理 1 勾股定理直角三角形两直角边a b的平方和 等于斜边c的平方 即a2 b2 c2 2 勾股定理的逆定理如果三角形三边长为a b c 且满足下面的关系 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 如图 在 abc中 已知 a b c的对边分别为a b c 若 abc为直角三角形且 c 90 则a2 b2 c2 若a2 b2 c2 则 abc为直角三角形 且 c 90 返回目录 考点3直角三角形 第四单元三角形 50 2 直角三角形的性质与判定 90 一半 30 一半 一半 返回目录 第四单元三角形 51 类型一等腰三角形的性质与判定 重点 解析 ab ac ad平分 bac bc 8 ad bc cd bd bc 点e为ac的中点 de ce ac 5 cde的周长 cd de ce 4 5 5 14 例 13枣庄 如图 abc中 ab ac 10 bc 8 ad平分 bac交bc于点d 点e为ac的中点 连接de 则 cde的周长为 a 20b 12c 14d 13 例1题图 c 返回目录 第四单元三角形 52 点评与拓展 本题考查等腰三角形的 三线合一 及三角形的中位线性质 已知等腰三角形 三线 中的任一条时 顶角平分线或底边上的中线或底边上的高 常需要运用 三线合一 的性质 若已知图形中两个或两个以上的 中点 时 常注意运用三角形中位线的性质 返回目录 第四单元三角形 53 53 变式题1 14原创 已知 如图 在 abc中 ad平分 bac 且 abd与 adc的面积相等 求证 abc是等腰三角形 解 过d作de ab于e df ac于f ad平分 bac de df s abd ab de s adc ac df 又 abd与 adc面积相等 ab ac 即 abc是等腰三角形 变式题1图 变式题1解图 返回目录 第四单元三角形 54 类型二直角三角形的相关计算 重点 解析 在rt abc中 ac 6 bc 8 ab d是ab边上的中点 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得cd ab 10 5 例2题图 例2 14原创 如图 在rt abc中 acb 90 ac 6 bc 8 d是ab上的中点 连接cd 则cd的长是 a 20b 10c 5d c 返回目录 第四单元三角形 55 点评与拓展 本题考查了勾股定理 直角三角形的性质 在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 题目的综合性很好 且难度不大 解决有关直角三角形的问题时 熟练掌握勾股定理及直角三角形的性质是解题的关键 返回目录 第四单元三角形 56 56 变式题2 14原创 在rt abc中 c 90 ac 9 bc 12 则点c到ab的距离是 解析 根据题意画出相应的图形 如图所示 在rt abc中 ac 9 bc 12 根据勾股定理得 过c作cd ab 交ab于点d 又s abc ac bc ab cd cd ac bc ab 9 12 15 则点c到ab的距离是 返回目录 第四单元三角形 57 第5课时相似三角形 中考考点清单考点1比例线段及其性质考点2相似三角形考点3相似多边形及位似常考类型剖析类型相似三角形的判定及性质 第四单元三角形 58 考点1等腰三角形 返回目录 1 两条线段的比 如果选用同一长度单位量得两条线段a与b的长度分别为m n 那么把长度的比叫做这两条线段的比 线段a与线段b的比记作a b或 其中a叫比的前项 b叫比的后项 2 成比例线段 对于四条线段a b c d 如果线段a与b的比等于线段c与d的比 即 那么这四条线段叫做成比例线段 简称比例线段 第四单元三角形 59 3 比例的基本性质 bc 返回目录 第四单元三角形 60 成比例 4 黄金分割 点c在线段ab上 若ac2 ab bc 则点c为ab的 若点c为线段ab的黄金分割点 则或ac 0 618ab 黄金分割点 返回目录 第四单元三角形 61 1 相似三角形的性质 1 两角对应相等的两个三角形相似 2 两边对成比例且角相等的两个三角形相似 3 三边对应成比例的两个三角形相似 2 相似三角形的判定 1 相似三角形的对应角 2 相似三角形的对应线段 边 高 中线 角平分线 成比例 3 相似三角形的周长比等于 面积比等于 相等 相似比 相似比的平方 返回目录 考点2相似三角形 第四单元三角形 62 返回目录 第四单元三角形 63 返回目录 第四单元三角形 64 考点3相似多边形及位似 1 相似多边形的概念及性质 概念 我们把对应角相等 并且对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 性质 1 相似多边形的对应边 2 相似多边形的对应角 3 相似多边形周长的比 相似比 相似多边形面积的比等于 成比例 相等 等于 相似比的平方 返回目录 第四单元三角形 65 1 位似 1 位似变换 取一点o 把图形上任意一点p对应到射线op 或它的反向延长线 上一点p 使得线段op 与op的比等于常数k k 0 点o对应到它自身 这种变换叫做位似变换 点o叫做位似中心 2 位似的图形 一个图形经过位似变换得到的图形叫作原图形位似的图形 3 位似的性质 两个位似图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上 并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比 返回目录 第四单元三角形 66 类型相似三角形的判定及性质 思路分析 1 已知 acd b acd与 abc有一个公共角 a 根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证得 acd abc 2 由 1 中证得的相似 利用相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例 列出式子可求得ac的长 例 14原创 如图 d是 abc的边ab上的一点 连接cd 若ad bd acd b 1 求证 abc acd 2 求ac的长 例题图 返回目录 第四单元三角形 67 解 1 在 abc和 acd中 b acd a a abc acd 两组角对应相等 两三角形相似 2 由 1 可知 abc acd 两三角形相似 对应边成比例 ac2 ad ab ad ad bd 2 6 12 ac 返回目录 第四单元三角形 68 归纳总结 相似三角形在解决线段的长有关计算问题中作用重大 常常是将未知线段与已知线段放于两个三角形中 并证明其相似 利用线段比例列方程求解 返回目录 第四单元三角形 69 变式题 13巴中 如图 在平行四边形abcd中 过点a作ae bc 垂足为e 连接de f为线段de上一点 且 afe b 1 求证 adf dec 2 若ab 8 ad af 求ae的长 变式题图 返回目录 第四单元三角形 70 70 思路点拨 1 要证 adf dec 在这里要用 有两角对应相等的两个三角形相似 这种判定方法 根据本题图形特点只要能证出 adf ced和 afd bcd即可 2 根据 adf dec可得比例式 进一步可求出de的长度 然后在rt ade中利用勾股定理求ae的长度 返回目录 第四单元三角形 71 解 1 四边形 abcd是平行四边形 ad bc ab cd ad bc ade ced ab cd b bcd 180 又 afe afd 180 afe b afd bcd adf dec 返回目录 第四单元三角形 72 2 四边形abcd是平行四边形 ad bc ab cd ab 8 cd 8 adf dec ad af de 12 ad bc ae bc ae ad 在rt ade中 ae2 ad2 de2 返回目录 第四单元三角形 73 第 课时解直角三角形的应用 中考考点清单考点1锐角三角形考点2解直角三角形的边角关系考点3解直角三角形的实际应用常考类型剖析类型一解直角三角形的边角关系类型二解直角三角形的实际应用 第四单元三角形 74 1 三角函数的概念如图 在rt abc中 90 的对边分别为a 正弦sin 余弦cosa 正切tana 考点1锐角三角函数 返回目录 第四单元三角形 75 2 特殊角三角函数值 返回目录 第四单元三角形 76 考点2解直角三角形的边角关系 返回目录 第四单元三角形 77 返回目录 返回目录 第四单元三角形 78 考点3解直角三角形的实际应用 高频考点 返回目录 第四单元三角形 79 返回目录 第四单元三角形 80 类型一直角三角形的边角关系 例1 12上海 如图在rt abc中 acb 90 是边ab的中点 be cd 垂足为点e 己知ac 15 cosa 1 求线段cd的长 2 求sin dbe的值 例1题图 返回目录 第四单元三角形 81 思路分析 1 利用锐角三角函数求出斜边ab的长 再依据cd ab求解即可 2 先利用三角函数求出bc 再由sin abc sin ecb得cos ecb 结合bc求得ec de db 求解sin dbe 解 1 在rt abc中 因为ac 15 cosa 则得cos 解得ab 25 再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得cd ab 返回目录 第四单元三角形 82 2 由ac 15 ab 25 利用勾股定理可得bc 20 又因cos sin abc 得sin abc 又因cd db 于