高中数学 1.9三角函数的简单应用课件 北师大版必修4 .ppt

物理学中的周期现象的处理方法三角函数是研究周期现象最重要的数学模型 它有着重要的应用价值 由于物理学中的单摆 光波 机械波 电流等都具有周期性 且均符合三角函数的相关知识 因此借助于三角函数模型 正确利用物理学中的相关知识是解答此类问题的关键 三角函数在物理学中的应用 例1 如图 表示电流强度i与时间t的关系式i asin t a 0 0 在一个周期内的图像 1 根据图像写出i asin t 的解析式 2 为了使i asin t 中t在任意一段秒的时间内i能同时取最大值 a 和最小值 a 那么正整数 的最小值为多少 审题指导 1 由一个周期内的图像可确定图像的五个关键点 据此可求出解析式 2 画图分析得 要使任意一段秒的时间内i能同时取最大值和最小值 需要满足周期 规范解答 1 由图可知 a 300 周期 此时所求函数的解析式为i 300sin 100 t 以点为 五点法 作图的第一关键点 则有得函数解析式为 2 要使t在任意一段秒能取得最大值和最小值 必须使得周期即由于 为正整数 故 的最小值为629 变式训练 弹簧上挂的小球上下振动时 小球离开平衡位置的距离s cm 随时间t s 的变化曲线是一个三角函数曲线 其图像如图所示 1 求这条曲线对应的函数解析式 2 小球在开始振动时 离开平衡位置的位移是多少 解题提示 小球在开始振动时 离开平衡位置的位移就是t 0时s的值 解析 1 设这条曲线对应的函数解析式为s asin t 由图像可知 a 4 周期此时所求函数的解析式为s 4sin 2t 以点为 五点法 作图的第二关键点 则有得函数解析式为 2 当t 0时 小球在开始振动时 离开平衡位置的位移是cm 对三角函数在生产生活中的应用的理解 1 现实生产 生活中 周期现象广泛存在 在解决实际问题时要注意搜集数据 作出相应的 散点图 通过观察散点图 进行函数拟合 获得具体的函数模型 2 应用数学知识解决实际问题时 应该注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系 还要用相关学科知识来帮助理解问题 3 在阅读过程中 注意挖掘一些隐含条件 三角函数在生产生活中的应用 应用问题不是单纯的数学问题 既要符合数学科学 又要符合实际背景 因此 对于解出的结果要代入原问题中进行检验 评判 例2 如图为一个缆车示意图 该缆车半径为4 8m 圆上最低点与地面距离为0 8m 60秒转动一圈 图中oa与地面垂直 以oa为始边 逆时针转动 角到ob 设b点与地面距离是h 1 求h与 间的函数关系式 2 设从oa开始转动 经过t秒后到达ob 求h与t之间的函数解析式 并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少 审题指导 联想到由三角函数的定义可求角 与点b的坐标关系 可考虑建立恰当的直角坐标系 用 表示点b的坐标 进而求h与 的函数关系式 对于第 2 问可求 与时间t的关系 得到h与t的函数关系式 规范解答 1 以圆心o为原点 建立如图所示的坐标系 则以ox为始边 ob为终边的角为 故b点坐标为 h 5 6 4 8sin 0 2 点a在圆上转动的角速度是 故t秒转过的弧度数为 h 5 6 4 8sin t 0 到达最高点时 h 10 4m 由得 t 30 缆车到达最高点时 用的时间最少为30秒 变式训练 如图所示 摩天轮的半径为40m o点距地面的高度为50m 摩天轮做匀速转动 每3min转一圈 摩天轮上的p点的起始位置在最低点处 1 试确定在时刻tmin时p点距离地面的高度 2 在摩天轮转动的一圈内 有多长时间p点距离地面超过70m 解题提示 1 建立坐标系设出变量 表示出y与t的函数关系即可求解 2 分析题意 列出不等式 解三角不等式 解析 1 以中心o为坐标原点建立如图所示的坐标系 设tmin时p距地面高度为y 依题意得则tmin时 p点距离地面的高度为 2 令 3k 1 t 3k 2 k z 令k 0得1 t 2 因此 共有1min的时间距地面超过70m 对三角函数在平面几何中应用的认识三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆 但研究的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法 于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁 使它在几何和代数中都能有所作为 这无疑使三角函数在平面几何中有着广泛的应用 三角函数在平面几何中的应用 例 如图 半径为1的圆与直线l相交于a b两个不同的点 设 aob x 当直线l平行移动时 则圆被直线扫过部分 图中阴影部分 的面积s关于x的函数s x 审题指导 弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积 规范解答 s x s扇形 s三角形 x sinx x 0 2 答案 变式备选 如图 设点a是单位圆上的一定点 动点p从点a出发在圆上按逆时针方向旋转一周 点p所旋转过的弧的长为l 弦ap的长为d 则函数d f l 的图像大致是 解析 选c 设点p逆时针旋转的弧度为 由l r可知 结合圆的几何性质可知 又r 1 故结合正弦图像可知选c 典例 12分 某风景美丽的海滩的浪高y 米 是时间t 0 t 24 单位 小时 的函数 记作y f t 下面是某日浪高的数据 t h036912y m3 5020 501 983 51t h15182124y m2 020 491 993 49 经长期观察 y f t 的曲线可以近似地看成函数y acos t b的图像 1 试根据以上数据 求出函数y f t 的近似表达式 2 一般情况下 浪高在1 25m 2m之间可以允许冲浪爱好者开展冲浪运动 认为是安全的 试求一天内的上午8 00至晚上20 00之间有多少时间可供冲浪者安全地进行冲浪运动 审题指导 解答第 1 题的关键是确定周期和最大值 最小值 求参数a b 解答第 2 题时要注意根据题意构造不等式1 25 y 2 0 求出t的取值范围 规范解答 1 由表中数据 知周期t 12 2分由t 0 y 3 5 得a b 3 5由t 3 y 2 0 得b 2 0 a 1 5 4分 0 t 24 6分 2 由题知 当1 25 y 2 0时才可对冲浪者开放 8分 或 k z 即12k 3 t 12k 4或12k 8 t 12k 9 k z 0 t 24 故可令 中k分别为0 1 得3 t 4或8 t 9或15 t 16或20 t 21 10分 在规定时间上午8 00至晚上20 00之间 故有2个小时的时间可供冲浪者运动 分别是上午8 00至9 00与下午15 00至16 00 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 2011 黔东南州高一检测 某港口水深y 米 是时间t 0 t 24 单位 小时 的函数 记作y f t 下面是某日水深的数据 经长期观察 y f t 的曲线可近似看成函数y asin t b的图像 a 0 0 1 求函数y f t 的近似表达式 2 一般情况下 船舶航行时 船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的 某船吃水深度 船底离水面的距离 为6 5米 如果该船希望在同一天内安全进出港 请问 它至多能在港内停留多长时间 解析 1 2 令f t 5 6 5 11 5 t 0 24 可得 进而t 1 5 13 17 如图 当该船1时入港 17时出港 停留时间最长 为16小时 1 如图 是一向右传播的绳波 在某一时刻绳子各点的位置图 经过周期后 乙点的位置将传播至 a 甲 b 丙 c 丁 d 戊 解析 选c 由图像可知乙为最低点 丁点为相邻最高点因此经过周期后 乙点的位置将传播至丁 2 如图 单摆从某点开始来回摆动 离开平衡位置o的位移scm和时间ts的函数关系式为 那么单摆来回摆动一次所需时间为 a 2 s b s c 0 5s d 1s 解析 选d 因为函数的周期 所以单摆来回摆动一次所需时间为1s 3 由于电流强度i随时间t变化的函数关系式是i asin t 设 100 弧度 秒 a 5 安培 则电流强度i变化的周期是 当 秒 时 电流强度是 解析 秒 i 5sin100 t 安培 答案 秒 5安培 4 一半径为10的水轮 水轮的圆心距水面7 已知水轮每分钟旋转4圈 水轮上点p到水面距离y与时间x 秒 满足函数关系则a 解析 由已知得p点离水面的距离的最大值为17 a 10 又水轮每分钟旋转4圈 答案 10 5 弹簧挂着小球 做上下振动 如图所示 其规律为 这里s cm 表示时间t s 内小球离开平衡位置的位移 规定 当小球在平衡位置上方时