高中数学 251离散型随机变量的均值课件 苏教版选修23.ppt

2 5随机变量的均值和方差2 5 1离散型随机变量的均值 课标要求 1 通过实例理解离散型随机变量均值的概念 能计算简单离散型随机变量的均值 2 理解离散型随机变量均值的性质 3 掌握二点分布 二项分布的均值 核心扫描 1 离散型随机变量均值的概念 重点 2 理解离散型随机变量均值的性质 并求均值 难点 自学导引1 离散型随机变量的均值 数学期望 若离散型随机变量x的概率分布为则称e x 为随机变量x的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 x1p1 x2p2 xnpn 试一试如果x为随机变量 则y ax b也是随机变量 其中a b为常数 试用e x 表示出e y 提示若随机变量x满足pi p x xi i 1 2 n则e x x1p1 x2p2 xnpn 而对y ax b 也有yi axi b 则p y yi p x xi pi e y ax1 b p1 ax2 b p2 axn b pn a x1p1 x2p2 xnpn b p1 p2 pn ae x b np 想一想如何求随机变量的均值 提示写出随机变量x的分布列 由分布列求e x 如果随机变量服从两点分布 二项分布或超几何分布 可根据均值公式求解 名师点睛1 随机变量的均值 1 均值是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均 2 e x 是一个实数 由随机变量x的分布列唯一确定 即作为随机变量x是可变的 可取不同值 而e x 是不变的 它描述x取值的平均状态 3 e x x1p1 x2p2 xnpn 直接给出了e x 的求法 即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加 4 随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位 5 随机变量的均值与样本的平均值既有联系又有区别 随机变量的均值是一个常数 而样本的平均值是一个随机变量 它是变化的 它依赖于所抽取的样本 但随着样本容量的增加 样本的平均值越来越接近于总体均值 2 求随机变量均值的步骤 1 确定x的可能取值 2 计算出p x k 3 列出分布列 4 利用e x 的公式计算e x 题型一求离散型随机变量的均值 例1 某迷宫有三个通道 进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门 首次到达此门 系统会随机 即等可能 为你打开一个通道 若是1号通道 则需要1小时走出迷宫 若是2号 3号通道 则分别需要2小时 3小时返回智能门 再次到达智能门时 系统会随机打开一个你未到过的通道 直至走出迷宫为止 令x表示走出迷宫所需的时间 1 求x的分布列 2 求x的数学期望 思路探索 明确随机变量x的取值及实际意义 求分布列与期望 规律方法求离散型随机变量x的均值 先理解x的实际意义 写出x的全部取值 求出x的每个值的概率 列出分布列 利用公式求均值 数学期望 变式1 在甲 乙等6个单位参加的一次 唱读讲传 演出活动中 每个单位的节目集中安排在一起 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序 序号为1 2 6 求 1 甲 乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率 2 甲 乙两单位之间的演出单位个数x的分布列与均值 题型二特殊分布的均值 例2 投到某杂志的稿件 先由两位初审专家进行评审 若能通过两位初审专家的评审 则予以录用 若两位初审专家都未予通过 则不予录用 若恰能通过一位初审专家的评审 则再由第三位专家进行复审 若能通过复审专家的评审 则予以录用 否则不予录用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0 5 复审的稿件能通过评审的概率为0 3 各专家独立评审 1 求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率 2 记x表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数 求x的分布列及均值期望 期望e x 4 0 4 1 6 规律方法求均值的关键是求出分布列 若随机变量服从二项分布 超几何分布等特殊的分布 可直接套用公式求解 变式2 设在12个同类型的零件中有2个次品 抽取3次进行检验 每次抽取一个 并且取出不再放回 若以x和r分别表示取出次品和正品的个数 1 求x的分布列 数学期望值 2 求r的分布列 数学期望值 题型三随机变量均值的综合应用 例3 14分 随机抽取某厂的某种产品200件 经质检 其中有一等品126件 二等品50件 三等品20件 次品4件 已知每生产1件一 二 三等品获得的利润分别为6万元 2万元 1万元 而1件次品亏损2万元 设1件产品的利润 单位 万元 为x 1 求x的分布列 2 求1件产品的平均利润 即x的数学期望 3 经技术革新后 仍有四个等级的产品 但次品率降为了1 一等品率提高为70 如果此时要求1件产品的平均利润不小于4 73万元 则三等品率最多是多少 审题指导本题综合考查了古典概型求x取每一个值的概率 用公式求e x 及结合不等式求取值范围 解题流程 题后反思 解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件 求得该事件发生的概率 2 由e x1 e x2 得 p2 0 1p 1 3 1 18 整理得 p 0 4 p 0 3 0 解得 0 4 p 0 3 因为0 p 1 所以当e x1 e x2 时 p的取值范围是0 p 0 3 误区警示随机变量均值的性质应用不当出错 示例 已知随机变量x的概率分布为且y 3x 1 求e y 错解 因为e x 2 0 1 1 0 2 0 0 4 1 0 1 2 0 2 0 1 所以e y e 3x 1 3e x 0 3 若y ax b 则e y e ax