2012高考数学必考题型解答策略：立体几何（ 2013高考） .doc

立体几何解答策略命题趋势立体几何在数学高考中占有重要的地位，近几年高考对立体几何考察的重点与难点稳定（也是考生的基本得分点）：高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行的判断与性质、垂直的判断与性质作为考察的重点。新课标教材对立体几何要求虽有所降低，但考察的重点一直没有变，常常考察线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系和空间角与距离的计算。（1）从考题的数量看，一般为2-3题，其中一大一小的设置更符合课时比例；从所占分值来看，同一省份不同年份差异不大，不同省份略有差异。（2）文理科差异较大，文科以三视图、面积与体积、平行与垂直关系的判断与证明为主要的考查对象，三视图几乎每年必考（其实，三视图是考察学生空间想象能力的良好素材，大部分省份的情况是文、理同题，位置调整难度）。（3）理科在文科的基础上重点考查空间角的计算，由此可见“空间角的计算”受到的关注程度最高，与考纲要求吻合。解答题的命制特点是“一题两法”，各地标准答案都给出了向量解法。（4）在“空间角”的考查中，主要考查的是“二面角”，高于教材要求，但对线面角的考查也有加大的趋势。预测2012年高考的可能情况是： (1)以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表面积和体积的计算对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势，通过这个试题考查考生的空间想象能力；空间几何体的表面积和体积计算以三视图为基本载体，交汇考查三视图的知识和面积、体积计算，试题难度中等 (2)以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明，在解答题中的一部分考查使用空间向量方法求解空间的角和距离，以求解空间角为主，特别是二面角备考建议(1)空间几何体：该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法 (2)空间点、直线、平面的位置关系：该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法(3)空间向量与立体几何：由于有平面向量的基础，空间向量部分重点掌握好空间向量基本定理和共面向量定理，在此基础上把复习的重心放在如何把立体几何问题转化为空间向量问题的方法，并注重运算能力的训练解答策略立体几何解题过程中，常有明显的规律性 ，所以复习中必需对概念、定理、题型、方法进行总结、归类，进而建立知识框架和网络，弄清各概念之间的包含关系，理清定理的来龙去脉和相互转化的过程，从内涵和外延上区分容易混淆的各个概念、从条件、结论和使用范围上去区分容易混淆的各个定理。比如说，“中点”这个条件在题目中出现的频率相当高，这个现象背后肯定有规律！道理很简单，因为中点如果连到另一个中点，就会出现中位线，然后自然会出现平行关系了，如果出现在等腰（或等边）三角形的底边上，那就是出垂直了。所以中点联系到了平行和垂直两大位置关系，能够利用这些规律去解决问题，会使我们思路更加明确而避免走弯路。1位置关系：（1）两条异面直线相互垂直 证明方法：证明两条异面直线所成角为90；证明线面垂直，得到线线垂直；证明两条异面直线的方向量相互垂直。（2）直线和平面相互平行 证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。（3）直线和平面垂直 证明方法：证明直线和平面内两条相交直线都垂直，证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。（4）平面和平面相互垂直 证明方法：证明这两个平面所成二面角的平面角为90；证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；证明两个平面的法向量相互垂直。2求距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离 求法：利用公式法。（2）点到平面的距离 求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。向量法。 3求角 （1）两条异面直线所成的角 求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。（2）直线和平面所成的角 求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角，那么所要求的角为或。（3）平面与平面所成的角 求法：“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。向量法，先求两个平面的法向量所成的角为，那么这两个平面所成的二面角的平面角为或。典型例题考点一、空间几何体的结构、三视图、直观图例1：已知四棱锥的三视图如下图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.是侧棱上的动点（）求证：（）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （）若五点在同一球面上，求该球的体积. (1)证明：由已知2分,又因为， 4分(2)连ac交bd于点o，连po，由(1)知则，为与平面所成的角. 8分,则 10分 (3)解：以正方形为底面，为高补成长方体，此时对角线的长为球的直径，,. 【名师点睛】了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直观图。空间几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力，能通过观察几何体的模型和实物，总结出柱、锥、台、球等几何体的结构特征；能识别三视图所表示的空间几何体，会用材料制作模型，培养动手能力。考点二、空间几何体的表面积和体积例2：如题（20）图，在四面体中，平面abc平面， （）求四面体abcd的体积； （）求二面角c-ab-d的平面角的正切值。解法一：（i）如答（20）图1，过d作dfac垂足为f，故由平面abc平面acd，知df平面abc，即df是四面体abcd的面abc上的高，设g为边cd的中点，则由ac=ad，知agcd，从而由故四面体abcd的体积 （ii）如答（20）图1，过f作feab，垂足为e，连接de。由（i）知df平面abc。由三垂线定理知deab，故def为二面角cabd的平面角。 在 在中，ef/bc，从而ef：bc=af：ac，所以 在rtdef中， 解法二：（i）如答（20）图2，设o是ac的中点，过o作ohac，交ab于h，过o作omac，交ad于m，由平面abc平面acd，知ohom。因此以o为原点，以射线oh，oc，om分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系oxyz.已知ac=2，故点a，c的坐标分别为a（0，1，0），c（0，1，0）。 设点b的坐标为，有 即点b的坐标为 又设点d的坐标为有 即点d的坐标为从而acd边ac上的高为 又 故四面体abcd的体积 （ii）由（i）知 设非零向量是平面abd的法向量，则由有 （1）由，有 （2） 取，由（1），（2），可得 显然向量是平面abc的法向量，从而 即二面角cabd的平面角的正切值为【名师点睛】理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。考点三、点、线、面的位置关系例3：如图1，在空间四边形abcd中，点e、h分别是边ab、ad的中点，f、g分别是边bc、cd上的点，且，则（）（a）ef与gh互相平行（b）ef与gh异面（c）ef与gh的交点m可能在直线ac上，也可能不在直线ac上（d）ef与gh的交点m一定在直线ac上解：依题意，可得ehbd，fgbd，故ehfg，由公理2可知，e、f、g、h共面，因为ehbd，故ehfg，所以，efgh是梯形，ef与gh必相交，设交点为m，因为点m在ef上，故点m在平面acb上，同理，点m在平面acd上，即点m是平面acb与平面acd的交点，而ac是这两个平面的交线，由公理3可知，点m一定在 平面acb与平面acd的交线ac上。选（d）。【名师点睛】理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。通过大量图形的观察、实验，实现平面图形到立体图形的飞跃，培养空间想象能力。会用平面的基本性质证明共点、共线、共面的问题。考点四、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质例4：如图，在直四棱柱abcd-abcd中，底面abcd为等腰梯形，ab/cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e分别是棱ad、aa的中点. w.w.w.c.o.m （1） 设f是棱ab的中点,证明：直线ee/平面fcc；（2） 证明:平面d1ac平面bb1c1c.证明:（1）在直四棱柱abcd-abcd中，取a1b1的中点f1，连接a1d，c1f1，cf1，因为ab=4, cd=2,且ab/cd，所以cda1f1，a1f1cd为平行四边形，所以cf1/a1d，又因为e、e分别是棱ad、aa的中点，所以ee1/a1d，e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d 所以cf1/ee1，又因为平面fcc，平面fcc，所以直线ee/平面fcc.（2）连接ac,在直棱柱中，cc1平面abcd,ac平面abcd,所以cc1ac,因为底面abcd为等腰梯形，ab=4, bc=2, f是棱ab的中点,所以cf=cb=bf，bcf为正三角形，,acf为等腰三角形，且所以acbc, 又因为bc与cc1都在平面bb1c1c内且交于点c,所以ac平面bb1c1c,而平面d1ac,所以平面d1ac平面bb1c1c.【名师点睛】掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。考点五、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质例5：如图，在四棱锥中，平面pad平面abcd，ab=ad，bad=60，e、f分别是ap、ad的中点求证：（1）直线ef平面pcd；（2）平面bef平面pad解析：（1）因为e、f分别是ap、ad的中点，又直线ef平面pcd（2） f是ad的中点，又平面pad平面abcd，所以，平面bef平面pad。 【名师点睛】掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。通过线面垂直、面面垂直的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。考点六、空间中的夹角与距离例6：如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点e在侧棱上，点f在侧棱上，且.()求证：()求二面角的大小.解析：（1）由已知可得于是有所以又所以平面cef.由cef，故cf（2）在cef中，由（1）可得于是有所以cfef.又由（1）知，且，所以cf平面c1ef.又平面c1ef，故cfc1f.于是efc1即为二面角e-cf-c1的平面角.由（1）知cef是等腰直角三角形，所以efc1=450，即所求二面角e-cf-c1的大小为450.【名师点睛】空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0，90、0，90和0，180。（1）两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角（2）直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（）定义法；（）利用三垂线定理或逆定理；（）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos q ，其中s 为斜面面积，s为射影面积，q 为斜面与射影面所成的二面角空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。突破训练1、如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为平行四边形，（1）证明：;(2) 设求棱d-pbc锥的高.解：(1)证明：在三角形abd中，因为该三角形为直角三角形，所以,（2）如图，作，又，由题设知而,即所求高为2、如图3，在圆锥中，已知的直径的中点（i）证明：（ii）求直线和平面所成角的正弦值解析：（i）因为又内的两条相交直线，所以（ii）由（i）知，又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角在，在3、如图，四边形abcd为正方形，qa平面abcd，pdqa，qa=ab=pd。（i）证明：pq平面dcq；（ii）求棱锥q-abcd的体积与棱锥p-dcq的体积的比值。解析：（i）由条件知，pdaq是直角梯形，因为aq平面abcd,所以平面pdaq平面abcd,交线是ad。又四边形abcd是正方形，dcad,所以dc平面pdaq，可得pqdc。在直角梯形pdaq中可得dq=pq=pd，则pqqd.所以pq平面pcq.（ii）设ab=a。由题设知aq为棱锥q-abcd的高，所以棱锥q-abcd的体积。由（i）知pq为棱锥p-qcd的高，而pq=a，dcq的面积为a2，所以棱锥p-dcq的体积，故棱锥q-abcd的体积和棱锥p-dcq的体积的比值为1.4、如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为平行四边形,ad=ac=1,o为ac的中点,po平面abcd,po=2,为pd的中点.()证明pb平面;()证明ad平面pac;()求直线与平面abcd所成角的正切值.【解析】()证明:连接bd,mo.在平行四边形abcd中,因为o为ac的中点,所以o为bd的中点,又m为pd的中点,所以pbmo,因为pb平面,平面,所以pb平面.()证明:因为,ad=ac=1,所以adac,又po平面abcd,ad平面abcd,所以poad,而,所以ad平面pac.()取do点n,连接mn,an,因为m为pd的中点,所以mnpo,且mn=po=1,由po平面abcd,得mn平面abcd,所以是直线am与平面abcd所成的角.在中,ad=1,ao=,所以,从而.在中, ,即直线与平面abcd所成角的正切值为.5、如图，四棱锥的底面是正方形，点e在棱pb上（）求证：平面 （）当且e为pb的中点时，求ae与平面pdb所成的角的大小.【解1】（）四边形abcd是正方形，acbd，pdac，ac平面pdb，平面.（）设acbd=o，连接oe， 由（）知ac平面pdb于o，aeo为ae与平面pdb所的角， o，e分别为db、pb的中点，oe/pd，又， oe底面abcd，oeao， 在rtaoe中， ，即ae与平面pdb所成的角的大小为.【解法2】如图，以d为原点建立空间直角坐标系，设则，（），acdp，acdb，ac平面pdb，平面.（）当且e为pb的中点时，设acbd=o，连接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo为ae与平面pdb所的角，即ae与平面pdb所成的角的大小为.6、如图，在四棱锥中，平面，平分，为的中点，（1）证明：平面（2）证明：平面（3）求直线与平面所成角的正切值【解析】 证明：设，连结eh，在中，因为ad=cd，且db平分，所以h为ac的中点，又有题设，e为pc的中点，故,又,所以（2）证明：因为，所以由（1）知，,故(3)解：由可知，bh为bc在平面pbd内的射影，所以为直线与平面pbd所成的角。由,在中，,所以直线bc与平面pbd所成的角的正切值为。7、如图5，在椎体中，是边长为1的棱形，且,分别是的中点，（1） 证明：（2）求二面角的余弦值。【解析】8、如图，在三棱锥中，为的中点，平面，垂足落在线段上.（）证明：；（）已知，.求二面角的大小.【解析】：（） （）在平面内作得平面，所以，在中，得在中，在中，所以得，在中，得又从而故同理，因为所以即二面角的大小为9、如图，平面，分别为的中点（i）证明：平面；（ii）求与平面所成角的正弦值（）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面acd ，dc平面acd， 所以平面acd（）在中，所以 而dc平面abc，所以平面abc 而平面abe， 所以平面abe平面abc， 所以平面abe由（）知四边形dcqp是平行四边形，所以 所以平面abe， 所以直线ad在平面abe内的射影是ap， 所以直线ad与平面abe所成角是 在中， ，所以10、如图，正方形abcd所在平面与平面四边形abef所在平面互相垂直，abe是等腰直角三角形，ab=ae,fa=fe,aef=45.m（）求证：ef平面bce；（）设线段cd、ae的中点分别为p、m，求证：pm平面bce；（）求二面角f-bd-a的大小.解法一：（）因为平面所以因为为等腰直角三角形，,所以即因为, ,所以()取be的中点n，连结所以为平行四边形，所以因为在平面内，不在平面内，所以()由作交的延长线与则，作因此为二面角的平面角因此所以设 在rtbgh中gbh=,bg=ab+ag=1+=。在rtfgh中，故二面角f-bd-a的大小为.12分解法二：（）因为abe为等腰直角三角形，ab=ae，所以aeab,又因为平面abef平面abcd，ae平面abef平面abef 平面abcd= ab所以ae平面abcd所以aead因此，ad，ab，ae两两垂直，建立如图所示的直角坐标系.设ab=1，则ae=1，b（0，1，0），d（1，0，0），e（0，0，1），c（1，1，0）因为fa=fe，aef=,所以aef=.从而，f（0，）.所以efbe，efbc.因为be平面bce，bc平面bce，bcbe=b，所以ef平面bce4分（）m（0，0，）.p（1, ,0）.从而=（，）.于是所以pmfe，又ef平面bce，直线pm不在平面bce内，故pm平面bce.8分（）设平面bdf的一个法向量为，并设=（x，y，z）=(1，1，0)， 即去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）取平面abd的一个法向量为=（0，0，1）故二面角f-bd-a的大小为.12分11、如题（19）图，在四棱锥s-abcd中，adbc且adcd；平面csd平面abcd，cs ds，cs=2ad=2；e为bs的中点，ce=，as=求：（）点a到平面bcs的距离；（）二面角e-cd-a的大小。解：（）因为adbc，且bc平面bcs，所以ad平面bcs，从而a点到平面bcs的距离等于d点到平面bcs的距离。因为平面csd平面abcd，adcd，故ad平面csd，从而adds，由adbc，得bcds，又由csds，又由csds知ds平面bcs，从而ds为点a到平面bcs的距离。因此，在rtads中，（）如答（19）图1，过e点作egcd，交cd于点g，又过g点作ghcd，交ab于h，故egh为二面角e-cd-a的平面角，记为，过e点作efbc，交cs于点f，连结gf，因平面abcd平面csd，ghcd，易知ghgf，故由于e为bs边中点，故cf=中，fgcd，从而又可得cgfcsd，因此，而在csd中，cd=故 在，故所求二面角的大小为解法一：（）因为ad/bc,且所以从而a点到平面的距离等于d点到平面的距离。因为平面故,从而，由ad/bc，得,又由知，从而为点a到平面的距离，因此在中 ()如答（19）图1，过e电作交于点g，又过g点作,交ab于h，故为二面角的平面角，记为，过e点作ef/bc,交于点f,连结gf,因平面,故.由于e为bs边中点，故,在中，,因，又故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得因此而在中，在中，可得，故所求二面角的大小为解法二：（）如答（19）图2，以s(o)为坐标原点，射线od,oc分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面即点a在xoz平面上，因此又因ad/bc，故bc平面csd，即bcs与平面yox重合，从而点a到平面bcs的距离为.()易知c(0,2,0)，d(,0,0). 因e为bs的中点.bcs为直角三角形 ,知 设b(0,2, )，0，则2，故b（0，2，2），所以e（0，1，1） .在cd上取点g，设g（），使gecd .由故 又点g在直线cd上，即，由=（），则有联立、，解得g,故=.又由adcd，所以二面角ecda的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .因为=，,所以 故所求的二面角的大小为 .12、如图，在五面体abcdef中，fa 平面abcd, ad/bc/fe，abad，m为ec的中点，af=ab=bc=fe=ad (i) 求异面直线bf与de所成的角的大小；(ii) 证明平面amd平面cde；（iii）求二面角a-cd-e的余弦值【解析】 方法一（1）解：有题设知，,所以（或其补角）为异面直线所成的角.设p为ad的中点，连结ep,pc,因为fe/ap, fe=ap,同理ab/pc,ab=pc,又，所以，而pc,ad，都在平面abcd内，故,由设fa=a，则ep=pc=pd=a，cd=de=ec=，故=，所以异面直线bf与de所成的角为。（2）证明：因为dc=de，且m为ce的中点，所以，连结mp，则又因为mpdm=m,故,而，所以平面(3)解：设q为cd的中点，连结pq,eq，因为ce=de,所以,因为pc=pd，所以，故为二面角a-cd-e的平面角。由（1）可得，于是在中， ,所以二面角a-cd-e的余弦值为。13、如图，四棱锥s-abcd 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，p为侧棱sd上的点。 （）求证：acsd；（）若sd平面pac，求二