毕业设计（论文）-基于Matlab的FIR低通滤波器设计.doc

本科毕业设计本科毕业设计 论文论文 2012 届 论文题目论文题目 基于 Matlab的FIR低通滤波器设计 英文 Design of FIR Low pass Digital Filter Based on Matlab 所在学院 电子信息学院 专业班级 学生姓名 指导教师 指导教师 职称 完成日期 年 月 日 基于基于 Matlab 的的 FIR 低通滤波器设计低通滤波器设计 黄丽王 浙江万里学院电信学院电子 082 班 2012 年 4 月 摘摘 要要 FIR数字滤波器是数字信号处理的一个重要组成部分 由于FIR数字滤波器具有 严格的线性相位 因此在信息的采集和处理过程中得到了广泛的应用 本文介绍了 FIR数字滤波器的概念和线性相位的条件 分析了窗函数法 频率采样法和等波纹逼 近法设计FIR滤波器的思路和流程 在分析三种设计方法原理的基础上 借助Matlab 仿真软件工具箱中的fir1 fir2和remez子函数分别实现窗函数法 频率采样法和等波 纹逼近法设计FIR滤波器 仿真结果表明 在相频特性上 三种方法设计的FIR滤波 器在通带内都具有线性相位 在幅频特性上 相比窗函数法和频率采样法 等波纹 逼近法设计FIR滤波器的边界频率精确 通带和阻带衰减控制 关键词 关键词 FIR数字滤波器 窗函数法 频率采样法 等波纹逼近法 Matlab Abstract In a digital signal there will be some interference signal which system does not needed often So we need to use digital filtert to filter the signal to extract the useful signal FIR digital filter is an important component of digital filter As the FIR digital filter s linear phase response is required it have been widely used in information collection and processing This paper introduced the concept of FIR digital filters and the general idea of the design Introducting and compareding the advantages and disadvantages of three kinds of the FIR filter design method and respectively design filter using the window function method the frequency sampling method and wave approximation method Especially in digital signal processing Matlab is widly used which can design requirements It is Intuitive and simple so that greatly reduce the workload This article is designed by Matlab function and simulated by Matlab software to make the tedious step in the calculation simplify It also drawed the amplitude frequency characteristic curve relatly Finally the original signal and filtered signal are contrasted and analied Key Words FIR digital filters Window function Frequency sampling Equiripple approximation method Matlab 目目 录录 1 引言 1 2 FIR 数字滤波器线性相位条件 2 2 1 FIR 数字滤波器概述 2 2 2 FIR 数字滤波器线性相位定义 3 2 3 FIR 数字滤波器线性相位时域约束条件 3 3 FIR 数字滤波器设计方法 5 3 1 FIR 数字滤波器的窗函数设计法 5 3 1 1 窗函数设计法的设计思路 5 3 1 2 吉布斯效应 7 3 1 3 常见窗函数介绍 7 3 2 FIR 数字滤波器的频率采样设计法 10 3 2 1 频率采样法的基本思路 10 3 2 2 频率采样法的设计步骤 11 3 3 FIR 数字滤波器的等波纹逼近设计法 13 3 4 不同设计方法的比较 16 4 基于 Matlab 的 FIR 数字滤波器设计 17 4 1 Matlab 简介 17 4 2 窗函数法的 Matlab 实现 18 4 2 1 fir1 函数介绍 18 4 2 2 基于 fir1 函数的窗函数法 FIR 滤波器设计 18 4 3 频率采样法的 Matlab 实现 21 4 4 等波纹逼近法的 Matlab 实现 22 5 结论 24 致谢 25 参考文献 26 浙江万里学院本科毕业论文 1 1 引言引言 随着信息科学和计算机技术的不断发展 数字信号处理 DSP Digital Signal Processing 的理论和技术也得到了飞速的发展 并逐渐成为一门重要的学科 它 的重要性在日常通信 图像处理 遥感 声纳 生物医学 地震 消费电子 国 防军事 医疗方面等显得尤为突出 在我们面临的信息革命中 数字信号处理几 乎涉及了所有的工程技术领域 1 数字信号处理是一种将信号以数字形式进行处理的一种理论和技术 它的目 的是将真实世界中的一些信号进行分析并滤波 最后得出其中的有用的信号 数 字滤波器是数字信号处理的一种 一般根据单位脉冲响应h n 分为无限脉冲响应 IIR 和有限脉冲响应 FIR 系统 IIR数字滤波器的设计方法简单 特别是采用双线 性变换法来设计的数字滤波器不存在频域混叠的现象 但是IIR滤波器存在一个较 为明显的缺憾 就是它的相位响应一般都是非线性的 而在传输频带内的相位响 应如果不是线性的 就会造成有用信号的传输失真 而FIR数字滤波器不仅可以设 计成任意的幅度响应 而且可以设计成在通频带内具有良好的线性相位响应 FIR 数字滤波器的单位脉冲响应h n 有限长 所以FIR数字滤波器是稳定的 不存在稳 定性的问题 且可以通过快速傅里叶变换 FFT 的算法来实现信号滤波 大大的提 高的运算效率 因此 FIR数字滤波器日益引起了人们的关注 FIR数字滤波器的设计方法有很多 比较常用的有窗函数设计法 频率采样设 计法 等波纹逼近法等 本课题通过运用窗函数设计法 频率采样设计法和等波 纹逼近法来设计FIR数字低通滤波器 并实现对给定的信号进行滤波比较 其中窗 函数设计法是最基本的数字滤波方法 是利用傅里叶反变换 IDTFT 计算给定的频 响的理想单位脉冲响应 再加以窗函数进行截断和平滑 等波纹逼近法又称切比 雪夫逼近法 是一种最小化最大误差的频域逼近方法 2 Matlab软件的信号处理 工具箱提供了FIR数字滤波器设计的子函数 运用Matlab软件设计可以避免繁杂的 数学运算 而且具有丰富的绘图功能 可以方便地查看所设计的数字滤波器的幅 度响应和相位响应是否满足设计要求 因此 本课题在理论分析各种FIR数字滤波 器设计方法的基础上 运用Matlab软件进行仿真分析 浙江万里学院本科毕业论文 2 2 FIR 数字滤波器线性相位条件数字滤波器线性相位条件 2 1 FIR 数字滤波器概述 一般来说一个经典的数字滤波器是一个线性时不变系统 其数学模型可以用 Z域系统函数来表示 H z 2 1 1 0 1 1 N r r r M k k k b z H z a z 其中均为滤波器参数 kr a b N M 在 2 1 中 当值不全为零值时 Z域系统函数的必定含有一个或一 k a H z 个以上的极值点 此时单位脉冲响应为无限长 对于一个稳定的数字滤波器来 说 Z域系统函数必须在单位圆内 因而把含有极值点的Z域系统函数 H z 的数字滤波器称为无限脉冲响应数字滤波器 Infinite Impulse Response 即 H z IIR数字滤波器 而当值全为零时 Z域的系统函数只有一个零点 2 1 表示的系统 k a H z 函数可以写成 H z 2 2 1 0 N r r r H zb z 公式 2 2 表明 FIR滤波器的系统函数是的阶多项式 在有限 1 z 1 N 平面上有个零点 而在 平面原点处有阶极点 z 0 n 1 N zz 0 1 N 2 2 式表示的系统 其单位脉冲响应可以表示为 2 3 1 0 N r r h ny nbnr 在 2 3 中 只有当 才有非零值 所以数字滤波器的脉01nN h n 冲响应是有限长的 因此在数字信号处理中把这种数字滤波器称为有限脉冲响应 浙江万里学院本科毕业论文 3 数字滤波器 Finite Impulese Response 即FIR数字滤波器 FIR数字滤波器最突出的两个优点是 1 只要对附加一定的条件 就很容易获得严格的线性相位 h n 2 由于的极点位于原点处 所以FIR数字滤波器不存在稳定性问 H zz 0 题 2 2 FIR 数字滤波器线性相位定义 设FIR数字滤波器脉冲响应的长度为N 则其频率响应可以表示为 2 4 1 0 N jj n n H eh n e 上式通过欧拉恒等式展开可得到的相位特性 有两种线性相位特 j H e 性 通常称为第一类线性相位和第二类线性相位 第一类线性相位特性 是一个与无关的常数 第二类线性相位特性 是起始相位 0 0 严格地说第二种情况时的是不具有线性相位特性的 但上述两种情况都 满足群延迟是一个常数 仍可以视为具有线性相位的 在第二类线性相位中 是常用的一种情况 0 2 2 3 FIR 数字滤波器线性相位时域约束条件 对于第一类线性相位 即 通过一系列的运算整理之后可得到一 个三角函数求和公式 2 5 1 0 sin 0 N n h nn 浙江万里学院本科毕业论文 4 式中正弦函数为奇对称 当时 对称中心为 sin h nn 1 2N 需要满足关于偶对称 即要求 n 1 2N h n 1 2N 2 6 1 h nh Nn 10 Nn 对于第二类线性相位 即时 通过运算得到公式 2 2 7 1 0 cos 0 N n h nn 函数为偶对称 当时 对称中心也为 cos h nn 1 2N 若要使上式成立 则要使关于奇对称 即要求 1 2nN h n 1 2N 2 8 1 h nh Nn 10 Nn 从上述分析看来 线性相位FIR数字滤波器的时域约束条件是指满足线性相位 时对的约束条件 对于第一类线性相位 冲激响应h n 满足 2 6 式 对于 h n 第二类线性相位 冲激响应h n 满足 2 8 式 3 5 浙江万里学院本科毕业论文 5 3 FIR 数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法 FIR 数字滤波器的设计方法主要有窗函数设计法 频率采样设计法以及等波 纹逼近设计法三种 其中窗函数设计法是最常用的 其次是频率采样法 但这两 种方法在设计中还会存在一些不足之处 所以需要优化的设计方法 而等波纹逼 近法很好的弥补了窗函数法和频率采样法的不足 6 7 3 1 FIR 数字滤波器的窗函数设计法 3 1 1 窗函数设计法的设计思路 窗函数设计法是FIR数字滤波器里最简单的一种设计法 又叫傅里叶级数法 为了设计简单方便 通常选择所希望逼近的滤波器的频率响应函数为具 j d He 有片段常数特性的理想滤波器 寻找一组 确定其频率响应 h n 然后用来逼近 1 窗函数法设计FIR滤波器 1 0 N jj n n H eh n e j H e j d He 是在时域中进行的 那么可以通过傅里叶反变换得到得到频率响应 j d He 即 3 1 1 2 jjn dd HnHeed 在实际中 一般是处于逐段恒定的 在边界频率处有不连续点 因 j d He 而单位脉冲响应是无限长的非因果序列 不能直接作为FIR数字滤波器的单 d h n 位脉冲响应 因此需要对进行阶段 转换为有限长的一段因果序列 也就是 d h n 用一个有限长度的窗函数序列来截取 即 并将非因 n d h n d h nnh n 果序列转变为一个因果序列 截取的长度和加权窗函数的形状都直接影响到逼近 精度 窗函数法设计FIR滤波器过程如图3 1所示 浙江万里学院本科毕业论文 6 加窗 计算 开始 正确逼近理想滤波器频率响应函数 j d He 求理想滤波器的单位脉冲响应 d h n j H e 选择窗函数w n 和窗长度N d h nh nn 是否满足要求 j H e 计算h n 或H z 结束 是 否 图3 1 窗函数法设计FIR滤波器流程 以截止频率为 相位为零的理想低通滤波器为例 其频率特性为 c 3 2 1 0 cj d c He 通过傅里叶反变换得到对应的为 d h n 3 3 sin c d n h n n 此时的是一个无限长的非因果序列 我们需要对其进行截断 变成一个 d h n 有限长的因果序列 可以先把向右平移个点 得到为 d h n 1 2aN d hn 3 4 1 sin 2 1 2 c dd N n hnh na N n 相应的传输函数为 j d He 浙江万里学院本科毕业论文 7 3 5 jjj aj a ddd Heh eeHe 然后对截取从0到的N个点 N为窗函数的长度 所得的结果 d hn1N 表示为 h n 3 6 d h nnhn 表示窗函数 一般用下标来表示窗函数的类型 矩形窗记为 n R n 3 1 2 吉布斯效应 用窗函数对进行直接截断 得到有限长序列 并以代 d hn h n h n 替 肯定会引起误差 表现在频域就是通常所说的吉布斯 Gibbs 效应 对于 d h n 一个在有限区间分布的信号 其连续频谱在频域上分布往往是无限的 而在实际 信号处理时 我们通常只能在有限的区间内做傅里叶分析 也就是说 我们只能 用有限区间来代替理论分析中的无限区间 多数情况下 我们总是选择信号的低 频部分 而舍弃高频部分 而信号的高频部分往往是反应信号快速变化特征 如 果信号本身是连续的 这样做一般不会引起信号的显著变化 但实际中的信号往 往是比较丰富的 特别是信号本身存在剧烈变化的 这样做必定会引起一些误 差 该误差引起过渡带加宽以及通带和阻带内的波动 8 为了减小吉布斯效应带 来的影响 需要调整窗口的长度来控制过渡带的宽度 但要减小带内的波动以及 增大阻带衰减 还需要从窗函数的形状上寻找解决方法 为了减少序列因截断而产生的Gibbs效应 窗函数在设计时需要注意 1 频率特性的主瓣要尽可能的窄 并且尽量把能量都集在主瓣内 2 窗函数频率特性的旁瓣趋于的过程中 其能量迅速减小为零 3 1 3 常见窗函数介绍 常见的窗函数有矩形窗 Rectangle Window 三角形窗 Bartlerr Window 汉宁 Hanning 窗 升余弦窗 哈明 Hamming 窗 改进的 升余弦窗 布莱克曼 Blackman 窗 凯塞 贝塞尔窗 Kaiser Basel Window 浙江万里学院本科毕业论文 8 矩形窗的窗函数为 3 7 1 1 2 0 otherwise R N n n 其频谱的幅度函数为 3 8 sin 2 sin 2 g R N W 矩形窗的主瓣宽度为 用矩形窗设计的FIR数字滤波器的过渡带宽度近4 n 似为 1 8 N 三角形窗的窗函数为 3 9 21 0n 1 12 21 2 1 1 12 B n N N n n NnN N 其频谱的幅度函数为 3 10 2 2sin 4 sin 2 g B N W N 三角窗的主瓣宽度为 8 n 汉宁窗窗函数为 3 11 2 0 50 5cos 0 1 0 H n nN nN otherwise 汉宁窗的频谱的幅度函数为 3 12 22 0 5 0 25 11 HRRR WWWW NN 汉宁窗的主瓣宽度为 汉宁窗在其两个端点都为零 实际中这两个端8 n 点的数据是不可用的 哈明窗的窗函数为 浙江万里学院本科毕业论文 9 3 13 2 0 540 46cos 0 1 0 H n nN nN otherwise 其幅度函数为 3 14 22 0 54 0 23 11 HRRR WWWW NN 哈明窗是一种改进的余弦窗 能量更加集中在主瓣 是一种高效的窗函数 主瓣宽度与汉宁窗的相同 布莱克曼窗窗函数为 3 15 241 0 420 5cos0 8cos 112 0 B nnN n nNN otherwise 其频谱的幅度函数为 3 16 22 0 42 0 25 11 44 0 04 11 BRRR RR WWWW NN WW NN 该窗函数位移不同 幅度函数也不同 会使旁瓣进一步抵消 主瓣宽度为 12 N 凯塞窗是一种最优窗函数 不同于前面五种窗函数 凯塞窗是一种参数可调 的窗函数 其函数形式如下 3 17 01 o K o I nnN I 其中 3 18 2 2 1 1 1 n N 2 1 1 1 2 k o k I k 一般取15 25项可以满足精度要求 参数可以控制窗的形状 一般 o I 越大 主瓣越宽 而旁瓣幅度会随之减小 典型的数据在4到9之间 各种窗函数的性能比较如表3 1所示 表3 1 不同窗函数性能比较 浙江万里学院本科毕业论文 10 窗函数类型旁瓣峰值 dB 阻带最小衰减 dB 过渡带宽度 P N 矩形窗13214 三角窗25258 汉宁窗31448 续表3 1 哈明窗41538 布莱克曼窗577412 凯塞窗 5 6 51607 442 虽然窗函数设计法设计思路简单 但是它的边界频率不容易控制 而且窗函 数还有吉布斯效应 需要选择不同的窗函数来减小吉布斯效应对结果的影响 但 无论哪种窗函数 都无法很好的解决这一问题 所以我们需要通过其他的设计方 法来进行滤波 便于满足实际工程中的不同要求 3 2 FIR 数字滤波器的频率采样设计法 3 2 1 频率采样法的基本思路 窗函数设计法是从时域出发来设计FIR数字滤波器的 而频率采样法是从频域 出发设计FIR数字滤波器的 和窗函数设计法相同 频率采样法也需要预先构造一 个希望逼近的滤波器频率响应函数 对其加以等间隔采样后 作为FIR数 j d He 字滤波器的频率响应 对在到之间等间隔采样点 得到频率采 j d He 0 2 N 样值 d Hk 3 19 2 0 1 2 1 j dd k N HkHekN 再对进行点IDFT 得到 d HkN h n 3 20 1 0 1 0 1 2 1 N kn dN k h nHk WnN N 将作为所涉及的FIR数字滤波器的单位脉冲响应 其系统函数为为 h n H z 浙江万里学院本科毕业论文 11 3 21 1 0 N n n H zh n z 由于滤波器频率响应是理想的 即有间断点 那么其单位冲 j d He j d He 激响应是无限长的 这样 由于时域混叠 引起所设计的h n 和有偏 nhd nhd 差 因此 采样点处与相等 逼近误差为0 而在采样 2 k j k H ek N H k 点之间 由有限项的之和形成 其误差和特性 j H e 2 H kk N j d He 的平滑程度有关 特性愈平滑误差愈小 特性曲线间断点处 误差越大 误差表 现形式为间断点用倾斜线取代 且间断点附近形成振荡特性 使阻带衰减减小 往往不能满足实际工程中的技术要求 当然 增大N值 可以减小逼近误差 但 间断点附近误差仍然最大 且N太大会增加滤波器级数与成本 提高阻带衰减最 有效的方法是在频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点 使不连续点变 成缓慢过渡 过渡带采样点个数与阻带最小衰减的关系以及使阻带最小衰减最大化的 s s 每个过渡带采样值求解都要用优化算法解决 其基本思路是将过渡带采样值设为 一个自由量 用一种优化算法改变它们 最终使阻带最小衰减最大 将过渡带 s 采样点的个数m与滤波器阻带最小衰减的经验数据列于表3 2中 我们可以根据 s 给定的阻带最小衰减 选择过渡带采样点的个数m s 表3 2 过渡带采样点的个数m与滤波器阻带最小衰减的经验数据 s m123 s 44 54dB65 75dB85 95dB 3 2 2 频率采样法的设计步骤 首先根据阻带最小衰减按照表3 2选择过渡带采样点的个数 再确定过 s m 渡带宽度 估算频域采样点数 如果增加个过渡带采样点 则过渡带宽度 t BNm 浙江万里学院本科毕业论文 12 近似变成 当确定时 过渡带会随着的增大而变宽 如果给定 1 2 mN Nm 的过渡带宽度为 则要求 滤波器的长度必须满足以下公 t B 1 2 t mNB N 式 3 22 2 1 t Nm B 接着 构造一个希望逼近的频率响应函数 3 23 1 2 jjN ddg HeHe 设计标准型片段常数特性的FIR数字滤波器时 一般构造幅度特性函数 为相应的理想频响特性 且满足的对称情况 dg H h n 对 3 23 进行频域采样 3 24 1 2 0 1 2 1 N jk j N dg k N H kHeHk ekN 3 25 2 k 0 1 2 N 1 gdg HkHk N 并加入过渡带采样 过渡带采样值一般为经验值 或者用累试法确定 也可 以采用优化算法估算 对进行点IDFT 得到第一类线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响 H kN 应 3 26 1 0 1 n 0 1 2 N 1 N kn N k h nIDFT H kH k W N 浙江万里学院本科毕业论文 13 求出 开始 确定所逼近的 估算采样点数N与过渡带采样点数m j d He 采样 2 1 2 1 jk N dd HkHekN 插入过渡带采样点数 0 1 2 1 d h nIDFT HknN 求出 j H eFFT h n 是否满足要求 j H e 输出设计结果 或 h n H z 结束 增加过渡带采样点数 改变N的值 是 否 图3 2 频率采样法设计FIR滤波器流程 最后检验设计结果 如果阻带最小衰减未达到指标要求 则要改变过渡带的 采样值 直到满足指标要求为止 如果滤波器的边界频率未达到指标要求 则需 要微调的边界频率 频率采样法设计FIR滤波器流程如图3 2所示 dg H 频率采样法最大的优点就是直接从频率进行设计 比较直观 也适合于设计 具有任意幅度特性的滤波器 但是频率采样法在边界频率不容易控制 如果采样 点数N增加 对确定边界频率有好处 但同样会增加了滤波器的成本 因此只适 合窄带滤波 且这种设计方法理解起来比较困难 3 3 FIR 数字滤波器的等波纹逼近设计法 窗函数设计法和频率采样设计法虽然设计方法简单 但都存在滤波器边缘频 率不易精确控制缺点 且这两种设计方法设计出来的滤波器的通带和阻带的波动 浙江万里学院本科毕业论文 14 幅度都是相等的 两种设计方法都不能分别控制通带和阻带的波动幅度 而现实 工程中往往对二者都有不同的要求 需要分别进行控制 等波纹逼近法是一种优化设计方法 它克服了窗函数设计法和频率采样法的 缺陷 是最大误差最小化设计方法 并在整个逼近频段上均匀分布 设为希望逼近的幅度特性函数 且要求设计线性相位的FIR数字滤波器 d H 时 必须满足线性相位约束条件 用表示实际设计的幅度特性函 d H g H 数 定义加权误差函数为 E 3 27 dg EWHH 式中 被称为误差加权函数 是由设计者定义的 用来控制不同 0W 频段的逼近精度 经过推导可把统一标示为 g H Q P g H 式中 是系数不同的余弦组合式 记 P n nnaP cos 是不同的常数 在设计FIR滤波器时存在四种线性相位 当Q 且奇对称时 N为奇数 为1 N为偶数时 为 1 h nh Nn Q Q 而当偶对称时 不管N为奇数还是偶数 都取cos 2 1 h nh Nn Q sin 浙江万里学院本科毕业论文 15 开始 设定加权函数 及通带波纹峰值 E E P 设定初始频率 计算 并求出 的新极值点 多于 个极值 选 个 最大极值点 得到最优化的 个极值 计算 的系数 结束 是 否 否 是 1N 1N 1N 极值点位置是否改变 图3 3 remez算法搜索最佳频率点流程 等波纹逼近的问题就是选择N个系数a n 使加权误差的最大值最小 E 设定误差加权函数 通带波纹峰值 及N 1个初始频率 i i 0 1 2 N 计算各 个频率点上的加权误差函数值 如果这些加权误差函数值小于等于给定的通带波 纹峰值 则为最佳频率点 如果某个频率点上的加权误差函数值大于给定的通带 波纹峰值 就用Remez算法更新迭代查找最佳频率点 找到最佳频率点后 计算 系数及 Remez算法搜索最佳频率点流程如图3 3所示 P P 借助Remez算法来设计等波纹的FIR数字滤波器的步骤如下 给出所需的频率响应 误差加权函数和单位脉冲响应的长 d H W h n 度N 根据具体情况 进行统一表达式的转换 设定初始频率点和通带波 g H 纹值 采用Remez算法计算最佳频率点组 由最佳频率点组计算及系 P P 数 根据求出的的表达式再利用傅里叶逆变换求得滤波器的单位脉冲响应 P 浙江万里学院本科毕业论文 16 用等波纹逼近法设计线性相位FIR滤波器的流程如图3 4所示 h n 输入滤波器技术要 求 设定误差加权函数 及通带波纹峰值 d N H 给出N 1个交错点组频率初 始值 0 1 2 i iN 调用remez算法程序求解 最佳极值频率 计算 P 计算单位脉冲响应 h n 输出最佳误差和 h n 图3 4 等波纹逼近法设计FIR滤波器流程 利用等波纹逼近法设计FIR滤波器 其误差均匀分布在频带中 可以得优良的 滤波特性 它在同样过渡带较窄的情况下 通带最稳定 阻带有最大化的最小衰 减 3 4 不同设计方法的比较 窗函数设计法是这三种设计法里操作最简单的 但是窗函数的设计阶数相对 其他两种更多 如果降低了设计的阶数 则最后得到的设计结果往往不能达到实 际设计的要求和指标 除矩形窗之外 其他窗可以满足一般的设计指标 但在要 求精度较高的时候 窗函数设计往往不能很好的达到要求 频率采样法设计滤波器相对于窗函数 其阶数稍微比窗函数要少 但要通过 优化过渡带的采样点取值来控制阻带的波纹幅度 所以并不能很好的满足工程中 的要求 而等波纹逼近法是这三种方法中阶数最少的 且通带最大衰减是最小的 阻 带衰减最大 浙江万里学院本科毕业论文 17 4 基于基于 Matlab 的的 FIR 数字滤波器设计数字滤波器设计 4 1 Matlab 简介 Matlab 是 MATrix LABoratory 矩阵实验室 的缩写 是由美国 MathWorks 公司开发的集数值计算 符号计算和图形可视化三大基本功能于一体 的 功能强大 操作简单的语言 Matlab 是国际公认的优秀数学应用软件之一 它集中了日常数学处理中的各种功能 包括高校的数值计算 矩阵运算 信号处 理和图像生成等功能 在 Matlab 环境下 用户可以进行程序设计 数值计算 图 形绘制 输入输出 文件管理等各项操作 除此之外 Matlab 易于扩充 除内部 函数外 所有 Matlab 的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件 用户可修 改源文件和加入自己的文件 它们可以与库函数一样被调用 9 Matlab是一种矩形运算为基础的交互式程序语言 着重针对科学计算 工程 计算和绘画的需求 与其他机器语言相比 其特点是简单和智能化 适应科技专 业人员的思维方式和书写习惯 使得编程和调试效率大大提高 Matlab由一系列工具组成 这些工具方便用户使用 Matlab的函数和文 件 其中许多工具采用的是图形用户界面 包括 Matlab桌面 命令窗口 历 史命令窗口 编辑器和调试器 路径搜索和用于用户浏览帮助 工作空间 文件的浏览器 随着 Matlab的商业化以及软件本身的不断升级 Matlab的用 户界面也越来越精致 更加接近 Windows的标准界面 人机交互性更强 操作 更简单 Matlab自产生之日起就具有方便的数据可视化功能 将向量和矩阵用 图形表现出来 并且可以对图形进行标注和打印 高层次的作图包括二维和 三维的可视化 图象处理 动画和表达式作图 可用于科学计算和工程绘图 Matlab 具有功能强大的工具箱 工具箱可分为两类 功能性工具箱和学科性 工具箱 功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能 图示建模仿真功能 文字 处理功能以及与硬件实时交互的功能 而学科性工具箱是专业性比较强的 如优 化工具箱 统计工具箱 控制工具箱 小波工具箱 图象处理工具箱 通信工具 箱等 浙江万里学院本科毕业论文 18 4 2 窗函数法的 Matlab 实现 Matlab 信号处理工具箱提供了基于加窗的线性相位 FIR 滤波器设计函数 fir1 4 2 1 fir1 函数介绍 fir1 调用格式为 b fir1 n Wc ftype window 函数参数说明如下 1 n 表示滤波器的阶数 2 Wc 为滤波器的归一化截止频率 它是一个大于 0 小于 1 的一个数 3 ftype 表示所设计滤波器的类型 如果 ftype high 则表示高通滤波器 如 果 ftype stop 则表示带阻滤波器 如果此时没有参数 就表示低通滤波器 4 window 表示的是指定的窗函数 如矩形窗为 rectwin n 三角窗为 bartlett n 如果缺省 window 参数 则 fir1 默认为是哈明窗 hamming n 4 2 2 基于 fir1 函数的窗函数法 FIR 滤波器设计 下面给出利用 fir1 函数的窗函数法数字低通滤波器 利用 fir1 函数进行设计 这种设计方法只需要给出滤波器的阶数 截止频率 窗函数等参数 Matlab 即可 自行完成设计 并可通过 freqz 函数查看滤波器的幅频响应和相频响应 以验证滤 波器是否满足设计要求 设计程序如下 n 27 设滤器的阶数为 27 Wn 0 2 归一化截止频率为 0 2 window rectwin 28 矩形窗 b fir1 n Wn window freqz b 运行结果如图 4 1 所示 从幅频响应上看 通带波动约为 1dB 且带内有过冲现象 0 2 截止频率处的 衰减为 6 5dB 即截止频率发生了漂移 3dB 截止频率为 0 182 阻带波纹较大 因而阻带特性较不理想 阻带最小衰减约为 21dB 相频响应曲线在通带内为直线 浙江万里学院本科毕业论文 19 效果较好 信号失真小 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 600 400 200 0 Normalized Frequency rad sample Phase degrees 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 100 50 0 50 Normalized Frequency rad sample Magnitude dB 图 4 1 矩形窗 FIR 滤波器幅频和相频特性曲线 利用三角窗进行设计时 原理与矩形窗基本相同 只不过生成窗函数时采用 triang n 函数生成三角窗 程序运行结果如图 4 2 所示 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 2500 2000 1500 1000 500 0 Normalized Frequency rad sample Phase degrees 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 100 50 0 50 Normalized Frequency rad sample Magnitude dB 图 4 2 三角窗设计的 FIR 滤波器幅频和相频特性曲线 从幅频响应上看 通带平坦没有波动 阻带最小衰减约为 25dB 相频响 应曲线在整个频率范围内为直线 满足线性相位要求 利用哈明窗进行设计时 原理与矩形窗相同 只不过生成窗函数时采用 浙江万里学院本科毕业论文 20 hamming n 函数生成三角窗 程序运行结果如下 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 800 600 400 200 0 Normalized Frequency rad sample Phase degrees 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 150 100 50 0 50 Normalized Frequency rad sample Magnitude dB 图 4 3 哈明窗设计的 FIR 滤波器幅频和相频特性曲线 利用布莱克曼窗进行设计时 原理与矩形窗基本相同 只不过生成窗函数 时采用 blackman n 函数生成布莱克曼窗 程序运行结果如下 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 1500 1000 500 0 Normalized Frequency rad sample Phase degrees 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 200 150 100 50 0 Normalized Frequency rad sample Magnitude dB 图 4 4 布莱克曼窗设计的 FIR 滤波器幅频和相频特性曲线 利用凯塞窗进行设计时 原理与矩形窗基本相同 只不过生成窗函数时采用 kaiser n beta 函数生成凯塞窗 程序运行结果 浙江万里学院本科毕业论文 21 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 800 600 400 200 0 Normalized Frequency rad sample Phase degrees 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 150 100 50 0 50 Normalized Frequency rad sample Magnitude dB 图 4 5 凯塞窗设计的 FIR 滤波器幅频和相频特性曲线 4 3 频率采样法的 Matlab 实现 频率采样法设计FIR滤波器流程如图3 2所示 因此利用Matlab软件设计FIR滤 波器时 可以根据3 2的流程编写程序实现 但Matlab软件工具箱提供了fir2子函 数 可以利用fir2子函数快速方便地设计FIR滤波器 避免了繁杂的数学运算 fir2 子函数调用格式为 b fir2 n F A 函数参数说明如下 1 n 表示滤波器的阶数 2 F 为滤波器的归一化频率点 在 0 1 范围内取值 1 表示实际频率为 fs 2 3 A 为频率响应幅度 参数F和A共同描述了预先设定的理想滤波器的频率响应 可以借助plot函数 画图观察幅频特性曲线 下面用频率采样法设计一个通带截止频率为0 2 的FIR数字低通滤波器 设滤 波器阶数n 27 编写程序 n 27 设滤器的阶数为33 F 0 0 2 0 3 1 理想滤波器的频率响应 A 1 0 707 0 0 b fir2 n F A 浙江万里学院本科毕业论文 22 freqz b 经过运算得FIR滤波器的幅频特性如图4 6所示 图4 6 频率采样法设计的FIR低通滤波器的幅频和相频特性曲线 从4 6幅频特性曲线可知 0 2 截止频率处的衰减为4 7dB 即截止频率发生 了漂移 3dB截止频率为0 165 通带内的相频特性为直线 满足线性相位要 求 4 4 等波纹逼近法的 Matlab 实现 频率采样法设计FIR滤波器流程如图3 4所示 因此利用Matlab软件设计FIR滤 波器时 可以根据3 4的流程编写程序实现 但Matlab软件工具箱提供了remez子 函数 可以利用remez子函数快速方便地设计FIR滤波器 避免了繁杂的数学运 算 remez 函数有几种调用格式 常见的一种调用格式为 b remez n f a w 函数参数说明如下 1 n 表示滤波器的阶数 浙江万里学院本科毕业论文 23 2 f 为滤波器的归一化频率点 在 0 1 范围内取值 1 表示实际频率为 fs 2 3 a 为频率响应幅度 参数f和a共同描述了预先设定的理想滤波器的频率响应 4 w表示通带和阻带波纹控制 下面用 remez 函数设计一个 27 阶的 FIR 低通滤波器 其通带截止频率为 0 2 通带波纹最大为 0 04 阻带截止频率为 0 3 阻带波纹最大为 0 02 程序 如下 n 27 f 0 0 2 0 3 1 a 1 1 0 0 w 0 04 0 02 b remez n f a w freqz b 程序运行结果如图 4 7 所示 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 800 600 400 200 0 Normalized Frequency rad sample Phase degrees 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 100 50 0 50 Normalized Frequency rad sample Magnitude dB 图4 7 等波纹逼近法设计的FIR低通滤波器幅频和相频特性曲线 同样是设计一个 27 阶的 FIR 低通数字滤波器 比较 fir1 窗函数法 fir2 频率 采样法和 remez 等波逼近法的设计结果 可以看出 1 窗函数法和频率采样法设计滤波器时 滤波器边缘频率不易精确控制 通带和阻带的波动幅度 也不易控制 2 利用等波纹逼近法可以较好的控制滤波器的边缘频率及通带和阻带的波动幅度 浙江万里学院本科毕业论文 24 5 结论结论 论文主要分析了 FIR 数字滤波器的基本理论 讨论了 FIR 数字滤波器的线性 相位种类及其约束条件 分析了窗函数设计法 频率采样设计法 等波纹逼近法 三种不同的设计方法 并借助 Matlab 软件对这三种设计方法进行了对比分析 窗函数设计法对信号加窗之后会使不连续点处边沿加宽形成过渡带 其宽度 两肩峰之间的宽度 等于窗函数频率响应的主瓣宽度 在处出现2 c N 肩峰值 两侧形成起伏振荡 振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少 改变 N 只能改变窗谱的主瓣宽度 但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例 其相对比例由 窗函数形状决定 窗函数设计法设计 FIR 数字滤波器是傅里叶变换的典型运用 而频率采样法 设计的指导思想是通过频域采样点实现的 同时为了保证过渡带宽的不变 滤波 器的采样点数也要相应增加 这就要求在用频率采样法设计滤波器时综合考虑阻 带衰减和滤波器长度的要求 从而达到设计的最优化 频率采样设计的优点是直 接从频域出发 设计比较直观 也适用于设计任何幅度特性的滤波器 但这种设 计法