（计算数学专业论文）一阶双曲型方程的legendretau方法.pdf

摘要 本文主要针对一阶双曲型发展方程的数值解法进行研究，首先针对边界 条件的不同处理方式，考虑了在g m e r k i n 方程中不同检验函数的选取对于数 值结果的影响，其次构造了高效，精确稳定的t a u 方法证明了t a u 方法对 于一阶双曲问题可以得到最优的误差收敛阶 谱方法作为数值求解偏微分方程的三大方法之一，标准的g a l e r ! d n 方法 和配置( 拟谱) 方法已广泛应用于求解二阶、四阶等偶数阶问题，但是由于奇 数阶算子不具备像偶数阶算子那样的对称性质，因此标准的g a l e r k i n 方法不 适宜求解奇数阶问题，采用t a u 方法或者更一般的p e t r o v - o a l e r k i n 方法显得更 为合理本文将m a 和s l l i l 【2 1 ，2 2 建立的有效求解三阶方程的p e t r o v - g a l e r k i n 方法推广到一阶双曲方程，以期望得到有效求解一阶双曲问题的数值方法 本文采用l e g e n d r e - t a u 方法，建立了有效求解一阶双曲方程的数值逼近算 法，采用c h e b y s h e v - l e g e n d r e 耦合方法处理右端项和初始值，而在整体上保持 了l e g e n d r e - t a u 格式，这样借助于快速l e g e n d r e 变换，可以使我们的数值算法 有效、快速的实旋对于常系数问题，理论分析中分别证明了半离散和全离散 格式l 2 范数意义下的最优误差收敛阶，将结果从o ( n 1 1 ) 提高到o ( n ”) ，改 进了此类问题原有的理论结果并将此方法推广到更一般的变系数问题得到 了次优的误差收敛阶数值例子也证实了算法的有效性 关键词一阶双曲发展方程，l e g e n d r e - t a u 方法，稳定性，最优误差估计 a b s t r a c t t h ea i mo ft h i sp a p e ri st oc o n s t r u c te f f i c i e n t a c c u r a t ea n ds t a b l en u m e r i c a l m e t h o d sf o rt h ef i r s t - o r d e rh y p e r b o l i ce q u a t i o n s t h el e g e n d r e - t a um e t h o di si m - p o s e da n da n a l y z e d w ea l s oa n a l y z et h ei n f l u e n c eo ft h ed i f f e r e n tt e s tf u n c t i o n so n n u m e r i c a lr e s u l t s t h es t a n d a r dg a l e r k i nm e t h o da n dc o l l o c a t i o n ( p s e u d o - s p e c t r a l ) m e t h o dh a v e b e e ne x t e n s i v e l ya p p l i e dt os e c o n d - o r d e r ，f o u r t h - o r d e r ，a n dh i g h e re v e n - o r d e re q u a - t i o n s s i n c et h eo d d o r d e ro p e r a t o rd o e sn o th a v et h es y m m e t r yo ft h ee v e no r d e r o n e s ，t h es t a n d a r dg a l e r k i nm e t h o di sn o ts u i t a b l ef o rt h eo d do n e sb u tt h et a n m e t h o do rm o r eg e n e r a l l yt h ep e t r o v - g a l e r l d nm e t h o ds e e m st ob es u i t a b l ea n d r e a s o n a b l e w ep r o p o s e dt h el e g e n d r e _ t a um e t h o df o rt h ef i r s t - o r d e rp r o b l e m s i n t h es c h e m e ，w ea p p l yc h e b y s h e vc o l l o c a t i o nm e t h o dt ot h ei n i t i a lf u n c t i o na n dt h e r i g h t h a n ds i d et e r m ，b u tt h ew h o l es c h e m ei sal e g e n d r e - t a nm e t h o d t h a n k st o t h ef a s tl e g e n d r et r a n s f o r m ，w ec a ni m p l e m e n tt h em e t h o de a s i l ya n d e f f i c i e n t l y w ep r o v et h es t a b i l i t yo ft h em e t h o da n do b t a i nt h eo p t i m a lc o n v e r g e n c er e s u l t ， w h i c hi m p r o v e st h ec o n v e r g e n c er a t ef r o mo ( n 1 - ) t oo ( n ”) i na d d i t i o n ，w ea l s o a p p l yt h i sm e t h o dt ot h ef i r s t - o r d e rh y p e r b o l i ce q u a t i o nw i t hav a r i a n tc o e f f i c i e n t a n dg e tt h es u b - o p t i m a ic o n v e r g e n c er a t e k e y w o r d s f i r s to r d e rh y p e r b o l i ce q u a t i o n ，l e g e n d r e - t a um e t h o d ，s t a b i l i t y o p t i m a lc o n v e r g e n c er a t e 1 1 原创性声明 本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的 工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已发表或者撰写过的研究成果。参与同一工作 的其他同志对于本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 躲在汕喘加工疋夕 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被 查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名，夜孰导师签名- 堕钧日期，7 、7 、厂 第一章引言 1 1 谱方法简介 科学和工程研究中的大量问题可归结为微分方程问题，为各种微分方程 寻找快速有效的数值求解方法一直是计算数学工作者的一个重要课题近代 发展起来的谱方法，以其诱人的“无穷阶”收敛速度，已被广泛应用于数值求 解各种微分方程f 2 ，3 ，6 ，1 4 ，1 6 ，1 7 】，特别是在计算流体力学中获得了巨大的成 功【6 】谱方法，有限元方法和有限差分方法已成为数值求解偏微分方程的三 大基本方法 谱方法是一种数值逼近方法，它与有限元方法一样都出自经典的r i t z - g a l e r k i n 方法，区别在于二者所使用的基函数性质不同，前者使用整体无限光 滑的多项式作为基函数，而后者则代之以具有局部支集、形状简单的函数作 基函数使用谱方法求解偏微分方程一般可以分为两个步骤，第一步是选取 合适的基函数，由此确定近似解所属的逼近空间；第二步是如何将无限维空 问问题转化到有限维空间问题 下面简单介绍上述两个步骤的实施过程设0 彤为一有界开区域，带 有光滑的边界锄，l 是q 上的线性微分算子，b 为在a n 的部分区域或整体区 域上定义的线性边界微分算予，x 是一h i l b e r t 空间，x ，d ( l ) 为算子工的 定义域现设h i l b e r t 空间y x ，范数为”阿，y x 是连续的，即存在常 数c 使得f c l i , i i v ，咖v 那么考虑如下的初边值问题 ， iu t ( x ，t ) + l u ( x ，t ) = ，( $ ，t ) ，( z ，t ) n ( 0 ，o 。) ， b u ( x ，t ) = 0 ， ( 茁，) 锄( 0 ，o 。) ， ( 1 1 1 ) lu ( o ，0 ) = “o ( o ) ， 正q 其中初始函数u o x ，对于任意的t 0 。右端项，( t ) x 所谓问题( 1 1 1 ) 的解1 是指对每个0 ，它是x 一值函数，而且有关于t 的连续导数，满足 t ( z ，0 ) = 咖( z ) ，又对于一切t 0 ，“( t ) d s ( 1 ) = 扣d ( l ) i b v = 0 ，zea q ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 2 y 使得问题( 1 1 1 ) 的第一式成立简写为 ， lu g 1 ( o ，+ o o ；x ) ，“( t ) d b ( l ) ，t 0 ， m + l u ( t ) = ，( t ) ，t 0 ， ( 1 1 2 ) lu ( o ) = u o 剩下的问题就是寻找一个合适的逼近解所属空间x n ，并在其中求解上述方 程，设 “( 。) ) 。n ：o 是空间的一组基函数，且满足加( z ) = 0 ，鲫，n = 0 ，1 ，并假设问题( 1 1 2 ) 是适定的，那么逼近问题( 1 1 1 ) 的半离散谱格 式可以写为 iq n i z n t ( ) + l n u n ( t ) 一，( t ) 】一0 ，t 0 ， iu n ( o ) = u o n 其中u ( t ) 是对所有t 0 是连续可微的x 值函数，u o n x n 为伽的某 种合理逼近，l n 是一族依赖于n 的算子的某种逼近，把它作用在逼近解 “x n 上，最后将u n t + l n u n 一，投影到某个空间z ( x ) 的子空间，知上 使之为0 ，这一过程由算子q 来实现，其中q r 是z ( c x ) 一l k c z 的某种 投影算子，满足当z z 时， ( z q n z ， ) = 0 ，坳h 另外上述式子也可以写为如下的变分形式，求u c 1 ( o ，+ o 。i x n ) 使得 ， j ( o t u n ( t ) + l n l t n ( t ) 一，( t ) ， ) = 0 ，y v y n ，t 0 ， i ( u n ( o ) ，口) = ( u o n ，u ) 这里我们将”称之为检验函数，根据口的不同取法可以将谱方法分为 g a l e r k i n 方法，拟谱方法和t a u 方法，g a l e r l d n 方法和拟谱方法一般要求x = y ，而t a t * 方法一般取h ，但要求二者有相同的维数g o t t l i e b 和 o r s z a g 1 4 ( 1 9 7 7 ) 对谱方法的这三种具体形式作了详细的介绍，建立了线性问 题数值分析的一些基本理论，对谱方法在偏微分方程数值计算中的应用也作 了概括；c a n u t o ，h u s s a z n i 等在【6 】中详细介绍了谱方法在计算流体力学中的 应用，并给出了理论分析方面的结论总结，此外b o y d 2 、c h o p p 8 】和g u o 1 7 也对谱方法的理论分析和数值分析分别作了介绍在具体的操作过程中，逼 近空间基函数的选取将对最后的数值求解产生很大的影响，这方面可以参阅 s h e n 2 7 ，2 8 ，2 9 】中有关基函数的选取技巧性问题 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 3 1 2 双曲问题研究的难点和现状 l _ 2 1 研究难点 谱方法的基本思想很早就已经出现，早在1 8 2 0 年，n a v i e r 就已提出了四 边铰链支撑的长方薄板问题的重三角级数解法，但是在很长的一段时间里 r i t z - g a l e r k i n 方法没有得到很好的发展和应用，原因就是作为计算方法它有两 个弱点，其一是计算量大，由于基函数不是局部支集的，所以未知函数在每 一个点上的值都与其它所有点上的值相联系，由逼近方法导出的代数系统中 的矩阵基本上是满的，这样就导致最后的数值求解计算量很大，从而失去了 实用价值；其二是基函数的构造困难，对于一般的问题很难找到满足边界条 件的基函数组谱方法之所以在近代快速发展起来，原因之一就是快速算法 f f t 的出现，使用f f t 可以使我们大大减少计算量，如果基函数的个数为n ， 若采用以2 为底的f f t ，则计算量由原来的o ( 2 ) 降低到o ( n l 0 9 2 n ) 而对于 c h e b y s h e v 多项式，经过简单的一步变量替换就可以转化到三角多项式，因而 对于非周期问题，大多喜欢用c h e b y s h e v 谱方法来求饵，但是使用c h e b y s h e v 谱方法在理论分析中带有非1 的权函数u ( 。) = ( 1 一z 2 ) - 1 2 ，从而不利于进行 理论分析 即使不考虑权函数u 给理论分析带来的困难，直接使用c h e b y s h e v 谱方 法来求解双曲型方程时也存在困难，早在1 9 7 7 年，g o t t l i e b 和o r s z a g 1 4 在其 著作谱方法的数值分析；理论与应用一书中就指出运用谱方法求解双曲型 问题时存在难题，对于如下形式的一维波动方程 u t ( z ，t ) + u 。( $ ，t ) = ( x ，t ) ，一1 0 ， ( 1 2 4 ) u ( x ，0 ) = t l o ( z ) ， 一1 z 1 上述问题在c h e b y s h e v 模意义下是不适定的为了解释此说法我们需要引进代 数稳定性( a l g e b r a i c a l l ys t a b l e ) 概念谱逼近格式a t = l n u n + ，对于初始 问题u t = l u + ，称为代数稳定的，如果 0 e 。w 。0 n n “k ( t ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 4 其中n 足够大r s ，k ( t ) 在0 t s t 上是有限值事实上，如果 出= 口掣愫主 那么方程撕+ 如= 0 ，u ( - - 1 ，t ) = 0 在= 1 时刻的解为 u ，1 ) = 1 ，一j 一刍1 - s e l 蚓一( 抄e 叫4 ，s 一。+ 事实上，0 e “0 = o o ，0 0 ， u ( 一1 ，t ) = 9 ( t ) ，t 0 ， ( 1 2 5 ) lu ( z ，0 ) = t 幻( z ) ，z ( - i ，1 ) 其中o 0 为常数也有一部分作者考虑了g a l e r k i n ，t a u 和拟谱方法来进行数 值求解 g o t t l i e b 和o r s z a g 1 4 ，c a n u t o ，h u s s a z n i 等 6 】都对上述问题给出了相应的 g a l e r k i n ，t a u 和拟谱逼近格式找u = 竺。矗。以p _ v ，满足 ， i ( a u ，( $ ) ) 。( 。) + ( 岛u r ，毋( 。) ) 。( 。) = ( f ( z ，t ) ，( 。) ) 。扛) ，z ( 一l ，1 ) ，t 0 ， u n ( - 1 ，) = 0 ，t 0 ， iu n ( x ，0 ) = 1 1 0 ( z ) ， 一1 - 1 ，为j a c o b i 权函数 记 f ：= 0 1 = 一1 ，1 ) ，r 一：= z f ，x a ( x ，) m m u 1 1 o | i | i ， 2 6 0 7 上海大学硕士学位论文 7 对于如下形式的一阶双曲变系数方程 ， lu t + ( k + b u = ，。i ，t ( 0 ，明， t ( 羁t ) = 0 ， ( z ，t ) r 一( o ，刀， ( 1 2 1 0 ) it ( z ，0 ) = t 幻( $ ) ， 茁i c a n u t o 和q u a r t e r o n i 4 对上述模型问题，在假定a ，a z ，b l ”( ，) 的情况下，分 别利用j a c o b i 多项式和l e g e n d r e 多项式作了谱和拟谱逼近拟谱逼近中采用 了斜对称分析方法 上述问题在j a c o b i 权意义下的弱解形式为 j ( 饥，k + ( ( n “k ，毋k + ( b u ，l = ( ，l ， l ( u ( o ) ，砂) 。= ( u o ，) 。，u ( t ) v v 矿 其中v = 日：( ，) l ( z ) = 0 ，z r - ) 取i ，= p s ( 1 ) nv ， ( 1 2 1 0 ) 的j a c o b i 谱和拟谱方法分别如下 找u 日1 ( v ，) 使得 ， j ( u n t ，毋) 。+ ( ( n u ) 。，) 。+ ( b u n ，i j i ) 。= ( 厂，) 。， i ( u ( o ) ，) 。= ( u o n ，) 。，v ， 我u 。c 1 ( v ，) 满足 ( 1 2 1 1 ) 那么求解方程 j ( ，) 眦+ ( ；【n u 。+ ( 只( n n ) ) 。】，) + ( ( + 6 ) ) 肌= ( ，毋) 肌， i ( ( o ) ，咖m = ( r u 0 ，妒) 舶，w 上述问题在l e g e n d r e 权意义下的弱解形式为 ( 毗，妒) 一( ( 。乱) ，庐) z + ( 阮，) + e 。e r + x a u ( z ) = ( ，( 1 2 1 2 ) i ( “( o ) ，毋) = ( t 0 ，) ，t ( t ) h 1 ( ，) ，v 矿 那么求解方程( 1 2 1 0 ) 的l e g e n d r e 谱和拟谱方法分别如下，找u n 1 ( v ，) 使 得 j ( u t ，) 一( ( n u ) ，b + ( 6 ，毋) + 。r + x a u n 庐( x ) = ( ，) ， i ( u n ( o ) ，) = ( “o ，t j i ) ，v ， 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 8 找g 1 ( v ，) 满足 ， i ( u r t ，奶+ ( ；【m t 口+ ( 只( a t ) ) 。】，) + ( ( n 。+ 6 ) t c ，西) r 一；，r - q n 札n ( 巧) = ( ，妨 ， i ( “( o ) ，妒) = ( 只t 幻，) ，v i 勺 但是上述两种方法在理论分析中也只是得到o ( g “7 ) 误差收敛阶 最近，s h e n 和w 眦g 【3 0 】利用s h e n 2 9 】提出的对偶p e t r o v - g a l e r k i n 方法对 上述双曲问题( 1 2 1 0 ) 进行了数值求解方法研究，所谓“对偶”是指让逼近空 间的基函数自然地满足边界条件，而让检验函数满足在对应边界上相应的边 界条件，此方法是建立在双曲问题的变分公式基础上的，文章中分别构建了 求解模型问题的谱和拟谱格式，这里我们仅简单介绍一下其中的谱逼近格式 现假定8 ( 士1 ，t ) 20 ，那么可知相应的边界条件为u ( - 1 ，t ) = 9 ( t ) ，考虑齐次边 界条件，取 i 儡= “l ，u ( - 1 ) = o ，v 爵= p n ，缸( 1 ) = o 矗= i 1 1 。6r f + - , ；蜃= i 1 ，一- 。i 6 r f + - , 那么我们容易证明对v 咐，有咐u 6 - 口咐，反之亦然这样求解模型问 题的l e g e n d r e 或c h e b y s h e v 对偶p e t r o v - g a l e r k i n 逼近为 找“( ，。) ，满足对( o ，习，w ，( 1 2 , 1 3 ) i ( a u ，咐k + ( 以( n u ) ，聊k + ( 乩，咐k = ( ， ”) 。 由于对螈珏，我们有聊扩，口礤，所以上述逼近等价于如下的带权 g a l e r k i n 方法( 记岫= u u 6 ，口) 。 找“( ，) ，满足对( o ，刁，( 1 2 1 4 ) i 社，钳沁+ 涵( 8 ) ，柳b + ( 如，研k = ( 支蛳) 。 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 9 1 3 本文的主要工作 本文主要对一阶双曲型发展方程的数值解法进行了研究，首先针对边界 条件的不同处理方式，考虑了在g a l e r k i n 方程中不同检验函数的取法对于数 值精度的影响；其次，针对奇数阶算子不具有偶数阶算子那样的对称性质，合 理地采用t a u 方法，建立了数值求解一阶双曲发展方程的l e g e n d r e - t a u 方法， 主要针对以下三点进行分析， 1 稳定性，针对前述难点分析中指出的使用谱方法求解双曲问题的格式 不稳定性，证明了l e g e n d r e - t a u 逼近半离散和全离散格式的稳定性 2 收敛性t 在l e g e n d r e - t a u 方法误差分折中得到了胪范数意义下的最优 误差收敛阶，将原有的理论结果由o ( n 1 - ) 提高到o ( n - r ) 同时表明了t a u 方 法对于一阶双曲问题可以得到最优的收敛阶 3 有效性t 通过选取合适的基函数可以使待求解的系数矩阵是稀疏的， 可以化归到三对角矩阵对初始值和右端项采用基于c h e b y s h e v 点的耦合方法 处理，这样借助于快速l e g e n d r e 变换，可以使所建立的数值算法格式快速有 效的实旅 第二章预备知识 本章中我们主要给出一些必要的准备知识第一节主要是一些记号与约 定以及稳定性、收敛性证明中常用的几个不等式；第二节主要研究l e g e n d r e 多项式的相关性质；第三节将会给出几个常用的投影算子及其收敛定理 2 1 记号与约定 记，= ( 一1 ，1 ) ，p ( j ) 表示定义在区间，上次数sn 的代数多项式集合 圪( ，) = v l v 在i 上可测，i i v l i l ，o 。) 其中 l l v t l l , = 燮嬲：三 u ( 是区间，上的正权函数，特别地记i l v l l 。= i l v l l l 一( d ，( u ，”l 和i l u l l 。分别 ( 。，。) 。：_ 。( 毒) 。( 。) 。( 。) d x ，i l u l l 。：( “，u ) 0 1 叼( ，) = 川磷u = 面d k v 圪( no k 曼m ) ( u ，”) m = ( 磷u ，磷”) 。，l u l m = i i 霹u l l 。，i l u l l u = ( u ，u ) 磊 当u = 1 时，我们将去掉下标u ，另外我们还需要定义下面的函数空间 日扩( j ) = v l v 日”( ，) 且磷 ( 一1 ) = 0 ，0 k m 1 ) 下面我们给出两个在稳定性和收敛性分析中经常用到的不等式， 1 0 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 h a r d y 不等式t 设a b 是任意两个实数，口 1 是常数，那么对于在( n ，上可测的 函数有 口忑1j ( 蚓m 击z 6 俐m ， 以及 z b 【两1 胁蝴6 叫眺击一以m g r o n w a u 不等式 设= 西( t ) 是【0 ，刁上的连续函数，并且在( 0 ，t ) 上可导，如果存在常 数o r 和连续函数9 ( t ) 满足 毋7 ( ) a ( t ) + g ( ) ，0 - i 设礞4 ：= 玩，口一e n f f ) 是l 孙中的正交投影算子。满足 ( p 膏4 u 一札，毋) = 0 ，v 咖p 一l ( ，) 并简记p ：= 硝记i 暑，：g ( j ) hp n 是基于g h e b s h e v - g a u s s - l o b a t t o 点的多 项式插值算子，那么有如下的引理 引理2 3 1 对于任意的 矿( j ) ，并且r 20 ，那么有 9 毋州一v l i e 一i l v l l ， 由m a 和s u n 2 1 】中的结论我们可以得到如下的引理 引理2 3 2 对于任意的口h ，r s ，那么有 0 ( 毋v d t ，l l 。p 。s c n ”70 t ，i i + ，+ ，s 一0 ，1 由l i 1 9 】中的结论，有如下的引理 引理2 3 3 若t 弼。( ，) 且r s ，那么有 0 毽( i 备“一“) l i u ，。m c n ”7 l | t 0 叶。，7 ，d ，s = 0 ，1 我们定义投影算子璐：h 1 ( j ) 一p j r ( ! ) 如下 跏= ”( 一1 ) + 1p n l 以 ( s ) d s 由上述的算子定义我们可以得到如下的性质， ( 以( 砖一x ) u ， ) = ( 如u 一以璐，口) = ( 以 一局r l 如，”) = ( ( f l 一1 一，) 以“，u ) = 0 ，v v 尸k 一1 ( i ) ( 如忍札，以u ) = ( 也“，以 ) ， v v b v 对于上述投影算子有如下的收敛性引理， ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 2 0 0 f 上海大学硕士学位论文 1 4 引理2 3 4 对于任意的 伊( f ) 且r 8 ，那么我们有 喊( 昂 一 ) 。e 胪一 1 v l l 。 s = o ，1 证明我们首先考虑8 = 1 的情况，这时结论可直接由引理2 3 1 和璐佳 质得到 0 巩( 礤”一o ) l l = 0 ( 尸l 一- 一，) o x v l i sc n l - j j ( p n l j ) 色训j 。 sc n l - 7 i i v l l 。一。，。 对于s = 0 的情况，我们采用对偶技巧来证明首先令g = 碍口一 ，那么 g 嘲( ，) 因此由如下的h a r d y 不等式可知g w 一1 ，一1 l 2 ( 驯3 】_ 沪( z ) ( 1 一x 2 ) ，- 2 c l x o “= o ，1 ) ，使得， a ( “，t ) a li i u 0 ：一a 0 1 i u l l 2 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 证明由于t 吃( ，) ，得到 禹如 0 有界，所以存在6 ( 0 ，1 ) 使得当击，【一正棚时，存在 a 1 0 ，且；南惫而，b 在，上有界，j l i 丽a 在( 一6 ，d ) 上有界，所以存 在a o 0 ，使得；以口+ b 一a o 即可得到引理的证明- 第三章一阶常系数双曲问题的l e g e n d r e - t a u 方法 3 1 格式的建立与算法描述 我们考虑如下的一阶双曲型方程 仉+ 。以= ， 罩( - 1 , 1 ) ，。( o ，刀， 叭1 ) i 扩( z ，0 ) = c r o ( x ) ，z ( - 1 ，1 ) 、。 并根据a 的符号情况附加适当的边界条件以下章节中我们将以 0 为例， 此时需给定边界条件u ( - 1 ，t ) = g ( t ) ，而对于非齐次边界条件可以容易地化到 齐次边界条件，因此，剩下的部分仅讨论o ( t ) = 0 的情况下面考虑数值求解 上述双曲问题的l e g e n d r e - t a u 方法记 h ( j ) ：= 如h 1 ( j ) ： ( 一1 ) = o ， h = p ( ，) n h ( n 那么求解问题( 3 1 ，1 ) 的l e g e n d r e - t a u 方法的半离散格式就是找u n v n ，满足 2 ( a 刚) + 口o z l l n , v ) = ( i ；v f ，0 。 z( 3 1 2 ) i ( u ( o ) ，口) = ( i 暑r ，口) ， v p n 1 。 我们使用c r a n k - n i c o l s o n 格式来对时间方向进行离散，设r 是时间步长，并记 t k = k r , 七= 0 1 ，n ，t = 叼r ，为方便简记矿( z ) ：= ( 墨“) 为小，并记 砖= 二1 ( + 1 一口) ，口+ = ；( + 1 + 矿) 那么求解问题( 3 1 1 ) 的l e g e n d r e - t a u 全离散格式是找“j ；r 满足 ( u ，卅地带。却知，抖。，比 o n - 1 ( 3 1 3 ) l ( n ( o ) ，口) = ( i 知， ) ， v p n 1 我们给出格式( 3 i 3 ) 实施的一个简单说明，在每一时间层上找“铲1 v 知满足 ( 3 1 4 )一 矿 = 埔 抖 u 以 竺o + 抖 u 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 7 其中g = r i 备，+ + “备一；“ i r 参照s h e n 2 7 ，2 8 】中关于求解偶数阶问题g a l e r k i n 方法的基函数选取技 巧，我们选取适当的多项式的线性组合来作基函数，使得相应的代数系统的 系数矩阵是稀疏的为此记以( $ ) = l 。( z ) + 三- ( 印，其中厶( 笱) 是1 7 , 次的 l e g e n d r e 多项式那么 机( z ) 甚孑是空间，k 的一组基函数，我们展开逼近解 墙( $ ) = 。n ：- 。1 砖( f ) 毋。( z ) ，并取检验函数”= l m ( 写) ，0 墨m n 一1 ，将上述各 式代入( 3 1 4 ) 得到 ( “，l 。) + 等( ，k ) 雠= ( 矿，k ) ，0 m n l ( 3 1 5 ) 记。= ( 奴( z ) ，。) ，岛。= ( 以( z ) ，l r a ( z ) ) ，由l e g e n d r e 多项式的正交性与 递推关系可得 ： 赤，一溅翔一“，：”蛇1 ， 1 0 ，其它 1 2 ， m n 令a = ( n 一) ，b = ( “。) ，这样格式( 3 1 4 ) 可以写成如下的矩阵方程 a t + 要b 丁】铲；g ，矗i ：【a 3 ，a ，a 知一。】t 下面我们就给出求解上述系统的系数矩阵的具体形式，记彤= 2 ( 巧+ 1 ) ，0 j s n 一1 ，可以得到 s g i ，+ 筹拈l 【 + 8 7 口r s 1s l + 甜。 s 2 n r s 2 + n f 口r 口r 口r s n l8 n i +。j 记岛= r + s ：i s j + 1 ，观察上述矩阵可以发现如果从第一行开始依次减去其下 一行，那么完成所有的矩阵初等变换后，系数矩阵可以化为如下形式的三对 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 8 角矩阵， 阮- - s 1 0 s 1历- - $ 2 s 2岛一8 3 8 n 一2p 一2 - - $ n l o 8 n 以8 n 一1 + a t 对于边界条件采取不同的处理方式，将其耦合到变分方程中，像1 3 r 那样 取检验函数满足，口p 知，且v ( 1 ) = o ，那么对于问题( 3 1 1 ) 有逼近格式，找 t 正p 一1 使得 ， ! u ，t ，) 一口( u ，以口) = ( 珞， ) + 凹( t ) ( - 1 ) ，( 3 1 6 ) i ( u u ( o ) ，移) = ( i 暑，u o ，u ) ，0 t z 在最后的数值实验中，将对上述两种不同的逼近格式进行比较 3 2 半离散格式的稳定性与收敛性分析 在这一节中，我们将会给出半离散格式的稳定性和最优的收敛性证明，以 下的证明过程中假设o = 1 为了方便我们记u ：= ( 14 - z ) ，假设逼近解u n 和 右端项，( z ，t ) 分别有扰动面和，那么由方程( 3 1 1 ) 和格式( 3 1 2 ) 可以得到 如下误差方程 ( 反面， ) 4 - ( 如面， ) = ( ， ) ，v v - 一1 ( ，) ( 3 2 7 ) 在上式中取 = 讪p 一l ( ，) ，即面= ( 14 - z ) 注意到 ( a l 【( 1 + z ) 】， ) = i i v l l 24 - ( ( 1 + z ) 以q 口) = l ”( 1 ) 1 24 - ；0 叫1 2 将上述各式代入( 3 2 7 ) 得到 ；知面屺+ 扣n 忡) 1 2 si ( 五u 豇) l i i ，i i u 俐u s c ( i ：4 - 恻盼 注意到i i v l l 2 = 恻艮。和”( 1 ) = ；豇( 1 ) ，上述方程等价于 翱矗o ：+ i i , dl ：+ l a ( 1 ) 1 2 o ( i i i i l4 - i i 豇i i l ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 9 由g r o n w a l l 不等式我们得到 ，i l l 刮巴+ ( o 面( s ) o ，+ i 面( 1 ，s ) 1 2 ) d 0 e 。( o 面( o ) i i ：+ g o ，( s ) l 己) d s j 0，0 这样由上式便得到了稳定性证明下面我们考虑格式的收敛性，记矿= 璐c ， 为比较函数，e n = l n 一，则 e ( 一l ，t ) = n ( - i ，t ) 一礤矿( 一1 ，t ) = 0 由方程( 1 1 ) 和( 2 2 ) 得到 ( a 6 ( 。) ，”) + ( 以8 ( 。) ，”) = ( ，”) ，p _ l ，8 ) l ( 钳( o ) ，t ，) = ( 珞一矿( o ) ，口) 、 其中f = ( i 知，一，) + ( ，一璐) a c ，对于任意的t ( 0 ，明，由引理2 3 3 ，2 3 4 得 到 l i ：i lsj j i 知，一ij + j l ( i 一瞄) a , u