2020届高考数学二轮复习每日一题规范练（第四周）理.docx

每日一题规范练(第四周)题目1 (2019合肥质检)已知函数f(x)cos 2xsin.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若，f()，求cos 2.解：(1)因为f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.所以函数f(x)的最小正周期T.(2)由f()可得sin.因为，所以2.又0sin，所以2，所以cos，所以cos 2coscossin.题目2 若数列an的前n项和为Sn，首项a10且2Snaan(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若an0，令bn，数列bn的前n项和为Tn，若Tnm恒成立，mZ，求m的最小值解：(1)当n1时，2S1aa1，则a11.当n2时，anSnSn1，则(anan1)(anan11)0anan1或anan11，所以an(1)n1或ann.(2)因为an0，所以ann.所以bn2.则Tn233.又mZ，所以mmin3.题目3 艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：年份20112012201320142015201620172018年份代码x12345678感染者人数y/万人34.338.343.353.857.765.471.885(1)请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；(2)请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y与x的关系；(3)建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国艾滋病病毒感染人数参考数据：6.48；yi449.6， x iyi2319.5, 46.2，参考公式：相关系数r.回归方程x中，解：画出的折线图如图所示.(2)由统计表，4.5, 56.2所以296.3，46.2299.376,所以r0.99.说明y与x的线性相关相当高，从而可用线性回归模型拟合y与x的关系(3)因为7.05，56.27.054.524.48，所以7.05x24.48.当x10时，7.051024.4894.98.所以预测2020年我国艾滋病感染累积人数为94.98万人题目4 已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，点P(x0，3)为抛物线C上一点，且点P到焦点F的距离为4，过点A(a，0)作抛物线C的切线AN(斜率不为0)，设切点为N.(1)求抛物线C的标准方程；(2)证明：以FN为直径的圆过点A.(1)解：由题知，|PF|yP，所以43，解得p2，所以抛物线C的标准方程为x24y.(2)证明：设切线AN的方程为yk(xa)，k0，联立消去y可得x24kx4ka0，由题意得16k216ka0，即ak，所以切点N(2a，a2)又F(0，1)，A(a，0)，所以(a，1)，(a，a2)因此(a，1)(a，a2)0.所以AFAN，即FAN90，故以FN为直径的圆过点A.题目5 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，D为AB的中点，AB2.AC1，CC1，ABC30.(1)证明：AC1平面B1CD；(2)求直线DC1与平面B1CD所成角的正弦值(1)证明：连接BC1交B1C于点E，连接DE，因为四边形BB1C1C是平行四边形，所以点E是BC1的中点，又点D为AB的中点，所以DE是ABC1的中位线，所以DEAC1.又DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1平面B1CD.(2)解：由AB2，AC1，ABC30，可得ACBC，以点C为坐标原点，CA，CB，CC1为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.则C(0，0，0)，B1(0，)，D，C1(0，0，)，所以，(0，)，设平面B1CD的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即令z1，得n(，1，1)，所以cosn，所以直线DC1与平面B1CD所成角的正弦值为.题目6 已知曲线f(x)axln x2ax(a0)在点P(1，f(1)处的切线与直线xy10垂直(1)求函数f(x)的最小值；(2)若1m2，证明：f(x)x2mxln x.(1)解：由f(x)axln x2ax，且定义域为(0，)，得f(x)a(ln x1)2aaln xa.所以f(1)a.又曲线f(x)在点P(1，f(1)处的切线与直线xy10垂直，所以a11，则a1.则f(x)xln x2x，f(x)ln x1.令f(x)0xe.则当x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(e，)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(e)e.(2)证明：要证f(x)x2mxln x，即证xln x2xx2mxln x.又因为x0，所以即证ln xx2m.记F(x)ln xx，则F(x)1，所以当x(0，1)时，F(x)0，F(x)单调递增；当x(1，)时，F(x)0，F(x)单调递减，所以当x1时，F(x)有最大值F(1)1.又记G(x)2m，则G(x).所以当x(0，e)时，G(x)0，G(x)单调递减；当x(e，)时，G(x)0，G(x)单调递增，所以G(x)的最小值为G(e)2m.因为1m2，所以2m1，所以G(x)minF(x)max.所以f(x)x2mxln x成立题目7 1.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1：(为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：(cos sin )4.(1)写出曲线C1和C2的普通方程；(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求使|MN|最小时M点的坐标解：(1)由C1：消去，得普通方程为y21.将xcos ，ysin 代入曲线C2，得直角坐标方程xy40.(2)在曲线C1上取点M(2cos ，sin )，结合图形可知：|MN|最小值即为点M到直线C2的距离的最小值因为M到直线C2的距离d，所以当sin()1时，d最小，即|MN|最小此时，2cos sin ，联立sin2cos21.得cos ，sin .故所求M的坐标为.2选修45：不等式选讲已知函数f(x)|2xm|.(1)若不等式f(x)6的解集为x|2x4，求实数m的值；(2)在(1)的条件下，若不等式f(x)f 对一切满足ab2的正