（光学专业论文）多体系统量子纠缠的研究.pdf

中国科学技术大学博士学位论文 摘要 本论文对量子信息中一些重要而基础的问题进行了研究，尤其是多体纠缠及其 相关的问题，包含如下些重要的研究成果： 1 多体系统纠缠的研究 量子纠缠度量是整个量子信息理论的核心。到现在为止，关于两比特纯态 的纠缠度量已经很好的解决了。同时，两比特混态的生成纠缠也已经解决了。 但对于其他的情况我们还知之甚少。i ) 一个相对简单的问题是判断具有一定 纠缠性质的量子态的集合。鉴于最大连通态( m a x i m a lc o n n e c t e d n e s ss t a t e ) 在 量予计算和量子通信中的重要作用，作者利用非对称识别的工具给出了最大连 通态的判据，进而给出特殊情况下最大连通态的完全集，为它在量子信息学中 的进一步应用提供了可能( 第章中的卜4 ) ：i i ) 另一个相对简单的问题是将 量子念在局域么正变换下进行分类。作者利用不变量理论和图论的知识给出了 稳定子念在局域么f 变换下的等价类问题的一些结果，这个结果向完全解决这 个问题迈进了一大步( 第一章中的2 - 2 ) ：i i i ) 作者还讨论了三粒子不同等价 态：g h z 态和w 态在三人量子囚徒怪圈中导致的博弈策略上的差异( 第一章 中的2 - 3 ) ，为多体纠缠的研究提供了一种新的方法。 2 相容问题的研究 已知一个量子态，很容易通过求迹来得到它的全部的局域密度矩阵。但是 它的逆问题的求解却因为纠缠的存在而变得异常的困难。然而这个问题又非常 重要，它在量子信息、凝聚态物理和量子化学中都起着很重要作用。作者首先 分析了相容问题和不变量问的关系( 第二章中的卜2 ) ，进而讨论了相容条件和 量子态的等价类之间的关系( 第二章中的卜3 ) 。澄清了为什么要从量子信息的 角度来研究相容问题，这为多体纠缠的研究提供了一种新的途径，同时这也是 研究纠缠分配的重要途径。接着作者利用变分法的原理，给出一套方法来获得 单粒子约化密度矩阵相容的必要条件( 第二章中的2 - 1 ) ：与此同时，作者还给 出一套构造方法来寻找单粒子相容的充分条件( 第二章中的2 2 ) 。这些结果被 审稿人认为是原创性的工作。对于包含两体约化密度矩阵的三粒子相容问题， 中国科学技术大学博士学位论文 作者也利用这一方法进行了有效的研究( 第二章第三节) 。 3 与态相关的量子克隆 在量子力学中，由于量子叠加原理的要求。精确克隆一个未知的量子态是 不可能的。由于这个限制，考虑非精确克隆的保真度成为个很重要的问题。 另一方面，实际的量子密码系统都是编码在一定的量子态集上的，非精确克隆 的保真度是衡量系统安全性的重要参数。作者利用球面上的柯西不等式，给出 了一个非常简单的，几何意义明确的量子克隆( 与态相关的) 的全局保真度的 上界。这也是利用这种克隆方案进行窃听的所能取得的上界。利用此结果可以 对量子密码系统的安全性进行评估( 第三章第一节) 。 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt os o m e i m p o r t a n tp r o b l e m s i n q u a n t u m i n f o r m a t i o n ，e s p e c i a l l ym a n yb o d ye n t a n g l e m e n ta n dr e l a t e dp r o b l e m s t h ea u t h o r o b t a i n e dt h ef o l l o w i n gi m p o r t a n tr e s u l t s ： 1 i n v e s t i g a t i o no ft h ee n t a n g l e m e n to fm a n y b o d ys y s t e m e n t a n g l e m e n ti st h eh e a r to fq u a n t u mi n f o r m a t i o n ，b u tw ek n o wl i t t l ea b o u ti ta s s of a r ( w ec a no n l yc a l c u l a t et h et w o p a r t y p u r es t a t ee n t a n g l e m e n ta n dt h e f o r m a t i o ne n t a n g l e m e n to ft w o - q u b i tm i x e ds t a t e ) w i t ht h ei m p o r t a n c eo ft h em c s ( m a x i m a lc o r m e c t e d n e s ss t a t e s ) i nq u a n t u mi n f o r m a t i o n ，t h ea u t h o ru s e st h el o c a l l y a s y m m e t r yd i s t i n g u i s h a b i l i t yt o o lt oj u d g ew h e t h e rag i v e ns t a t ei sam c s ( 1 - 4i n c h a p t e r1 ) t h i sr e s u l tm a k e st h ef u r t h e ra p p l i c a t i o no fm c sp o s s i b l e t h ea u t h o r a l s og i v e ss o m er e s u l t sa b o u tt h el ue q u i v a l e n c eo fg r a p hs t a t e s ( 2 - 2i nc h a p t e r1 ) t h i sr e s u l ta d v a n c e sas t e pt oc o m p l e t e l ys o l v et h ep r o b l e m a tl a s t ，t h ea u t h o r i n v e s t i g a t e sw h a ti st h ee f f e c to fe n t a n g l e m e n ti nq u a n t u mg a m e ( 2 - 3i nc h a p t e r1 ) t h i so f f e r san e ww a yt oi n v e s t i g a t em a n y - b o d ye n t a n g l e m e n t 2 i n v e s t i g a t i o no f c o m p a t i b i l i t yp r o b l e m f o ra g i v e nq u a n t u ms t a t e ，i ti se a s yt of i n da l lo fi t sr e d u c e dd e n s i t ym a t r i c e s - m 中国科学技术大学博士学位论文2 0 0 5 b u tt oj u d g ew h e t h e ras e to fr e d u c e dd e n s i t ym a t r i c e sc o m e sf r o mac o m m o ng l o b a l q u a n t u ms t a t ei sah a r da n di m p o r t a n tp r o b l e m t h ea u t h o ri n v e s t i g a t e st h i sp r o b l e m s y s t e m a t i c a l l y f i r s t l y , t h ea u t h o rc o n s i d e r st h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ec o m p a t i b i l i t y p r o b l e ma n di n v a r i a n t s ( 1 - 2i nc h a p t e r2 ) t h e nt h ea u t h o rd i s c u s s e st h er e l a t i o n s b e t w e e nc o m p a t i b l ec o n d i t i o n sa n dc l a s s i f i c a t i o no fp u r es t a t e ( 1 - 3i nc h a p t e r2 ) t h e s er e s u l t st e l lu sw h yw ei n v e s t i g a t et h ec o m p a t i b i l i t yp r o b l e mf r o mq u a n t u m i n f o r m a t i o na s p e c t i ta l s og i v e san e ww a yt om a n y b o d ye n t a n g l e m e n ta n da n i m p o r t a n tw a yt oe n t a n g l e m e n td i s t r i b u t i o n s e c o n d l y , t h ea u t h o ru s e st h em a t r i x a n a l y s i st o o lt og i v eam e t h o dt of i n ds o m en e c e s s a r yc o n d i t i o n sb e t w e e no n e - p a r t y d e n s i t ym a t r i c e sa n dg l o b a ld e n s i t ym a t r i x ( 2 - 1i nc h a p t e r2 ) ，t h ea u t h o ra l s og i v e sa w a yt og i v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s ( 2 - 2i nc h a p t e r2 ) t h e s er e s u l t sw e r e r e g u a r d e da so r i g i n a lw o r kb yt h er e f e r e e a tl a s t ，t h ea u t h o ru s e st h es a m em e t h o dt o g i v es o m en e c e s s a r yc o n d i t i o n sb e t w e e nm u l t i p a r t i t er e d u c e dd e n s i t ym a t r i c e sa n da g l o b a ld e n s i t ym a t r i x ( 3 - 1a n d3 - 2i nc h a p t e r2 ) 3 s t a t e d e p e n d e n tq u a n t u mc l o n i n g w i mt h er e q u i r e m e n to fs u p e r p o s i t i o ni nq u a n t u mm e c h a n i c s c l o n i n ga n a r b i t r a r yq u a n t u ms t a t ee x a c t l yi si m p o s s i b l e ，d u et ot h en o n c l o n i n gt h e o r e m ，w e c a do n l yc o n s i d e rt h ea p p r o x i m a t e dq u a n t u mc l o n i n g ，a n dt h ef i d e l i t yo ft h e a p p r o x i m a t e dq u a n t u mc l o n i n gi st h eu p p e rb o u n do fe a v e s d r o p p i n g t h ea u t h o r g i v e sas i m p l ea n dg e o m e t r i c a lm e t h o dt og i v et h eu p p e rb o u n do fs t a t e d e p e n d e n t q u a n t u mc l o n i n g ( 1 - 1a n dl 一2i nc h a p t e r3 ) t h i sm e t h o dc a nb eu s e dt oe s t i m a t et h e s e c u r i t yo f t h ep r a c t i c a lq u a n t u mc o m m u n i c a t i o ns y s t e m 中国科学技术大学博士学位论文2 0 0 5 厢细耐4 似吖蚴嘣哪甜h 如馏细心州 缸出哆以搿4 锄? 4 白“蟛觑以b 棚p 啮“批靠豳咖钟阮 删撕蟛“如缸翻耐如坩白枞乒盯甜钟厶辨椰剃如哦“峥 声m 蝴懒幽“积删m “嗍w 蛔翰 舭仰出匆如觑耐触4 砌施汹鲥多砌蝴施 撕铆缸4 鲥如触m 删觚“蒯幽，“缈4 柏涮缸4 “咖饼函峨妒 d a v i dh i l b e r t ， m a t h e m a t i c a lp r o b l e m s ， i n t e r n a t i o n a lc o n g r e s so fm a t h e m a t i c i a n s ， p a r i s ，1 9 0 0 序言 在二十世纪众多划时代的事件中，量子力学的发现和信息理论的发展无疑 都将位列其中。前者揭开了人类认识微观世界的序幕，这个序幕一直延续到今 天仍然是方兴未艾。而后者更是直接的推动了信息技术的进步，大大的改变了 人们的生活。现在我们已经很难想象生活在一个没有互联网、没有电脑的时代 了。经典信息理论告诉我们：信息理论( 如可计算性，计算的复杂度等) 是不 依赖于实现这些信息过程的物理系统的。然而当一批天才的科学家们将量子力 学的基本原理引入到信息理论来以后，却发现这一切都被改变了：首先，s h o r 算法否定了计算复杂度与实现计算的物理体系无关的论断；其次，引入量子力 学原理后，从理论上可以保证通讯的保密性。量子力学的引入，同时也带来了 大量经典通信理论所没有遇到过的新问题( 比如信道容量的加性问题) 。可以毫 不夸张的说，量子力学原理的引入已经改变了经典信息理论的整个面貌。量子 信息技术作为一门学科已经应运而生，它已经并将继续在信息科学和技术方面 发挥其重要的作用。 任何- - i q 学科的兴起都有其历史的必然性，量子信息理论也不例外。随着 中国科学技术大学博士学位论文 制作工艺和技术的进步，各种信息器件的尺寸都变得越来越小，当它的尺寸小 到一定的程度后，微观的量子力学将支配电子的输运性质。这时候就必须在信 息理论中引入量子力学原理了。在这种不同于经典的情况( 量子效应支配) 下， 我们必然要问这样一个问题：量子力学支配下，器件的信息处理过程还会和经 典的情况一样吗? 另一个紧接着要问的就是：在这种情况下系统的热耗散问题 应该如何处理? 正是出于对这些问题的考虑，r o l f l a n d a u c r 等科学家开始了可 逆计算机的研究，这也被看作是量子计算机研究的开始。任何一门学科发展到 一定的阶段都会有它相应的问题被提出来，这些问题是这门学科进一步发展的 源动力和基础。为了量子计算机的进一步发展，下面的这些更深入的问题都是 必须回答的：在量子力学原理支配下，经典的计算机结构( c h u r c h t u r n i n g 结 构) 还适用吗? 它是最佳的吗? 象经典逻辑一样的逻辑门分解还成立吗? 另一 个很重要的问题就是：量子计算模式比经典计算模式的计算能力强吗? 对于这 些问题人们已经作了广泛的研究并已得到了部分的答案。 量子信息学为我们引入了两个与经典信息论迥异的概念：不可克隆定理和 纠缠。对任何一个新的概念，我们都需要回答下面的两个问题：这个概念是有 用的吗? 这个概念是必须的吗? 对于不可克隆定理和纠缠，它们的有用性和必 要性在量子信息学中已经取得了广泛的共识，而且被大量的实验所证实。不可 克隆定理是保密通信的前提，它对密码分配的安全性起了关键性作用。而量子 纠缠( 在某种意义上来说就是多体系统的量子叠加性) 提供了并行计算的可能， 我们所说的量子算法( 比如s h o r 算法) 就是要有效的利用这种并行性来完成经 典计算机不易完成的复杂计算，并且量子计算的优越性也就建立在量子纠缠的 基础上的。因而，一个物理系统在计算上相对于经典计算系统的优越性就取决 于它的纠缠。由此一个很自然的问题就要问：纠缠与由它带来的信息学上的优 越性的定量关系是什么? 这就要求我们对量子态的纠缠给出一个度量，只有有 了这样的一个度量我们才能进一步精确的从量的角度来衡量它们之间的关系。 一个合理的纠缠的度量包含两方面的问题：一个是等价类的定义( 纠缠度相等 在物理学或信息学上是什么意思) ，二是等价类的排序( 纠缠度大小的判断标 准) 。这两个问题也可以分开作为两个独立的问题。这两个问题都需要定义在具 体的物理意义或数学意义之上。对于多体的问题，上面的两个问题变得尤其复 中国科学技术大学博士学位论文 杂。就等价类这一个问题而言，它的选取就要非常谨慎，既不能定义得太小， 也不能定义得太大：太小会使量子态的等价类太多，分类也就失去积极的意义； 太大会使量子态中的某些我们感兴趣的关联被抹掉。如何去定义一个合适的分 类就自然成了定义纠缠度量的重要问题。 我们上面已经看到，从信息学的角度来看，量子纠缠已经表现出了它的必 要性和重要性。我们现在从另一角度：纯粹的量子力学的角度，或者说从纯粹 的物理学的角度来看，纠缠是否在物理学中仍然具有如此的必要性和重要性 呢? 换句话说，我们期望知道量子纠缠对物理学而言是否是必需的。这是一个 新的方向，我们有很多问题需要回答：量子纠缠表现的是一种很强的多体之间 的非经典关联，这种非经典的关联会对我们的宏观可观测物理量产生影响吗? 量子纠缠有宏观效应吗? 长程的纠缠和短程的纠缠对宏观的影响是独立的吗? 我们可以对他们使用重整化的工具吗? 我们可以通过对局域纠缠的研究来研究 整体纠缠吗? 局域的密度矩阵与整体的密度矩阵之间要满足何种条件呢? 从一 个更广义的角度来看，纠缠的概念是从信息学的角度引入的，它度量的是一种 信息上的不确定性。那么，我们上面的问题可以问得更广泛一点：信息在物理 学中起什么作用? 对此，我们已经有下面的一个经典论断：信息是物理的。那 么，我们相信信息在物理中将起重要的作用。既然在信息学中引入量子力学改 变了它的整个面貌，那么当我们将信息学引入到量子力学( 物理学) 中来，是 否也会有类似的情形发生呢? 可以肯定的是信息会对物理学产生影响，但这些 影响又是什么呢? 怎样影响呢? 对于所有的这些问题，我们能回答的还非常有 限。希尔伯特在1 9 0 0 年数学大会上的讲话不仅仅适用于数学，而且对我们的物 理学( 甚至一切科学) 也是适用的。一个有着如此多新问题的学科必然是一个 有着长远的发展前景的学科。况且我们对这些问题的理解还才刚刚开始，任何 有意义的结果都将有助于人类对自然世界的认识。 1 中国科学技术大学博士学位论文 第一章：量子纠缠 量子信息技术与经典信息技术的显著区别之一就是在量子信息中引入了纠 缠( e n t a n g l e m e n t ，从某种意义上说是多体系统量子态的线性叠加) 的概念。量子 信息传输的典型模式是b e n n e t t 等人在1 9 9 3 年提出的量子隐形传态 1 ( t e l e p o r t a t i o n ) ，而它是以存在最大纠缠的e p r 2 对为前提的；著名的s h o r 算法 3 更是充分的利用了纠缠态的线性叠加性质。因此量子态的纠缠在量子信息学 中处于核心的位置，它的任何进展都会对量子信息产生积极的影响。然而，对量 子纠缠的研究又是异常困难的。仅就纠缠的度量而言，我们就对它知之甚少，以 至于一个量子态是否有纠缠都还无法做出准确地判断 4 - 8 。一个纠缠的度量包 含两个子问题：量子态的分类和这些类的排序。由于纠缠研究的是量子态的非局 域特性，这显然要求纠缠是l u 下不变的。因此量子态l u 等价类是一个与量子纠 缠的度量密切相关的问题，而量子态在局域幺正( l o c a l u n i t a r y ，l u ) 等价下的类 是由量子态的l u 不变量来确定的 7 0 一7 3 ( 这些不变量的个数是有限的 6 5 - 6 6 ) ，并且事实上一个纠缠的度量是这些不变量的一个函数，换句话说，一 个纠缠度量对应的是一个比局域幺正等价更粗略的态分类。到了多体的情况，这 个分类问题变得更为重要，我们必须选择合理的标度。尽管我们对一般情况下的 纠缠知道得很少，但是对一些特殊量子态的纠缠却有较深入地研究 第一节：纠缠的度量和判别 量子纠缠的度量是整个量子纠缠研究的核心。关于量子通信和量子计算能 力的任何定量的研究都将依赖于量子纠缠度量。没有一个合理的纠缠度量，更深 入的研究将无法进行。到目前为止，我们对纠缠的了解还仅停留在两体的情况。 对于多体的纠缠还没有合理的定义和有意义的结果。需要指出的是，我们在下面 将可分态的判断也看作是纠缠的度量问题，即纠缠度为零的度量问题。也可以将 这种度量看作是纠缠度为0 ，l 离散度量，这个度量对应于最粗略的量子态分类。 中国科学技术大学博士学位论文 而我们下一节中要讨论的l u 分类是一种最细致的量子态分类。这是两个极端的 情况。 i - i 纠缠度量所要满足的条件 纠缠只有在多体的情况下才是一个有意义的概念，这可以从纠缠本身的定 义中看到：如果多体量子态n ：。不能写成下面的形式 8 ： p 1 2 。= p , r i 固群o ( 卜1 ) l ( 其中p2 0 ，p = 1 ，而p ? 是第k 个粒子的态矢量) ，这样的量子态p 。2 。就称 j 为纠缠态。反之则称其为可分态。显然，关于量子纠缠度量的第一个重要的问题 就是判断一个任意给定的量子态是否有纠缠( 这个问题也称之为可分性判据) 。 从另一个角度来看，这也就是求量子态的分类判据。在下一节我们将提到关于分 类方面的一些结论。我们将看到这个问题比我们想象的要困难得多。紧接着的下 一个自然的问题就是问一个有纠缠的量子态到底含有多少纠缠。这就是度量纠缠 的问题了( 可分性问题可以看作特殊的纠缠度量问题) 。如果一个量e 能够作为 纠缠的度量，那么，它必须具有下面的几个性质 9 一1 3 ： 对任意量子态p ，必须有e ( p ) 0 ，而且对于可分态p 有e ( p ) = 0 。 对量子态p 做任意的局域幺正操作，不改变它的纠缠度，( 两体为例) 即 e ( p ) = e ( u 圆u b p u jo u ；) 在l o c c 操作下，纠缠e ( p ) 的期望值是不增的( 单调性和凸性) 。 对于直积态纠缠度应该是可加的，即 e ( 1 一) o l 甲：) ) = e ( i 甲。) ) + e ( i 甲：) ) 。 其中的l o c c 操作是指局域操作加上经典通讯( l o c a lo p e r a t i o na n dc l a s s i c a l c o m m u n i c a t i o n ) 当然，除此之外，还可能有一些别的限制，比如，要求对纯态 的纠缠度可以以渐近为1 的效率来浓缩或稀释 9 ，b e l l 态的两体纠缠为1 ，连 中国科学技术大学博士学位论文 续性要求( 相邻的态对应的纠缠也相近) 1 2 等。但是最基本的就是上面几条。 从条件1 种看到，可分性问题既是一个独立的问题，又是对纠缠进行度量的基础。 卜2 两体纠缠的判据和度量 对纠缠而言最简单的就是二体的情况，已经有很多很有意义的结论。在纠缠 判据方面，首先，有下面的强有力的判据( p e r e s 。h o r o d e c k i 判据) 4 6 ： 对于一个量子态p 是可分的必要条件是它的部分转置( p a r t i a lt r a n s p o s i t i o n 。 p t ) 矩阵是正定的。并且，这个条件对于2 2 , 2 3 系统是充分必要的。但对于 一般的系统它是不充分的。 部分转置操作( p t ) 对应的物理意义是对子系统做时间反演。因此，上面的 判据的另一个表述就是：整个系统的量子态是可分态的必要条件是它在子系统时 间反演下仍然是个物理的态。时间反演在量子信息学中扮演着重要的角色，它 是一个正定但并不完全正定的算符。这个判据的一个巨大优点就是它具有很强的 可操作性。由于一般条件下这个条件的非充分性，如果利用它来对量子态进行分 类就会出现一类所谓的“束缚纠缠态”( b o u n de n t a n g l e m e ms t a t e ) 。任何一个部 分转置正定( p p t ) 的两体量子态，它的蒸馏纠缠( 下面将定义) 为零，也就是说 我们无法通过l o c c 操作从中提取出b e l l 态来。这样的态被h o r o d e c k i 等称之为 束缚纠缠态 7 。我们将除束缚纠缠态以外的纠缠态通称为“可蒸馏的纠缠惫”。 随后的一些研究结果表明，即使是部分转置非正定( n p t ) 的纠缠态也存在束缚 纠缠态的情况 8 。因此，两体纠缠在这种判据下可以分为三类，可分态，束缚 纠缠态和可蒸馏纠缠态。 另外一套有效的纠缠判断的方法就是所谓的纠缠目击者( e n t a n g l e m e n t w i t n e s s ) 1 5 1 8 方法，近来这套方法获得了长足的发展。这个方法充分的利用 了可分态的凸性这一特性( 在一个点和一个凸集之间，总存在一个超平面将其分 开 1 9 ) 。所谓纠缠目击者就是这个将量子态和可分态凸集分开的超平面，根据 凸性，如果一个给定的量子态是有纠缠的，这个超平面一定存在。因而对每一个 量子态我们都可以找到这样的一个目击者来对它的纠缠进行判断。这个方法也有 很强的可操作性。最令人们感兴趣的是那些宏观的纠缠目击者 2 0 2 3 。在这种 - 4 一 中国科学技术大学博士学位论文 情况下，目击者完全由宏观物理量组成。一方面，这大大简化了对纠缠在实际测 量中的难度。另一方面，它可以给予我们关于纠缠如何影响宏观物理效应的有用 信息。而这正是我们现在非常感兴趣的。 另外还有一些纯数学的关于可分性的定理，比如h o r o d e c k i 等 5 用正映射 给出的如下定理：量子态p 是可分的充要条件是对任意正映射( p o s i t i v em a p ) a ：a 。_ a 2 ，算符i 固a p 是正的。其中a ，是作用在h 。上的算符。这样的定理 都用一个共同的特点：它们不具有可操作性。除此之外还有一套被广泛使用的判 断纠缠的方法：b e l l 不等式型的判据 2 4 3 2 。如果b e l l 不等式被违背了，那么， 这个量子态是纠缠态。但是我们知道还存在一些不违背b e l l 不等式的纠缠态。 这个方法的优点是不言而喻的，人们用实验来对量子力学进行检验的时候都是使 用的这套方法。另外人们还发展了别的一些方法来判断态的可分性 3 3 。 前面我们考虑的是如何来判断一个量子态是否有纠缠，如果一量子态有纠 缠，一个很自然的问题是它有多少纠缠? 下面我们就转到这个纠缠的度量问题上 来。对于两体纯态的问题纠缠度量已经被完全解决了。它可以用其中一个粒子的 约化密度矩阵的v o n n e u m a n n 熵 1 2 ，3 4 s ( p 。) = 一el 0 9 2p ， ( 1 2 ) 来度量，其中p 。= 丁b p 。且它的所有本征值为协 。应该指出，这个度量是与选 取哪一个粒子来计算无关的，这可以从两体纯态的s c h m i t 分解 3 5 中看出来。 前面我们已经提到，每一个度量都必然的对应于一个量子态的分类和一个类的排 序问题。那么此处的度量对应的分类标准是什么呢? v o nn e u m a n n 熵对应的等 价关系是渐近等价。所谓渐近等价是指：有n 分纠缠态l 少) 的拷贝，通过对其进 行l o c c 操作，假设我们能产生m 个b e l l 单重态。一般情况下，比值e = n 。n 随着 o o 时，会趋进于一个确定的值。而且理论还证明，当手0 0 时，n 份i ) 和n e 份b e l l 单重态之间的变换近似为可逆交换 1 0 ，3 6 。这里的渐近值 e 就是两体纯态的纠缠度。 尽管两体纯态的纠缠度量已经圆满地解决了，但是对于混态的情况这仍然是 一个严峻的挑战。对混态人们已经提出了多种度量的方案 i 4 8 。虽然都有些成 5 中国科学技术大学博士学位论文 功之处，但同时也有不足的地方。下面我们介绍几种有代表性的度量： b e n n e t t 等人提出的生成纠缠( f o r m a t i o no fe n t a n g l e m e n t ) 和蒸馏纠缠 ( d i s t i l l a t i o no fe n t a n g l e m e n t ) 1 0 是关于混态纠缠度量的最早尝试这两个 定义都具有鲜明的物理意义，而它们的缺点就是难以计算。生成纠缠廓( n 。) 定义为：通过l o c c 操作，为制备纠缠态n 。所消耗掉的最少b e l l 态。在 渐进等价下，假设制各n 。的 1 份拷贝需要尼个b e l l 态，则生成纠缠定义可 以表示为昧( p a 8 ) = l i ms “。，另一方面，生成纠缠的定义还可以写为： 月呻 砟( p 口) = l i m p ，s ( n ) ，其中s ( p ) 是v o n n e u m a m a 熵，而此娃的最小值是 在量子态p 。的所有实现上来取。类似地，蒸馏纠缠岛( 以。) 定义为：通过 l o c c 操作，可以从p 。中提取出的最大b e l l 态数目。仍然从渐进等价的角 度来看，如果从n 份n 。的拷贝中可提取出k 个b e l l 态，那么蒸馏纠缠就 可以写为e o ( p 。) = l 畹! 坐。这个定义的严格化是r a i n s 3 7 ，3 8 完成的。 生成纠缠和蒸馏纠缠不是完全独立的，它们在数值上有关系：e ，e 胪更 进一步，h o r o d e c k i 等人还证明了，任何个满足前面所提的要求的纠缠度 e ( p ) 必须满足( p ) ( p ) se ，( p ) 1 4 。从这个意义上来说，这里给出的 两个定义在纠缠度量族中起着上下限的作用。若考虑纯态的情况，则有下面 的结果e ，( p 。) = e 。( p 。) = s ( 以。) ，这从另一个角度看到了纯态纠缠度量 定义的合理性。由于e ，的获取依赖于最佳的纠缠纯化方案，而到目前为止， 最佳纠缠的纯化方案尚未找到。因此，在绝大多数情况下，我们仅能给出e 。 的上限。然而，对生成纠缠，w o o u e r s 给出了2 2 系统纠缠态生成纠缠的解 析求法 3 9 ，4 0 ；如果定义量c( c o n c u r r e n c e ) ： c ( p ) = m a x o ， 一如一五一厶) ，( 其中 ( f _ 1 ，2 ，3 ，4 ) 是按降序排列的算符 r ；万声万的本征值，而芦= 盯，o 盯，p 仃，固巳) ，则此系统的生成纠缠可 表示为e f = ( ( 1 + 4 1 + c 2 ) 2 ) ，其中h ( x ) x l g x( 1 一x ) l g o 一工) 。后来， 中国科学技术大学博士学位论文 z y c z k o w s k i 还发展了一种数值算法来求解任意维两子系复合系统的生成纠 缠 4 1 ，但迄今尚未得到关于生成纠缠的普适的解析表达。如果考虑到量予 态本身的一些对称性质，我们可以大大简化关于生成纠缠的计算 6 4 。值得 指出的是：生成纠缠所使用的凸化技术现在已经成为量子信息中对纠缠定义 的通用技术，它能将在量子纯态上定义的纠缠度量自洽的推广到混态的情 况。 另一个基于量子态之间的距离并具有鲜明的几何意义的纠缠度量是由v e d r a l 等人给出的 1 2 。如果将两体量子系统所有量子态集r 分成两个不相交的子 集：包含所有可分态的子集d ，和所有纠缠态的子集e = t d 。这里的r 和 d 都是凸集，d 的凸性是下面这个度量能够被定义的关键。由此密度矩阵盯的 纠缠度被定义为： e ( 仃) 2 咖d ( 盯i t p ) ( 1 3 ) 其中，d 表示两个密度矩阵之间的距离度量。这里所谓纠缠度，就可以被看 作是密度矩阵盯与非纠缠态集合的最小距离。当然这个度量的具体表达式 取决于量子态空间中的距离度量。v e d r a l 考虑了两种距离度量，一种是v o n n e u m a n n 相对熵距离度量，它可以被表示为：s p i p ) = t r r l n ( c r i p ) ；另 外一种距离量度是b u r e s 矩阵：d 。( 盯忙) = 2 2 t r 、- p 仃万严。对前一种 度量，它有明确的物理意义和经典对应，它表征的是区分两个量子态的困 难程度。它还具有如下的一些简单的性质 1 3 ：1 ) 幺正变换不变性 s ( g i p ) = s ( u g u + 忉u + ) ，2 ) s ( 盯i p ) s p i p ) 其中是部分求迹，3 ) 可加性s ( a i 仃2 i p , o p 2 ) = s ( a i i p l ) + s ( 仃2 i p 2 ) 而且还可以证明，用v o n n e u m a n n 相对熵距离定义的纠缠度，在纯态情况下可以约化到v o n n e u m a n n 熵 1 1 ，同时这种度量还给出了蒸馏纠缠的一个上限 1 2 。利用 d 的凸性，可以发展一些有效的数值搜寻方法来求解距离的极小值。目前， 对于两q u b i t 系统，人们己找到了求解v o nn e u m a n n 相对熵距离的解析求法 4 2 。这种定义的不足之处在于它缺乏操作性，但他不依赖于粒子的个数。 从计算的角度看，由v i d a l 和w e m e r 4 3 提出的n e g a t i v i t y 是最容易计算的。 它被定义为：d ) = ( 1 1 p 7 叭一1 ) 2 ( p 7 指两子系密度矩阵的部分转置矩阵， -7- 中国科学技术大学博士学位论文2 0 0 5 。指对矩阵本征值的绝对值求和) 。另一个与之相关的定义是所谓的 l o g a r i t h m i c n e g a t i v i t y ：e = l 0 9 2 l l 矿m 它们对于l o c c 操作都是单调的， 后者还是一个可加量。它们的不足之处与距离纠缠一样：没有明确的物理意 义。这会阻碍它的进一步应用。 上面提到的都是关于两体的混态纠缠人们已经提出的部分有代表性度量，当然还 有别的一些度量 4 4 4 7 。他们各有优点和缺点。对于这个问题，人们还没有达 成共识，哪一个更适合作为纠缠的度量。但是人们总希望能找到一个既有物理意 义，又能方便的进行计算的度量。 卜3 多体纠缠的判断和度量 相对于两体纠缠的种种结论而言，多体所能描述的结论就要少得多。两体 纠缠度量的简单性主要得益于它的s c h m i d t 分解，但这样的分解在多体情况中根 本不存在。更糟糕的是，对于多体纠缠人们甚至还没有达成共识：是用一个量来 描述它还是用一组量来描述它。即使是对多体纯态这样的简单情况，这个问题也 远没解决。在多体的可分性和可蒸馏性方面，w d o r 和j i c i r a c 4 8 5 0 将部 分转置的方法推广到了多体的情况，得到了下面的一些有益的结果：对于一个类 似w e m e r 念的多q u b i t 态 一一i 肌= 碍盼) ( 嵋卜( ) ( y ；h j ) ( 町 ) d = 3 = 1 ( 1 4 ) 其中i ；) 。击( 1 蚓o ) 1 2 ”1 一一1 ) 1 1 ) ) 并且令= 筋一石o ( 这个态具有与 w e r n e r 态相似的性质，任何态均可通过局域操作将其退极化( d e p o l a r i z e d ) 到这个 态并保持式和五，) 。它的可分性和可蒸馏性由下列的定理确定1 ) 对一个粒子集 s 。，如果所有将s 。看作一个整体的两部分划分都是p p t 的，那么，s 。这个整体 与其他粒子是可分的。2 ) 若对所有可能的两部划分户。均是p p t 的，则它是完 全可分的。3 ) 如果对粒子i 和j 处于不同部分的所有两部划分，p 。是n p t 的， 则可以从粒子i 和j 中蒸馏出最大纠缠态。4 ) 对一个粒子集s 。，如果对所有s 。不 一8 - 中国科学技术大学博士学位论文 在同部分的二部划分，p 。都是n p t 的，那么可以从瓯中蒸馏出一个k - g h z 态a 当然，利用前面的密度矩阵部分转值的方法可以对量子态进行一个分类 4 8 5 0 。 在多体纠缠的度量方面，较早的是由b e n n e t t 5 1 等人提出的最小可逆纠缠 生成集( m i n i m a lr e v e r s i b l ee n t a n g l e m e n tg e n e r a t i n gs e t ，m r e g s ) 的概念这是一 个用多分量来描述量子纠缠的方案，而分量的个数由m r e g s 中的元素个数来唯一 决定。如果m r e g s = i ) ，i 妒：) ，i 帆) ) ，那么对任意的n 粒子纯态i v ) ，都存 在一组非负的实数x 。，z ：，x 。( 这就是量子态l 甲) 相对于m r e g s 的纠缠指数) 使得在渐近可逆l o c c 操作下下面的两个量子态是渐近等价的：l 甲) 和 i ) 。1o i ：) 舢2o 0 1 帆) “。这虽是一个物理意义明确的多体纠缠度量方案， 但是求m r e g s 是一个异常困难的工作，近年的进展甚微。 由于多体情况和两体之间的巨大差异，人们除了将两体的一些成功的概念推 广到多体夕 ，还引入了一些新的方法。e i s e n 和b r i e g e 】引入了一种基于s c h m i d t 数 的纠缠度来量化多粒子的纠缠 5 2 ，还可以证明这种度量是一种单调的纠缠。显 然，这种方法只有在s c h m i d t 分解不存在的情况下才是有效的。它的具体定义是： 如果 老q 圆i 线) 。l ) 0 - 5 ) 则s c h m i d t 数纠缠定义为l o g ：r ，其中r 是满足上式的直积分解的最小r 这个度 量的不足之处在于它是分离的度量。它在度量图态( g r a p hs t a t e ) 的纠缠时有一 定的优越性 5 3 。 人们更多地从整体和局部的关系上去定义多体纠缠。p a r t o v i 5 4 提出的纠缠 的度量就是从这个意义出发的。对任意的一个量子态p ，首先我们构建一个与它 伴随的满足如下3 个条件的量子态盯：1 ) 它是可分态( 使它只包含经典关联) ，2 ) 它与态p 有相同的边缘分布，即它们的单粒子约化密度矩阵是相同的( 使包含 在盯中的关联与p 具有可比性) 。3 ) ，【p 一力l o g o - 】= 0 。在此基础上定义纠缠 -9- 中国科学技术大学博士学位论文 的度量为 e ( p ) = 。m 。i 0 ) 【s ( 盯) 一s ( p ) 】= ，m 。i n ( 肿s ( p i 盯) ( 1 - 6 ) 其中m ( p ) 为满足条件1 ，2 ，3 的集合。由于条件3 是非线性的，m ( p ) 不是一个 凸集，计算这个纠缠就变得极其的困难。另一个利用整体和局域的关系的纠缠度 量是由y u k a l o v 5 5 ，5 6 给出的。准确地说这个纠缠度量度量的是一个算符产生纠 缠的能力的。对于密度矩阵( 量子态) 它也就自然的导出一个纠缠的度量。它的 表达式定义如下： j l “纠_ l o g 并 q - 7 ) 其中，d 表示的是非纠缠态集，h 。= i b 爿匕i 。( p d 是从整个空间到d 的投影算 符) ，爿。2 瓦。二一j ( 4 i 是约化后的单粒子算符) ，而i x l 表示算符x 的 模。总的来说这个量表示的是整体和单粒子之日j 的差异。而且这个量有很深的凝 聚态物理的背景。它与经典的相变指标 5 7 5 9 有着千丝万缕的联系。因此它在 量子相变中有很好的应用 5 5 ，5 6 。这个量还具有如下的性质：1 ) 半正定性，2 ) 连续性，3 ) 对非纠缠态为零，4 ) 在局域幺j 下变化下不变，5 ) 可加性。这个量 的另一个优点就是它的计算相对来说容易一些。 需要强调的是多体纠缠与固体物理，量子场论有着紧密的联系。从这种联系 出发，人们又定义了好几种有明确物理意义的纠缠度量。由f v e r s t r a e t e ，m p o p p 和j i c i r a c 等 6 0 提出的局域纠缠( 1