（光学专业论文）纳米光波导传输特性的数值模拟.pdf

四川大学硕士学位论文 y 9 9 7 2 纳米光波导传输特性的数值模拟 专业：光学 研究生：李小东指导老师：冯国英 摘要 随着现代光通信、集成光学的发展，出现了各种各样结构复杂的光波导器 件。传统的解析方法对其已经无能为力，各种数值算法纷纷出现。其中时域有 限差分方法( 咖) 由于其简单、直观、容易掌握，并且具有广泛的适用性， 越来越受到人们的关注。目前已经有人将其应用到光波导器件的分析中。 本文中，我们首先介绍了现代光通信、集成光学的发展，并列举了目前计 算光波导的一些方法，重点介绍了时域有限差分法的发展历史，基本原理及其 应用。根据处理对象的不同，可以将时域有限差分法分为矢量差分法和标量差 分法。应用对域有限差分方法对波导传输进行了计算，给出了具体直观的结果。 其中重点对现在新兴的纳米波导进行了模拟。 具体计算中，首先用解析方法给出了平板波导的色散曲线和本征模式，接 着数值计算了平板波导的本征模式，对比两结果，可以看出，对常规波导，两 种方法的计算结果基本吻合，在波导尺寸减小到亚波长量级时，解析结果与数 值计算的结果差别变大，此时解析方法已经不再适用。弯曲波导，波导耦合器 都是现代光通信和集成光学中的关键器件，有着广泛的应用。我们用标量差分 方法和矢量差分方法分别计算了弯曲波导中光场的传输，对常规尺寸的波导， 两种方法得到了一致的结果，直观的给出了光场在弯曲波导中的偏移和压缩， 但对纳米波导，标量差分法已经不能满足计算精度的要求，而矢量方法仍然适 用。应用矢量有限差分方法，我们模拟了波导之间的耦合，具体直观的展示了 两波导直径不同以及两波导耦合深度不同时光场在其中传输分裂的现象。 关键词：光波导，时域有限差分方法，弯曲波导，波导耦合 四川大学硕士学位论文 n u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft h ep r o p a g a t i o np r o p e r t y i nn a n o m e t e r o p t i cw a v e g u i d e m a j o r ：o p t i c s p o s t g r a d u a t e ：l ix i a o d o n gs u p e r v i s o r ：f e n gg u o y i n g a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h eo p t i cc o m m u n i c a t i o na n di n t e g r a t e do p t i c s , v a r i o u s c o m p l e xo p t i cw a v e g u i d e sd e v i c eh a v eb e e nm a d e t h et r a d i t i o n a la n a l y t i c a l m e t h o d sh a sb e e ni n v a l i 正m a n yk i n d so fn u m e r i c a la l g o r i t h mh a v eb e e nd e v e l o p e d w i t h i nt h e m t h ef i n i t ed i f f e r e n c eo ft i m ed o m a i n ( f d t d ) m e t h o d 越t r 扯：i sm o r e a u e n t i o nb e ：c a t l s ei ti ss i m p l e , i n t u i t i v e 。e a s i l yl e a r n e da n dw i d e l yu s e d n m ki th a s b e e nu s e dt oa n a l y s et h eo p t i cw a v e g u i d ed e v i c e i nt h i st h e s i s ，w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to ft h eo p t i cc o m m u n i c a t i o na n d i n t e g r a t e do p t i c sf i r s t l y , a n dr e c o u n ts o m ec a l c u l a t i o nm e t h o d sf o rt h eo p t i c w a v e g u i d e ，a n de x p o u n dt h ed e v e l o p i n g , f u n d a m e n t a lp r i n c i p l ea n di t sa p p l i c a t i o n o ft h ef d t dm e t h o di nd e t a i l a c c o r d i n gt ot h ep r o c e s s i n go b j e c t , w ed i v i d et h e f l 珊m e t h o di n t o 靶a l a ra n dv e c t o rf d t dm e t h o d w ec a l c u l a t e dt h ep u l s e p r o p a g a t i o ni nw a v e g u i d ew i t h 川y mm e t h o d , g i v eo u tt h ec o n c r e t ea n di n t u i t i v e r e a n l t s e m p h a t i c a l l ys i m u l a t et h en a n o m e t e rw a v e g u i d ew h i c hi sn e w l y r i s e n w h 锄c a l c u l a t e ，w e 面v eo u tt h ed i s p e r s i o nc u r v ea n di n h e r e n tm o d eb yu s i n gt h e a n a l y z em e t h o d t h 衄w ec a l c u l a t et h ei n h e r e n tm o d eo ft h ef i a tw a v e g u i d e n u m e r i c a l l y c o m p a r et h et w or e s u l t s w e 啪c o n c i u d st h a t , t h er e s u l to ft h et w o m e t h o d sf i tw i t he a c ho t h e rf o rt h cn o r n l a lw a v e g u i d e b u tw h e nt h es i z eo ft h e w a v e g u i d er e d u c et os u b - w a v e l e n g t h , t h et w or e s u l i s i r ed i f f e r e n t i a lm u c h , t h e a n a l y t i c a lm e t h o d sa r ei n v a l i dn o w b e n dw a v e g u i d e , w a v e g u i d e u p l e fa r et h e k e yd e v i c e si nm o d e mo p t i cc o m m u n i c a t i o na n di n t e g r a t e do p t i c s , a n du s e dw i d e l y w bc a l c u l a t et h eo p t i c a lf i e l dp r o p a g a t i o ni nb e n dw a v e g u i d ew i t hs c a l a ra n dv e c t o r f d t dm e t h o d g e tt h es a m er e s u l tf o rn o r m a lw a v e g u i d ea n dg i v eo u tt h eo p t i c a l f i e l do f f s e ta n dc o m p r e 豁i n t u i t i v e l y b n rf o rn a n o m e t e rw a v e g u i d e , t h es c a l a r f d t dm e t h o dc a l ln o ts a d s l yt h er e q u i r e m e n to ft h ec a l c u l a t i o np r e c i s i o n , v e c t o r f d t dm e t h o di ss t mu s a b l e w es i m u l a t et h ec o u p l eo fd i f f e r e n tw a v e g u i d e ，s h o w t h ep r o p a g a t i n gp h e n o m e n ao fo p t i c a lf i e l di nt w ow a v e g u i d ew i t hd i f f e r e n ts i z eo r n 竺! ! ! 叁兰竺! ：兰竺堕苎 d i f f e r e n tc o u p l ed e p t hi n t u i t i v e l y k e yw o r d s ：o p t i cw a v e g u i d e ，f i n i t ed i f f e r e n c eo ft i m ed o m a i n ( f d t d ) m e t h o d ， b e n dw a v e g u i d e ，w a v e g u i d ec o u p l e r i i i k 、 嘎 i 四川大学硕士学位论文 第一章前言 1 1 光纤通信、集成光学的发展 光纤通信足信息社会的支柱，光纤通信网络是“信息高速公路”的骨于网， 是用户的接入网，也是今后世界通信建设发展的主体1 1 5 1 。光纤通信作为一种 新兴的通信技术，显示出无比的优越性，在短短的三十几年中获得了迅速的发 展，越来越引起人们的极大兴趣，受到人们的普遍关注【5 1 。集成光学在光波导 器件，微光学，光纤通信等领域中的应用越来越多，地位也越来越重要 6 - 1 2 1 。 集成光学在一丌始就将光纤通信作为其主要应用目标之一。集成光学器件伴随 着光纤通信的兴起和发展已经走过了几十年。集成光学器件不仅成为光纤网络 的重要组成部分，而且也促使光纤通信容量爆炸性增长。光纤通信技术和产业 的迅猛发展，集成光学器件技术的进一步发展和成熟还将掀起光纤通信技术及 其相关产业发展的新高潮i m 垃i 像光耦合器、光调制器、电光开关、热光开 关和光波导等都是光通信，集成光学的关键器件，随着光波导技术的发展，出 现了各种各样复杂结构的光波导器件 1 3 2 3 l ，如光子晶体光纤、光纤光栅、纳 米光波导等，分析其传光特性有着非常现实的意义，对光波导器件的结构设计 及性能优化有指导作用 1 。2 光波导的计算方法 传统的分析光波导器件的方法f 2 扣3 2 ，如光线理论分析方法1 ? 2 6 1 ，电磁理 论分析方法，有效折射率法嘲，微扰法【2 5 2 6 1 ，变分法【2 7 1 ，w k b 法1 3 0 ! 等各种 解析方法均可近似地分析出光波导器件中的本征模式光线理论比较粗糙，只 能在宏观上描述光线的行为；电磁理论比较精确，但用来解光波场却十分困难。 其中应用较广的有效折射率法简单方便，计算速度快，但只在近截止范围内比 较精确；微扰法和变分法表达式比较简单，计算方便，精度有所提高，但还是 不能满足计算精度的要求；w k b 方法在分析光波导器件比较简便，但对折射 率突变的情况及低阶模难以给出精确的结果，而且在近截止区偏差较大 四川大学硕士学位论文 以上都是懈析方法，只能求解极少数规则波导的电磁问题。但现在集成光 学发展迅速，各种复杂结构的光波导器件已广泛生产并使用，对其解析求解已 不可能。各种半解析的近似方法也只在有限的场合下应用。从上世纪6 0 年代 以来，随着电子计算机的发展，各种数值算法应运而生【2 4 3 3 书j ：有限元法， 自洽场法，等参元法，有限差分法等方法。有限元法特别适用f 复杂的几何结 构和介电特性分布，具有广泛的通用性，并且计算精确，威力巨大。8 0 年代 中期有限元法丌始应用于光波导计算，后人在此基础上，经过长时日j 的研究， 得到了自洽场法，在光波导计算中比有限元法计算精确，而且程序简单，用时 较少，很适合通道光波导的计算和推广应用，但只能算低阶模，不能算高阶模。 对于各种具有曲边边界的复杂光波导器件用等参元分析法比有限元法更理想。 九十年代以后由于对时域中分析高速脉冲信号沿平面波导结构的传输产 生了兴趣，将传输线矩阵法，时域有限差分法等时域方法应用与光波导分析中， 而高速大容量计算机的出现更使时域分析成为可行。时域有限差分法避免了解 方程组，具有强大的模拟各种复杂结构的能力，计算公式简单，通用性强，近 年来引起人们的特别关注。 1 3 有限差分方法的提出及发展 1 9 6 6 年，k s y e e 首次提出了时域有限差分方法( f i n i t ed i f f e r e n c et i m e d o m a i n 卜- f d t d 来数值计算电磁场问题l 刈f d t d 方法对电磁场e ，h 分量 在空间和时日j 上采取交替抽样的离散方式，每一个e ( 或h ) 场分量周围有四个 h ( 或e ) 场分量环绕，应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦旋度方程转 化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。y e e 提出的这 种抽样方式后来被称为y e e 元胞。f d t d 方法是求解麦克斯韦微分方程的直接 时域方法。在计算中将空间某一样本点的电场( 或磁场) 与周围格点的磁场( 或 电场) 直接关联，且介质参数已赋值给空间每一个元胞，因此这一方法可以处 理复杂形状目标和非均匀介质物体的电磁散射、辐射等问题同时，f d t d 计 算中的随时间推移可以方便地给出电磁场的时间演化过程，在计算机上以伪彩 色的方式显示，这种电磁场可视化结果清楚地显示了物理过程，便于分析和设 计。与其他的数值计算方法相比，时域有限差分具有一些突出的特点： 2 f ? 四川大学硕士学位论文 直接在时域计算时域有限差分法直接把时h j 变量的m a x w e l l 旋度方程 在y e e 氏网格中转换成差分方程。在这种差分格式中，每个网格点上的电场或 磁场分量仅与它相邻的磁场和电场分量，以及上一个时问步该点的场值有关。 在每一时f h j 步计算网格空间各点的电场和磁场分量，随着时h j 步的推移就能直 接模拟电磁波的传播及其与物体的相互作用 广泛的适用性。由于时域有限差分法的直接出发点是概括电磁场普遍规律 的m a x w e l l 方程，这就预示了其具有广泛的适用性从具体的算法看，在f d t d 的差分格式中被模拟的空间电磁性质的参量是按空删网格给出的，因此，只需 给相应空间点设定适当的参数，就可以模拟各种复杂的电磁结构。介质的非均 匀性、各向异性、色散特性和非线性等均能很容易地进行精确模拟。 只占用有限的存储空间和计算时日】。时域有限差分法计算所需要的存储空 日】和计算时间与设定的空间网格点数和时间步对应。 时域有限差分法适合并行计算。很多复杂的电磁问题不能计算往往不是没 有可用的方法，而是计算条件的限制。现在高速并行计算机的发展推动了数值 计算中的并行处理，适合并行计算的发展将更多的发挥作用。由于时域有限差 方法的计算特点：每个网格点上的电场或磁场分量仅与它相邻的磁场和电场分 量，以及上一个时间步该点的场值有关，这使得它特别适合并行计算，这样可 以节约存储空日j 和计算时间。 计算程序具有通用性。m a x w e l l 方程是f d t d 计算任何问题的数学模型， 而且它的基本差分方程对任何的问题都是不变的。此外，边界条件对很多问题 也是通用的，对不同的计算对象，我们只需对相应的空日j 网格付不同的参数值， 对程序只做稍许改动，或者将介质写成相应的子程序模块。应用十分方便，因 此，一个基本的f d t d 计算程序，对广泛的电磁场问题具有通用性。 时域有限差分方法简单，直观，容易掌握。f d t d 直接从m a x w e l l 方程出 发，不需要复杂的数学推导可以动态的模拟电磁波的传输，以及电磁波与物 质相互作用应用的过程；由于它简单直观容易掌握，我们就可以广泛的应用这 一方法来解决复杂的电磁场问题，在广泛的领域中发挥作用 3 1 9 9 0 年，m f l o n e y 等用圆柱坐标下f d t d 分析了柱状和锥状天线位于理 想导体平面上的辐射，得到宽带天线的输入阻抗及瞬态辐射场的直观可视化显 示 1 9 9 0 年，s u l l i v a n 用f d t d 计算6 0 7 0 m h z 电磁波照射下透入到人体内部 的电磁场，研究了生物电磁学问题同年，l u e b b e r s 和h u n s b e r g e r 等研究了 4 一 - 山 一 “ * 四川大学硕士学位论文 色散介质在f d t d 中的处理方法 1 9 9 1 年，y e e ，l u c b b e r s 提出了三维f d t d 时域近一远场外推方法。 1 9 9 2 年，l u e b b e r s 提出了二维f d t d 时域近一远场外推方法。同年， m a l o n e y 和s m i t h 提出将阻抗边界条件应用与f d t d 。s u i 提出用二维f d t d 计算有集中参数元件的数字和微波电路模型 1 9 9 4 年，b e r e n g e r 提出将麦克斯韦方程扩展为场分量分裂形式，并构成 完全匹配层( p m l ) ，这是一种全新的吸收边界。 1 9 9 5 年，s a c k s 和提出各向异性介质的p m l ，其支配方程是各向异性介 质麦克斯韦方程。 在有限差分的发展过程中，边界条件的应用及不断完善使其计算数值更精 确，总场区和散射场区的划分使激励源的设置更加方便随意，同时也使介质的 设置更简单。出于以上两种改进，时域有限差分方法实现了稳念场计算，这样 可以实现直接时域方法和直接频域方法的直接转化。 时域有限差分方法经过三十多年的发展已经成为一种成熟的数值计算方 法，应用范围也越来越广： 天线辐射分析。f d t d 应用于天线辐射特性的计算虽然开始较晚，但发展 迅速，现在已经涉及到多种类型天线的计算，例如柱状和锥状天线，接地导体 附近的天线，喇叭天线，微带天线，手机天线，缝隙天线，螺旋天线以及天线 阵列等。f d t d 计算天线辐射的优越性仍然是对复杂结构的模拟能力。 微波器件和导行波结构的研究。随着通信和雷达等技术的发展，高速和宽 带器件显的越来越重要。由于f d l d 通过一次计算就可以获得宽频带的信息， 而且可以了解脉冲在通路中的详细传输过程，大大加深对其工作的理解，让我 们同时获得宽频带包括时间在内的四维信息。f d t d 与其他的传统方法相比显 示出很大的优越性已经用来分析计算许多的器件，例如波导，介质波导，微 带传输，波导中的孔缝耦合，加载谐振腔等在光波导的分析中，f d l d 还只 是刚刚开始不久，其应用还有巨大的潜力 目标散射的计算。f d t d 很早就在电磁散射问题的计算中得到应用对于 5 四川大学硕士学位论文 复杂或尺寸达到波长量级的目标，传统的方法已不能完全适用，f d t d 具 出的优势。 周期结构分析，例如频率选择表面，光栅传输特性，周期阵列天线，以及 粗糙衷面等。这些应用也都得益于f d t d 强大的介质模拟能力。 电子封装，电磁兼容分析，例如多线传输及高密度封装时数字信号传输， 环境和结构对元器件和系统电磁参数及性能的影响。 核电磁脉冲的传播和散射。在地面的反射及电缆的传输线的干扰。 微光学元器件中光的传输和衍射特性。 在生物电磁剂量学研究中的应用。生物电磁剂量学主要是研究在电磁照射 物体、特别是人体吸收电磁场能量以及其内部电磁场的分白。生物体是个 和结构都极其复杂的电磁目标，其内部各个器官和机体组织的电磁特性各 在电磁波的作用下构成了非常复杂的电磁场问题。有了f d t d 在生物电 量学中的应用，这门学科才具有了更实际的意义。 本文的工作 本文中，在回顾了光通信，集成光学以及各种计算方法只后，我们重点介 有限差分方法。其中详细介绍了三维和二维有限差分法的原理和计算公式 导，以及应用有限差分方法时必须满足的数值色散和边界条件限制等。 接下来，我们具体计算了平板波导首先应用传统的解析法给出了平板波 导的色撒曲线和本征模式，然后又数值计算给出了波导的本征模式，通过计算 可以看出，当波导结构复杂或尺寸减小到亚波长量级时，解析方法已经不能适 用，需要应用数值方法计算；时域有限差分方法可以模拟各种结构复杂的波导， 具有很强的适用性。弯曲波导，波导耦合器都是现代光通信和集成光学中的关 键器件，有着广泛的应用。前人已经得到了一些近似的解析结果，在这黾，我 们分别用标量有限差分方法和矢量有限差分方法计算了光脉冲在波导传输。给 出了具体直观的结果。对研究光波导器件的特性具有指导意义。 6 四川大学颂士学位论文 第二章有限差分方法基本理论 2 1 时域有限差分法的基本方程 m a x w e l i 力往殂足舶怂宏观电僦巩承删一殂昼夺力住，f u il j 力仫椅饿万 形式的m a x w e l l 旋度方程进行差分离散，将微分运算转化为差分运算我们 假定波导是各向同性，线性且与时间无关的介质 m a x w e l l 旋度方程： v h = s 筹+ 面 ( 2 1 1 ) v 啦一等q 日 ) 在直角坐标系中，( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 可以写为： 警一警= s 等+ 哦、1 一= s 2 + o 己1 卵 化研 1 警一警= f 鲁+ 哆 一2 = f + o 它。厂 院饿研 l 警一警= 占攀o t + 哆j 叫， 盘卯。 7 ( 2 1 4 )、iil，lj 以 以 以 q 盟西 堡西 盟甜 叫 叩 叩 哆i 丝卜毽 饵一砂 li一砂 饵i 堕缸 四川大学硕士学位论文 1 9 6 6 年，k s f e e 建立了1 5 ( 2 1 ) 所示的空日j 网格，即著名的y e e 氏网格。 考虑( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 的f d t d 离散差分，令f ( x ，弘z ，) 代表或h 在直角坐 系中的某一分藿，在时日j 和空问域中的离散取以下符号表示： f ( x ，y ，z ，) = f ( i a x ，j a y ，k b z ，n a t ) = f ”( f ，j ，k )( 2 1 5 ) f ( x ，y ，z ，f ) 关了：时日j 和空问的一阶偏导数取中心差分近似，即 堑出型! i 。尘：墨竺二坐二墨竺 i g x i ，。6 ， a x 堑唑型! l 。坐竺芝二坐竺二曼 出 i ：地 a z i g f ( x , y , z , t ) i 。：= 业：盟二：当丛生 讲 l i 。n a t y ( 2 1 6 ) 图2 1 计算差分方程的y e e 氏网格 由图( 2 1 ) 可见，每一个磁场分量周围有四个电场分量环绕，同样，在一个 电场分量周围有四个磁场分量环绕。这种电磁场分量的空间取样方式符合法拉 l 墨 等 罄 b 嚣 t 燮 唪 ；i 四川大学硕士学位论文 第电磁感应定律和安培环路定律的自然结构，并且这种电磁场各分量的宅日j 相 对位置也适合于m a x w e l l 方程的差分计算，能够恰当的描述电磁场的传输特 性。此外，电场和磁场在时日j 顺序上交替抽样，抽样时日j 目j 隔相差半个时间步， 使m a x w e l l 方程旋度方程离散以后构成显式差分方程，从而可以在时日j 上迭 代求解，而不需要进行矩阵求逆运算因此，由给定相应电磁问题的初始条件， f d t d 就町以逐步推进地求得以后各个时刻宅问电磁场的分布。根掘上述原 则，方程( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 可以转化为以下差分方程先看( 2 1 3 ) 中第一式，将丘 的观察点设置在( 墨卫z ) ，其在三个方向上的标度为( i + 1 2 ， 七) ，观察时日j 定 在r = 伽+ l 2 ) a t 时刻，于是( 2 1 3 ) 中第一式可离散为： 睇”“+ 1 2 ，k ) = c a ( i + i 2 ，工j ) e ( f + 1 2 ，_ ，七) + c b ( i + i 2 , j ，七) t - i ：“”( i + 1 1 2 , j + l 2 , k ) 一日，”( i + 1 2 ，_ ，一1 1 2 ，j i ) 1 缈i ( 2 1 7 ) 彬“”( i + l 2 , j ，k + l 2 ) - 彬2 ( i + 1 2 ，j , k - l 2 ) i z j 式中 1 一巫型竺 翻( 肌) 2 再2 巫c ( m ) ， 2 c ( m ) 上式中的标号m = ( + 1 2 ，j ，k ) 同样，( 2 1 3 ) q a 其余各式离散后可表示如下： e 芦1 ( f ，- ，+ l 2 ，k ) = c a ( i ，_ ，+ 1 2 ，七) e ：( f ，+ l ，2 ，k ) + c b ( i ，+ l ，2 ，七) f ，“2 0 ，j + l 2 ，k + l 2 ) 一日，“2 ( f ，j + l 2 ，k 一1 2 ) 1 i 1 f 一一i ( 2 1 8 ) 。l - 7 ”2 ( i + 1 2 ，j + l 2 ，七) 一日，n ( f 一1 2 ，j + l 2 ，七) f 【石一一一一j e y l ( f ，j , k + 1 2 ) = c a ( i , j , k + 1 2 ) e o ，k + 1 1 2 ) + c b ( i , j ，k + l 2 ) x f 日夕”( i + 1 2 ，_ ，k + l 2 ) - 彬“”( i - 1 2 ，_ ，k + l 2 ) 1 l 1 一一l ( 2 1 9 ) 。i ( i + 1 2 ，k + l 2 ) 一日，( f ，一1 2 ，k + l 2 ) f 【 。矿一j 9 同样的，标号历代表观察点的标度。 对于二维问题，我们假设波导结构如图( 2 。2 ) ，假设y 方向没有限制，这一 假设使m a x w e l l 方程中含有a ，砂的项都为0 。 四川大学硕士学位论文 n i 删t 仪兀戳哥不恳图 m a x w e l l 方程组可简化为： 、 一警= 占堡o t + 噍瑟 5 l 警一警= g 孕o t + 哆i 2 一2 9 o + 观1 伲掰 i 堡o x = 占堡o t + 哆【 2 i 一鲁= 叫警一峭 i 言2 叫言一吒以 l 警- - - - x 一警= 叫警一也ii 一言2 叫言一月，i 誓= 叫警一吼 s ， 吉2 叫言一吒爿z 1 2 1 1 3 ) 显然，二维情况下电磁场的直角分量可划分为独立的两组，其中一组包含 皿砂忍分量，我们称其为t e 波，另外一组包含最，缈& 分量，我们称其 为t m 波。下面我们以t e 波为例，来说明二维情况下电磁场的差分离散。t e 波的m a x w e l l 方程见( 2 1 1 4 ) ，其空间电磁场分布见图( 2 3 ) 矽2 ( f + l z c ) ：c f ( i + l z k ) n ； ：，：( f + i z k ) + 卿+ l ，乏d 壁兰尝二墨塑( 2 1 1 6 ) 黟( ，轴= c 愈，吣鹭q ，b + c ，吣x 岂，胆( 七+ l ，2 ) 一j ，岁2 ( f 七一l 习月岁2 ( f + l ，z 七) 一月，7 2 u l z 幻， ( 2 1 1 7 ) 。1 。1 。_ _ _ _ _ _ _ - _ 一_ _ - _ _ - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ o _ _ _ _ _ _ _ - _ 一i 垃 缸 。 同样，式中 l - 四川大学硕士学位论文 c p ( m ) = l 吒( m ) a t 2 p ( m ) i 巫 2 p ( m ) l a ( m ) a t 伽川2 矗墨 2 f ( m ) 标号m 代表观察点的标度。 2 2 数值稳定性分析 f d t d 方法是将m a x w e l l 方程按照y e e 网格所写成的一种显式差分方程， 他的执行是通过时问步的推进来计算电磁场在计算空日j 的变化规律。这种显式 差分方程存在稳定性问题，即时间步长与空间步长不是相互独立，必须满足一 定的关系，否则将出现数值不稳定性。这种不稳定性主要表现为：随着时问步 的推移，计算各电磁场分量的数值将无限的增大，这并不是由于误差积累，而 是由于电磁波传播的因果关系被破坏的结果 为了确定数值解的稳定性条件，必须考虑在f d t d 算法中出现的各种波 模，基本方法是将有限差分式分解为对空间和时间的本征值问题。由于任何波 模都可以展开为平面波的迭加，如果一种算法对平面波是不稳定的，那么他对 任何波都是不稳定的，因此我们可以用平面波为对象来考虑其在空问中的传 播。假定平面波本征模在空间中传播，这些模的本征值谱由数字空日j 微分方程 来确定，并与由时间微分方程确定的本征值谱作比较。按要求，空目j 稳定值谱 必须全部在稳定区内，以确保算法的稳定1 棚o v e 等人在1 9 7 5 年对y e e 氏差 分网格的稳定性进行了讨论，并给出了时间步长的限制条件 在实际计算中，我们假设各个方向的空间步长相等，既缸= 缈= a z = 血 对三维情况： f = 血 2 i 丽 磊丽 一 + = 辨 8 i 磊丽 一 + = 脚凹 四川大学颂士学位论文 对二维情况： 扯厦。蕊 2 工2 ) v 一工a x 2 ，上6 2 2 ”m 2 ”一 式中，v 一= c n 是介质中的最大波速。( 2 2 1 ) 式和( 2 2 2 ) 式给出了空h j 步长和 时问步长应当满足的关系，这就是f d t d 的数值稳定条件，称为c o u r a n t 稳定 性条件 2 3 数值色散要求 数值色散是在用f d t d 方法计算模拟电磁波的传播时，在非色散介质中 也出现色散现象，且电磁波的相速度随波长、传播方向及变量的离散化情况而 变化。数值色散会导致脉冲波形的畸变，出现人为的各向异性及虚假的折射率 等现象。数值色散是f d t d 算法中必须考虑的一个因素，它是提高该算法计 算精度的一个重要限制。 分析数值色散问题的基本方法是将单色平面波的一般形式代入差分方程， 从而导出频率与时问和空日j 步长的关系，即数值色散关系。按照上述方法，得 到色散关系如下： ( 爿2 甜c 警= 古龇竽，+ 古如2 壬争+ 古s i n 2 芒争t ， 由电磁场理论，在均匀无损各向同性介质中平面电磁波的色散关系： 等= + 杉2 + ( 2 3 2 ) 可以看出( 2 3 1 ) 是( 2 3 2 ) 在极限情况下的近似。根据三角函数，在善l r 1 2 时，s i n f * 掌，于是在x 方向： 坐2s 吾 渊) 1 2 、 可以得到： 1 4 - 四川大学硕士学位论文 缸云 ( 2 3 4 ) 对j ：y ，z 方向也口丁得到同样的关系以上就是为了克服数值色散，空州步长 所需要满足的条件。在实际计算中，我们通常取缸= m 2 0 。 2 4 边界条件 出于计算机的内存是有限的，我们只能在有限的空问内模拟电磁场的传 输，丽实际中电磁波的传输将占用无限大的空日j ，所以用有限网格进行计算时， 计算空8 j 将在某处被截断。这需要设胃适当的边界条件，使得在边界处光波只 能向外传播，没有向内的反射波，不影响计算区的计算，从而提高计算的精度。 边界条件的设置是采用时域有限差分计算的关键问题，静人做了大量的工作， 提出了许多行之有效的方法，它们各有优缺点。这里我们主要应用m u r 吸收 边界条件 2 4 1 吸收边界条件 为了说明吸收边界的概念和条件，我们先从最简单的一维情况丌始讨论。 一维情况下，波动方程为： f 等专事k 归。 叫， i 缸2 v 2 西2j “”7 。 7 它的平面波解f ( x ，t ) = a e x p j ( w t - k ，x ) 】，是在x 方向传播的行波，其中 七= 2 x l a = w l c 是光波在x 方向传播的波矢。设在x = 0 处为截断边界，如图 ( 2 - 4 1 ) 所示，在x 0 区域，存在入射波和反射波，所以我们将其平面波解分裂 为两部分： f ( x ，) = 4e x p j ( w t t j ) 】+ 一e x p j ( w t + t 工) 】 ? 淄一 n 膏 ，+ ，射城 x o 区域 图2 4 i 平面波在截断边界处的反射 一 璺型奎兰壁主兰堡笙茎 并记： f = 彳e x p j ( w t + 七，x ) 】( 2 4 2 a ) 工= 彳+ e x p j ( w t - k ，x ) 1( 2 4 2 b ) 其中正为在行波，代表入射波，工为右行波，代表反射波。将( 2 4 2 ) 代入( 2 4 1 ) 并保留对鼻的偏导数，可以得到； ( 导瑚，_ o ( 2 4 3 ) 我们定义微分算予l ， = 蔷w = ( 旦一则丢吡) ( 2 4 4 ) 并记： = 晏一，t( 2 4 5 a ) o x t = 昙+ 炽 ( 2 4 5 b ) 将( 2 4 5 ) 分别作用于( 2 4 2 ) ，不难得到： 工一正= 0( 2 4 6 a ) + 工= 0 ( 2 4 6 b ) 因此，我们称t 为左行波算子，称+ 为右行波算子将左行波算子作用于平 面波上，可得到； 三一f = lf _ + 工一工= t 正 ( 2 4 7 ) 可以看出，结果只与右行波相关对于图( 2 4 1 ) 所示的左边界我们设置边界 条件，即要求没有反射波，即没有右行波，所以，就是要求 t 工= 三- f = 0( 2 4 8 ) 将具体表达式代入，得到： 曝一丢旦_ ；o (2删at l、缸v ”o 。 1 6 四川大学颂士学位论文 这就是左边界吸收边界条件的表达式h 样司以得剑石边界吸收边界系仟明农 达式： ( 昙+ ；州a ) a 。= 。( 2 4 1 0 )( 瓦+ ；讲b 2 0 j 这一方法町以推广到二维，三维情况 2 4 2 二维m u r 吸收边界条件 考虑二维波动方程： ( 簧+ 生丽10 2 7 ) f ( 0 3 , 2 叫) - o ( 2 4 1 1 ) ( 爵+ 一一；讲x ，y r ) 2 u 1 按照一维情况所讨论的方法，将( 2 4 1 1 ) k 因式分解可得到左、右边界的吸收边 界条件： ( 晏一三昙厢) ，：0 1 2 ( 2 4 1 2 a 、) 恢一i 瓦w 吖j j 2 墨+ 三昙厂：0 1 2 b ) q l - s ) ( 2 4 1 2 b ) 嚅+ i 瓦 _ ，2 其中： 言售 ( 2 4 ) 扫9 面7 瓦 j 同样，我们也可以得到上、下边界的边界条件： 一三昙正了) ，：0 ( 2 4 1 4 a ) 一i 瓦小- w 2 u 一 ( 导+ ! 昙正万) ， 1 4 b ) - - 0 ( 2 4 1 4 b ) ( 瓦+ i 石1 _ w ) ， 其中： w = v 丢售 s ， w - 9 夏7 瓦 u j ” 上面的公式中包含根号，使用起来不是很方便，利用t a y l o r 级数展开，为了 保证数值精度，我们取到一阶展开项： 1 7 四j j 大学硕士学位论文 巧。1 一妻 z ( 2 4 1 6 ) 我们将( 2 4 1 6 ) 和( 2 4 1 3 ) 代入( 2 4 1 2 ) ，重写左、右边界的吸收边界条件： c 岳专簧+ j 1 矿0 ，卅。= 。 e 蕞专等一净0 。 同样可以得到上、下边界的边界条件： 、 e 盖专簧一三副州= 。 弓茜专弘剖脚= 。 根掘上面的讨论，结合我们具体的计算模型，如图( 2 2 ) 所示， 例，推导关于e y 的边界条件。将母代入左边界条件公式中得： c i l 受0 国2e ，v 2 竺( 。t 2f y + 三等q 卜。 利用关系： ( 2 4 1 7 a ) ( 2 4 1 7 b ) r 2 4 1 8 a ) ( 2 4 1 8 b ) 以左边界为 ( 2 4 1 9 ) 鼍叫等氓h z = 一一盯爿 四讲 并设置o - = 0 ，将( 2 4 1 9 ) 对t 积分，并设初始场为0 ，化简可得： 丢q 一昙善b 一竺2 旦0 x 1 1 神= 。 ( 2 a 2 。) 将观察点伍圳设在瞳“j 矽，观察时间设在( n + l 2 ) 时刻，采用中心差分，将 ( 2 4 2 0 ) 写成差分离散式并整理可得到： ( f 七) = 曰1 ) + 善塞m 啃( f 动一嵩 ( 2 4 2 l a ) 一。口c “”( i + i l z k + 1 ) + 月，”( f + l ，z 七) 一j 薯“2 ( f 1 1 2 k + 1 ) 一曰，”( f l 2 , k ) 1 8 四川大学硕士学位论文 军瓴d = g ( f ，t - 1 ) 一蕊v a t - a z ( g “( f i d g ( f ，的卜j 麦 ( 2 4 2 1 b ) 协铲l 助 蒜( f 一句螂助嚆( 2 4 2 l 。) 旷r ”( t + l 习+ “胆o - l k + l 2 ) - l - 矿, ”( f ，i 一1 2 ) 一厶“q - l k 一1 2 ) 降盼蛹t 基础蚋母国嗉篙( 2 4 2 l d ) 婵“”q + l , k + l 2 ) + 毋“( i , k + l 2 ) 一 r 2 0 + l k - i z o - m t ”q , k - l 2 ) i i s - i k + l ，； g 1 i k i 、| f 。卜+ 牖挺+ 1k 1 ) ( t o + 1 k s r l ) d ep a 体纠 图( 2 4 2 ) 角点计算示意图 我们