D5-2.2高阶偏导数方向导数与梯度ppt课件.ppt

第2.2节高阶偏导数、方向导数与梯度,二、方向导数,三、梯度,一、高阶偏导数,作业习题5.2(A)15,16,17,18,19,21,22,25,1,一、高阶偏导数,设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z=f(x,y),的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数：,（混合偏导数）,2,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为,z=f(x,y)关于x的n1阶偏导数,再关于y的一阶,偏导数为,3/23,3,例1.求函数,解:,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,4/23,4,例如,二者不等,5/23,5,则,定理.,例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:,本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.(即与求导次序无关.),因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,而初等,(证明在课件P29-30),6/23,6,例2.证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性,有,方程,7/23,（偏微分方程）,7,二、方向导数,定义:若函数,则称,为函数在点P处沿方向l的方向导数.,在点,处,沿方向l(方向角为,)存在下列极限:,记作,8/23,8,定理:,则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数,且有,在点P可微,得,故,9/23,9,对于二元函数,为,)的方向导数为,特别:,当l与x轴同向,当l与x轴反向,向角,10/23,10,例3.求函数,在点P(1,1,1)沿向量,3)的方向导数.,11/23,解2:按定义做，麻烦。,11,例4.设,是曲面,在点P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P处沿,求函数,12/23,12,三、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f的值增长最快的那个方向;,模:f的最大方向导数的值.,方向导数取最大值：,13/23,13,例5.求函数,在点P(2,3)沿曲线,朝x增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点P的切向量为,14/23,14,1.定义,即,同样可定义二元函数,称为函数f(P)在点P处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,2.梯度的几何意义,15/23,15,称为函数f的等值线(P5).,则L*上点P处的法向量为(P29),同样,对应函数,有等值面(等量面),当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的法向量为,16/23,（等值线实质就是曲面z=f(x,y）与平面z=C的交线在xoy坐标平面上的投影.）,16,3.梯度的基本运算公式,17/23,函数在一点的梯度垂直于等值面(或等值线),在该点的切线(或梯度与等值线在相应点的法线平行),指向函数增大的方向.,17,例6.,证:,试证,18/23,18,例7.,已知位于坐标原点的点电荷q在任意点,试证,证:利用例4的结果,这说明场强:,处所产生的电位为,垂直于等位面,且指向电位减少的方向.,19/23,19,内容小结,混合偏导数连续,与求导顺序无关,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序),1.高阶偏导数,20/23,20,2.方向导数,三元函数,在点,沿方向l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向l(方向角为,21/23,21,3.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,22/23,22,5.方向导数的几何意义(P26),4.几个概念之间的关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,23/23,23,思考与练习,1.设函数,(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向,的夹角.,24/30,24,曲线,1.(1),在点,解答提示:,M(1,1,1)处切线的方向向量,25/30,25,26/30,26,备用题1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意x,y,z具有轮换对称性,(92考研),27/30,27,指向B(3,2,2)方向的方向导数是.,在点A(1,0,1)处沿点A,2.函数,提示:,则,(96考研),28/30,28,证:令,则,则,定理.,令,29/30,补充内容,29,同样,在点,连续,得,30/30,30,数学实验安排,第8周（4月10号）第10周（4月24号）第12周（5月8号）第14周（5月22号）主C-204上数学实验理论课第13周上机实验，地点:理科楼2261.ACCA11,12,公管11时间:（5月15号）星期二早上8:00-12:00;2.软件11,12,13,14时间:(5月15号)星期二晚上18:00-22: