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摘要电磁场中的自适应超松弛迭代技术研究 摘要 有限差分方法由于其强大的功能，已经成为电磁场数值模拟的最重要方法之一。求 解有限差分方法形成的线性方程组一直是计算电磁学中的热点问题。如何解决常用迭代 法求解缓慢的问题，是本文的主要研究方向。 超松弛迭代法是求解线性方程组的有效方法之一，利用超松弛求解有限差分方法形 成的方程组是计算电磁学中的常用手段。但是，超松弛方法中的松弛因子的选取极大地 影响了迭代求解的效率。选取一个最佳的松弛因子，可以极大地改善计算效率。 本文介绍了自适应模糊控制松弛因子技术与有限差分方法相结合应用于求解电磁 场问题，使用超松弛迭代求解线性方程组。关于如何选取最佳松弛因子的闯题，至今仍 没有有效地解决本论文对松弛因子的选取研究是在电磁场研究中进一步的应用。并通 过应用于微带线特性阻抗和脊形波导的计算验证了其正确性及高效性，通过比较发现应 用这种方法比用经验直接选取彩等其他方法更有效。从而为此方法在工程应用中的实现 提供了可能。 关键词：有限差分方法，超松驰迭代方法，模糊控制，特征阻抗 a b s t r a c t 一一 皇壁堑! 箜鱼垩些塑竺丝垄垡垫查! 堕 - - _ _ _ _ _ i _ _ _ _ - - _ - _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ - - _ _ _ - _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ - _ - _ - _ _ _ _ - _ _ l _ _ - _ - - _ - - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ 一 a b s t r a c t f i n i t ed i f f e r e n c e ( f d ) m e t h o db e c o m e so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm e t h o d s 如rm l m e r i c a l s i m u l a t i o nb e c a u s eo fi t sp o w e 尥lp e 雨咖a l l c e h o w e v e r ，s 0 l u ：t ：i o no fl i n e a fe q u a t i o 璐i s a l w a y sap o p u l a rt o p i ci nc o m p u t a t i o n a le l e c n d m 姆l e t i c s h o wt 0c 2 l l c u l a t el i 玳舭e q 岫t i o i l s e f ! f i c i e n t l ya n da c c u r a t e l yi st h em e m e o ft l l i sp a p e r s u c c e s s i v eo v c r r e l a x a t i o n ( s o r ) m 甜1 0 di so n eo f 吐l ee 衢c i e n ts o l v e r sf o rs o l v i n g l i n e a rc q 戚i o n s a sar e s u l t ，s o l v i n ge q l l a t i o i l sg e n e r a t e d 舶mf i l l i t ed i 腩r e n c em 咖0 db y s u c c e s s i v eo v e r r e l a x a t i o ni sac o m m o nw a y h o w e v e r ，r e l a x a t i o nf a c t o rp a y sa i ll m p o n a i l t p 疵i ns o r s o l v c r ab e s tr e l a x a t i o n 自l c t o ri sa b l et oi n l p r o v em ee 佑c i e n c yo fs o l v e r 伊e a t l y a na d a p t i v er e l a ) 【a t i o n 白c t o rt e c h l l i q u el 粥b e e np r o p o s e df 1 0 ra c c e l e r a t i n gf dm e l l l o dt 0 s o l v ee l e c 仃o m a g n e t i cp r o b l e m si i l 廿l i sp 印e r s o ri t e 枷v em e t h o dh a sb e e na p p l i e d t 0s o l v e l i n e a re q u a t i o n s h o wt 0s e l e c ta i lo p t i m a lf a c t o ri ns o r m e t h o di ss t i l l 觚u n s o l v e dp r o b l 锄。 t h ea d a p t i v er e l a x a t i o nf a c t o ra p p r o a c h p r o p o s e di nm i sp a p e r t os c l e c tr e l a x a t i o nf 砌【o ri sa f 时t h e ra p p l i c a t i o ni ne l e c t r o m a 野坨t i c s f i i l a l l y ，t h e1 1 0 v e lm 甜l o do nh o w t 0s e l e c tr e l a x a t i o n f a i 湘rh a sb e e nu s e dt 0c a l c u c h a r a c t e r i s t i ci i i l p e d a i l c eo fm i c r o s t 邱l i n e 锄dr i d g e w a v e g u i d e n 哪e r i c a lr e s u l t s s h o wt h a tt t l i s c o m p a i c d 、i t hs e l e c t i n gf a c t o rb ye x p e r i e n c e a d a p t i v em e m d di s r n o r ee f ! f i c i e n t 、7 v ! h e n k e yw o r d ：f i l l i t ed i 髓r e n c em e t h o d s ，s u p e r - r e l 觚e di t e r a l t i o n ，妣固c 0 船o l ，c h 缴c t e r i s t i c i m p e d 锄c e i l 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：扭丛芝蕊：沙占年 月钿 硕士学位论文电磁场中的自适应超松弛迭代技术研究 1 绪论 有限差分法( 简称差分法) 是以差分原理为基础的种数值方法，它实质是将电磁场 连续域的问题变换为离散系统的问题来求解。也就是通过网格状离散化模型上各离散点 的数值解来逼近连续场域的真实解。 1 1 研究工作的背景 1 8 6 4 年，麦克斯韦( m a x w e l l ) 应用数学的形式对电磁现象进行了描述，成为了电磁 场学科领域的基石，他的研究成果被称誉为1 9 世纪最显著的科学成就之一。目前，电磁 场的研究已深入到各个领域，应用十分广泛，例如无线电波传播，光纤通信和移动通信， 雷达技术，微波，天线，电磁成像，地下电磁探测，电磁兼容等等。 经典电磁学对电磁特性的分析研究一般采用试验和解析求解技术。但是试验的方法 存在测试成本高和研究周期长等缺点；而解析方法只能对一些简单的电磁闯题进行分 析，又存在较大的局限性。随着计算机技术的发展，在电磁场与微波技术学科，以电磁 理论为基础，以高性能计算机技术为手段和工具，利用计算数学提供的各种方法，诞生 了一门解决复杂电磁场与微波工程问题的学科一计算电磁学。计算电磁学对电磁结构 进行分析时，首先建立相应的电磁、数学模型。在模型确定之后，就要选择算法并使之 在计算机上实现。各种数值计算方法由此应运而生，其中有属于频域技术的矩量法、有 限元法等；属于时域技术的时域有限差分法、传输矩阵法和时域积分方程法等。各种方 法都具有自身的特点和局限性。 有限差分法的应用范围很广，广泛应用于求解均勾或个均勾线性媒质中的位场，而 且还能解决非线性媒质小的场；它不仅能求解恒定场或似稳场，还能求解时变场，在边 值问题的数值方法中，此法是相当简便的。在计算机存贮容量允许的情况下，有可能采 用较精细的网格，使离散化模型能较精确地逼近真实闯题，获得具有足够精度的数值解。 应用有限差分法对电磁场边值问题进行求解通常所采取的步骤为 1 ) 采用一定的网格划分方式离散化场域。常见规则网格有正方形、矩形、平行四边 形、等边六角形和极坐标网格等。 2 ) 基于差分原理的应用，对场域内偏微分方程以及场域边界上的边界条件 也包括场域内不同媒质分界面上的边界条件，进行差分离散化处理，结合相应的差分计 算格式。 3 ) 结合选定的代数方程组的解法，编制计算程序，求解出所得对应于待求边值闯题 的差分方程组，所得解答即为该边值问题的数值解。 随着社会及科技的发展，现代工程实践对系统的控制要求也在不断提高，传统的控 l 1 绪论 硕士学位论文 制理论已无法满足其中的要求，于是就产生了许多新的控制思想及理论。尤其是2 0 世纪 6 0 年代出现的最优控制理论，然而，不幸的是，现代工业过程因其无法得到系统精确的 数学模型( 且模型常常因外界环境的变化而改变) 而无法使用最优控制理论来进行系统 设计。随着研究系统的复杂程度及不确定程度的逐步提高，一种新的系统方法一模糊 思想诞生了。 ( 1 ) 工程控制的要求在工业过程控制领域，p i d 调节器的应用仍占主导地位。其主要 原因是p i d 对各种工作环境下的工业过程有较好的控制效果和p i d 无需建立精确的对象 模型。而2 0 世纪6 0 年代发展起来的以状态空间方法为基础、最优控制理论为主要结果的 现代控制理论，虽然在理论上是完善的，在许多领域内也卓有成效，但一直取代不了p i d 在工业过程控制中的地位。原因在于现代控制理论以对象精确的数学模型为前提，而工 业过程往往是多变量的高维复杂系统，其精确的数学模型难以建立。因此，工业过程自 身要求寻找对模型要求低、在线计算方便、控制综合质量好的算法。模糊控制便是为适 应这种要求而发展起来的。 j ( 2 ) 理论上不断完善的要求模糊控制虽然有鲁棒性好、适应于方法复杂的工业过程 建模的特点，但模糊理论体系也有不完善的地方。就工程应用的角度而言，2 0 世纪9 0 年 代以前的模糊系统理论有两大弱点：是没有一套系统而有效的方法来获取知识，只能 采用专家问卷的形式，费时且又难以得到满意的结果：二是缺少完整的理论体系来保证 系统的稳定性、收敛性等基本要求。9 0 年代以来的模糊 系统理论在这两方面取得了突破性进展。愈来愈多的具有严格数学证明的模糊控制论文 的出现，使得模糊控制不再是一种只能基于经验的简单控制器，而是具有严格理论支持 的高性能非线性控制器。但模糊控制要建立起像现代控制理论那样完整的理论体系仍有 大量的工作要做。 1 9 6 5 年l a 。z a d e h 授发表了题为“模糊集 ( f u z z ys e t s ) 和“模糊集与系统 ( ( f u z z y s e t sa n ds y s t e m s ) 两篇开创性论文，奠定了模糊集理论应用研究的基础。一些学者很 快将模糊集的思想引入到系统控制之中，提出模糊控制的概念，对模糊控制器展开了理 论研究、实验室仿真及工业项目的应用实践e1 9 7 3 年z a d e h 教授给出了用模糊语言进行 系统描述的方法，英国学者m a m d a n i 和a s s i l i a n 在1 9 7 4 年首先利用模糊控制方法设计模 糊控制器，并将它成功地应用于锅炉和蒸汽机的实验控制系统。这一开拓性的工作，标 志着模糊控制的诞生。从此以后，模糊系统理论在工业、交通、医疗、经济、军事等各 个领域得到了广泛的应用。2 0 世纪9 0 年代以来，基于模糊控制的洗衣机、空调器、摄像 机、吸尘器、电冰箱等相继问世，产生了家用电器的一场技术革命。而模糊芯片和模糊 软件、硬件的开发与应用，更是推动了机器人、信息处理系统、知识工程及新一代计算 机等的迅速发展。我国研究人员自1 9 7 9 年以来，对模糊系统理论进行了深入研究，在模 糊控制器的定义、性能、算法、鲁棒性、电路实现方法、稳定性、规则自调整等方面取 2 硕上学位论文 电磁场中的自适应超松弛迭代技术研究 得了大量的成果。 1 2 研究工作的应用意义及现状 有限差分法简称差分法，这种方法早在1 9 世纪末已经提出，但把差分法和近似数 值分析联系起来，则是2 0 世纪5 0 年代中间以后的一段时间。它以简单、直观的特点而 得到广泛的应用，无论是常微分方程还是偏微分方程、各种类型的二阶线件方程。以至 高阶或非线性方程，均可利用差分法转化为代数方程组，而后用计算机求具体数值解。 有限差分法是以差分原理为基础的种数值方法、它把电磁场连续域内的问题变为 离散系统的问题，即用各离散点上的数值解来逼近连续场域内的真实解，因面它是一种 近似的计算方法。根据日前计算机的容量和速度，对许多问题可以得到足够高的计算精 度， 使用超松弛迭代求解利用差分法转化为代数方程组，首先要选择松弛因子。松弛 因子的选取直接影响到方程组的收敛及收敛速度。恰当的松弛因子能大大提高计算效率 关于如何选取最佳松弛因子的问题，至今仍没有有效地解决。目前，在实际计算中，采取 试算的方法寻找较好的松弛因子。本论文对松弛因子的选取研究是实际当中的个迸。 步的应用。在模糊控制的基础上加以改进，能够自适应选取松弛因子。 从应用的角度看，模糊控制具有以下优点： ( a ) 方便易懂。由于传统的控制理论所用的数学工具越来越复杂，应用工程师们倾 向于采用些易懂的方法，模糊控制就是其中之一。由于模糊控制模仿人脑的控制策略， 因此即使对非专业人员，其控制原理也不难理解。 ( b ) 执行简便模糊逻辑系统作为模糊控制的主体，其具有高度的并行处理能力。模 糊超大规模集成电路( v l s i ) 芯片的出现，使得模糊控制器的执行快速简便。- ( c ) 成本低廉从实用的角度来看，产品的开发成本是产品成功与否的重要指标之一。 由于模糊控制方法简便易懂，缩短了培训时问，即“软件成本刀降低。同时模糊控制执 行简便，“硬件成本 也较低。另外，模糊控制器的设计已有商品化的软件工具，这样， 模糊控制就成为一种高性能价格比的方法。 近年来，模糊系统和模糊控制领域的研究取得了迅速的进展。模糊控制在消费品和 工业过程控制中的成功实践，促使越来越多的学者对模糊系统理论及其应用进行了严密 的研究。这些学者试图通过理论研究解释实践成功的原因，并使模糊系统的现有研究方 法系统化，从而逐步形成更加强大的方法。所有的这些努力都将使整个模糊系统和模糊 控制理论的前景变得更加清晰。模糊系统一直广泛应用于各个领域，从控制、信号处理、 通信、集成电路制造到商业专家系统、医药、行为科学等，不过，其最大的应用一直集 中在控制问题上。具体应用如下所示： ( 1 ) 在过程控制中的应用：水泥窖控制、锅炉烧结控制、发酵罐含氧量控制、发电 3 l 绪论硕士学位论文 机组负荷控制、升降机控制、废水处理、天文望远镜控制以及采矿、炼钢、造纸、轧钢 等过程控制等： ( 2 ) 在军事上的应用：机翼控制、雷达故障诊断、运载工具控制等： ( 3 ) 在医学上的应用：医学图像处理、肢体外循环控制、临床自动给药系统、医疗 诊断系统以及模糊激光疗法等： ( 4 ) 在经济管理中的应用：宏观经济调控、经济决策支持系统、经济预测、生产调 度等； ( 5 ) 在信息技术中的应用：机器人控制、仿人记忆系统、模糊芯片、智能计算机、 专家系统、新一代软硬件等： ( 6 ) 在交通领域中的应用：交通系统控制、城市交通网、卡车自动装卸系统、地铁 控制系统、汽车传动系统控制、汽车自动停车系统等： ( 7 ) 在日常生活中的应用：高性能家用电器等。我们相信随着模糊系统理论的进一 步发展，模糊技术的应用范围将不断扩大，水平也将日益提高。模糊系统发展到今天， 经历了从冷到热，从普遍怀疑到基本接受的一个漫长的发展过程。其中，2 0 世纪7 0 年代 的主要工作是进行计算机仿真分析和理论研究，8 0 年代则是从实验室转入工业实践并由 此走进世人注目的年代，8 0 年代中后期，日本的系列模糊家电产品所取得的巨大的经济 效益更引起了国际控制界学者的广泛关注而加入其研究行列。因而，模糊控制理论的研 究与应用在9 0 年代初中期达到了兴盛时期。 将模糊技术与有限差分方法结合应用于对电磁场边值问题的求解中，必然得到了更 广泛的重视并将成为国内外学术界研究的热点。 1 3 本文内容安排 在微波器件和微波技术中常常遇到的是一些偏微分方程的边值问题。我们知道，很 多给定的边界条件的偏微分方程的求解相当复杂。有限差分是个经常采用的近似方法。 本文对此进行了研究。本文的第二部分对电磁场中常见的计算方法进行了概述，是本文 的基础部分。在第三章，主要研究了差分方法在求解拉普拉斯方程中的应用。第四章主 要研究了差分方法在求解亥姆霍兹方程中的应用。并且都结合了自适应选择松弛系数， 利用超松弛方法对给出的算例进行了求解。 4 硕士学位论文电磁场中的自适应超松弛迭代技术研究 2 有限差分法中的自适应迭代求解原理 本章将具体介绍有限差分法、s o r 迭代法和模糊控制基本原理和相关内容，作为 本文后续章节的基础和铺垫。为后续研究打下基础。 2 1 有限差分法 本章基于差分原理阐述了在电磁场数值计算方法中应用最早的有限差分法。 在电磁场数值计算中，有限差分法是应用最早的一种方法。有限差分法以其概念清晰、 方法简单、直观等特点，在电磁场数值分析领域内得到了广泛的应用。现阶段各种电磁 场数值计算方法发展很快，尤其是在有限差分与变分法相结合的基础上形成的有限元法 目前得到了广泛的应用，但有限差分法以其固有的特点仍然是一种不可忽视的数值计算 方法。例如，面向高频的电磁场的传输、辐射、散射和透入等工程问题的需要，基于麦 克斯韦方程组中旋度方程直接转化为差分方程的时域有限差分法即从传统的有限差分 法中脱颖而出，成为在上述一些列工程问题中广泛应用的数值方法。 有限差分方法( f i n i t ed e f e r e n c em e t h o d ) 是计算机数值模拟( 包括电磁场数值计算箩麓 最早采用的方法，本世纪五十年代以来，有限差分法以其概念清晰，方法简单直观等特 点，在电磁场数值计算分析领域内得到广泛应用。 有限差分法的基本思想是将求解域划分为差分网格，用有限数量的网格节蔗代替连 续的求解域。有限差分法以t a y l o r 级数展开等方法，基于差分原理的应用将控制方程中 的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知 数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概 念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法晗别。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从 差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式 还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种 形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格 的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式， 目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前 差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精 度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以 组合成不同的差分计算格式。 有限差分法的稳定性一般是指具体计算步骤中出现的误差对结果的影响，也就是要 5 2 有限差分法中的自适麻迭代求解原理 硕士学位论文 研究实际计算平台，计算环境下能否可靠的实现该差分推算公式。稳定性与步长大小有 绝对关系，太大或者太小都不行，会使计算结果具有很大的分散性，只有既收敛又稳定 的算法才是真正反映物理过程的算法。 为了求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法的基本思想是利用 网格剖份将定解区域( 场域) 离散化为网格离散节点的集合，然后，基于差分原理的应 用，以各离散点上函数的差商来近似替代该点的偏导数，这样，待求的偏微分方程定解 问题可化为相应的差分方程( 代数方程组) 问题，解出各离散点上的待求函数值，即为 所求定解问题的离散解，若在应用插值方法，便可从离散解得到定解问题在整个场域的 近似解。 对于包括电磁场在内的各种物理场，应用有限差分法进行数值计算的步骤通常是： 1 )采用一定的网格剖分方式离散化场域： 2 ) 基于差分原理的应用，对场域内偏微分方程以及定解条件进行差分离散化处 理( 一般把这一步称为构造差分格式) ； 3 )由所建立的差分格式( 即与原定解问题对应的离散数学模型代数方程 组) ，选用合适的代数方程组的解法，编制计算程序，算出待求的离散解。， 由此可见，有限差分法有上述大致固定的处理和计算模式，具有一定的通用性。在 有限差分故有特点的基础上，1 9 7 7 年以来，多重网格法开始得到了应用，它以方法简明、 部分结构与有限差分法相容，计算效率高、快速收敛等特点，显示出进一步的发展前景。 如前所述，有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算方法。它用离散的函数 值所构成的差商来近似逼近相应的偏导数，而所谓差商则是基于差分应用的数值微分表 达式。设一函数( x ) ，其自变量x 得到一个很小的增量缸= 乃，则函数厂( x ) 的增量。 矽( x ) = ( x + 厅) 一厂( x ) f 夕一1 l 称为函数厂( x ) 的一阶差分。显然，只要增量厅很小，差分v ( x ) 与微分秒( x ) 之间 的差异很小。 一阶差分仍是自变量x 的函数，相类似地按( 2 一1 ) 计算一阶差分的差分，就得到 2 厂 ) ，称之为原始函数厂( x ) 的二阶差分。同样，当厅很小时，二阶差分2 厂( 功逼近 于二阶微分厂( 功。依同理，可以定义更高阶的差分。 一阶导数 m ) ：望：l i m 笪盟 ( 2 2 ) 即是无限小微分矽( x ) 2 是婴鲈( x ) 除以无限小的微分出2 慨缸得商，应用差分f 显然，它可以近似地表达为 6 硕士学位论文电磁场中的自适应超松弛迭代技术研究 堑笪盟：壁竺二盟 ( 2 3 ) 出x 即有限小的差分矽( 工) 除以有限小的差分缸的商，称为差商。同理，一阶导数厂( 功 还可以近似表达为 礴。jn 犏j 一 一墒 一；等一：= - - - - - - 一 出x ( 2 4 ) 礴。j n 懈 镇七墒一f 缸一墒 一# 一= = _ - _ 一 出缸2 办 ( 2 5 ) 式( 2 3 ) 、式( 2 4 ) 和式( 2 5 ) 分别称为一阶向前、恕后和中心差商。如图2 1 所示，对应于点p 的一阶向前、向后和中心差商，在几何意义上可分别表征为弧线p b 、 a p 和a b 的斜率，而在理论上它们对于该点一阶导数的逼近度则分别可从以下泰勒公式的 展开式中得知，即由 厂+ 妨= ( 而) + 矽瓴) + 去办7 ( 而) + ( 2 6 ) 低一办) = 厂) 一矽( ) + 玄乃7 ( 而) 一 ( 2 7 ) 可见，对应于式( 2 3 ) 和式( 2 4 ) ，它们都截断于矽( ) 项，而把办2 项和更高的 幂次的项全部略去。换句话说，就式( 2 3 ) 、式( 2 4 ) 而言，略去余数项所引入的误 差将大致和h 的一次方成正比。 而对于式( 2 5 ) 的一阶中心差商表达式则相当于把相应的泰勒公式 厂( + 办) 厂( 一矗) = 2 ( 而) + 责办2 厂( 而) + ( 2 8 ) 截断于2 矽( ) 项，略去了办3 项以及更高幂次的项。很明显，三种差商表达式中以 ( 2 5 ) 所示的中心差商的截断误差最小，其误差大致和彦的二次方成正比。 二阶导数同样可以近似为差商的差商，即 警击嘲0 爿) 9 ， d 2 x 厶嚣、d kl 。，出l 7 ，) 一o 、 舒三r 垒垒2 二! 兰2 一【兰2 二q 二坌b j i l 乃 = 垒塑! 三二堡二兰! 生 办2 这相当于把泰勒公式 厂 + 办) + o 一| 1 ) = 2 厂( x ) + 矽。) + 云矿厂( ) + ( 2 1 0 ) 2 有限差分法中的自适应迭代求解原理 硕士学位论文 截断于办2 厂”o ) 项，略去了项以及更高幂次的项，其误差亦大致和办的二次方成 正比。 由此，仿照式( 2 3 ) 和式( 2 9 ) ，偏导数也可近似地用相应的差商来表达。若设 定函数甜( x ，y ，z ) ，当其独立变量x 得到一个很小的增量缸= 办时，则x 方向的一阶偏导 数可以近似表达为 抛，“( x + 办，y ，z ) 一”( x ，y ，z ) 一；昌二二- - 二- - - 锄 办 ( 2 1 1 ) 同理，相应的二阶偏导数可以近似表达为 a 2 “( x + 办，y ，z ) 一2 “( x ，y ，z ) + “( x 一 ，y ，z ) - ：l ：l a 2 x办2 ( 2 一1 2 ) 2 2 差分方程求解方法 2 2 1 逐次超松弛迭代法( s o r ) 对偏微分方程进行差分离散并对其稳定性和收敛性进行先验估计之后，就要对所得 的差分格式进行数值迭代计算，这样才能获得最终的数值解。常用的迭代方法有：雅克 比法，高斯一赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法( s o r ) 。此外还有a d i 法和c g 法即共扼梯 度法都是快速有效的方法。其中，雅克比法是直接法，也叫简单迭代法，这种方法的缺 点是收敛速度慢，在实际中较少采用，但是在它的基础上可以导出种种有效的迭代解法。 考虑线性方程组 - 钡2 d ， ( 2 1 3 ) 其中彳为非奇异矩阵畸1 ，当4 为低阶稠密矩阵时，选主元消去法是解( 2 1 3 ) 的有效 方法，但是在工程技术中所产生的大型稀疏矩阵方程组( a ) 的阶数很大，但零元素较多， 例如求某些偏微分方程数值解所产生的线性方程组) 利用迭代法求解是合适的。迭代法 用在计算机内存和运算两方面，通常都可利用么中有大量零元素的特点。 逐次超松弛迭代法是高斯一塞德尔方法的一种加速方法，是解大型稀疏矩阵的有效 方法之一，它具有计算公式简单，程序设计容易，占用计算机内存较少等优点，但是需 要选择好的加速因子( 即最佳松弛因子) 。 设有方程组( 2 一1 3 ) 其中彳为非奇异矩阵，且设口，oo = o ，1 ，2 ，刀) ，分解彳为 彳= d 一三一u ， 其中 8 硕士学位论文 d = 0 口1 3 口2 3 口m 电磁场中的自适应超松弛迭代技术研究 设已知第k 次迭代向量工，及第k + 1 次迭代向量工辑+ i ) 的分量x 夕+ l o = l ，2 ，3 ，i 1 ) 要求计算x p 。首先用高斯一塞德尔方法定义辅助量 剃= * 一鼢p 一磬) o = l ，2 ，刀) ( 2 1 4 ) 再把+ 取为x ，与挚+ t 的某个平均值( 即加权平均) ，即 ，妒) = ( 1 一国彬+ 耐m ) _ x 阻国僻m 一剌 5 ) 用( 2 一1 3 ) 代入( 2 一1 4 ) 式得到解方程组( 2 一1 2 ) 的逐次超松弛迭代公式 ( 2 1 6 ) 其中国为松弛因子。显然，当国= 1 时，解( 2 1 2 ) 式的s o r 法就是高斯一塞德尔迭 代法。 在s o r 迭代法中每迭代一次，主要的运算量是计算一次矩阵与向量的乘法。由( 2 一1 4 ) 可知，在计算机上应用s o r 方法解方程组时只须一组工作单元，以便存放近似解，在电 算时，可用| p 。l = m f 缸，1 2 豫卜p + 1 一x 纠 g 控制迭代终止。 下面写出s o r 迭代公式的矩阵形式，迭代公式( 2 1 4 ) 亦可写为， z ，“j = ( 1 一功弦。x p ) + 彩f 饥一艺口矿x 夕纠) 一窆气x 罗k ：l ，2 ，朋) ( 2 一1 7 ) t il i + l 用分解式彳= d z u ，则。譬( 七+ 1 ) = 国够+ 厶伽柚) + 派红) + i i i 一彩阮秘) ， 0 枷知； d 0 ； o o警等 rk上l pljl i i i i u 、， ， 、- ， ， d 2 ，l， 峥 世 几 旷 = 口 ， 一 d 0 t 1 1 岱 h 川卜 一 似 巩 厂 卫s i = r x d ) ， 0 m 刮g o l l 似 并 x ，lflij、-li-ill 2 有限差分法中的自适戍迭代求解原理硕士学位论文 即 一础h o + 1 ) = ( ( 1 一缈) d + 国u b o ) + 缈6 。 显然对于任何一个值，佃一砒) 非奇异( 由设o ) ，于是 x p ) = 一础) - 1 ( ( 1 一彩归+ 国u b o ) + 彩一础) - 16 ，这就是说解( 2 1 2 ) 式 ( 设0 ) 的s o r 的方法迭代公式为 x 似+ 1 ) = 三x ( 七) + 厂 ( 2 1 8 ) 其中工m = 一础) 一( ( 1 一) d + 国u ) ，厂= 缈( d 一础) 。1 6 ，矩阵舻称为s o r 方法的迭 代矩阵。 2 2 1 迭代法的收敛性 对偏微分方程进行差分离散并对所得的差分格式进行数值迭代计算，这样才能获得 最终的数值解然而，并不是每个迭代格式都能收敛的。收敛与否，取决于差分方程的 系数矩阵的谱半径小于l ，即p ( b ) 1 ，b 是迭代矩阵。在简单迭代法中，在每点产生的新 值不能立即冲掉旧值：因而后者在其后邻近点计算时还要用到。可以把简单的迭代法稍 加变形，在每点产生新值时立即用以冲掉旧值，也就是说在每个工作点上充分利用己经 产生的新值，这就是所谓的松弛法。由于更新值的提前使用，松弛法收敛可比简单迭代 法加快约一倍，而且程序上实现更方便，存储要求更低。 在松弛法中，由于增加了选择参数以及( 在较小程度上) 选择扫描顺序的余地，方法 的潜力增加了。可以证明，当松弛因子取在o 彩 l 时叫做超松 弛或过量松弛，即每点给予的增量超过使方程达到局部平衡之所需。反之，国 2 时，迭代过程将不收敛而发散。 由此可见，超松弛迭代法的口取值范围是1 缈 2 ，当时国= 1 即为高斯一赛德尔法。 重要的是松弛因子如有一个最优的选择能使收敛大大加快，这个最优值在l 国 2 之间， 属于超松弛的范围。通常把这种方法叫做超松弛法，简称松弛法。对于不同顺序，最优 参数值以及最优的终极收敛速度是相同的，但是初期的有限次数内收敛性能则有所不 同。 采用逐次超松弛迭代法( s o r ) 时，以下的经验具有参考价值 2 3 ： l 、迭代次数粗略的与网格点数的平方根成正比。 2 、方形类和简单边界形状比狭长气隙类的边界条件问题的收敛性好。 3 、同样条件下，第一类边界条件比第二类和第三类边界条件问题的收敛性好。 4 、彩太高时容易发生振荡情况。 i o 硕士学位论文电磁场中的自适应超松弛迭代技术研究 2 3 模糊控制基本原理 以往各种传统控制方法均是建立在被控对象的精确的数学模型之上的，随着系统复 杂程度的提高，将难以建立系统的精确数学模型和满足实时控制的要求。而模糊控制是 使计算机具有活性和智能的一种新颖的智能控制方法( 文献f l1 2 l 】) 图2 3 1 模糊逻辑控制系统的基本结构 模糊控制系统是一种自动控制系统，它是以模糊数学、模糊语言形式的知识表示和 模糊逻辑推理为理论基础，采用计算机控制技术构成的一种具有闭环结构的数字控制系 统。模糊控制系统是一种典型的智能控制系统，它的组成核心是具有智能性的模糊控制 器，在控制原理上它应用模糊集合论、模糊语言变量和模糊逻辑推理的知识，模拟人的 模糊思维方法，对复杂过程进行控制。模糊逻辑控制是利用模糊逻辑建立的一种“自由 模型 的非线性控制算法，特别是在那些采用传统定量技术分析过于复杂的过程或者提 供的信息是定性、非精确的、非确定的系统中，模糊逻辑控制的效果是相当明显的。模 糊逻辑控制系统的基本结构如图2 3 1 所示 从图中可以看出，模糊控制系统的主要部件是模糊化过程、知识库( 含数据库和规 则库) 、推理决策和清晰化计算。可以看出模糊控制系统和传统的控制系统没有太大的 差别，主要不同之处在于控制器采用了模糊控制器。由于模糊控制器是采用数字计算机 来实现的，因此它应该具备下列三个重要功能： ( 1 ) 把系统的输入从数字量转化为模糊量( 模糊化过程、数据库两部分完成) 。 ( 2 ) 对模糊量由给定的规则进行模糊推理( 规则库、推理决策完成) 。 2 有限差分法中的自适应迭代求解原理 硕士学位论文 ( 3 ) 把推理结果的模糊输出量转化为实际系统能够接受的精确数字量或模拟量( 反 模糊化接口) 。 因此，模糊控制器的设计问题就是模糊化过程、知识库、推理决策和清晰化过程四 部分的设计问题。 2 3 1 模糊化过程 模糊控制器的输入必须通过模糊化才能适用于模糊控制器的求解，因此模糊化接口 实际上是模糊控制器的输入接口，它的主要作用是将输入空间精确的观测量转换成输入 论域上的模糊矢量。模糊化在处理不确定信息方面具有很重要的作用。在模糊控制中， 观测到的数据常常是清晰量，由于模糊控制器对数据进行处理是基于模糊集合的方法， 因此对输入数据进行模糊化是必不可少的一步。模糊化过程主要完成：测量输入变量 值，并将数字表示形式的输入量转化为通常用语言表示的某一限定码的序数。每一个限 定码表示模糊论域内的一个模糊子集，并由其隶属度函数来定义。对于某一个输入值， 它必定与某一个特定限定码的隶属程度相对应。在模糊控制中主要采用以下两种模糊化 方法。 2 3 2 知识库 知识库包括数据库和规则库，数据库提供必要的定义，包含了语言控制规则论域的 离散化、量化和正则化以及输入空间的区分、隶属度函数的定义等。规则库根据控制目 的和控制策略给出一套由语言变量描述的并由专家或自学习产生的控制规则的集合，在 建立控制规则时，首先要解决诸如状态变量的选择、控制变量的选择、规则类型的选择 和规则数目的去认定等事项。 模糊控制设计的主要任务是以被控系统的性能指标作为设计和调节控制器参数的 依据，控制器的最终控制性能应该达到预期的目的。一般说来，模糊控制器设计需要考 虑的设计参数有：采样频率( 根据香农定理和被控工程控制的技术限制来选择) 、量化等 级( 影响系统的响应，如超调、上升时间、稳态精度等) 、隶属度函数的类型和不同隶属 度之间的重叠率、规则的数目和清晰化计算方法。实际上，模糊控制器设计的关键在于 如何有效地建立知识库即数据库和规则库，决策逻辑控制实际上是依赖规则库来实现 的。 ( 1 ) 数据库 模糊逻辑控制中的数据库包含了与模糊控制规则及模糊数据处理有关的各种参数， 其中包括尺度变换参数、模糊空间分割和隶属度函数的选择等。 输入量变换 对于实际的输入量，首先需要进行尺度变换，将其变换到要求的范围。变换的方法 1 2 硕士学位论文电磁场中的自适应超松弛迭代技术研究 可以是线性的，也可以是非线性的。 输入和输出空间的模糊分割 模糊控制规则前提中的每一个语言变量都形成一个与确定论域相对应的模糊输入 空间，而在结论中的语言变量则形成模糊输出空间。每个模糊语言名称对应一个模糊集 合，其个数决定了模糊控制精细化的程度。 基本模糊子集的隶属度函数 模糊集的隶属度函数是数据库的一个重要组成部分。通常有两种隶属函数的表示方 式：一是数字表示：二是函数表示。 数字表示适用于论域是离散的情况。此时，模糊集隶属度函数的等级用一个矢量来 表示。 函数表示适用于论域是连续的情况。它是用函数的形式来表示模糊集合的立时读函 数。典型的函数有三角形函数、梯形函数和高斯函数等。同样，隶属度函数的选择是以 决策的主观准则为基础的。 ( 2 ) 规则库 模糊控制规则是由一系列“i f t h e n 型的模糊条件语句构成的。条件句的前件为 输入状态，后件为控制变量。 模糊控制规则的前件和后件变量的选择 模糊控制规则的前件和后件变量也即模糊控制器的输入和输出的语言变量。输出量 即为控制量，它一般比较容易确定，输入量选择什么以及选几个需要根据要求来确定 比较常见的输入量一般有偏差e 和它的导数即偏差变化量，有时还可以包括它的积分等。一 输入和输出语言变量的选择及其隶属函数的确定对于模糊控 制器的性能有着十分关键的作用，它们的选择主要依靠经验和工程知识。 模糊控制规则的建立 模糊控制规则是模糊控制的核心，因此如何建立模糊控制规则就成为一个十分关键 的问题。目前模糊控制规则的建立大致有四种方法。 a ) 专家经验法 专家经验法既是很自然的方法又是主观性较强的方法。这里的专家经验法是通过对 专家控制经验的咨询形成的控制规则库。由于模糊控制的规则是通过语言条件语句来模 拟人类的控制行为，且它的条件语句与专家的控制特性直接相关，因此这种方法是很自 然的。与传统的专家系统相比，基于专家经验法构成的模糊控制规则器需要一些内涵的 和客观的准则。 b ) 观察法 对于众多复杂的工业过程要通过对输入输出的测量建立量化的数学模型是很困难 的，然而，人类却能够对此类系统进行有效的控制。试图通过观察人类控制行为并将其 2 有限差分法中的自适应迭代求解原理 硕士学位论文 控制的思想提炼出一套基于模糊条件语言类型的控制规则从而建立模糊控制规则库的 途径就是观察法的基本思路。我们知道，现场专家和熟练操作工可以巧妙地根据其经验 实现对复杂系统的控制，但是要把专家或者操作工的控制经验和诀窍用逻辑形式表达出 来就不那么容易，而且不同专家所拥有的经验不尽相同。所以为了能达到模仿熟练操作 工的控制能力，就必须考虑系统能通过训练获取所需要的技巧，具有不断改善和自学习 的功能。这种模糊控制器规则库的设计思想是通过让熟练操作人员实际操作来建立操作 员的操作模型一建立操作员所用的输入信息与其输出信息之间的关系 c ) 基于模糊模型的控制 方法a ) ，b ) 都是通过建立专家的模型，并以此模糊推理模型进行模糊逻辑推理 控制。显然，这类模糊控制器的性能不会超越所依赖的专家水平。然而对所有的控制对 象，根本无法找到该领域的控制专家，对这样的被控对象可通过建立被控对象的模糊模 型来实现一即用像建立模糊控制规则_ 样的“i f t 胍n 形式来描述被控对象的动态特 性。在模糊控制中，被控对象的模型是运用多个控制规则来描述的，其推理控制规则是 分散的，所以有其独特的性质。 d ) 自组织法 至今，大多数模糊控制器通常使静态的，如上面提及的诸类方法无论是基于模型的 方法还是基于知识的方法，一旦设计完成，其模糊规则都是无法改变的，即此类系统没 有自学习和自适应性能。但是，众所周知，人类不但能对复杂系统产生模糊控制规则， 而且还能够随着环境的变化或经验的丰富更新原有的控制规则以获得更佳的控制效果。 自组织模糊控制器就是这样一类模糊控制器，他能在没有先验知识和很少有先验知识的 情况下通过对观察系统的输入输出关系建立控制规则库。与所有学习系统一样，自组织 模糊控制器也需要一个学习性能指标来保证学习的收敛性。 2 3 3 推理决策 推理决策是利用知识库的信息模拟人类的推理决策过程，给出适合的控制量。它的 实质是模糊逻辑推理。模糊推理是一种近似推理，是以模糊条件为基础，它是模糊决策 的前提，也是模糊控制规则生产的理论依据。目前常用的模糊推理方法如下。 ( 1 ) 近似推理 这种推理方法可以这样来表达： 前提l ：如果x 是a ，那么y 是b 前提2 ：如果x 是彳 结论：y 是b = 彳( 彳一曰) ( 2 ) 模糊条件推理 语言规则是：如果x 是a ，则y 是b ，否则y 是c o 1 4 硕十学位论文 电磁场中的自适应超松弛迭代技术研究 其逻辑表达式为：( 么。b ) u ( j 啼c ) ( 3 ) 多输入模糊推理 多输入模糊推理在多输入单输出系统中经常遇到，、这种规则的一般形式为 前提1 ：如果a 且b ，那么c 前提2 ：如果彳且曰一 i 结论：c = ( a a n db ) ( aa n db ) 专c ( 4 ) 多输入多规则推理 对于一个控制系统而言，条模糊控制规则是不能满足控制要求的。通过一系列控 制规则来构成一个完整的模糊控制系统。如 i f4a n d 骂，t h e n c l e l s ei f4a n d 岛，- ，t h e n c 2 e l s ei f4a n de ，”，t h e n ( 乙 2 3 4 清晰化过程 通过模糊推理得到的结果是一个模糊集合。但在实际使用中，特别是在模糊控制中； 必须要有个确定的值才能去控制或驱动执行机构。在推理得到的模