（计算数学专业论文）基于小波计算的射影不变性目标识别.pdf

摘要目标识别是计算机视觉的一个重要的研究方向，在军事、自动化领域有着广泛的应用前景。以往人们对曲线的描述和识别大都是在欧氏群和仿射群的几何模型下进行的，近几年随着计算机视觉应用的发展，射影群下不变量的研究开始受到人们重视，所以射影变换下几何不变性的研究成为计算机视觉中的一个重要的研究课题。本文研究了利用物体的二维图像识别物体的方法。由于目标的成像过程属于射影变换，因此，为了正确识别目标，必须找到一种具有射影不变性的目标形状的描述方法。首先，我们对目标图像进行了分割。在比较常用的边缘检测算子的基础上，提出了一种新的边缘检测方法。即将r o b e r t 算子和边界跟踪结合起来，得到了光滑连续的单像素的边缘曲线。随后在图像分割阶段得到的蓝线的基础上，提出了利用插值方法检测物体边缘曲线上的透视不变点的方法，构造出相应的经典框架，再利用小波理论对经典框架进行分析，得到了对物体进行识别的特征不变量。最后通过实验验证了本文采用的不变量在目标识别中的有效性。由于本文所表述的特征不变量是根据边界的一部分选取的，所以，对被其它物体遮挡的目标，也能进行识别。关键词：经典框架目标识别边缘检测射影不变量小波变换a b s t r a c to b j e c tr e c o g n i t i o ni so n eo ft h ei m p o r t a n tp a r t so fc o m p u t e rv i s i o n ，a n dh a sb e e nw i d e l va p p l i e di nt h ef i e l d ss u c ha sm i l i t a r ya f f a i r sa n da u t o m a t i z a t i o n d e s c r i p t i o na n dr e c o g n i t i o no fp l a n eh a sb e e np r o c e s s e dd e p e n do nt h eg e o m e t r ym o d e lo fc o n t i n e n t a lg r o u pa n da f f i n eg r o u pa n c i e n t l y , w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ec o m p u t e rv i s i o na p p l i c a t i o n ，p e o p l ea t t a c h e si m p o r t a n c et ot h ei n v e s t i g a t i o no ft h ep e r s p e c t i v ei n v a r i a n t s ，t h u st h ei n v e s t i g a t i o no fp e r s p e c t i v ei n v a r i a n t sg r a d u a l l yb e c o m ea l li m p o r t a n tp r o b l e mi 1 1t h ec o m p u t e rv i s i o n i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h em e t h o do fr e c o g n i z i n go b j e c ti ni t s2 一di m a g e t h ep r o j e c t i v et r a n s f o r mo c c u r si nt h e2 一di m a g ep r o c e s s ，t h e r e f o r ei no r d e rt or e c o g n i z eo b j e c t ，w eh a v et of i n dp r o j e c t i v e i n v a r i a n ts h a p ed e s c r i p t o ro fo b j e c t f i r s t l yi nt h es t a g eo fi m a g es e g m e n t a t i o n ，o nt h eb a s i so fc o m p a r i n gt h r e ee d g ed e t e c t o ri nc o m m o nu s e ，w ep r o p o s ean e wm e t h o do fe d g ed e t e c t i o n ，w h i c hi sc o m b i n gr o b e r td e t e c t o ra n dc o n t o u rt r a c i n g ，g a i n e dt h ee d g ec u , r v eo fv e l v e ta n dc o n t i n u u m a f t e rg e t t i n gc u r v ei nt h es t a g eo fm a a g es e g m e n t a t i o n ，w ep r o p o s et h em e t h o do fd e t e c t i n gp r o j e c t i v e i n v a r i a n tk e yp o i n t so n 血ei n t e r p o l a t i o n , c o n s t r u c t i n gr e l e v a n ts u t r af r a m e a n dp r o c e s s i n ga n a l y s i st o w a r d ss u t r af r a l n eu s i n gw a v e l e tt h e o r y , g a i n e dt h eo u j e c tr e c o g n i t i o ni n v a r i a n t s f i n a l l yw et e s t i f yt h ev a l i d i t yo ft h ei n v a r i a n tp r o p o s e di nt h i sp a p e r i nt h i sp a p e r , s i n c et h ei n v a r i a n ti ss e l e c t e db a s e do nt h ep a r to fe d g e t h eo b j e c tc u r t a i n e dc a nb er e c o g n i z e d k e y w o r d s ：s u t r af r a m eo b j e e tr e c o g n i t i o ne d g ed e t e c t i o np r o j e c f i v ei n v a r i a n tw a v e l e tt r a n s f o r i l l创新性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作过的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。申请学位论文与资料若有不实之处本人签名：毫毒缢本人承担一切相关责任。日期：型皇! 盎关于论文使用授权的声明本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间的学位论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校有权保留和送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文中的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印和其他复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定)本人签名：蔓素媛导师签名兰弓钽日期：型苎：2 ：日期：圣业q 墨：垂! 叟：、-第一章绪论第一章绪论1 1 计算机视觉产生的物质和理论基础计算机的问世，促使人类的科学与技术取得了长足的进步，同时也导致了一批新兴学科的诞生，或者说是为新兴学科的诞生提供了强大的物质基础和可能性。计算机视觉就是在这样一个物质基础上，随着人类发展需要和科技进步的不断要求应运而生的一门新兴学科。众所周知，眼睛是人类心灵的窗户，而视觉是人类获取信息、认识世界的一个重要途径。那么，以摄像机为获取视觉信息的工具、以计算机为中央处理核心的机器视觉系统，在不久的将来有望成为人类眼睛的替代物，至少在某种程度上和某种环境下，可以替代人类的工作。计算机视觉的研究目的正在于此，其研究的最高顶点就是具有能达到人类视觉水平的高智能化的机器人。计算机视觉诞生和发展的另一个基础就是凡何学。几何作为数学的一个分支，早在计算机视觉问世前，就具有相当完善的理论体系和坚实的理论基础。它是一个唯一有用的、可以描述物体形状和成象过程的语言。也只有几何描述才能完成诸如目标识别等视觉任务。按照k l e i n w e y l 理论，每一种几何都应该有一个主变换群，图像在该变换群作用下，保持不变的性质就是该几何的研究对象，比如说，欧氏几何就是以保持不变的性质和量的科学。所以说，不变量是几何的一个自然描述。而计算机视觉中的几何是射影几何，它是对应于射影变换群下的一个非欧几何。这就是我们要研究射影几何，也就是射影几何不变性的原因。物体识别是计算机视觉的一个主要任务，识别的工具就是以获取图像的摄像机及处理图像的计算机作为两大组成部分，识别的任务就是认识物体的几何结构，而完成这一任务的最大困难是空间物体的二维图像的形状随着摄像机的内部参数和摄像机的视点位置而变化，所以我们就需要一些不随视点位置变化的几何描述子，这也正是我们要研究的对象射影几何不变量。由此可见，计算机视觉在产生时，就离不开几何不变性理论：而纵观其发展史，就不难发现在其发展的过程当中更离不开几何不变性理论。1 2 计算机视觉中几何不变性理论的发展和回顾随着计算机视觉研究的不断深入和发展，迄今为止，发现的射影变换群上的不变性及代数不变量主要是关于点、直线、平面、二次曲线面以及三次曲线面的。其中，具有实用价值且在计算机视觉领域内得到较为广泛应用的不变量包括：共线点的交比线柬和面束的交比共面五点或五线的不变量两个点和两条线的不变量两个共面额二次曲线的不变量一个二次曲线和两条直线的不变量微分不变量不变性包括：共线点到共线点、共面点到共面点等。而基于点线对应的序列图象基丁小波计算的射影不变性目标识别问存在的几何约束有：两幅图象问的对极几何约束( 双线性约束)三幅图像问的i 线性约束四幅图像问的四线性约束这些理论成果的取得，小仅丰富了几何卜变量理沦，而且极大的推动了讣算机视觉的发展，同刚。也使几何不变量理论在计算机视觉巾得到了更为广泛的应用。这些应用手要包括：1 图像匹配( i m a g em a t c h i n g )图像匹配是许多计算机视觉任务的基础，比如说三维重建、物体识别、图像合成以及机器入控制，同时也是计算机视觉遗留的一个瓶颈问题，所以个有效1 史用的匹配算法x , t 蕾l 算机视觉来说是至关重要和必不可少的。自从1 9 5 9 年h o b r o u g h 第一个开始研究图象匹配以来，人f f j 一直在寻求一种方法试图彻底解决这一问题，但至今仍没有取得完令的突破，其主要原因是因为图像匹配1 1 ，存在这样三个基本问题：1 ) 由遮挡和伸缩引起的对应点丢失问题2 ) 当使用局部信息进行图象匹配时的多解性问题3 ) 必须控制的高讣算费用问题嗣绕着如何解决这些问题，人们曾经作了大量的工作，按照匹配对象的不同，以往的方法可分为区域匹配( a b m ) 和特征匹配( f b m ) 两火类。前者中典型的方法有互相关技术、最小二乘方法以及连接窗口法等，这些方法的优点实现方便，算法简单，坩好纹珲图象匹配精度商，缺点是对获度敏感、匹配范围内的多极值导致误差匹配及计算星大。后者中典型的方法是孝h 关匹配，其特点是匹配l i 先进行特征提取，然后再对特征进行匹配，从i n j 简化了图象描述，缩小了匹配范闱。与a b m 相比，f b m 对几何和辐射的变化小受影响，似是特征提取阶段的大讣算量和起始门限的自由选样大大地降低了其忘用价值，而且其局部和全局特征都比较难以描述。而对极几何约束应用到图象匹配中来，人人地降低了匹配所需讣算量，但这一方法的关键仍然是对极几何关系估计的精度。2 物体识别( o b j c clr e c o g n it i o n )十射影几何不变最能描述物体的几何特女f ，且相对于射影变换保持不变，所以它们可以被用来进行物体识别一计算机视慌的两个主要任务之( 另一个是图象匹配) 。通常所采用的方法即所谓的模型基浊。现奄的用于物体识别的模型基方法按照所使用的特征可分为两种：种是使用物体的几何特祉，一种是使用物体光照信息。早期为了识别物体所使用的几何特征有线、顶点及椭圆，这些识别系统通常包括以下i 个组成部分：匹配、姿态计算、确认。但l l i 于匹配阶段的计算量是随着特 i ! 个数及模型个数因啊指数增长的，故围绕如何降低计算量，人们又作了人量t 作。但由于这些方法是人为的且需要类似c a d 式的描述，敝l n j 对数等自然物体及油画等人造物体不适用。i 耵且，这些描述很难建奇稳定的算法，因为在噪声存在殷有遮挡的情况下，误匹配发夸的概率较大。近年求，于0 i 入几何不变量作为索引以识别物体，使得利用几何特征进行物体识别的方法得到了较大的发展。按照不同的模犁基形成方法，将物体识别方法可分为两大类：插述树方法( i nl o t l o r el a l j o nu 0 0 ) 和变换测定法( i r a n s f o r m a l i o nd e t e r m i n a t i o n ) 。而模型基方法的关键技术是索0 1 不变量甬数的确定，所取的作为索0 的不变量通常第一章绪论有不变矩及其他一些微分不变量。3 三维重建( 3 dr e c o n s t r u c t i o n )按照相机是否校正，可以将重建方法分为两大类：基于相机校正的校正重建和相机未校正的非校正重建。在这两大类方法中，又可按照所使用的图像个数将其分为利用两幅图像的藿建和多幅图象的重建。利用两幅图象的校正重建方法和利用多幅图像的校正重建方法通常也能获得较好的实验结果，但有一个共同的前提条件，那就是相机一定要校正。而某些情况下是不可能完成的，如：一校正参数不断变化一没有可利用的校正框架一由于其他原因致使任务中断所以人们的研究兴趣和研究重点就集中到对非校正方法的研究上来，基于两幅图像的非校正方法和基于多幅图像的非校正方法按照各自的重建方法又可分为以下五类：一标准投影基方法一投影线的交叉定位法一奇异值分解c a y l e y 代数( 又称双代数) 法一交比法其中前三种方法称为显式重建，后两种称为隐式重建，就实验结果和实际效果来看，显式方法普遍比隐式方法重建精度高。4 图象合成( v i e ws y n t h e s i s )由于图像合成可用于虚拟现实、立体电视、图像压缩与编码等领域，故而近几年来得到广泛重视和研究。现有的方法综合起来可分为三类：1 ) 立体视觉a ) 利用二维图像：o t t 等人早在1 9 9 3 年就将立体视觉技术应用到图像合成中，其后l a v e a u 和f a u g e r a s 给出了如何直接利用弱校正图像来构造新图像，而m c m i l l a n 则利用由镶嵌技术生成的两幅圆柱全景图像( c y l i n d r i c a lp a n o r a m i cvj e w s ) 来合成新图像，同时f u c h s 和k a n a d e则首先将参考图像映射到多边形网格，然后对此网格进行重新投影即可得到新图像。b ) 利用三维模型：此类方法是由一些参考图像直接恢复三维场景和立体数据。即建立一个三维几何模型，再经过对几何模型的重新投影形成不同视点的新图像。其优点是仅用几幅参考图像即可模拟三维场景，其缺点则是需要人工帮助。2 ) 插值方法与利用立体视觉进行i 訇像合成方法相比，插值方法有一个约束条件，那就是新视点必须位于两个参考视点的连线上。这个约束条件看上似乎是很苛刻，实际上，当给定一个场景的一些图像，可以通过一系列插值过程完成固定轨道上( 逐段直线) 的新图像合成。3 ) 图像镶嵌( m o s a i c s )所谓的图像镶嵌就是将同一场景的一系列图像合成个大图像，而其中的关键技术就是图像的配准技术( i m a g er e g i s t r a r i o n ) 。基于小波计算的射影不变性目标识别1 3 课题的研究背景模式识别诞牛于2 0 世纪2 0 年代，随着4 0 年代计算机的出现，5 0 年代人t智能的兴起，模式识别在6 0 年代初迅速发展成一门学科。它所研究的理论和方法在很多科学年u 技术中得到了广泛的重视，推动了人丁智能系统的发展，扩人了计筲机鹿用的可能性。几卜年米，模式识别研究取得了大量的成果，在很多地方得到了成功的应用。4 - t 么是模式呢? 广义地说，存在于时问和空间中可观察的事物，如果我们可以区别它们足否相刷或是否相识，都町以称之为模式o 但模式所指的不是事物本身，而是我们从事物中所获得的信息。因此，模式往往表现为具有时间和窄问分布的信息。信息进入计算机之前通常要经过量化和采样，在计算机qr 具有时空分m j 的信息表现为向量即数组。数组中元素的序弓可以对应时间与审问，也可以对麻其它的标示。人们为了掌握客观事物，按事物相似的程度组成类别。模式识别的作用和目的就在十面对某一其体事物时将其正确地归入某一类别。例如，从不同角度看车牌，视1 ) 【) 9 膜上的成像是不同的，但我们可以识别出牟牌上的字，把所有不同角度的像都归入某块车牌这类。对人类i 仃苦，这的确是一桩轻而易举的事。但对计算机来说，就1 i 是那么简单了。本文的目的，就是利用计算机识别从一i 同角度拍摄到的图像。人类的视觉涉及复杂的生理、心里过程，不仅仅和眼睛有关，还和大脑的推理、学习有关。在模式识别的初创时期，人们企图通过仿生学，即对动物感受器官和机能的模拟来实现自动模式识别。但是，从1 9 6 8 年以来，由于实际上的网难，关于生物模型的热情有所降低。多数模式识别学者接受了这样的观点：模式识别是一个力图达到的目标，而实现这一过程和方法的技术可以各异1 2 j 。凶此识别过程的机制小一定与生物系统相同。由此出发，人们开始大量引入数学理论和方法作为识别的上具。本文的识别过程就是基于数学理论- d , 波射影不变量的。1 4 选题依据寻找相对于半移、尺度、旋转、扭曲卜变的透视小变量是现今多尺度分析在模式识别t ，应用的关键性问题。射影变换是一类蕈要的几何变换。许多成像过程及其变化可以模型化为一个透视变换，如图像在图像平面中的平移或旋转可以模型化为坐标系的平移或旋转，成像距离的改变可以模型化为坐标刻度的缩放。此外，剪切变换、拉伸变换等也都是透视变换。日标的透视不变性在审问探测、遥感数据匹配及图形识别等方面都有着广泛的应用。就目标识别来说，目前面临着下面几个闯题：1 ) 大数据量的图像。一般浼束，要取得较高的识别精度，原始图像应该具有较高的分辨率，至少赢大于6 4 x 6 4 。2 )化移、旋转、缩放，扭曲川i 变性。和人类的视觉系统一样，目标和传感器之间存在着相对位置的变化，冈此，要求系统在目标发生位移，旋转，缩放和扭曲变彤时，仍然能够识别目标。3 ) 图像污损。由于目标环境的干扰及传感器的误差、噪声、背景t 扰、变形等会污损图像。因此，建市一个准确率高，具有抗几何形和抗噪性能的目标识别方案是仃着重大意义的。第一章绪论1 5本文的工作本文的工作是射影不变性目标的识别研究，采用基于模型的识别方法，即通过对待识别的目标与模型库中的已知目标进行比较，来确定待识别物体。目标识别的步骤一般可分为：图像预处理，特征提取和分类识别。本文的研究就是基于这三个步骤。全文共分五章。第一章为绪论，简要介绍了计算机视觉的基本概念和发展状况，小波理论的发展和应用，以及本文的选题依据，并分析了课题的研究背景。第二章为小波分析的基本理论，分析了小波变换的特点，给出了由多分辨分析构造正交小波函数的般框架及小波变换的快速实现算法。算法通过滤波器把相邻两尺度间的离散小波系数联系了起来，从而把小波变换从复杂的数值计算转换为简单的矩阵运算或卷积运算，促进了小波变换的工程应用。第三章首先简要介绍了数字图像处理的基本知识。接着详细介绍了从数字图像中检测出边缘的常用算法，采用了三种边缘检测算子检测出边缘曲线，并比较了这三种边缘检测算子得到的边缘曲线。第三部分提出了一种效果较好的新的边缘检测的方法，即将r o b e r t 算子和边界跟踪结合起来，得到了光滑连续的单象素点的边缘曲线，为下一步特征提取做好了准备。第四章主要研究了物体边缘上特征点的提取方法。首先介绍了物体成像模型和射影变换的基本概念，并在此基础上证明了物体边界上的切点为透视不变点。然后提出了用插值方法检测物体边缘曲线上的特征点的方法。第五章主要研究用于物体目标识别的射影不变量。首先介绍了平面目标的描述方法，然后建立相应的特征框架一经典框架，并利用小波理论对经典框架进行分析，最终得到对物体进行识别的特征不变量。并在此基础上，研究了物体的识别算法。首先介绍了模式识别的基本概念和主要方法，然后，通过实验比较了给出的几种特征不变量的识别结果。最后，文章研究了在遮挡情况下的物体的识别情况，并给出了几个实例。最后部分为本篇论文的结束。基于小波计算的射影不变性目标识别第二章小波分析的基本理论小波理论是一门发展相当迅速的新兴学科，一开始就引起了众多数学家和工程界人士的高度重视。经过十多年的发展，其数学理论已经基本成熟。小波分析是在f o u r i e r 分析的基础上发展起来的，同样作为时频分析方法，小波分析比f o u r i e r分析有着本质的进步。小波分析提供了一种自适应的时域和频域同时局部化的分析方法，无论分析低频或高频局部信号，它都能自动调节时频窗，以适应实际分析的需要。小波分析在局部时频分析中具有很强的灵活性，能聚焦到信号时段的任意细节，被喻为时频分析的显微镜。小波分析的快速算法为分析和解决问题带来极大的方便。它的这些特点使得时频分析和应用得到了辉煌的发展。本章主要讨论小波分析的基本理论，并给出它与多分辨分析、滤波器组之间的联系。2 1 小波变换我们知道，短时傅立叶变换( s t f t ) 通过窗函数的应用，解决了时间局部化的问题。但短时傅立叶变换存在一些缺陷：它的频率窗和时间窗在一旦取定窗函数的条件下是固定不变的，即分辨率是唯一的。与s t f t 本质不同的是，小波变换是一种变分频率的时频联合分析方法。当分析低频( 对应大尺度) 信号时，其时间窗很大，而当分析高频( 对应小尺度) 信号时，其时间窗减少。这恰恰符合实际问题中高频信号的持续时间短，低频信号持续时间长的自然规律。小波分析的基本思想是用一族小波函数去表示或逼近一信号( 或函数) ，这一族小波函数是由一基小波函数在不同尺度下的平移和伸缩构成的。2 1 1 小波变换的定义定义2 1设i f ) r ( r ) n r r ) ，且满足容许条件则称y o ) 为母小波。c 。= f l c , ( n q 2 i , o l 一1d o ) ( 2 - 4 )第二章小波分析的基本理论则容许条件( 2 - 1 ) 成豆。在定义2 1 的基础上，令础) = 万1 少( ，c ，沼s ，那么，当变量t 和参数口，r 均连续变化时，称式( 2 5 ) 为连续小波；当参数日，f 取离散值口；a i ，r = 唰f 0 时，则得到离散小波妒似( f ) = 口i 必( 口i ，r 一七r 。) ，j ， z( 2 6 )特别地，当口。= 2 ，o = 1 时，就得到了二进小波i f f d , k ( f ) = 2 一妒( 2 一，卜七)j ，女z( 2 7 )2 1 2 小波变换及时频局部化性质定义2 2 设函数x o ) i 2 似) ，函数族k m 忑1y ( 等) 配础)c 是基本o ) 的小波的伸缩和平移，则称w t ，( a ，r ) = ( x ，( f ) ) = 击砂+ 等弘像，“为x ( r ) 的连续小波变换。小波变换陟t ( 口，f ) 在频域中的相应表示为暇( 叩) = 尝如p + 矿如( 2 - 1 0 )因此，小波变换暇q ，r ) 还可以看成为用基本频率特性为痧如) 的带通滤波器在不nj r j 啦a 下对信号x ( f ) 进行滤波。由文献“1 中的定义可知，基本小波o ) 是一个窗函数，设其中心和半径分别为t 、a ，那么y 。( f ) 的中心为a t + + f ，半径为a a ，。从而，函数z ( f ) 的小波变换暇仁，r ) 仅给出了x ( f ) 在时间窗b ，+ f 一日p ，d r + + r + 盘pj( 2 1 1 )!基于小波计算的射影不变性目标识别中的信息。设痧) 的中心和半径分别为、，那么痧。，如) = 品矿g ) 的中心为出+ 屈，半径为ia 。同样，w t ( a ，f ) 仅给出了函数x o ) 的频谱量晒) 在频率窗b 口一p 口，m + 口+ 口d 】( 2 1 2 )中的信息。由式( 2 - 1 2 ) 可以看出，随着尺度因子d 的变化，痧。) 的中心频率和带宽( 半径) 也不断变化，但其品质因数( 中心频率带宽= d 。( 2 4 一a 口- - - c o 2 p = c o n s t ) 不变。基于这种性质，小波分析已广泛应用于语音特征提取、计算机视觉等诸多领域。综上所述，小波变换在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力，其局部时频窗为a t + f d ，口f + f + a a ， b d 一p 口，+ a + a 口口】( 2 1 3 )由式( 2 - 1 3 ) 及图2 1 可以看出，小波变换的时频窗随着尺度因子口的变化而改变，但其面积不变：4 a ，口。当口逐渐减小时，时频窗的宽度2 口，变窄、高度2 a 口加增加，中心频率+ 肠也增加。即实轴上观察范围逐步变小，相当于用高频小波作细致观察；当d 逐渐增大时，时频窗的宽度2 口，变宽、高$ l 2 a 口加减小，中心频率屈也降低，即时轴上的观察范围逐步变大，相当于用低频小波作概貌观察。基于这种特性，小波变换被誉为分析信号的显微镜。在实际应用中，我们可以选择合适的小波函数，使得( f ) 在时域上为有限支撑，矿0 ) 在频域上也比较集中，这样，就能够检测到信号的瞬态或奇异点。- 厶图2 1 小波变换时频窗的示意图2 1 3 小波反变换小波变换区别于某些常用变换( 例如傅里叶变换、拉普拉斯变换等) 的一个特点是，小波变换没有固定的核函数，而这些常用变换的核函数都是固定的。基于本小波函数很多，我们可以根据需要解决的问题的特点和要求，合理地选择小波。2c搿。啪。第二章小波分析的基本理论例如，为了使信号随着尺度的增大而起伏减小或极值点减小以便于分析，需要选择正则度高但消失距小的小波函数或滤波器：为了使信号的小波变换衰减地快，且表示紧凑，往往要选择消失距较高的小波函数：而处理长度较短的滤波器时，为了减少失真，需要选择正则度和消失距都很低的小波反数或长度很短的滤波器【5 】。小波变换的核函数虽然不固定，但不是任意函数都可以作为小波函数的核函数，如果小波函数选择得不恰当，其反变换就不存在。若采用的小波满足可允许条件( 2 1 ) ，则其逆变换存在，也即根据信号的小波变换系数就可以恢复原信号，下面的定义2 3 给出小波变换的反变换。定义2 3 设妒o ) ( r ) n 口q ) ，且满足容许条件( 2 - 1 ) ，则函数x ( f ) r ( r )的小波变换聊：0 ，r ) 存在反变换x o ) = f 。窘脾o ，r k ( r 如( 2 _ 1 4 )一”上述小波变换和反变换的定义都是以连续形式给出的。但是，在实际应用中，尤其是数字信号处理领域，为了减少计算量，常常要将a ，f 离散化。二进小波具有许多良好的特性，是一种最常用的离散形式。由定义2 2 知，二进小波变换为暇( ，七) = ( x ( f m ，。( f ) ) = 2 叫2 x ( f 妒”f 咖( 2 1 5 )如果妒mc k z j 构成r 僻) 的一组规范正交基，则二进小波反变换为x o ) = 陟t ( ，七耽。o ) ( 2 - 1 6 )，= z t ；z2 2 多分辨分析在连续小波分解、重构中，l f ，。( x ) 的作用恰似一组正交基，但它是高度冗余的。在l2 ( r ) 空间分解中，最理想的情况是对于它的正交分解，正交分解能够实现非冗余，即以最小数量的基来表示它。多分辨分析即可实现空间的小波正交分解，并且这种分解的基完全由一个小波函数的伸缩平移来完成。从式( 2 1 6 ) n - j 以看出，规范正交小波基溉，。l ，k z j 可以实现空间上2 驰) 正交分解，是最理想的基函数。本节主要讨论多分辨分析和规范正交基之间的关系。1 9 9 8 年，由m a l l a t 和m e y e r 合作提出了多分辨分析的框架，它的主要思想是将2 ( r ) 按分辨率( 2 。) 先分解成串嵌套的闭子空间序列e l 。：，该序列的极限是l 2 忸) 然后通过正交补的塔式分解，再将上2 陋) 分解成一串正交小波子空间序列渺l 。，然后再将厂r 似) 分别投影分解到不同分辨率的小波子序列渺j 上进行基于小波计算的射影不变性目标识别分析和研究。多分辨分析将所有正交小波基的构造统一了起来，并为以后的构造设定了框架。2 2 1 多分辨分析的定义定义2 4 设眈l 。：是r 陋) 的一串闭子空间，如果满足1 单调性：c ckcv oct l 亡p 2c2 渐进完全性：n 脚一= o ，e 两= r 陋) ；3 二进伸缩相关性：，厂( 2 ，) ，z ；4 平移不变性：f 铮，一】 ) ；5 r i e s z 基的存在性：存在函数g ( f ) v o ，使得谊o k ) l t z 构a v o 的r i e s z基。则称e j 。为上2 似) 的一个多分辨分析。引理2 1 ”1 设伊( ，) e 上2 ) ，则如o k ) lk z 是规范正交基的充要条件是护+ 2 七丌】2 = 1( 2 1 7 )由这个引理知，令乒白) = 睦。：旧白+ 2 k 丌1 2 ) _ 啦雪白)( 2 8 )则助o 一) ik z ) 构成碥的一组规范正交基。我们称妒o ) 为尺度函数引理2 2 1 8 1 设妒( f ) 是多分辨分析的一个尺度函数，且假定妒0 ) 在原点连续，则l ( 0 】= 1 。从而，庐p ) 是一个低通滤波器。由引理2 2 知，尺度函数妒( r ) 是中的低通平滑函数，且函数族。o ) f ke z 构成k 的一组规范正交基，即有( 。o ) = 玩) 。因此，v o 中的任意函数都可以表示为如毗( f ) l k z 的线性组合。设r x o ) 表示函数x ( f ) 在上的投影，则有r x ( ) = h 。，。( f )( 2 1 9 )我们把异x o ) 称为z ( ，) 在分辨率= o t n n 删，x 。称为z o ) 在分辨率，= o y n n n n 近。且由函数族移啪( ，) lke z 的规范正交性可得各权重x 。为：第二章小波分析的基本理论飞。= x 0 1 。o ) ) = 亿x ( f ) + 对x 。( f ) ) = ( z ( f 概。( f ) ) ( 2 - 2 0 )根据多分辨分析的二尺度伸缩可知，妒( 2 r ) k 。；并且劬吐。ik z j 是一的规范正交基。同理可得p _ 1 x ( f ) = 。x 吐。妒- l 。，其中x - l ，。= ( x o l p w ( f ) )( 2 2 1 )则只。茁o ) 是x o ) 在分辨率，= 1 下的逼近函数，x 。是x ( f ) 在分辨率j = 一1 下的离散逼近。由于c 以。，故有妒( ) = 扼h 。4 0 ( 2 t k )( 2 2 2 )相应的频域表示为乒0 ) = 日0 2 弦( 酬2 ) ，其中日0 ) 2 了i i 。玩e “。( 2 2 3 )式( 2 - 2 2 ) 和( 2 - 2 3 ) 在l 2 意义下均是收敛的。h 0 ) 是一个以2 7 r 为周期的函数，它是低通滤波器日= 溉 。的传递函数，且具有如下性质：j h 0 】2 + i h + 石1 2 = 1( 2 。2 4 )2 2 2 由多分辨分析导出规范正交基定理2 1 。 m 设 。是一个多分辨分析，其尺度函数为伊( f ) k ，令p 0 ) = p 帅u 0 归( c o 2 + r r 弦( w 2 )( 2 2 5 )其中u 0 ) 是一个2 石周期函数且i u 白】= 1 几乎处处成立。则甄上，并且如雌lk z 是w o 的规范正交基。从而，y ( f ) 是一个正交小波函数。令式( 2 2 5 ) 中d 0 ) = 1 ，则小波函数y ( f ) 的频域和时域表示分别为矿0 ) = 去。( - 1 ) 磁e “1 m 2 庐白2 )( 2 2 6 )zy ( r ) = 吖t - 2 ( - 1 ) h ；v ( t + 七+ 1 )( 2 2 7 )令g o ) 2 去t ( - 1 r e “，即g 一2 ( - 0 ，则g 如) = e ”h + 0 + 厅)( 2 2 8 )基于小波计算的射影不变性目标识别且式( 2 - 2 6 ) 写为痧0 ) = g 0 2 弦2 )( 2 - 2 9 )同样，g 白) 是一个以2 石为周期的函数，它是高通滤波器g = k 。的传递函数，且满足1 g 1 2 + 1 g 如+ z ) 2 = 1( 2 3 0 )日) g 扫) + 日如+ 万) g + 0 + 石) = 0( 2 3 1 )至此，我们得到了尺度函数妒o ) 、小波函数妒o ) 及二尺度方程( 2 2 3 ) 和( 2 2 9 ) ，它们是小波理论的核心。然而在工程实现时并不直接采用p ( r ) 和妒( f ) ( 一方面，计算量大，不易于实现：另一方面，大多数p ( f ) 和( f ) 根本就没有显示表达式) 。通常，这两个函数是以低通滤波器传递函数圩p ) 和高通滤波器传递函数g 0 ) 给出的，和g ，分别是相应的低通滤波器和高通滤波器的冲击相应。2 2 3 多分辨分析出发构造小波函数由于砂咄( r ) k z j 是的一组规范正交基，设d 0 x o ) 表示x ( f ) 在上的投影，则有d 。工( r ) = 。d 唯矿雌o )且d = ( x ( r l 0 ( r ) )( 2 3 2 )因为= k ，= 一，故有d 。x ( f ) = p _ ，x ( f ) 一p 0 x ( f )( 2 - 3 3 )易知，d 。x o ) 反映了x o ) 在分辨分率，= o 和，= - 1 两级平滑逼近之间的细节差异，故称其为分辨率_ ，= 0 下的细节函数，d 础称为，= o 下的离散细节。d 础实际上就是_ ，= o 时，x ( f ) 的小波变换暇( o ，七) 。由以上分析可知：给定一个多分辨分析，可以导出小波函数；离散细节一，。即为z o ) 在分辨率，下的小波变换，这样，多分辨分析和小波变换就联系起来；小波变换具有多分辨特性，能够给出不同尺度下的离散细节和离散逼近，从而可以由粗及精地逐步观察信号。第二章小波分析的基本理论2 3 小波系数的快速算法上一节给出了多分辨分析和小波变换之间地联系。本节将离散逼近。卅和离散细节d r 。之间的关系用滤波器的形式表示出来，从而便于采用数字信号处理技术分析信号，这就是小波系数的快速算法，也就是著名的m a l i a t 塔式算法。其本质是不需要知道尺度函数和小波函数的具体结构，由系数可以实现信号的分解和重构，而且利用该算法可使信号每次分解时的长度减半，使得在实际的应用中大大减少了小波变换的复杂度，所以是一种快速算法。2 3 1 系数分解的快速算法令h t = ( 妒吐。o l p ( f ) ) = 以p 一咖o 炳g * = ( 妒 x o ) 妒o ) ) = 压如伍一七妙( f 妞那么( 妒一，( f x 妒。，。( f ) ) = h 。一：。( p 吐。y o ) ) = g 。由式( 2 3 6 ) 和( 2 3 7 ) ，分别得到x 。，。= = 。：h n 一： x 一。，。d 。，。= = 。：g 。一：。x 一。，。式( 2 3 8 ) 的证明过程为z 雌= 僻x ( f l p 。o ) )= x o ) + d 0 x ( f ) ，。( f ) )= ( 只x ( f x 。( f ) )= ( 。h 扎。 吼。( r ) )= 。( 妒吐。( f ) ，。( r ) ) h ，= 。以。码，。同理可证式( 2 - 3 9 ) 。仿照上述步骤推导，易得m a l t a t 分解算法为。= 。x 。，( 2 4 0 )4s67893333332z2222；(基于小波计算的射影不变性目标识别d ，+ 。，。= = 。g 。一：；x ，。( 2 4 1 )可见，由z 吐。分解得到rd 时的步骤与由x “o z ) 分解得到_ “。、d 川 的步骤完全相同，且滤波器系数溉) 腑、塘。) m 也不变。由文献n 。孙牝1 可知，( 2 4 0 ) 、( 2 - 4 1 ) 给出了一种小波的快速分解算法，它的分解过程如图2 2 所示。这种算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换( f f t ) 算法在傅立叶分析中的地。r 曰叶 一l ，田 一由“z j + l图2 2m a l l a t 分解算法的示意图2 3 2 系数重构的快速算法由p j x ( t ) = e + 。如) + q + 。x ( f ) 可得x j n = ( 弓工 仍。o ) )= ( 只( r ) + q o l 吼，( r ”= ( 。孵扎。( f l 妒，( f ”+ ( 。d 川川。( f 概。( f ) )= = 。：( 妒，+ t ，t ( f l 妒，。( ) ) x ，+ 。t 十。：( p 。+ ；，。( r l 伊，( ，) ) d ，+ 。，。又有( 竹扎。竹，。( f ) ) = 磁。( 川( f l 妒。( f ) ) = 占纛故m a l l a t 算法的重构公式为x 。= 埘e 。+ 。g 厶d 川，。d h 一 一圉札t 一 一团j 。( 2 4 2 )( 2 4 3 )( 2 4 4 )图2 3m a l l a t 重构算法的示意图从式( 2 4 0 ) 、( 2 4 1 ) 和( 2 4 4 ) 可以看出，函数z ( ，) 在尺度_ ，+ 1 下的离散逼近_ 扎t 和离散细节嘭“。与尺度j 下的离散逼近x 。之间的关系采用滤波器溉k 。：和 g 。 。表现了表现出来。从而，把小波变换和数字信号技术联系了起来。第二章小波分析的基本理论m a l l a t 算法分解计算的最初输入是x 。，只要其能量有限，即。k ，1 + m ，我们就可以把它看作某函数在尺度，= o 被平滑后的一致采样。这由下述引理来保证。引理2 3 【”】设扛。 。是能量有限的离散信号，即。k i 0 ，使得g 。归扫+ 2 k x 2 c ：v c o r ，那么，存在一个函数厂o ) l 2 ) ( 不唯一) 使得：v k z ，p o s ( k ) ：坼由式( 2 4 0 ) 、( 2 4 1 ) 和( 2 - 4 4 ) 可以看出，m a l l a t 算法不是通过尺度函数妒( f ) 和小波函数( r ) 的内积表达式，而是分别通过相应的低通滤波器慨 。和高通滤波器k 。k 。：来进行小波变换，从而把相邻两尺度之间逼近系数和离散系数的关系用滤波器慨k 。和括。) 腑表达了出来。这样，i u a l l a t 算法使得小波变换从繁杂的数值积分运算转化为简单的卷积或矩阵运算，易于实现，从而被广泛地应用于诸多工程领域。例如，小波变换的矩阵实现形式特别适合于数字图像处理中的压缩编码以及积分方程求解过程中系数矩阵的稀疏化等领域；而采用卷积实现形式时，小波分解不会减少信号的长度，从而信号细节保持地很好，可以用于信号的奇异性检测和去噪等处理，以及计算机视觉、图像处理等领域。基l 下小波计算的射影不变忡目标识别第三章获取物体边缘的图像处理方法3 1图像处理系统简介3 1 1 数字图像处理图像处理是为了某种目的对图像的强度( 灰度) 分布作某些特殊的加上和分析，辛要分为两人类，一是光学处理，一是数字图像处理。本文毛要是进行数字图像处理。所溜数字图像处理，就是利用数字计算机或其他数字硬件，对图像进行加丁和分析，以提高图像的实用性，达到人们要求的某些预期效果。就其处理目的来讲一般分为i 人类，一类是增强有用信息，抑制无用信息，使图像视觉质量提高，以便计算机对其做进一步处理；一类是提取，描述，分析图像所包禽的某些特征或特殊的信息，以便计算机对图像做进一步的分析和理解，经常作为模式识别，计箅机视觉祷的预处理；另一类是图像数据的瓜缩，以便图像数据的存取和传输。3 1 2 数字图像处理的内容和步骤数宁图像处理的内容有以下几个方面：1 图像数字化和压缩编码图像数亨化技术是把连续图像信号变为离散的数字信号，适应数字计算机或其它数字设备的运算处珲。压缩编码技术是减少描述图像的数据量即比特数，以便节省传输，处理时问和存储器容量。2 图像增强和复原图像增强是突f n 图像中感兴趣的部分，图像复原是使失真图像尽可能恢复木米面貌。3 图像分割将图像中包含的物体，按狄度或几何特性分割，井进行处理，从中提敬数据等有效分量。这是进一步进行图像处理，模式识别和机器视觉等技术的基础。4 图像分类图像分类是图像处理技术的深入和发展，也可以认为是模式识别的一个分支。其辛要内容是图像经过某些预处理( 压缩，增强复原) 后，将图像中有用物体的特征进行特征分割，特征选择，进而进行判决分类。5 图像重建图像蕈建是对一些二维物体，应用x 射线，超生波等方法获取物体内部结构数据，再将此数据进行运算处理构成物体内部某些音i i 化的图像。数宁图像处理技术广泛应用于航空航天技术，生物医学上程，通信_ 上程等各个方面。各种各样地数字图像处理系统，其处珲步骤人体相同：通常是利用光线发射，辐射吸收或射线辐射等复杂的物理过程( 如射影) ，借助成像系统( 如物镜)将一个备苦干物体组成的i 维现实世界中的景物变成二维图像，再经过传感器( 如摄像机) 转换成电信号，为了能用数宁计算机处理图像，必须将连续的信号在空m 采样，并刈兑l 徭