第十章 二元一次方程组知识点归纳+提高练习.doc

第十章 二元一次方程组一、知识梳理相关概念1、 二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。2、 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。注意 ：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！ 也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。 3、 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。二元一次方程组解法 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。基本思路：将二元一次方程组转化为一元一次方程。代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、 从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”2、 将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。3、 解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。4、 把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、 把x、y的值用联立起来即“联”加减消元法：像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减消元法解二元一次方程组的解1、 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。2、 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。3、 解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”。4、 将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。5、把求得的两个未知数的值用联立起来，即“联”。注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误！教科书中没有的几种解法 (一)加减-代入混合使用的方法. 例1, 13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得 x=1 所以:x=1, y=2 特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元. (二)换元法 例2， (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2 所以x+5=6,y-4=2 所以x=1, y=6 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。 （三）另类换元 例3， x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t, y=4t 方程2可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4 列方程（组）解应用题 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是： 审题。理解题意，找相等关系。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么； 设元（未知数）。直接未知数间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解；用含未知数的代数式表示相关的量，再根据相等关系列出方程组； 解所得二元一次方程组；检验（双重） 答。 综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。 常用的相等关系1 行程问题（匀速运动）相遇问题；追及问题；水中航行.2 配料问题：溶质=溶液浓度 溶液=溶质+溶剂3增长率问题4工程问题：基本关系：工作量=工作效率工作时间（常把工作量看着单位“1”）5几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。 三注意语言与解析式的互化 如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、 又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。 注意；单位换算！二、例题解析一、选择题1若 是方程式的一个解，则等于 ( ) A B C6 D2如果与 是同类项，则、的值分别是 ( )A B C D3如果方程组的解中的与的值相等，那么的值是 ( ) A1 B2 C3 D44当=2时，代数式的值为6，那么当时这个式子的值为 ( ) A6 B一4 C5 D15甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确地求出一个解为 ，乙把看成，求得一个解为 则、的值分别为 ( ) A.2、5 B.5、2 C 3、5 D.5、36如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2015个格子中的数为 ( )2abc31A2 B3 C0 D17.若(xy)|yx|,则x 的值为( )A. B. C. D.8如果一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是6，且个位上的数不为O，那么这样的两位数有 ( ) A4个 B5个 C6个 D7个9若方程是关于、的二元一次方程，则、的值分别为( ) A一1，2 B一1，一2 C .1，一2 D1，2 10若方程组的解满足，则的值为 ( ) A一1 B1 C. 0 D无法确定11利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图(1)的方式放置，再交换两块木块的位置，按图(2)的方式放置测量的数据如图，则桌子的高度是 ( )A73 cm B74 cm C75 cm D76 cm12.已知xy,|x|y|,那么xy 的值是( )A. B. C. D. 二、填空题1若 是二元一次方程，则 2已知，且，则 3.已知，且，则= 4方程的正整数解有 组5如图(1)，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图(2)，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量请你判断：1个砝码A有 个砝码C的质量相等6如图所示，两人沿着边长为90 m的正方形，按ABCDA的 方向行走甲从A以65 mmin的速度、乙从B点以72 mmin的速度 行走，当乙第一次追上甲时，将在正方形的 边上7.如果关于的方程和的解相同，那么 8.9.某铁路桥长1750m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了80s，整列火车完全在桥上的时间共60s；设火车的速度为xm/s，火车的长度为ym，根据题意得方程组为 .10、根据下列所示的程序计算的值，若输出的y值为2.5，则输入的x值为 三、解答题1解下列方程组：（1） （2）(3) (4)(5) （6）2.当k为何值时，方程组 的解也是方程的解?3.4.5若关于、的二元一次方程组的解、互为相反数，求 的值yx6对于有理数，定义一种运算“”， ，其中为常数；等式右边是通常的加法与乘法运算已知35=15，47=28，求11的值 7小明用8个一样大的矩形(长)拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图甲是一个正方形，图案乙是一个大的矩形；图案甲的中间留下了边长是2 cm的正方形小洞求。8.9.二元一次方程组应用分类一、数字问题例1、 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数二、利润问题例2、一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？三、配套问题例3、某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？四、货运问题例4、 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？五、行程问题例5、在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？六、工程问题例6 、某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？三、巩固练习1.某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩，游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，而每个女生都看见涂蓝色的人数是涂红色人数的35，则晚会上男、女生各有几人？2为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费下表是该市居民 “一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分：已知小王家2014年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元(1)求、的值；(2)随着夏天的到来用水量将增加，为了节约开支，小王计划把6月份水费控制在家庭月 收入的2，若小王家月收人为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨?3.一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，那么两车错车需4秒，如果同向而行，两车错车需16秒钟，求两车的速度.4.为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多05亿元 (1)求1号线、2号线每千米的平均造价 (2)除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建918千米的地铁线网据预算，这918千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价