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图形变换问题“图形与变换”主要包括：图形的平移、图形的旋转、图形的轴对称、图形的相似等知识点，重点考查不同图形变换的特殊性质，以及通过图形的变换构造新的图形与数量关系在近几年各地的中考试题中，考查内容以平移、旋转、轴对称（折叠）、平面图形设计、剪切、作图等为主，考查题型主要以选择、填空、作图、解答等种多形式呈现 一、考点聚焦1图形的轴对称：通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；能利用轴对称进行图案设计2图形的平移：通过具体实例认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；能按要求作出简单平面图形平移后的图形；利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用3图形的旋转：通过具体实例认识旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计4图形的相似：了解比例的基本性质，能通过具体实例了解黄金分割；通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质；了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；了解图形的位似；利用相似解决一些实际问题；通过实例认识锐角三角函数；运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题二、热点分析热点1：轴对称图形和中心对称图形的识别【例1】下列图形中，是轴对称图形的为（ ）A. B. C. D.【例2】下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【思路点拨】把图形沿某一直线对折，若直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形；若把图形绕某一点旋转后能与自身重合，则该图形为中心对称图形.对于题2（C）是中心对称图形，它不是轴对称图形；（B）、（D）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【规范解答】C、A【解题反思】判断一个已知图形是不是轴对称图形或中心对称图形的关键是能否找到对称轴或对称中心，另外对于一些常见的几何图形要能对其对称性正确作出判断，而且要能掌握它的对称轴对称中心分别是哪些直线和什么样的点，轴对称是中学数学的一个重要内容，也是中考的重要考点之一热点2：关注图形变换中的基本概念和性质【例3】如图，ABC向右平移4个单位后得到ABC，则A点的坐标是 CBDAEFCBD(A)A【例4】在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则DEF的周长为A9.5B10.5 C11D15.5【思路点拨】平移、旋转、折叠是三种常见的图形变换方式，其最基本的性质是变换后图形的形状、大小不变，只是位置发生变化【规范解答】（1,2），C，D【解题反思】平移、旋转、折叠的基本性质，较好地体现了三种变换的工具性作用热点3：利用图形变换的知识求作图形、设计图案等问题【例5】如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）（1）把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的；（2）把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的；（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点经过（1）、（2）变换的路径总长ABCA1【例6】（2010安徽）在小正方形组成的1515的网格图中，四边形ABCD和四边形ABCD的位置如图所示.（1）现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转90，画出相应的图形A1B1C1D1；（2）若四边形ABCD平移后，与四边形ABCD成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形A2B2C2D2.【思路点拨】本题组综合考查了图形变换的几个知识点，要注意解决这类问题的基本方法【规范解答】5.（1）、（2）如右图；（3），弧的长点所走的路径总长6（1）旋转后得到的图形A1B1C1D1如图所示. （2）将四边形ABCD先向右平移4个单位，再向下平移6个单位.四边形A2B2C2D2如图所示.（注：本题是开放型的，答案不唯一，.如将四边形ABCD先向右平移8个单位，再向下平移2个单位得到的四边形A2B2C2D2.）ABCA1B1C1B2C2【解题反思】图形变换知识的考查，解题的关键是认真审题，发现规律利用平移与旋转来设计图案，实质上也是平移与旋转的特征的应用热点4：图形的变换与坐标的变化【例7】如图，在所给的网格图（每小格边长均为1的正方形）中，完成下列各题：（1）将ABC向右平移4个单位得到A1B1C1；（2）以直线l1为对称轴作ABC的轴对称图形A2B2C2；（3）A2B2C2可以看作是由A1B1C1先向左平移4个单位，再以直线l1为对称轴作轴对称变换得到的除此以外，A2B2C2还可以看作是由A1B1C1经怎样变换得到的？请选择一种方法，写出图形变换的步骤【例8】 阅读材料：如图（一），在已建立直角坐标系的方格纸中，图形的顶点为A、B、C，要将它变换到图（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）例如：将图形作如下变换（如图二）第一步：平移，使点C（6，6）移至点（4，3），得图；第二步：旋转，绕着点（4，3）旋转180，得图；第三步：平移，使点（4，3）移至点O（0，0），得图则图形被变换到了图 解决问题：（1）在上述变化过程中A点的坐标依次为：（4，6）（ ， ）（ ， ）（ ， ）；（2）) 如图（三），仿照例题格式，在直角坐标系的方格纸中将DEF经过平移、旋转、翻折等变换得到OPQ（写出变换步骤，并画出相应的图形）【思路点拨】分析：题1：将A、B、C按平移条件找出它的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形；利用轴对称性质，作出A、B、C关于直线l1的对称点，顺次连接，即得到关于l1轴对称的图形题1：在坐标平面内描出相应的点，是画好图象的基础和前提【规范解答】7（1）（2）图形如下：（3）可以作如下变换：A1B1C1先以直线l1为对称轴作轴对称变换，再向左平移4个单位得到A2B2C28.（1）（2，3）（6，3）（2，0），（2）第一步：翻折，沿DE所在直线翻折180，得图2；第二步：旋转，绕着点（5，4）旋转90，得图3；第三步：平移，使点（3，4）移至点O（0，0），得图4【解题反思】图形与坐标的考查一般不难以作图题题型出现较多，且与平移、旋转、对称等相结合，重点考查平面直角坐标系内点的坐标特征热点5：借助图形变换，灵活考查相似三角形的判定和性质ADBADCFEBADA1A2A3B1B2B3【例9】如图，ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去利用这一图形，能直观地计算出_【例10】如图，直角梯形中，点在上，点在上，.（1）说明：；（2）当=8，=6，点、分别是、的中点时，求直角梯形的面积.【思路点拨】题1、题2都要注意运用三角形相似的性质和判断【规范解答】9.1；10. （1）略，（2）123.5【解题反思】这类考题在三角形相似的中较多，借助图形变换考查相似题干简单，但是要求同学具备一定的探究能力，注意观察图形，还要对相似三角形的判定条件能够熟练掌握才能顺利答题热点6：图形变换与函数、圆有关知识综合【例11】将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，若，则图中阴影部分面积为 cm230CBA30【例12】把两块全等的直角三角板和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点（1）如图5，当射线经过点，即点与点重合时，易证此时，APCQ= _（2）将三角板由图5所示的位置绕点沿逆时针方向旋转至图6，设旋转角为其中，问APCQ的值是否改变？说明你的理由 （3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式【思路点拨】本题综合考查函数、相似三角形、动点问题，第三问通过分析不同情况下两个三角板的位置，确定函数解析式【规范解答】12. （1）8；（2）APCQ的值不会改变理由如下：在与中，（3）情形1：当时，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，由（2）知：，得于是情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，由于，易证：，即解得，于是综上所述，当时， 当时，【解题反思】这类题一般是证明相似，计算线段长、面积、猜想线段间的关系，写出函数关系式等，要想正确解答这类题型，要熟练掌握三角形相似的判定方法和性质热点7：合理利用图形变换解决开放探究类问题BCAEGDF【例13】如图，ABC中，已知BAC45，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的长 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC 相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值【思路点拨】此题以阅读材料形式结合勾股定理，一元二次方程综合考察学生能力【规范解答】13.（1）证明：由题意可得：ABDABE，ACDACF DABEAB，DACFAC，又BAC45，EAF90又ADBC，EADB90FADC90又AEAD，AFAD，AEAF四边形AEGF是正方形（2）解：设ADx，则AEEGGFx，BD2，DC3，BE2，CF3BGx2，CGx3在RtBGC中，BG2CG2BC2（x2）2（x3）252化简得，x25x60解得x16，x21（舍）所以ADx6【解题反思】考查同学们对应用问题的数学化、数学建模思想的掌握是中考的热点，要根据题意构造合适的直角三角形，从而准确迅速的解答，这也是转化思想的体现三、重点巩固一、选择题：1在图形的平移中，下列说法中错误的是 （ ）（A）图形上任意点移动的方向相同 （B）图形上任意点移动的距离相同（C）图形上可能存在不动点 （D）图形上任意对应点的连线长相等2如图所示图形中，是由一个矩形沿顺时针方向旋转90后所形成的图形的是 （ ）（A） （1）（4） （B） （2）（3） （C） （1）（2） （D） （2）（4）3如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形中可由OBC平移得到的是 （ ）（A）COD （B）OAB （C）OAF （D）OEF4在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是 （ ） 三角形原来的位置；旋转中心；三角形的形状；旋转角（A） （B） （C） （D）5下列说法正确的是 （ ）（A）分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DEBC，则ADE是ABC放大后的图形 （B）两个位似图形的面积比等于位似比 （C）位似多边形中对应对角线之比等于位似比 （D）位似图形的周长之比等于位似比的平方6下列四个图案中，可能通过右图平移得到的是 （ ）（A） （B） （C） （D）7将左图所示的图案按顺时针方向旋转90后可以得到的图案是 （ ）（A） （B） （C） （D）8如图，OAB绕点O逆时针旋转80到OCD的位置，已知AOB =45，则AOD等于 （）（A）55 （B）45 （C）40 （D）359如图，将三角尺ABC（其中ABC60，C90）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）（A）120 （B）90 （C）60 （D）3010在如图所示的四个图案中既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（ ）（A） （B） （C） （D）二、解答题：11在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的位置如图所示， 点A的坐标是(一2，2) ，现将ABC 平移使点A 变换为点A， 点B、C分别是B、C 的对应点. (1) 请画出平移后的像 (不写画法) ，并直接写出点、 的坐标： ( )、( ) ；(2) 若ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P 的对应点的坐标是 ；12ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（1）将ABC向右平移6个单位得到A1B1C1，请画出A1B1C1；并写出点C1的坐标；（2）将ABC绕原点O旋转180得到A2B2C2，请画出A2B2C213如图所示，四边形ABCD是正方形，E点在边DE上，F点在线段CB的延长线上，且EAF=90（1）证明：ADEABF（2）ADE可以通过平移、翻转、旋转中的哪种方法到ABF的位置，并指出线段AE与AF之间的关系14如图，在RtABC中，ACB=90, B =60，BC=2点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转角为.(1)当=_度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_；当=_度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_；(2)当=90时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由备课资源1下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B C D2下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )ABCD3如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（ ） 4.如图所示，DEF是ABC沿水平方向向右平移后的对应图形，若B=31，C=79，则D的度数是 度ABCDEF5. 小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是_cm6. 如图,将RtABC绕点C按顺时针旋转90到RtABC的位置，已知斜边AB10cm，BC6cm，设AB的中点是M，连结AM，则，AM cm 7.如图，88方格纸上的两条称轴EF、MN相交于中心点O，对ABC分别作下列变换： 先以点A为中心顺时针方向旋转90，再向右平移4格、向上平移4格；先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90；先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90其中，能将ABC变换成PQR的是( )（A）（B）（C）（D）ADBADCFEBADBDEP8.矩形纸片ABCD中，AB5，AD4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B处，折痕为AE在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为_9.如图，把PQR沿着PQ的方向平移到PQR的位置，它们重叠部分的面积是PQR面积的一半，若PQ，则此三角形移动的距离PP是（ ）A. B. C.1 D.1ABCDMNPP1M1N1 10.如图，在44的正方形网格中，MNP绕某点旋转一定的角度，得到M1N1P1则其旋转中心一定是_11.如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG=24，WG=8，CW=6，求阴影部分面积 12. 正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转后，B点的坐标为（ ）A B C D13.在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180（ ） 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180（ ）（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120的是 （写出所有正确结论的序号）：正三角形；正方形；正六边形；正八边形 （3）写出两个多边形，它们都是旋转对图形，都有一个旋转角为72，并且分别满足下列条件：是轴对称图形，但不是中心对称图形： 、 ；既是轴对称图形，又是中心对称图形： 14.将两块全等的含30角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3(1) 将ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置，使E点落在AB上，则CC=_；(2) 将ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，则ECD绕点C旋转的度数=_；(3) 将ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED与AB相交于点F，求证AF=FDD(1)(2)ACBE387645876lDEACBEDl(3)lDFACBED(4)ACBEDlEC15. 如图，在一个1010的正方形网格中有一个ABC. （1）在网格中画出ABC向下平移3个单位得到的A1B1C1；（2）在网格中画出ABC绕C点逆时针方向旋转90得到的A2B2C 16.动手操作： 在如图所示的方格纸中，ABC的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系. （1）作出ABC关于y轴对称的A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应； （2）平移ABC，使得A点在x轴上，B点在y轴上，平移后的三角形记为A2B2C2，作出平移后的A2B2C2，其中A，B，C分别和A2，B2，C2对应； （