（工程力学专业论文）基于滑动Kriging插值的无网格局部PetrovGalerkin法研究.pdf

摘要 摘要 无网格法是一种新的求解偏微分方程的数值方法。与基于网格的有限元等方法不 同，无网格法用一组点来离散问题的求解区域，直接借助于离散节点来构造近似函数， 可以彻底或部分地消除网格的影响，不需要网格的初始划分和重构，已经成为当今计算 力学领域的研究热点之一。 无网格局部p e t r o v - g a l e r k i n 法( 简称m l p g ) 是基于局部弱式和移动最d , - 乘法而形 成的，无论是构造近似函数，还是数值积分都不依赖于网格，是完全的无网格法。但是 移动最小二乘法所构造的形函数不满足k r o n e c k e r 万函数性质，给边界条件的施加带来 了不便，而且容易形成病态方程组，从而影响了该方法的计算效率。本文针对这些问题， 采用滑动k r i g i n g 插值法构造近似函数，使用h e a v i s i d e 分段函数作为权函数，建立改进 的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法。进一步将该方法应用于位势问题、瞬态热传导问题、 弹性力学问题和弹性动力学问题。研究工作包括以下内容： 将改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法应用于位势问题，建立位势问题的基于滑动 k r i g i n g 插值法的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法，并推导了相应的离散方程。该方法具 有计算量小、精度高、方便施加边界条件的优点。 在稳态热传导问题的基础上，将改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 应用于瞬态热传 导问题，结合瞬态热传导问题的局部g a l e r k i n 积分的弱形式，建立瞬态热传导问题的无 网格局部k r i g i n g 法，并推导了相应的计算公式。 将改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法应用于弹性力学问题，对其控制方程采用等 效积分弱形式，建立弹性力学问题的改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法，并推导了相 应的离散方程。 将改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法应用于弹性动力学问题，由局部g a l e r k i n 积 分弱形式得到系统离散方程，时间域采用n e w m a r k 积分方法，建立弹性动力学问题的 改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法，推导了相应的计算公式。 为了证明本文建立的改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法的有效性，本文利用 m a t l a b 语言编制了上述方法的相关程序。数值算例验证了本文方法的正确性和有效 性。 基于滑动k r i g i n g 插值的无网格局部p e t r o v - g a l e r k i n 法研究 关键词：无网格法；无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法，i 滑动炳g i n g 插值法；h e a v i s i d e 分 段函数；位势问题；瞬态热传导问题；弹性力学问题；弹性动力学问题；n e w m a r k 法 a b s t r a c t a b s t r a c t m e s h l e s sm e t h o di san e wn u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i n gt h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ti sd i f f e r e n tf r o mt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d f o rt h e m e s h l e s sm e t h o du s e s as e to fn o d e st od i s c r e t i z et h ep r o b l e md o m a i n ，a n d c o n s t r u c t st h ea p p r o x i m a t ef u n c t i o nb yt h ed i s c r e t en o d e s a st h em e s h l e s s m e t h o dd o e sn o tn e e dr e m e s h ，a n dc a nb ec o m p l e t e l yo rp a r t i a l l ye l i m i n a t et h e i m p a c to ft h em e s h e s ，i tb e c o m e sah o tp o i n to ft h ef i e l do fc o m p u t a t i o n a l m e c h a n i c s t h em e s h l e s sl o c a lp e t r o v - g a l e r k i nm e t h o d ( m l p g ) i sat r u l ym e s h l e s s m e t h o d ，w h i c hi so b t a i n e df o r mt h el o c a lw e a kf o r mo ft h ew e i g h t e dr e s i d u a l m e t h o da n dt h em o v i n gl e a s ts q u a r e sm e t h o d ，w h e t h e ri ti sc o n s t r u c t e dt h et r i a l f u n c t i o n ，o rt h en u m e r i c a li n t e g r a t i o ni sn o td e p e n d e n to nm e s h e s h o w e v e r , t h e s h a p ef u n c t i o nc o n s t r u c t e db yt h em o v i n gl e a s ts q u a r em e t h o dh a sn o tt h e k r o n e c k e rf u n c t i o np r o p e r t y h e n c e ，i ti sn o te a s yt o i m p o s et h ee s s e n t i a l b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dm a yb ee a s yt of o r mi l l c o n d i t i o n e ds i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s ，t h e r e b yr e d u c i n gt h ec o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c yo ft h em e t h o d i no r d e r t oo v e r c o m et h e s es h o r t c o m i n g s ，a ni m p r o v e dm e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i n m e t h o di s p r o p o s e di nt h i sp a p e r i nw h i c ht h em o v i n gk r i g i n gi n t e r p o l a t i o n m e t h o di su s e dt oc o n s t r u c tt h et r i a lf u n c t i o na n dt h eh e a v i s i d es t e pf u n c t i o ni s u s e da st h et e s tf u n c t i o n f u r t h e r m o r e ，i ti sa p p l i e dt os o l v ep o t e n t i a lp r o b l e m s ， t r a n s i e n th e a tc o n d u c t i o np r o b l e m s ，e l a s t i c i t y p r o b l e m sa n de l a s t o d y n a m i c s p r o b l e m sr e s p e c t i v e l y t h em a i n r e s e a r c h e so ft h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s t h e i m p r o v e d m e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i nm e t h o di s a p p l i e d t o t w o - d i m e n s i o n a l p o t e n t i a lp r o b l e m s ，a n d t h e i m p r o v e dm e s h l e s s l o c a l p e t r o v g a l e r k i nm e t h o db a s e do nm o v i n gk r i g i n gi n t e r p o l a t i o nm e t h o df o r p o t e n t i a lp r o b l e mi sp r e s e n t e d ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n gf o r m u l a ea r eo b t a i n e d c o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a lm e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i nm e t h o d ，t h e p r e s e n tm e t h o dh a sg r e a t e rc o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c ya n dg r e a t e rp r e c is i o n ，a n d t h ee s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sc a nb ei m p o s e dm o r ee a s i l y b a s e do nt h e s t u d yo ft h e h e a tc o n d u c t i o n p r o b l e m s ，t h ei m p r o v e d 基丁滑动k r i g i n g 插值的无网格局部p e t r o v - g a l e r k i n 法研究 m e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i nm e t h o di sa p p l i e dt ot w o 。d i m e n s i o n a lt r a n s i e n t h e a tc o n d u c t i o np r o b l e m s c o m b i n i n gt h eg a l e r k i nw e a kf o r mo ft r a n s i e n th e a t c o n d u c t i o np r o b l e m s ，t h ei m p r o v e dm e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i nm e t h o df o r t r a n s i e n th e a tc o n d u c t i o np r o b l e m si s i n v e s t i g a t e d a n dt h ec o r r e s p o n d i n g f o r m u l a ea r eo b t a i n e d t h e i m p r o v e d m e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i nm e t h o di s a p p l i e d t o t w o d i m e n s i o n a le l a s t i c i t y t h ed i s c r e t ee q u a t i o ni sp r o d u c e df r o mt h ew e a k f o r mo fw e i g h t e dr e s i d u a lm e t h o d ，a n dt h e nt h ei m p r o v e dm e s h l e s sl o c a l p e t r o v g a l e r k i nm e t h o df o re l a s t i c i t yi sp r e s e n t e d a n dt h ec o r r e s p o n d i n g f o r m u l a ea r eo b t a i n e d t h e i m p r o v e d m e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i nm e t h o di s a p p l i e d t o t w o d i m e n s i o n a le l a s t o d y 7 n a m i c s t h eg a l e r k i nw e a kf o r mo fe l a s t o d y n a m i c s p r o b l e m si se m p l o y e dt oo b t a i n t h ed i s c r e t i z e d s y s t e me q u a t i o n s ，a n dt h e n e w m a r kt i m ei n t e g r a t i o nm e t h o di su s e df o rt i m eh i s t o r ya n a l y s e s t h e nt h e i m p r o v e d m e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i nm e t h o df o r e l a s t i o d y n a m i c s i s p r e s e n t e d a n dt h ec o r r e s p o n d i n gf o r m u l a ea r eo b t a i n e d i no r d e rt os h o wt h ee f f i c i e n c yo ft h ei m p r o v e dm e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i nm e t h o di nt h ed i s s e r t a t i o n ，t h em a t l a bc o d e so ft h em e t h o d sa b o v e h a v eb e e nw r i t t e n s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r o v i d e d ，a n dt h ev a l i d i t ya n d e f f i c i e n c yo f t h e s em e t h o d sa r ed e m o n s t r a t e d k e y w o r d s ：m e s h l e s sm e t h o d ；m e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i nm e t h o d ；m o v i n g k r i g i n gi n t e r p o l a t i o nm e t h o d ；h e a v i s i d es t e pf u n c t i o n ；p o t e n t i a lp r o b l e m s ； t r a n s i e n th e a tc o n d u c t i o np r o b l e m s ；e l a s t i c i t y ；e l a s t o d y n a m i c s ；n e w m a r k m e t h o d i v 2 2 基于滑动k r i g i n g 插值法的形函数构造7 2 3 形函数性质一9 2 4 形函数程序设计的相关问题1 0 2 5 形函数及其应用”12 2 6 本章小结1 6 第3 章位势问题的改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法1 7 3 1 引言17 3 2 位势问题的改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法1 7 3 3 数值算法实施流程2 0 3 4 数值算例2 0 3 5 本章小结2 4 第4 章瞬态热传导问题的改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法2 5 4 1 引。言2 5 4 2 瞬态热传导问题的改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法2 5 4 3 时间积分方案2 6 4 4 数值算法实施流程2 7 4 5 数值算例2 8 4 6 本章小结3 2 第5 章弹性力学问题的改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法3 3 5 1 引言3 3 v 基于滑动k r i g i n g 插值的无网格局部p e t r o v - g a l e r k i n 法研究 5 2 弹性力学问题的改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法一3 3 5 3 数值算法实施流程3 5 5 4 数值算例3 6 5 5 本章小结4 0 第6 章弹性动力学问题的改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法4 1 6 1 引言4 1 6 2 弹性动力学问题的改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法4 1 6 3 时间积分方案4 3 6 4 数值算法实施流程4 4 6 5 数值算例4 5 6 6 本章小结5 0 总结”51 参考文献5 3 致谢5 7 攻读硕士学位期间发表的学术论文目录5 9 v i 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 引言 许多科学和工程实际问题都可归结为给定边界条件与初始条件的微分方程的定解 问题。理论上，这种微分方程存在唯一确定的解，但通常由于方程本身的复杂性或问题 求解域的复杂性，往往难以求得解析解。为了分析现代科学工程系统中的复杂问题，以 计算机为基础的各种数值模拟方法得到蓬勃发展。发展比较成熟和完善的数值模拟方法 有：有限差分法【、有限元法【2 1 、边界元法【3 】等。各种数值方法都有其优点与缺点，但 有限元法产生的影响最为深远，应用也最为广泛。 有限元法是二十世纪五十年代兴起的，由于它在处理各类线性或非线性问题时所表 现出很强的通用性及灵活性，使其在工程领域得到了广泛应用，解决了一大批有重要意 义的科学和工程实际问题。然而有限元法也有其固有的弱点，由于其依赖于通过节点连 接在一起的网格或单元信息，因此在解决高速撞击、金属加工成型、动态裂纹扩展和移 动边界等涉及大变形问题时因网格畸变而产生了许多困难。另外有限元法在离散整个问 题求解域时，对于几何形状复杂的结构体，网格剖分十分复杂，虽然目前有一些网格生 成器，但对于复杂的三维结构，仍然十分繁琐和困难，而且导致问题的自由度和原始信 息量大。为了有效地解决以上问题，许多学者近年来致力于无网格法的研究。无网格法 是利用一组散布在问题域及边界上的节点构造场变量未知函数的近似表达式，不依赖于 预定义的网格，因此在求解涉及网格畸变或网格重构等问题时具有明显了优势。目前无 网格法已成为当今计算力学界研究的热点之一。 1 2 无网格法概述 无网格法利用一组散布在问题域中以及域边界上的节点表示该问题域和边界。这组 散布的节点被称为场节点，它们并不构造网格，即不需要任何事先定义的节点连接信息 用于构造场变量未知函数的近似表达式。这是无网格法与其它基于网格的数值方法的根 本区别所在。无网格法的核心内容与有限元法一样包括三方面：构造近似场函数、离散 微分方程和施加本质边界条件。 目前无网格法中形成形函数的方法主要有两大类：一类采用积分表达式，如光滑粒 子动力学法【4 1 、重构核粒子法【5 1 等；另一类使用级数表达式，如移动最小二乘法( m l s ) 【6 1 、 点插值法【7 1 、单位分解法【8 1 及径向基函数法【9 1 等。 无网格法在离散微分方程时主要有配点法【1 0 1 、g a l e r k i n 法【1 1 1 、加杖残量法和 p e t r o v g a l e r k i n 法【1 3 - 1 5 】等。 基于滑动k r i g i n g 插值的无网格局部p e t r o v - g a l e r k i n 法研究 无网格法形成的形函数一般不具有插值特性，因此必须通过一定的方法引入本质边 界条件。目前已提出了多种处理边界条件的有效方法【2 0 】，如拉格朗同乘子法【l l 17 1 、罚 函数法【1 8 】等。 到目前为止，无网格法已有数十余种，它们的主要区别在于构造近似函数或离散微 分方程时使用的方法不同。应用较为广泛的无网格主要有：光滑粒子动力学法s p h ) 川、 重构核粒子法【5 1 、多尺度重构核粒子法【1 9 1 、扩散单元法【2 0 】、无单元g a l e r k i n 法( e f g ) 【1 1 1 、 h p c l o u d s 无网格法【2 、无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法( m l p g ) 【1 3 彤】、有限点法【10 1 、径向 基函数法【2 2 】、邻近自然单元法【2 3 1 、最小二乘配点法【2 4 1 、复变量无网格法【2 5 之8 1 以及边界 积分方程的无网格法 2 9 瑚】等。 1 3 无网格法的历史及研究现状 无网格法产生于2 0 世纪7 0 年代，但在当时发展缓慢，直至l j 2 0 世纪9 0 年代初，n a y r o l e s 等人【2 6 1 结合移动最d , - - 法署i l g a l e r k i n 弱式，提出了扩散单元法【2 0 1 ， b e l y t s c h k o 等对扩散 单元法进行一些改进，提出了著名的无网格g a l e r k i n 法( e f g ) 【l l j 后，无网格法才得到了突 飞猛进的发展。 最早的无网格法是光滑粒子动力学法，它是由l u c y 等人在19 7 7 年提出的。最初光滑 粒子动力学法是用于研究无限边界的天体问题1 4 】，并取得了成功。但是光滑粒子动力学 法因计算精度低、稳定性差而没有得到更为广泛的应用。随后，一些学者针对该方法在 稳定性和计算精度等方面存在的不足之处进行了改进，提高了该方法计算精度。近几年 来，我国的学者也开始关注光滑粒子动力学法，如张锁春对光滑粒子动力学法进行了综 述【3 9 1 ，贝新源、岳宗五等将光滑粒子动力学法用于高速碰撞问题【4 0 1 。随着光滑粒子动力 学法曰益完善，目前己被广泛应用于爆炸、高速碰撞、材料的动态响应的数值模拟等。 1 9 9 2 年n a y r o l e s 等结合移动最小二乘法和g a l e r k i n 弱式，提出了扩散单元法1 2 0 1 ， 并用这种方法分析了泊松方程和弹性力学问题。1 9 9 4 年b e l y t s c h k o 等人对扩散单元法 进行了改进，提出了无单元g a l e r k i n 法【l 。这些改进包括：在采用移动最d , - 乘法计算 形函数时保留了扩散单元法方法中忽略的所有项；采用高阶高斯积分进行区域积分；并 利用l a g r a n g e 乘子法引入本质边界条件。虽然e f g 方法比扩散单元法的计算量大，但 是其求解精度和稳定性得到了明显改善。研究表明，e f g 法精度和收敛速度都高于有 限元法。该方法的提出，得到了计算力学界的广泛关注，掀起了无网格法的研究热潮。 1 9 9 5 年l i uw k 等根据函数积分变换思想，提出了重构核粒子i ! 去i 川，并结合小波概 念，构造了多尺度重构核粒子法1 4 ，该方法通过构造一系列可同时伸缩和平移的窗函数， 实现了自适应分析，可用于对局部问题进行细致的数值分析。其后l i u 等人使用重构 2 第l 章绪论 核粒子法对大量问题进行了数值分析，如声学分析、结构动力学问题、金属加工成型等。 o d e o n 等人利用移动最小二乘法建立单位分解函数，用来构造近似函数，并结合g a l e r k i n 变分原理提出了h p c l o u d s 无网格法l 4 引。o d e o n 严格证明了通过在h p c l o u d s 空间引入 单位分解函数，可以建立任意阶连续光滑的基函数。 1 9 9 6 年b a b u s k a 等提出了单位分解法【8 】。实质上移动最d - 乘法是单位分解法的 一个特例。o n c e 等结合移动最d x - 乘法和配点法，提出了有限点法【l0 1 ，该方法无需背 景积分网格，是一种完全的无网格法。它主要用于流体动力学分析领域。 1 9 9 8 年美国学者a t l u f i 等人将移动最小二乘法与微分方程的局部弱形式相结合， 提出了无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法【l 孓”】。这种方法无论是构造近似场函数，还是 数值积分均不需要背景网格，是一种真正的无网格法。最初a t l u r i 将其应用于求解调 和算子的拉普拉斯方程和泊松方程。龙述尧将其推广应用于求解平面弹性力学问题 4 3 1 。目前，m l p g 方法已被成功应用于三维弹性力学分析4 4 1 、非线性大变形问题【4 5 1 、 高速碰撞、渗透和穿孔问题【4 6 1 等。在m l p g 方法中，权函数与试函数可以取自不同 的函数空间，据此s h e n 和a t l u r i 提出了多种不同的m l p g 方法1 4 1 7 1 ，拓展了这种方法 的理论和应用范围。m l p g 方法是在各节点的局部子域上采用加权残量法，建立了 对应于这一节点子域的积分方程。当所有节点的局部子域的并集完全或近似覆盖了 整个问题求解域及边界时，那么微分方程及边界条件在整个问题域上就得到满足。 正是由于这些灵活性，m l p g 方法已被广泛应用于很多领域。 由于m l p g 方法利用移动最小二乘法构造近似函数，所形成的形函数不具备万函 数性质，因此不能像有限元法一样直接施加本质边界条件，通常采用罚函数法或 l a g r a n g e 乘子法施加本质边界条件。近来一些学者利用其它方法构造具有万函数性质 的形函数代替移动最小二乘法的形函数【4 弘5 0 】，克服了m l p g 方法中边界条件不易直接 施加的缺陷，提高了计算精度。 随着无网格法的发展，国内一些学者也做出了大量研究工作。清华大学张雄等提 出了基于紧支径向基函数的无网格配点法【”】，该方法计算效率高，但其计算精度低、 稳定性差。随后张雄等基于最小二乘法提出了加权最小二乘无网格法1 2 4 j 和最d x - - 乘配点 无网格法【5 引，这类方法具有较高的计算精度，且不需要背景网格进行数值积分。张见明 和姚振汉提出了杂交边界点法【5 3 1 。上海大学程玉民等提出了改进的移动最小二乘法【5 4 】； 程玉民和戴保东提出了基于径向基函数的局部边界积分方程方法1 3 州。 无网格法正是由于不依赖于“网格”这一独特优势，引起了b 寸内外人量专家学者的 广泛关注。目前，许多无网格法已经取得了很好的应用效果，显示了它将成为一种强有 力的数值分析工具的巨大潜力。 3 基于滑动k r i g i n g 插值的无网格局部p e t r o v - g a l e r k i n 法研究 1 4 无网格法目前存在的问题 虽然无网格法已经取得了不少进展，但是它的发展还很不成熟。无网格法中有许多 关键问题有待开展更深入的研究，而这些未曾解决的问题也是无网格法的缺点，主要表 现在以下几个方面： 1 无网格法的计算效率是目前存在的问题之一。由于在数值计算过程中，在每一个 计算点都需要计算一次形函数及其导数，其中涉及矩阵求逆及多个矩阵相乘，因此无网 格法较有限元法或边界元法更耗机时； 2 基于移动最小二乘法的无网格法不能方便地施加本质边界条件，如何能精确且方 便地施加本质边界条件还需要进行研究； 3 无网格法中的数值积分也是目前无网格法存在的问题之一。虽然发展了背景网格 和点积分等方法，但点积分缺乏必要的数学理论支持，精度也明显受损。如何采取更合 理有效的积分方案还需要进行研究； 4 无网格法的节点布置比较随意，而节点的布置与计算精度密切相关。如何合理布 置节点以达到最佳计算精度还需进行研究； 5 无网格法中的一些相关参数对计算精度有直接影响，如积分子域、节点影响域及 形函数中一些形状参数等，而这些参数的选取一般是由经验确定，没有严格的数学理论 基础，还需从数学理论进行研究； 6 无网格法的收敛性、稳定性和误差分析等数学理论，还需进行大量深入地研究。 特别是目前出现了各种各样的无网格法，需要相应的数学理论的支持。 7 无网格法目前尚未有有效又成熟的无网格商业软件，只有少数能针对某类问题的 解法的小型软件。因此限制了无网格法的推广及实际应用。 1 5 本文的主要工作 本文针对传统的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法的形函数不满足k r o n e c k e r 万函数性 质，不能精确施加本质边界条件以及计算量大等问题，采用滑动k r i g i n g 插值法构造近 似函数，并使用h e a v i s i d e 分段函数作为权函数，提出改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法。 本文的主要工作如下： 1 详细推导滑动k r i g i n g 插值法形函数的构造过程，并对其相关参数进行研究，得 到其最佳取值范围。通过数值算例验证其有效性； 2 将滑动k r i g i n g 插值法替代传统的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法中的移动最d x - - - 乘法构造近似函数，建立改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法。由丁滑动k r i g i n g 插值 4 第l 章绪论 法所构造的形函数满足k r o n e c k e r 万函数性质，从而能精确施加本质边界条件，提高了 计算精度；采用了h e a v i s i d e 分段函数作为权函数，因此在计算系统刚度矩阵时只需计 算局部子域边界积分，而没有涉及局部子域积分，大大减少了计算量，提高了计算效率； 3 将本文所建立的改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法应用于位势问题，建立位 势问题的基于滑动k r i g i n g 插值法的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法，并推导相应的离散 方程。该方法具有计算精度高、计算量小以及方便施加本质边界条件等优点； 4 在位势问题的稳态热传导问题基础上，将改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法 应用于瞬态热传导问题，建立瞬态热传导问题的改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法， 并推导相应的计算公式； 5 将本文所建立的改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法应用于弹性力学问题，建 立弹性力学问题的基于滑动k r i g i n g 插值法的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法，并推导相 应的离散方程。 6 进一步将改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法应用于弹性动力学问题，建立弹 性动力学问题的改进的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法，并推导相应的计算公式； 7 利用m a t l a b 语言实现上述方法的相关程序，数值算例验证本文所提出方法的 有效性及正确性。 5 基于滑动k r i g i n g 插值的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法研究 6 第2 章滑动k r i g i n g 插值法 第2 章滑动k r i g i n g 插值法 2 1 引言 无网格法中，目前已提出了多种近似函数的构造方法。常用近似函数的构造方法有 光滑粒子流体动力学法、再生核粒子法、移动最小二乘法等。但是基于这些方法所构造 的形函数不具备k r o n e c k e r 万函数属性，因此给无网格方法中的已知边界条件的施加带 来不便。l a g r a n g e 乘子法和罚函数法己成功地被应用于无网格法处理本质边界条件，但 同时带也来了新的不便：l a g r a n g e 乘子法增加了未知量数量，导致计算量增大；罚函数 的选取缺少理论依据，无法确定所选罚因子大小。因此具备k r o n e c k e r6 函数属性的形 函数是无网格法构造近似函数的理想的选择。 滑动k r i g i n g 插值法是一种基于随机过程的统计预测方法，其对区域变化量求线性、 无偏和最优内插估计值，具有平滑效应和估计方程最小的统计特征，所构造的形函数具 备k r o n e c k e r 万函数属性。因此在无网格方法中使用滑动k r i g i n g 插值法构造近似函数 具有很大的优势。下面我们将详细阐述滑动k r i g i n g 插值法构造近似函数的过程，并讨 论所构造的形函数的性质及相关参数选取，进一步利用这种滑动k r i g i n g 插值法进行曲 线和曲面的拟合研究。 2 2 基于滑动k r i g i n g 插值法的形函数构造 设问题域q 及其边界厂上的场函数“( x ) 由一组散布的节点表示，在任意计算点x 的局部支持域内包含n 个节点，滑动k r i g i n g 插值方法的近似表达式采用无偏估计和线 性回归模型【5 5 1 ，其近似函数为 甜6 ( x ) = p ( x ) 臼+ y ( x ) = p t ( x ) 口+ y ( x ) ( 2 1 ) j = l 式中p t ( x ) 为多项式基函数，对于二维问题通常采用线性基；a 为待定系数向量。y ( x ) 是一个期望为o 、方差为仃2 、协方差不为0 的随机过程，表示实际过程与线性回归模 型的局部偏差。采用线性回归模型对门个节点进行插值，则y ( x ) 的协方差为 c o v y x ，) ，r ( x ，) j = 盯2 9 r ( x ，x ，) ( 2 2 ) 其中r r ( x ，x ，) 】为对角线为1 的对称相关矩阵；r ( x ，x ，) 为关于节点x ，和x ，之问的相 关函数，通常取f 列g a u s s i a n 型函数 r ( x ，x ，) = e x p ( - 0 r , j ! ) ( 2 3 ) 其中秒为模型参数，且有0 0 ；，为节点x ，与x ，之间的距离。 7 基于滑动k i i g i n g 插值的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 涟婴塞 任意点x 与所给的疗个节点之间的相关函数向量为 ，t ( x ) = r ( x ，x 。) ，r ( x ，x 2 ) ，r ( x ，x 。) ) t ( 2 4 ) 在给定的n 个节点处的函数值已知时，用向量表示为 h = 函( x 。) ，u ( x ：) ，u ( x 。) ) t 当采样线性回归近似时，可得 h = 巴n + ) 式中巴，) ，分别为已知节点处基函数值所形成的矩阵及线性逼近的误差向量，且 匕= p ( x 1 ) | p ( x ：) l ； f 2 p ( x 。) j p 1 ( x 1 ) p 2 ( x 1 ) p 。( x 1 ) p 1 ( x 2 ) p 2 2 ) p 所似2 ) p 1 ( x 。) p 2 ( x 。) p 。( x 。) 】，= 饥( x ) ，形( x ) ，y n ( x ) t ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 若已知节点的场函数值为u ( x ) ，u ( x 。) ，则在点x 处的估计值可以通过已知节点 的场函数值线性逼近 万( x ) = 以( x ) 甜( x ，) = 2 t ( x ) h ( 2 。9 ) i = 1 因此式( 2 1 ) 与式( 2 9 ) 之间的误差函数为 万( x ) 一材6 ( x ) = 2 r ( x ) 以一甜6 ( x ) = 2 t ( x ) ( 巴口+ y ) - ( p t ( x ) 口+ 7 ( x ) ) = 五t y y ( x ) + ( 群名( x ) 一p ( x ) ) t a ( 2 1 0 ) 要保证无偏估计，必须满足如下约束条件 群z ( x ) 一p ( x ) = 0 ( 2 1 1 ) 式( 2 1 0 ) 中误差函数的均方差为 m s e 历- ( x ) 一甜6 ( x ) 】= e l t ( x ) _ z h ( x ) 2 ( 2 12 ) 为了确定最优线性无偏估计，将式( 2 1 2 ) 作为目标函数，式( 2 1 1 ) 作为约束条件，根 据l a g r a n g e 乘子法将其转化为无条件极小值l 、u j 题阳。通过对向量( x ) 求偏导数为零 得到一组方程，求解此方程组可得到最优线性无偏估计条件下的插值函数为 甜6 ( x ) = p t ( x ) a + r t ( x ) 姊( 玎一只，饺) ( 2 13 ) 苴中 、- r 式中咖( x ) ，丸( x ) 分别为形函数矩阵和形函数，且有 西( x ) = 渤( x ) ，欢( x ) ，丸( x ) 丸( x ) = z p ( x ) s 舭+ ( x ) s 肚 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 式中s , ：j k 为矩阵瓯的第行、第七列元素，s 肚为矩阵彤的第衍亍、第七列元素。 形函数吮( x ) 关于x 和y 的导数分别为 九= 掣= 季弛o x 矾+ 车警钟 亿2 2 ， = 丁o o k ( x ) = 季学矾+ 车学肚 亿2 3 ， 2 3 形函数性质 滑动k r i g i n g 法插值彤函数满足d e l t a 函数性质和一致性条件，即 9 基于滑动k r i g i n g 插值的无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法研究 丸c x ，= 三 套三；乏：；三：主：； e o k ( x ) = = 1 七= l c k ( x ) x = x 七= i 2 4 形函数程序设计的相关问题 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 2 4 1 支持域的确定 计算点插值的精确性取决于其支持域中的节点，因此需要选择一个适当的支持域以 期获得高效而精确的近似。通常采用圆形支持或矩形支持域，如图2 1 所示。