（基础数学专业论文）局部α次积分c—存在族与抽象cauchy问题.pdf

局部。次积分口存在族与抽象c a u c h ，问题 基础数学专业研究生窦丽娜指导老师赵华新副教授 摘要 存在族是算子半群理论研究的重要内容之一，许多学者就此作了大量的研究和探索， 然而，截止目前关于存在族的研究仅局限于t 0 ，o o ) 的情形，对于t 0 ，r ) 的情形均未 作深入探讨其中后一情形中的r ( o ，。o 】，亦即包含了前一情形由于后一情形不能象前 一情形那样应用l a p l a c e 变换等工具进行研究，研究工具减少，所以难度增加本文克服 了上述困难，对n 次积分c 一存在族 s ( t ) ) 当t 【o ，r ) 的情形作了初步讨论首先，引入 局部弱a 次积分c 一存在族、局部。次积分c 一存在族和局部强n 次积分c 一存在族的概 念；其次，着重研究局部弱n 次积分c 一存在族的性质及其与局部强。次积分c 一存在族 的关系；最后，讨论局部弱n 次积分c 一存在族、局部n 次积分c 一存在族及局部强a 次 积分c 一存在族在抽象c a u c h y 问题中的应用，得出与局部弱n 次积分c 一存在族相关的一 系列等价结论，并研究了渐近c 一预解式与抽象c a u c h y 问题c 一适定性的关系 关键词：局部弱。次积分c 一存在族 局部强a 次积分c 一存在族 局部a 次积分c 一存在族c 一适定的 抽象c a u c h y 问题渐近c 一预解式 答辩日期：加照，弓指导教师签字：j 叁耸孔 l o c a la t i m e si n t e g r a t e dc e x i s t e n c ef a m i l i e s a n da b s t r a c tc a u c h yp r o b l e m a b s t r a c t e x i s t e n c ef a m i l i e si so n eo ft h ei m p o r t a n tc o n t e n t so ft h eo p e r a t o rs e m i g r o u pt h e o r y a n dal o t o fr e s e a r c h e sh a v eb e e nm a d eb 甲m a n y s p e c i a l i s t s ，h o w e v e r ，a l lt h es t u d i e sa l el i m i t e dt ot h ec a s eo f t 0 ，o 。) a n dn oi n v e s t i g a t i o nh a sb e e nd o n ef o r t h ec a s eo ft 0 ，r ) b yt h et i m ei t i sc l e a rt h a t t h el a t t e rc a s ec o n t a i n st h ef o r m e ro n eb e c a u s eo fr ( 0 ，o 。 f o rt h el a p l a c et r a n s f o r mc a nn o t b ea p p l i e dt ot h ec a s eo ft 【0 ，r ) t h ed i f f i c u l t i e so fs t u d y i n gi t a r em o r ei nt h i s p a p e r e x i s t e n c e f a m i l i e sd e f i n e do nt 0 ，r ) i ss t u d i e db ya n o t h e rw a y f i r s t l y ，t h ec o n c e p t so fl o c a lm i l do t i m e s i n t e g r a t e dc _ 1 e x i s t e n c ef a m i l i e s ，l o c a lq t i m e si n t e g r a t e dc e x i s t e n c ef a m i l i e s ，a n dl o c a ls t r o n go t i m e s i n t e g r a t e dc e x i s t e n c ef a m i l i e sa r ei n t r o d u c e d n e x t l y ，t h ep r o p e r t i e so fl o c a lr e 1 i d 一t i m e si n t e g r a t e dg e x i s t e n c ef a m i l i e sa n dt h er e l a t i o n sb e t w e e nl o c a lm i l do t i m e si n t e g r a t e dc - e x i s t e n c ef a m i l i e sa n dl o c a l s t r o n go t i m e si n t e g r a t e dc - e x i s t e n c ef a m i l i e sa r ep r e s e n t e d t h e n t h ea p p l i c a t i o n so fl o c a lm i l dn t i m e s i n t e g r a t e dc e x i s t e n c ef a m i l i e s ，l o c a la t i m e si n t e g r a t e dce x i s t e n c ef a m i l i e s a n dl o c a ls t r o n g 一t i m e s i n t e g r a t e dc e x i s t e n c ef a m i l i e sa r ed i s c u s s e dt ot h ea b s t r a c tc a u e h yp r o b l e m a n ds o m ee q u i v a l e n tr e s u l t s f o rl o c a lm i l dot i m e si n t e g r a t e dc e x i s t e n c ef a m i l i e sa r eo b t a i n e d f i n a l l y t h ec w e l l p o s e d n e s so ft h e a b s t r a c tc a u c b yp r o b l e mi sc h a r a c t e r i z e db yt h ea s y m p t o t i cc r e s o l v e n to fa d o ul i n a ( p u r e m a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f z h a oh u a x i n k e y w o r d ：l o c a l m i l do l t i m e si n t e g r a t e dc e x i s t e n c ef a m i l i e s l o c a l 。一t i m e si n t e g r a t e d c e x i s t e n c ef a m i l i e s1 0 c a ls t r o n gd t i m e si n t e g r a t e dc e x i s t e n c ef a m i l i e s a b s t r a c tc a u c h yp r o b l e m c - w e l l p o s e da s y m p t o t i cc - r e s o l v e n t 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得延安大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：亟盈娥日期：坦笆笸：立 关于论文使用授权的说明 本人完全了解延安大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属延安大学。本人保证毕业离校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为延安大学。学校有权保留送交论文的复印件， 允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。 本人签名： 导师签名：日期 劢。午乡 l 塞 1 引言 算子半群的概念起源于微分方程的c a u c h y 问题以及物理学中的因果律b 。n 。c h 空 司上有界线性算子半群的理论，就是研究无限维空间中算子值函数方程 t ( t + 5 ) = t ( t ) t ( s ) t ，s2 0 的解的理论 近数十年来算予半群的发展历程大致可分为四个阶段一初创期( 1 9 3 ( 3 1 9 4 7 年) ； s t o n e 在1 9 3 0 年提出1 9 3 2 年证明了的s t o n e 定理是算子半群理论中出现的最早结果这一 时期，算子半群的主要工作就是围绕s t o n e 定理展开的，二成熟期( 1 9 4 8 1 9 5 6 年) ： 1 9 4 8 年h i l l e 和y o s i d a 独立得到的生成定理是算子半群发展史上的里程碑接着p h i l l i p s 及 f e l l e r 等填补了h i l l e 遗留下来的许多空白三扩充期( 1 9 5 7 1 9 8 6 年) ：1 9 5 7 午出版的 h i l l e 和p h i l l i p s 的专著泛函分析与半群标志着算子半群的理论已基本形成随着研究 的不断深入，人们发现经典半群( c 0 一半群) ，已远不能满足需要于是人们不得不寻求 新的突破1 9 6 7 年，d ap r a t o 1 1 首次提出正则半群( 后称为。半群) ，但由于种种原因， 以后的二十年一直未能引起人们的足够重视人们的注意力开始转向扩展算子半群的其 他类型如：分布半群、局部凸线性拓扑空间中的算子半群、非线性算子半群、正半群等 ( 1 2 ，【3 】， 4 ， 5 等) 四再生期( 1 9 8 7 年以后) ：1 9 8 7 年a r e n d t 6 ，7 】提出积分半群 与d a v i e s 和p a n g 【8 重提c 一半群给算子半群的发展赋予了赣的生机它 f 1 给出了算子半 群更一般的框架，从多方面实质性地发展了强连续半群( 岛半群) ，并在应用中显示出 了强大的生命力与此同时，人们继续扩展算子半群的类型，提出了更新的算子半群一 积分c 一半群、存在唯一族、余弦算子函数、多值线性算子所对应的退化半群、双半群等 ( 9 ，【1 0 ，【n 】，【1 2 】，【1 3 】等) 并对其进行了广泛研究，得到了颇具价值的结论 随着算子半群理论的迅速发展及不断完善，它已成为泛函分析的一个内容丰实的重 要分支不仅在理论上有其自身的重要价值，更重要的是它的应用已涉及到十分广泛的 领域如在微分方程方面( 可参见 1 4 ， 1 5 等) 、在无限维线性系统及控制方面( 可参 见 1 6 ，【1 7 等) 、在概率论方面( 可参见f 18 】， 1 9 等) 、在数学物理方面( 可参见 2 0 ， 2 1 】等) 、在迁徙理论及人口发展系统方面等( 可参见【2 2 】f 2 3 】等) ，都得到了非常广泛 旦叠! 达墼筮g 二查堡堕蔓地叁鱼! ! 丝旦墅 一 2 的应用更多的应用工作则散落在大量相关文献中 众所周知，存在族是算子半群理论研究的重要内容之一，许多学者就此作了大量的 研究和探索+ 其中d e l a u b e n f e l s r 【2 4 1 定义了弱c 一存在族、c 一存在族、强c 一存在族，并研 究了它们之间的关系及其对抽象c a u c h y 问题的应用孙国正【2 5 】引入a 次积分c 半群和 弱n 次积分c 一存在族的概念，并讨论它们与抽象c a u c h y 问题的联系，从而得到相关的一 系列等价结论李淼、黄发伦、郑权【2 6 虽未明确给出弱n 次积分c 一存在族的概念，但 实质上讨论了它的性质及其与抽象c a u c h y 问题的关系，并用算子a 的渐近一c 预解式刻 划了抽象c a u c h y 问题的弘适定性郎开禄、杨光俊【27 】则讨论弱。次积分c 一存在族、 o 次积分c 一存在族、强a 次积分c 一存在族及其对抽象c a u c h y 问题的应用 以上关于存在族 s ( t ) ) 的研究仅局限于t 0 ，o 。) 的情形，对于t 【o ，r ) 情形均未作深 入探讨其中后一情形中的r ( o ，o o ，亦即包含了前一情形由于后一情形不能象前一情 形那样应用l a p l a c e 变换等工具进行研究，研究工具减少，所以难度增加本文克服了上 述困难，对。次积分c 一存在族t 0 ，r ) 的情形作了初步讨论 全文共分为三个部分： 第一部分引入局部弱。次积分c 一存在族、局部o t 次积分c 一存在族、局部强a 次积 分c 一存在族及相关的概念他们包含【2 7 】中关于弱a 次积分c 一存在族、a 次积分c 一存 在族、强n 次积分c - 存在族的概念作为它们的一种特殊情况从而与【2 7 相比，使其具 有更广泛的使用性 第二部分首先研究局部弱n 次积分c 一存在族的性质，如：非退化性、交换性等其 次讨论它与局部强a 次积分c 一存在族的关系，即在一定意义下，它们彼此等价 第三部分讨论局部弱a 次积分c 一存在族、局部a 次积分c 一存在族及局部强n 次积 分c 一存在族在抽象c a u c h y 问题中的应用首先给出抽象c a u c h y 问题解存在的几个充分 条件，然后得到满足一定条件的闭线性算子a 生成局部弱n 次积分c 一存在族等价于相 应的( a + 1 ) 次积分抽象c a u c h y 问题是口适定的最后研究渐近c 一预解式与抽象c a u c h y 问题c 一适定性的关系 最后应特别指出的是弱o 次积分c 一存在族、a 次积分c 一存在族、强n 次积分c 一存 在族的部分结论是本文所得出的相应结果在r = 0 0 时的一种特殊情况 。 一复= 塑坌塑鱼塑堡 3 第一部分预备知识 本文中均假设x 是b a n a c h 空间，所涉及的算子均为线性算子，b ( x ) 为x 上一切有 界线性算子的集合，d ( j 4 ) 、只( j 4 ) 为算子a 的定义域和值域，旧( a ) 为d ( a ) 的赋予图范 数的赋范空间，c 6 b ( x ) 是单射，i m ( c ) 为c 的象集，r e ( 0 ，o o 下面考虑。次和( n + 1 ) 次积分抽象c a u c h y 问题 ( a cp ，r ) 。 ( a cp n 。+ l “e ( 【o ，r ) ；【d ( a ) 1 ) nc 。( ( o ，f ) ；x ) ( t ) = a “o ) + 等茜z ，t 【0 ，r ) u ( 0 ) = 0 g ( o ，r ) ； d ( a ) 】) nc ( 【o ，r ) ；x ) ”似) = a v ( t ) + ：i z ，t o ，r ) 徊) = 0 定义1 , 1 设d 0 ，若强连续算子族 s ( t ) ) c 口伍) 且满足 1 ) s ( t ) c = c s ( o ，t 【o ，f ) 且s ( o ) = o ， 2 ) s ( t ) s ( s ) z = f b 【r + o + s r ) 。一1 s ( r ) c x d r i o ( t + s r ) “一1 s ( r ) c x d r ， 8 ，t ，s + e 0 ，r ) ，z x 则称 s ( t ) ) 。s ”为局部n 次积分c 一半群 局部口半群称为局部。次积分口半群 对。0 ，若s ( ) z e0 ( o 曼k r ) ，必有z = 0 ，则称局部o t 次积分c 一半群 s ( ) ) 是非退化的 设 s ( ) ) 。! 。是非退化的局部a 次积分c 一半群，则可定义其生成元a 如下： ， ld ( a ) ： z x j 存在p x ，满足等式s 扣一赤b c = j ：8 ( s ) y d s , t l 。，r ) ， ia z = ，如果s ( ) 2 一r 南仇= j ：s ( s ) 幽 一一 旦叠曼选墨坌= 登查堡皇塾壅堕坚曼堑圃墼 4 定义a 的g 预解集为几( a ) 为复数i 一a 是单射r r ( c ) 冠( a a ) 1 注若c = ，则局部积分c l 半群成为局部积分半群 定义1 2 设a 0 ，s ( t ) o ! 是局部a 次积分c 一半群，a 为阕算子如果 1 ) a 与每一s ( t ) 均可交换， 2 ) 对v z x ，有f ：s ( s ) x d s e d ( a ) 且 r t口 a 上s ( 8 ) 础2s ( ) 。一南g 。，j o， 则称 s ( t ) ) o ! 为a 的局部n 次积分c 一半群，或称a 次生成局部a 次积分c 一半群 s ( 幻) 。! 一此时亦称a 为 s o s 姆的次生成元 注由定义可知局部n 次积分弘半群p ( t ) ) o ! 一的次生成元一定是它的生成元， 反之不一定成立 定义1 3 设口20 ，若算子族 s ( ) ) o ! c b ( x ) 且满足 1 ) 映射t - - - , s ( t ) ：。e c ( o ，r ) ；x ) ， v x e x ， 2 ) v z e x ，t 【0 ，r ) ，有f t o s ( s ) x d s e d ( a ) 且 r q a 上鼬) z d s 。s ( t ) z 一南c x ， ，o一一， 则称 s ( ) ) 。! 一为 的局部弱。次积分口存在族 若s ( t ) zi0 ( o s t r ) ，必有z = 0 ，则称a 的局部弱n 次积分c 存在族 s ( ) ) 0 。 是非退化的 定义1 4 设0 ，若算子族p ( t ) ) o ! 时c b ( d ( a ) d 且满足 1 ) 映射t - - - + s ( o = e c ( o ，r ) ； d ( ) 】) ，v z e d ( a ) ， 2 ) 对v z e x ，( 0 ，f ) ，有 r t j 上4 s ( 8 ) 础。s ( 啦一丽g 。，o一一， 则称 s ( t ) ) o ! 一为a 的局部。次积分凸存在族 定义1 5 设d 0 ，若算子族 s q ) 8 1 。c b ( x ) 且 s 1 。! 为a 的局部弱a 次积 分c l 存在族，又f s ( f ) f p ( 4 ) j ) o ! 为a 的局部a 次积分e 一存在族，则称f 占( 。) ) o ! 为a 的局部强a 次积分c 一存在族 注当r = 0 0 时，a 的局部弱0 t 次积分g 一存在族 s ( t ) ) 0 一即成为a 的弱n 次积 分存在族1 2 7 】当r = o o ，q = 0 时，a 的局部弱a 次积分g 一存在族鄢成为a 的弱c 一存 整二叠坌塑鱼塑塑 5 在族 2 4 】相应地，对a 的局部a 次积分c 一存在族和局部强a 次积分口存在族，有类 似结果 定义1 6 若口( t ，$ ) = u ( s ，z ) d s g ( n r ) ；【d ( a ) d 且满足( a c p , r ) l ，则称“( ，z ) 是 ( a cp ，r ) 。的弱解 定义1 7若u ( t ，z ) g ( 【o ，r ) 【d ( 且) ) nc ( 【0 ，r ) ；x ) 且满足( a c p , r ) 。，则称“( t ，z ) 是 ( a c p , r ) 。的解 定义1 8 若对v x e x ，( a c p ，r ) 。+ 1 有唯一解u 俄。) ，且存在连续函数p ：【0 ，r ) _ 【o ，r ) ，满 足i l u ( t ，x ) l l 0 时，由定义1 3 及假设有 鲁l s ( t r ) 五；扣t ( o ) 一v z ( o ) ) i 川 = 一a s ( t r ) o i ( 口) 一t 7 2 ( 口) ) d 口一i ! 群g j 孑( 1 ( a ) 一 2 ( d ) ) 6 b + s o r ) ( v - ( r ) 一 2 ( r ) ) 整三墅筮旦叠墅壁选丞坌竖壹垄堡皇旦受堡垒选壑坌生壁壅蓬 7 = 一s o r ) ( ”l ( r ) 一”2 p ) ) 一f ! 二最莓= gj j ( l ( 口) 一v 2 ( a ) ) d a + s ( t r ) ( ”，( r ) 一”：( r ) ) = 一婶萨g 詹( 啦( 一) 一v 2 c ) ) d a 上式两端关于r 从0 到t 积分得 。= 一z 2 垒二；i 写三d r g o ( ”- ( a ) 一”：( 一) ) d 。， te 0 ，r ) 因此 互堡寻鑫 出c z 。t p ) 一”。) ) 出= 。， 。e 【0 ，r ) ， ( 2 一- ) ( i ) 若a = 1 ，则由( 2 ，1 ) 式知 卜知( 小以刚打扎 时) _ e 式两边关于t 求两次导数得 口1 ( 蚺= 砚( ) ，t 【o ，r ) ( i i ) 若0 o 1 则通过求导可以转化为o a l 的情形 综合1 和2 便得到，当n 0 时( a c p , r ) 。+ - 的解唯一 厦蔓竺选墨坌g = 壹垄塑量地叁鱼! ! 堑塑墼 8 下证b ) 由定义1 3 得 s c z = a 厶( ts ) c x d s ( s ) c z + 采杀魄， ( 2 叫s ( 。 j 。+ 南俨。， ( 2 2 及 c s ( t ) z = g a 片s ( s ) z d s + 可篙可c 2 z = a c i d s s ) z d s + 矸知g 2 。 = a 菇c s ( s ) z d s + 采藉c 2 z 从( 2 2 ) ，( 2 3 ) 两式及( a cp r ) 。+ - 的解的唯一性得 上式两边关于t 求导有 即 s 往) c z = c s ( t ) z ，s ( 。) g 础 j o s ( t ) c = c s ( t ) | c s ( s ) z d s v x x ，t 【o ，t ) te 【0 ，r ) ( 2 3 ) c ) 首先我们将证明下述等式 跏= 知s ) a z d s + 志，z e 叫) ，te 0 7r ) ( 2 - - 4 ) 为此，定义 跏；和s 如+ 高眈 由a 为闭算子，c a g a c 且p ( c ) ) o 。是a 的局部弱a 次积分c 一存在族，可得 a 启雪( s ) z d s = j ；：a ( 片s ( r ) z d r ) d 8 + 最；备g a z = 启( s ( s ) a z 一南g a z ) d s + 最；茜c a z = 七s ( s ) a x d s = 卸) 。一町g z 一 墨三堡坌旦墅塑堡迭塑坌坠查垄蓬皇旦叠堡竺达亟筮生壹查夔 9 由上式知，菇雪( s ) z d s 是( a c p , r ) 一z 在c z 处的解又由定义1 3 知，s 2 s ( s ) 。幽也是 ( a c p , r ) 。+ l 在处的解由( a c p , r ) 。+ l 的解唯一，有 肛咖d s = 小咖幽 上式两边关于t 求导即得 雪( 亡) $ = s ( t ) z 由雪( t ) 的定义知( 2 4 ) 式成立 由( 2 - 4 ) 式及定义1 3 得 a 小咖d s = 知s ，a x d s 因a 为闭算子，故可对上式两边关于t 求导得 s ( t ) z d ( 且)且a s ( t ) x = s ( t ) a z 即 s ( t ) a a s ( t ) d ) 取s e o ，r ) ，x e x 由c ) 有 a j ： s ( s ) s ( r ) x d r = s ( s ) af ：s ( r ) x d r = s ( s ) s ( t ) 。一r 南g z l = s ( s ) s 0 ) z i 1 ：睾玎s ( 8 ) g = s ( 8 ) s o ) z r 南g s ( s ) z 因此j ； s ( s ) s ( r ) x d r 是( a c p , r ) a + 1 在c s ( s ) z 处的解 由定义1 3 有 一t o a j cs ( ) s ( 8 ) 。出= s ( 。) s 一采南c s ( 5 ) 。 即j ； s ( r ) s ( s ) x d r 也是( a c p , r ) l 在c s ( s ) z 处的解 根据( a c p , r ) 。+ - 的解的唯一性可得 z s ( r ) s ( s ) 。d r = f o o s ( s ) s ( r ) z 出， t 9 d ，r ) 旦赶竺达亟坌旦二查查蕉皇垫叁q ! ! 堑旦堕 1 0 上式两边关于t 求导得 即 s ( t ) s 0 ) z = s 0 ) s 0 ) z ， v z x ， s ，t 【o ，r ) s ( o s ( s ) = s ( s ) s ( t )s ，t 0 ，r ) e ) 必要性 由a 为闭算子及定义1 3 和c ) 有 知s ，a x d s ：t a s x d s = a 知咖如刈啦一南 从而对z d ( a ) ，a x = 有 毗= 胁咖如+ 高 充分性 由已知条件 驰= 肛咖南乳 再由定义1 3 烈# a 上烈s 扣幽+ f 云雨 ，n 有 a j ( 4s ( s ) t d s = z t s ( s ) * a s 由于4 是闭的故对巳式两边关于t 求导可得 s ( ) z d ( a ) 且a s ( o x = s ( ” 从( 2 5 ) ，( 2 6 ) ，( 2 。7 ) 式，我们有c x e d ( a ) 且 a c x = ! ；李韭( a s ( t ) z 一4 名s ( s ) 掣d s ) = ! = i ：妄监( s ( t ) ”一a 菇s ( s ) y d 8 ) = c r ( c ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 第二部分局部弱a 次积分c 存在族与局部强a 次积分c i 存在族 1 l 因此x e d ( a ) 且a c x = c y 即 c 一1 a c x = y 由假设条件a = c 一- a g ，所以有 a x = y f ) 设a p c ( ) 且z x ，t 【o ，r ) 由定义1 3 有 z d ( a 1 a 知s ，x d s = s z 一南g z ( a - a ) 。1 g a ，s 础= ( a 一旷1 咧咖一痞若( a 一旷1 如 由c a a c 知n a ) 一1 c 与a 可交换，从而有 a fna)-cs(s)zds=(一a)cs(t扛一f瓦；可(,k-a-cs( - l o s ( ( , k - a ) 一1 g 2 z a 上( 卜a ) 曲础- ( 卜枷 。一希而 ) 一切 即( 一a ) 一1 c s c s ) 。d s 是( a c p , r h + t 对应于( 一a ) 一1 c 2 的解 因( 一a ) 一，x ，将其代入( 2 - 8 ) 式有 a f o s ( 州a 一旷1 出= 即) ( a 一矿1 e z 一采杀( a 一旷1 如 即s ( s ) ( a a ) 一1 c z d s 也是( a c p , r ) t 对应于n a ) 一1 c 2 z 的解- 根据( a c p , r ) 。+ t 解的唯一性有 z ( 一a ) - 1 g s ( s ) 。出= z 2 s ( s ) ( a a ) - 1 g z 如，t 【。，r ) 上式两边关于求导得 即 ( 一a ) 一1 c s ( t ) x = s ( ) ( 一a ) 一1 c z z x ，t i o ，r ) ( a a ) 一1 c s ( o = s ( t ) ( a a ) 一1 a e o ，r ) 注1 ) 由a ) 知任一a 的局部弱a 次积分c - 存在族 s ( t ) 】o s 都是非退化的 ( 2 8 ) 旦叠壁达塑坌里二查垄壁皇垫叁鱼! ! 堑囹墅 1 2 2 ) e ) 的逆命题亦成立即，若 r a z d ( 郫，a 。2 口铮s ( t ) 。2 08 ( 8 ) p 。8 + 南e 。- ( 2 9 ) 则a = c a c 3 ) 因为e 与s ( t ) 可交换，所以由( 2 9 ) 式可以推出c a a c 4 ) 由命题d ) 知，当p ( t ) o ”是闭算子a 的局部弱。次积分c 一存在族，且c a c a c 时，对v s ，t 0 ，r ) 有s ( t ) s ( 8 ) = s ( s ) s ( t ) 成立另一方面，如果 s ( t ) ) o ! 是局部n 次积 分c 一半群，那么对v s ，s + ( o ，t ) ，有s 8 猡( s ) = s ( s ) s ( ) 成立 二、局部弱a 次积分c 一存在族与局部强。次积分c 一存在族的关系 下面我们讨论局部弱a 次积分c 一存在族与局部强a 次积分c 一存在族的关系为此 先证明下述引理 引理2 2 设n 0 ，a 为闭算子， s ( t ) ) o ! 为a 的局部弱n 次积分c 一存在族， 且映射十s ( 扭c ( 【o ，r ) ；x ) ，在江o 处可微，则s ( t o ) ：e d c a ) 且 m l a s ( t 。) z = ( 舭一 证明令z i = 船+ s ( s ) z 峨 k n 则z - s ( 亡0 ) z ，七一， 而 a z t = k a 虑+ t s ( s ) z d s = ( a 菇。+ os ( s ) z d s a 矗。s ( 。) z d 曲 = 女【s ( 如+ ) z 一警措g z 一( s ( t 0 ) z f 毒车玎c z ) 】 = 阻( 如+ ) g s ( t 。) 卅一生舒e z 令k - 十0 0 ，有 口一l a s ( t 。) z 2 ( 牝一高眈 定理2 3 设a 为闭算子， s ( t ) 。! 蝌为a 的局部弱a 次积分c - 存在族且满足 篁三叠坌旦蔓塑壁达塑坌生壹垄夔皇旦签堡垒选塑坌生壹查蕉 1 3 a ) t 斗s ( 净g ( o ，r ) ；x ) ，v z d ( a ) ， b ) 斗s ( 扣0 ( 【o ，f ) ；【d ( ) 】) v z d ( a ) ， 则 s ( t ) ) 。! 为a 的局部强n 次积分c 一存在族 证明根据定义1 5 只需证 s ( ) l 【o f a ) 1 ) o ! m 为a 的局部n 次积分c - 存在族即可 由条件b ) 知定义1 ，4 的条件1 ) 已满足 由条件a ) 知s - s ( s ) * 在s e 【o ，r ) 上都可微。根据引理2 t 2 有 o n l a s ( s ) z 2 ( s ) z 一斋如 上式两边关于s 从0 到t 积分有 as(s)xds=s(t)”南0j 、u o 1 ， 即定义1 4 的条件2 ) 亦满足 综上所述， s ( ) 胁 ) 】) 0 1 一为a 的局部n 次积分c 一存在族 旦塑! 迭塑坌竺= 壹垄夔皇垫叁垡! 壁鲨囹墅 1 4 第三部分局部弱a 次积分c 一存在族在抽象c a u c h y 问题中的应用 一、抽象c a u c h y 问题解存在的几个充分条件 下面给出抽象c a u c h y 问题解存在的几个充分条件 定理3 1a ) 若存在a 的局部弱。次积分e 一存在族 s ( t ) ) o ，则对v x e i m ( c ) ，( a c p , t ) 。 存在弱解且解的序列u ( t ，n ) = s ( t ) z n 满足娄m 0u ( t ，n ) = ；l 。i r a 。s ( t ) z n = 0 ，上述极限在 拒 o ，r ) 的紧子集上是一致成立的 b ) 若存在a 的局部a 次积分口存在族 s ( t ) ) o ! m ，则对v x g ( d ( ) ) ，( a c p , r ) 。存在 解且当a 闭时，有坐m 0 ”( ，c x n ) 2 害m o s ( t ) 。n = 0 。l i a m 。- + 。a s ( t ) z n = 。、。憋。+ 。a u ( t c z n ) = 0 ，上述极限在t e d ，r ) 的紧子集上是一致成立的 c ) 若存在闭算子a 的局部强q 次积分c 一存在族 s ( t ) ) o s ，满足s ( t ) a ca s ( t ) ，则 对v z e l m ( c ) ，( a c p , r ) 。的强解存在 证明a ) 令( f ，c y ) = s ( t ) ”，这里z = c y ，即x e i m ( c ) ，则 v ( t ，g ) = u ( 8 ，c y ) d s = s ( s ) y d s g ( 【o ，r ) ；【d ( a ) 】) j 0j 0 且 。t ( t ，c ) = s ( t ) g = a t s ( s ) d s + f i ：! ；i 玎c y = a v ( t ，c y ) + i i ：若g ， ( o ，e 口) = 0 即u ( t ，c y ) 满足( a c p , r ) 。+ l 因此，“( # ，g 口) 是( a c p , r ) 。的弱解 由一致有界性定理，l is ( t ) | l 在t e d ，r ) 的紧子集上是有界的，从而解的序列“( t ，c x 。) = 】s ( t ) z n 满足鼻m o s ( ) z n = 鼻m o u ( ，c 。n ) ；0 ，且这种收敛性在t e o ，r ) 的紧子集上是一致成 立的 b ) 令( 1 c y ) = s ( t ) _ ，这里z = g 声c ( d ( a ) ) ，g d ( a ) 则 “( t ，c y ) = s ( t g ( 【o ，f ) ； d ( a ) 1 ) nc ( 0 ，t ) ；x ) 且 州唰d s 矿( o y = 差( 上删s + 南洲= 倒哪+ 篙e ”= a u ( 例+ 篙c y 二笪三塑坌 旦苎塑壁达堡坌生查查蕉垄垫叁鱼! 曼墨坐回堡生塑壅旦 1 5 “( 0 ，c y ) = 0 因此，“( ，g 口) 是( a c p , r ) 。的解 由一致有界性定理，i ls ( oi l 在t e o ，r ) 的紧子集上是有界的从而1 i m s ( ) 。： 鼻m 0 “( ，g 。n ) = 0 如果a 为闭的，那么。+ 。l i a m 。a s ( o 。n = 。l i r a 。- - + 0 a u ( ，c 。n ) = 0 且上 述极限在t 6 o ，r ) 的紧子集上是一致成立的 c ) 令u ( t ，c y ) = 片s ( s ) y d s ，这里z = c y ，即x e x m ( c ) 已知t s ( t ) ) o ! 是a 的局部强 0 1 次积分g 一存在族，由定义1 , 5 知 s ( t ) ) o 一也是 的局部弱。次积分c 一存在族根 据a ) 的证明知, 4 t ，c y ) 是( a c p , r ) 0 + 的解再由定理2 1b ) 的证明过程知( a c p , r ) 。，解 是唯一的最后显然该解关于初值是连续依赖的因此( a c p , r ) 。的强解存在 二、抽象c a u c h y 问题口适定的几个充要条件 下面给出抽象c a u c h y 问题c 一适定的几个充要条件年为此先证明下述引理 引理3 2 设n 0 ，a 为闭算子， s ( ) ) o ! 是b ) 中强连续算予族则下面两个 命题等价 i ) a 次生成非退化的局部a 次积分c _ 半群 s ( t ) ) o ! i i ) c 与每一个s ( ) 均可交换( o f 0 ，r ) ) ，s ( t ) a c _ a s ( t ) ， f t os ( r ) x d r d ( a ) 及 s ( 。) 。一f 矗g z = a 。s ( 咖衙 f ar t 【0 ，r ) ，且v x e x ，有 证明i ) j i i ) 由定义1 2 易证 i ) 辛i ) 考虑 石d 陬h ) 知u 蚓 = 一嵴c g s ( ) x d u s ( t r ) a f o s ( u ) x d u + s p r ) s ( r ) z = 一韭群石s ( u ) c x d u + 币话s ( 一r ) 阮 ( 3 1 ) 一：! i 童堕选塑坌旦：壹垄夔皇塑叁鱼兰些芝旦壑 1 6 上式两边关于r 从0 到s 0 t ) 积分得 s ( t s ) 片s ( r ) x d r = 一石峤( 石s ( “) c 。蚴d r + 石可南s ( t r ) c z d r = 一片 f f s ( “) c ，：d u ) d r + 上2 。爵云 s s ( r ) g z d r = 一石与乒f f ；s ( “) c z 如) d r + 盛，； 云籍d ( 菇s ( n ) g 。缸) = 一j ；嵴f f os ( u ) g z d u ) d r 一珂岛j ： 一。s ( u ) 。z d u + j 王。嵴( 石s ( u ) g z d u ) d r 由( 3 1 ) 式及上式可得 s ( t s ) s ( s ) z = i ：玎s 0 s ) c x + s ( t s ) a 层s ( r ) z d r = 蒜玎s ( t s ) g z c 嵴陋( r ) g z 一币i c 2 茁 打 一南陋。一s ) c z 一爵云篙c 2 叫+ 丘。峤眵( r ) c 。一南口2 叫办 = 正，嵴s ( r ) c z d r 片峤t - - r = - i s ( r ) d r 即s ( o 满足定义i i 的条件2 ) 由( 3 - 1 ) 知s ( o ) = 0 ，且由已知条件c 与每一个s ( t ) 均可交 换，即s ( t ) 满足定义i i 的条件1 ) ，那么 s ( t ) ) o s 是局部n 次积分c 一半群由已知s ( t ) 已满足定义1 2 的条件1 ) 和2 ) ，所以且次生成局部n 次积分c 一半群 s ( ) ) o ! 。最后， s ( t ) ) 0 一菲退化的证明类似于定理2 1 中a ) 的证明 定理3 3 设n 0 ，a 为闭算子，且c a c _ a c ，则下列命题等价， a ) ( a c p , r ) 。+ 1 是c 一适定的 b ) 存在a 的局部弱次积分c 一存在族 5 ( t ) ) o ，且s i o ac a s ( t ) ， c ) a 次生成非退化的局部a 次积分口半群 此外，如果a = c a c ，则a ) 、b ) 、c ) 等价于下面的命题 d ) a 生成菲退化的局部a 次积分o 一半群 证明a ) 辱b ) 由假设知，对v x e i m c ，( a c p , r ) 。+ l 有唯一解u ( ，z ) 令s ( t ) z = 坼，g z ) ，x e x ，t 【o ，r ) 易见 s ( ) ) o ! t a 满足定义1 3 的1 ) 和2 ) 中的等式因此，只需涯观每一个s 均为有界 算子 篁三叠坌旦叠璺竺选墼坌生廷垄夔查垫叁鱼! 些鲨回望主煎查旦 1 7 对于t 【o ，r ) ，令y ( t 如= 名s ( s )