（材料加工工程专业论文）注塑成型中粘性不可压缩非等温熔体的三维流动模拟.pdf

摘要 充模过程是注塑成型的初始阶段，直接影响了熔接线、气穴的位置、注射压 力和锁模力的大小，塑料熔体在该阶段的压力、温度、应力分布对最终的产品质 量产生重要影响。流动模拟是用数值方法预测熔体流动过程中的速度、压力、温 度等物理量的大小、分布和变化规律，研究工艺条件对成型质量的影响，找出可 行的或最优的设计方案，是现代塑料产品设计和加工的重要工具。 注塑成型流动模拟有三种主要方法：中面流、双面流、实体流，本文在系统 分析的基础上，提出了一些新方法及算法，以这些理论和算法为基础开发了模拟 分析软件并用解析解和实验验证了模拟结果。区域分解及并行计算是大规模数值 计算的重要手段，本文将区域分解推广到注塑成型流动模拟，研究了构造子问题 的方法及界面条件的合理性。主要成果包括： 1 提出了用t a y l o r - g a l e r k i n 方法计算控制体积的充填因子的方法，导出了 计算充填因子各阶导数的递推公式。这种方法克服了一个时间步长内只能充填一 个控制体积的局限，对于网格较密的塑件可以提高计算效率；对于网格较疏的塑 件可以提高计算精度。 2 分析了塑料熔体在模具型腔中的流动特点，将塑件表面离散成二维单元 并把结点在厚度方向上配对，在配对点间添加虚拟的等温管道并作为一维流道单 元，构成了数值分析的网格模型，应用中面方法模拟流动过程。等温管道使熔体 在两个表面之问自由流动，计算中起自然边界条件的作用，避免了强制边界条件 引起的质量不守恒等问题，使充填过程中的熔体在两个表面协调一致地流动。 3 压力场、速度场在三维流动的控制方程中是耦合的，为了避免同时求解 耦合的压力场、速度场，本文修改了g a l e r k i r t 方法的变分方程，导出了关于压力 场的拟p o i s s o n 方程，用迭代法独立地求解连续性方程、动量方程，并进行速度 一粘度迭代求出最终的压力场、速度场，这种方法可以提高数值方法的稳定性， 减少计算所需要的内存；提出了用隐式格式及“上风”法离散能量方程，用超松 驰迭代法求解温度场的代数方程组，避免了直接使用o a l e r k i n 方法求解能量方程 容易引起的温度场的振荡；提出了用隐式方法离散n a v i e r - s t o k e s 方程，导出了 离散后的代数方程和求解方法，提高了数值方法的稳定性。 4 将区域分解应用于注塑成型流动模拟，对于不重叠型区域分解提出了类 似于椭圆方程的d i r i c h l e t 及n e u m a n n 边界条件，构造了区域分解的子问题及d n 方法的求解步骤；对于重叠型区域分解分析了自然界面条件，提出了构造子问题 的两种方法，比较了不同方法对计算结果的影响。 关键词：三维流动，粘性不可压缩流体，有限元，变分方程，区域分解 a b s t r a c t f i l l i n gi st h ei n i t i a ls t a g eo fi n j e c t i o nm o l d i n g i t h a sg r e a te f f e c to nt h el o c a t i o n s o fm e l t l i n eo rw e l dl i n e ，t h ea i rt r a p sa n dt h em a g n i t u d eo fi n j e c t i o np r e s s u r ea sw e l l a sc l a m pf o r c e t h cm e l tp r e s s u r e t e m p e r a t u r ea n ds t r e s sa tt h ef i l l i n gs t a g ep l a ya n i m p o r t a n tr o l eo nt h ef i n a lq u a l i t yo f t h em o l d i n gp a r t f l o ws i m u l a t i o ni st h et o o l w h i c hi su s e dt op r e d i c tt h es c a l e ，d i s t r i b u t i o na n dv a r i a t i o no f p h y s i c a lv a r i a b l e ss u c h a sv e l o c i t y , p r e s s u r ea n d t e m p e r a t u r ee c ，b yn u m e r i c a lm e t h o d sd u r i n gf i l l i n gp e r i o d i tc a na l s ob eu s e dt os t u d yt h ee f f e c t so f p r o c e s sc o n d i t i o n so nt h eq u a l i t yo f i n j e c t i o n m o l d i n gp r o d u c t sa sw e l la st of i n daf e a s i b l eo ra no p t i m a ld e s i g n f l o ws i m u l a t i o n h a sb e c o m ea n i m p o r t a n t t o o lf o rm o d e m p l a s t i cd e s i g n a n d p r o c e s s t h e r ea r et h r e em a i na p p r o a c h e si n c l u d i n gm i d p l a n e ，d u a ld o m a i n sa n ds o l i df o r f l o ws i m u l a t i o no f i n j e c t i o nm o l d i n g i nt h i st h e s i s ，w ep r o p o s e ds o m e n e wm e t h o d s a n da l g o r i t h m st oi m p r o v et h e s ea p p r o a c h e sb a s e do ns y s t e m a t i c a l l ys t u d y i n gt h e m a n dd e v e l o p e dt h ec o r r e s p o n d i n g p r o g r a m s t h ev a l i d i t yo f t h ep r o p o s e dm e t h o d s w a s t e s t i f i e db ya n a l y t i cs o l u t i o na n de x p e r i m e n t s a sd o m a i n d e c o m p o s i t i o n a n dp a r a l l e l c o m p u t a t i o n h a v eb e c o m ei m p o r t a n tt o o l sf o rl a r g es c a l ec a l c u l a t i o n ，w eg e n e r a l i z e d t h i st e c h n i q u et of l o wa n a l y s i sf o ri n j e c t i o nm o l d i n ga n ds t u d i e dh o wt oc o n s t r u c tt h e s u b - p r o b l e m a n dt h e r e a s o n a b i l i t y o f i n t e r f a c ec o n d i t i o n s n l em a i nr e s u l t sa r es h o w n a sf o l l o w ： 1 w ep r o p o s e dan e wm e t h o dt ou p d a t et h em e l tf r o n tf i l l i n gf a c t o r so ft h e c o r r e s p o n d i n gc o n t r o l v o l u m eb yt a y l o r - g a l e r k i na p p r o a c ha n dd e r i v e dt h er e c u r s i v e f o r m u l at oc a l c u l a t et h ed e r i v a t i v e so ff i l l i n gf a c t o ri n e v e r yo r d e r t h i sm e t h o d o v e r c o m e st h el i m i t a t i o nt h a to n l yo n ec o n t r o lv o l u m es h o u l db ef i l l e dw i t h i no n es t e p i tc a ni m p r o v et h ec a l c u l a t i n ge f f i c i e n c yf o rf i n em e s hp a r ta n dt h ep r e c i s i o n sf o r r o u g hm e s hp a r ts i m u l a t i o n 2 i nt h i st h e s i s w ep r o p o s e dam e s hs c h e m ef o rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa f t e r a n a l y z i n gt h ec h a r a c t e r so f m e l tf l o wi nm o l dc a v i t y h at h i ss c h e m e ，t h es u r f a c e so f s o l i dp a r ta r em e s h e db yt w od i m e n s i o n a le l e m e n t sw i t ht h en o d e sc o u p l i n ga i o n g t h i c k n e s sd i r e c t i o na n da na d d i t i o n a li m a g i n a r y p i p e e l e m e n ti nw h i c ht h et e m p e r a t u r e k e e p sc o n s t a n ti s a d d e dt ot h em e s hm o d e l t h e na p p l yt h et r a d i t i o n a lm i d - p l a n e m e t h o dt os i m u l a t et h em e l tf l o wp r o c e s s t h ep i p ee l e m e n t sa l l o wt h em e l tf l o w f r e e l y b e t w e e nt h et w os u r f a c e sa n dp l a yt h en a t u r e b o u n d a r y c o n d i t i o n si n c a l c u l a t i o n t h e s en a t u r eb o u n d a r yc o n d i t i o n sc a na v o i dt h et h e o r y p r o b l e m ss u c ha s m a s sd i s c o n s e r v a t i o na n dk e e pt h em e l tf l o wa l o n gt h et w os u r f a c e su n a n i m o u s l y d u r i n gf i l l i n gs t a g e 3 t h ev e l o c i t ya n dp r e s s u r ea r ec o u p l e di nt h eg o v e r n i n ge q u a t i o n so f t h r e e d i m e n s i o n a lf l o wa n a l y s i s i no r d e rt oa v o i dt h es i m u l t a n e o u sd e t e r m i n a t i o no ft h e c o u p l e dv e l o c i t ya n dp r e s s u r e ，w ed e r i v e da p o i s s o n l i k ee q u a t i o na b o u tp r e s s u r eb y m o d i f y i n gt h ev a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o na n ds o l v e st h ec o m p o n e n t si n d e p e n d e n t l ya t a n yg i v e nt i m es t e p i nt h i st h e s i s t h ei t e r a t i v ep r o c e d u r ew a se m p l o y e db o t hf o r v e l o c i t y - p r e s s u r e a n dv e l o c i t y - v i s c o s i t ys o l u t i o n so ft h e c o u p l e de q u a t i o n s t h i s m e t h o dc a ne n h a n c et h es t a b i l i t yo fn u m e r i c a ls c h e m ea n dr e d u c em e m o r yn e e d e di n s i m u l a t i o n t h em i x e di m p l i c i ta n d u p w i n d a p p r o a c hw a se m p l o y e dt od i s c r e t et h e e n e r g ye q u a t i o n t h ea l g e b r a i ce q u a t i o n s a b o u tt h ed i s c r e t e dt e m p e r a t u r e sw e r e s o l v e db yo v e rr e l a x a t i o nm e t h o d i nt h i sw a y , t h et e m p e r a t u r eo s c i l l a t i o n sw h i c h m a y o c c u rb y d i r e c t l yd i s c r e t i n gt h ee n e r g ye q u a t i o n w i t l lg a l e r k i nm e t h o dc a r l _ b ea v o i d e d t h ei m p l i c i ts c h e m ew a sa l s oe m p l o y e dt od i s c r e t et h en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n w e d e r i v e dt h e a l g e b r a i ce q u a t i o n sa n dp r o p o s e da ni t e r a t i v em e t h o dt og e tt h ef i n a l s o l u t i o n s t h i sm e t h o dc a l li m p r o v et h es t a b i l i t yo f n u m e r i c a ls c h e m e 4 t h ed o m a i n d e c o m p o s i t i o nw a sa p p l i e dt of l o wa n a l y s i sf o r 蛳e c t i o nm o l d i n g t h ed m c h l e ta n dn e u m a r mt y p eb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o r e l l i p t i ce q u a t i o nw e r e p r o p o s e d f o r n o n - o v e r l a p p i n g d o m a i n s ，b o t ht h e s u b - p r o b l e m s f o rd o m a i n d e c o m p o s i t i o na n dt h es o l v i n gs t e p sf o rd - ns c h e m ew e r ec o n s t r u c t e d i na d d i t i o n ， t h en a t u r ei n t e r f a c ec o n d i t i o n sw r es t u d i e da n dt h et w oc o n s t r u c t i n ga p p r o a c h e sf o r s u b p r o b l e m sw e r ep r o p o s e df o ro v e r l a p p i n gd o m a i n s t h ee f f e c t so nc a l c u l a t i n g r e s u l t sb yd i f f e r e n tm e t h o d sw e r ea l s oc o m p a r e d k e y w o r d s ：t h r e ed i m e n s i o n a lf l o w , v i s c o u si n c o m p r e s s i b l ef l u i d ，f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，v a r i a t i o n a le q u a t i o n ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o n 第一章引言 第一章引言 自上世纪九十年代起，数值模拟已经成为工业界的一个重要工具，它可以计 算、显示实际产品和实验很难看到的结果，能够灵活地随产品的几何形状和加工 条件的改变而变化。借助数值模拟技术人们可以分析塑料熔体在流动过程中的速 度、温度分布，确定应力大小，如果用实验来获得这些结果，将是非常困难和昂 贵的。使用数值模拟可以减少新产品的研究成本，缩短开发周期。利用数值模拟， 研究人员可以了解更复杂的物理现象，设计人员可以优化产品的结构和性能。正 是这些优点推动了它在工业界的广泛应用，使其成为设计和加工的重要工具。 塑料制品在汽车、电子以及日常生活中得到了广泛应用，需求也越来越大， 塑料制品的快速增长促进了新的更复杂的制品的研究和开发，仅凭过去的技术和 经验很难设计、加工出高质量的产品，需要借助数值模拟技术了解成型过程中诸 多因素的相互作用以及对产品质量的影响，优化工艺条件，找出最优的方案。塑 料熔体的充模流动过程是注塑成型的初始阶段，决定了熔接线的位置、分子链的 形态；流动产生的应力对产品的最终变形也起着至关重要的作用。同时，塑料流 经浇口、筋、拐角内饰件以及多股流体的交汇区域容易形成喷射、表面缺陷、 收缩、翘曲和不希望的纤维取向等成型问题。通过流动模拟，可以发现产生这些 问题的原因，找出可行的或最优的设计方案和加工工艺 1 】。 1 1 基于中面的流动模拟 在过去的三十年中，对注射成型流动过程的研究取得了很大的进展，描述流 动的数学模型也日益接近真实的流动过程。k a m a l l 2 、t a d m o r l 3 1 、l o r d 和 w i l l i a m s 【4 ，5 等开创了这一研究领域的先河，他们的工作主要集中在预测简单几何 形状制件的温度场、压力场。a u s t i n l 6 1 使用“分片”技术对复杂形状塑件的成形过 程进行研究，预测熔体和模具的温度、注射时间、注射压力等工艺条件以及流动 平衡等问题。 大多数注射成型的塑料制品都是复杂的三维几何体，塑料熔体在成型过程中 是非等温的粘性、不可压缩的非牛顿流体，因此，不作适当简化很难分析流动过 程。h i e b e r 和s h e n l 7 】针对厚度方向的尺寸远小于其他方向尺寸的薄壁件，引入 广义h e l e - s h a w 模型【8 】描述型腔中熔体的流动，简化了非等温、非牛顿流体流动 的控制方程，并假定熔体的流动关于中面对称，用厚度方向上的中间面( 即中面) 代表制件。二十一世纪前，这个模型一直是描述塑料注射成型流动的主要模型。 描述熔体剪切效应的粘度模型也越来越精确，从初期的幂律模型到五参数的 郑卅i 大学博士掌位论文 c r o s s a r r h e n i u s 模型 9 】，再到七参数的c r o s s w l f ( w i l l i a m s ，l a n d e la n df e r r y ) 模型，剪切速率的适应范围越来越大，对温度的变化也越来越敏感。 基于h i e b e r 的简化控制方程的数值方法基本成熟口，l “。应用边界条件由连续 性方程和动量方程导出关于压力场的拟l a p l a c e 方程，用有限元求解压力场；将 单元在厚度方向分层，用有限差分求解各层上的温度；因为粘度依赖于压力梯度 和温度，所以再用迭代法求出最终解。l i 1 2 】和m i s h e v 1 3 1 等尝试用有限体积法求 解控制方程，但因为理论不是太完善，实际应用较少。h i e b e r 方法在中面上用有 限元计算压力，在厚度方向上用有限差分计算温度，所以一般称为中面方法或 2 5 维方法。 塑料熔体在充填过程中流动前沿在不断变化，是移动边界问题，因此流动模 拟除求解压力场、温度场、速度场等物理量外还需要确定流动前沿位置。跟踪前 沿最常见的方法就是拉格朗日法和欧拉法。在拉格朗日法中每次向前推进，网格 都需要重新划分，虽然能较准确地预测熔体前沿的位置，但计算量大而且当几何 模型复杂时网格易于划出模型之外：在欧拉法中，先将模型网格化，然后用数值 方法计算熔体在网格中的充满程度，以此确定流动前沿位置，这种方法不需要重 新划分网格，易于处理复杂模型中的前沿位置以及多股流体的聚集和分离，是目 前数值模拟中普遍使用的方法。w a n g 等【1 1 】结合控制体积与流动模拟网络( f l o w a n a l y s i sn e t w o r k ) 模拟充填过程中的流动前沿一直是基于中面模型的常用方法。 应用h i e b e r 模型并结合有限元、有限差分等数值分析工具在注射成型流动 模拟中取得了很多优秀的研究成果0 1 4 。17 1 ，以该模型为基础开发出了c m o l d 、 m o l d f l o w 、m o d e x 、z - m o l d 等商品化的软件。 1 2 基于实体表面的流动模拟 尽管基于中面模型的流动模拟在预测产品尤其是薄壁产品的成型性( 熔接 线、气穴位置，注射压力、锁模力等) 方面取得了相当的成功 1 8 , 19 】，但使用不方 便，其主要问题是需要根据产品模型建立c a e ( c o m p u t e r a i d e de n g i n e e r i n g ) 分 析的中面模型。注塑产品千变万化，对于变厚度和结构复杂的制件，中面是不存 在的，构造中面十分困难。二十世纪九十年代，随着c a d ( c o m p u t e r a i d e d d e s i g n ) 技术的发展。实体造型得到广泛应用，用户需要直接利用c a d 的几何信息来进 行塑料成型分析，而不是再建一次中面模型。 为了克服二次建模的缺点，人们研究了两种方法来实现既采用中面模型技术 又利用c a d 的几何信息。是抽中面，即将制件的实体模型转化为中面模型， s h e e h y 2 0 1 、r a z a y a t 2 ”、f i s h e r 2 2 1 、p e t e r 2 3 1 等在这方面做了大量工作，尤其以p e t e r 第一章引言 的工作最具代表性。他们先从c a d 文件中读取制件表面的几何信息并离散成三 角形单元，将单元在厚度方向上配对并合并成一个单元，然后缝补成完整的网格， 这样就生成了中面网格，再用中面方法计算成型过程中各物理量的大小及变化， 他们已经将其发展成一个独立模块集成在m o l d f l o w 中。这种方法对简单制 件以及明显存在中面的制件很有效，但对复杂产品不能抽出完整的中面，需要人 工修补，有时甚至会产生严重的变形。因为有些复杂制件的某些局部特征根本就 不存在中面，所以完全从几何的方式实现c a d 的实体模型向c a e 的中面模型转 化有一定的难度。另一种方法是双面流 2 4 - 2 7 1 ，将模具型腔或制件在厚度方向上分 成两部分，有限元网格在型腔或制件的表面产生，而不是在中面，利用表面上的 三角形网格进行有限元分析。与基于中面的有限差分在中面的两侧( 从中性面至 两模壁) 进行不同，厚度方向上的有限差分仅在表面内侧( 从模壁至中性层) 进 行。在流动过程中，上下两表面的塑料熔体同时并协调地流动。这种方法既利用 了中面模型的快速、灵活的特点，又不需要重构几何模型，被多数软件开发商采 用。 显然，双面流技术所应用的原理和方法与中面流没有本质上的差别，不同的 是双面流采用了一系列相关的算法，将沿中面流动的单股熔体演变为沿上下表面 协调流动的双股流。由于上下表面处的网格无法一一对应，而且网格形状、方位 与大小也不可能完全对称，如直接进行有限元分析，会导致分析过程中上下两个 表面的塑料流动模拟各自独立地进行，彼此之间毫无关联、互不影响，这与塑料 制品在注塑过程中的实际情况不相符，因此，必须将所有表面网格的节点进行厚 度方向配对，使有限元分析算法能根椐配对信息协调上下两个表面的塑料流动过 程，将上下对应表面的熔体流动前沿所存在的差别控制在允许的范围内。所以， 协调上下表面的物理量如压力、速度、温度使熔体一致地向前流动是双面流的关 键。 ， 周华明等【2 6 提出添加强制性的边界条件( 如配对点的压力相等) 来协调配对 点的物理量以达到一致充填的效果，p e t e r l 2 3 1 形象地称其为三明治算法，上下模 壁象征面包，中间的塑料熔体象征肉或乳酪，配对结点之间用钉子将其固定。这 种边界条件是非自然边界条件，容易引起质量不守恒等其它问题，需要使用特殊 技巧来解决由此引起的理论上的不完备。曹伟等 2 7 1 提出在配对结点间添加虚拟等 温管道，熔体充满一个结点后从管道进入其配对结点，实现上下表面一致充填的 效果。 双面流模拟技术将分析结果显示在实体表面上，比将分析结果显示在中面上 具有更真实生动的效果。双面流技术具有中面流技术的全部优点，同时又克服了 邦州大学博士学位论文 提取中面的的繁锁过程，因此，基于双面流技术的注塑流动模拟软件( c m o l d 的q u i c k f i l l ，m o l d f l o w 的p a r t a d v i c e r ) 问世不久，便得到了广大用户的支 持和好评，造就了大批用户，为注塑成型c a e 的发展和普及做出了贡献。 双面流技术具有明显的优点的同时也存在明显的缺点。由于它采用的是中面 流动的h e l e s h a w 模型的简化假设，厚度方向上的速度分量被忽略不计，压力在 厚度方向上保持不变，所以它的分析数据不完整。随着塑料注塑工艺的发展，塑 料制品的结构越来越复杂，壁厚差异越来越大，物理量在厚度方向上变化逐渐变 得不容忽视。同时由于数据的不完整，造成了流动模拟与冷却分析、应力分析、 翘曲分析集成的困难。此外，熔体沿着上下表面流动，在厚度方向上未作任何处 理，缺乏真实感。 因此，双面流只是从视觉效果上实现了实体上的流动模拟，本质上还是应用 中面技术，由于要协调上下表面的物理量，由此还会产生诸如质量守恒等其它问 题，所以从准确性上看，双面流比中面差。要实现塑料注射制品c a d c a e 的集 成，必须依靠真三维流动模拟。 1 3 真三维流动模拟 由于h e l e s h a w 模型忽略了厚度方向的速度，不能正确地预测一些重要的流 动特征( 如拐角处的压力降) ，对不存在明显中面的制件尤其如此。此外，对称 性的应用也导致了精度的丢失。要准确模拟任意形状制件成形过程的流动特征， 需要三维流动模拟。三维流动模拟没有太多的假设和简化，可以研究熔体的自由 表面及非牛顿流体的流变行为，另外，三维模拟直接使用实体的几何信息，便于 实现与c a d c a m 的无缝集成。过去由于计算机的内存、运算速度的限制使三 维流动模拟难以得到应用，随着计算机性能的提高，价格的下降，三维模拟将是 发展方向，这方面研究已取得了一些进展【2 8 刀 。 与2 5 维分析相比，三维分析时厚度方向的速度没有被忽略，并与其它两个 方向的速度处于同样地位。三维分析时一般假定熔体是粘性不可压缩的非牛顿流 体，熔体按层流方式流动，忽略熔体的惯性及质量力，得到简化的n a v i e r - s t o k e s 方程，并与连续性方程和能量方程一起构成三维流动的控制方程 3 0 , 3 1 1 。由于充模 时间很短，有的学者忽略流动过程中的热交换，得到更简单的控制方程 2 8 , 2 9 , 3 2 1 。 因为精度要求越来越高，所以控制方程的简化越来越少，要模拟“喷射”等物理 现象，必须考虑熔体的惯性及质量力，d o n e a ”l 、r a j a p a l e m 3 4 1 、a y a d l 3 5 】等在控 制方程中考虑了这些因素，取得了较好的效果。如果准确地描述自由面上的熔体 的流动形为。还需要将空气看作伪流体，并与塑料熔体一起耦合求解 鲥l 。另外， 第一章引言 粘弹性和结晶对成型质量的影响将会成为精确分析所必须考虑的因素口q ”】。三维 分析所采用的粘度模型与2 5 维方法相似，大多使用幂律模型、五参数 c r o s s a r r h c n i u s 模型或者七参数c r o s s w l f 模型。 用有限元法求解三维控制方程，一般用四面体或六面体单元离散制件。为了 使数值解尤其是压力不出现振荡，一般必须使插值单元满足b a b u s k a - b r c z z i 条 件，常用的有p 1 。垤。或q 1 + p 0 1 3 2 , 3 8 1 ，有时为提高计算精度也采用p l + p 1 【3 4 。由于 粘度依赖于剪切变形速率、温度及压力，所以直接应用有限元方法离散控制方程 后得到一组非线性方程组，需要用迭代法求解【3 2 】。每次迭代的代数方程组的系数 矩阵对称但不正定，一般用预处理共轭梯度法求解1 3 9 州】。由于一般的制件需要划 分几万甚至几百万个单元，所以离散后的代数方程组的维数较高，与稳定性及收 敛速度密切相关的谱半径难以估计，迭代的初始值也很难给定。此外，这种方法 还需要大量的内存保存中间计算结果。 三维流动模拟中一般使用v o f ( v o l u m eo ff l u i d ) 4 2 , 4 3 】方法描述熔体的流动 前沿，充填因子表示前沿熔体的充满程度，用充填因子的输运方程作为流动前沿 的控制方程，用t a y l o r - g a l e r k i n 方法确定流动前沿位置【2 8 】。也有学者如a y a d 3 5 依然沿用类似2 5 维的控制体积法跟踪熔体流动前沿。 三维流动模拟直接利用塑料制品的三维实体信息生成三维立体网格，利用这 些三维立体网格进行有限元计算，熔体在厚度方向的速度分量不再被忽略，熔体 的压力在厚度方向变化，不仅可以获得实体制品表面的流动数据，还能获得实体 内部的流动数据，计算数据完整。因此，对于薄壁制品，三维流动模拟能产生更 加详细的关于流动特征的信息和应力分布；对于厚壁制品，三维流动模拟能更加 准确地预测其充填行为。许多在2 5 维模型中不能预测的充模过程中的微观行为， 如熔体前沿的流动形态和推进方式即“泉涌”效应在三维流动模拟中都可以得到 很好的体现。三维流动模拟完全克服了双面流技术的不足，为注塑成型全过程模 拟打下了基础。同对分析结果直接在三维制品上或三维透明的模具型腔内显示， 更加真实生动m j 。 与中面流或双面流相比，三维流动模拟中熔体的流动有三个自由度，剪切速 率张量是3 3 的矩阵，所以控制方程要复杂得多，相应的求解过程也更加复杂， 计算量大，计算时间长，这是基于实体的注塑成型流动模拟软件目前所存在的最 大问题。诸如电视机外壳或洗衣机缸这样的塑料制品【2 4 】，用现行软件，在目前配 置最好地微机上仍需要数百小时才能计算出一个方案，如此冗长的运行时间与虚 拟制造的宗旨大相径庭。塑料制品的虚拟制造是将制品设计与模具设计紧密结合 在一起的协同设计，追求的是高质量、低成本和短周期。如何缩短三维流动模拟 郑州大学博上学位论文 的运行时间是当前注塑成型计算机模拟领域的研究热点和当务之急。随着研究人 员的不懈努力以及计算机硬件的飞速发展，可以预见，满足虚拟制造要求的三维 注塑流动模拟软件会在近年内涌现。 1 4 区域分解法 三维流动模拟是准确预测成型过程中流动问题的最好解决方案，但其计算量 大，运行时间长也是制约其实际应用的瓶颈问题。自上世纪九十年代以来，并行 计算在计算流体力学( c f d ) 中得到了很好的应用与发展，受此启发，近年来注 塑成型模拟中也有不少相应的研究 4 4 , 4 5 , 4 6 】。 在国际上软件研究先进的国家，计算流体力学( c f d ) 领域并行算法研究开 展较早，1 9 9 3 年，德国的g u yl o n s d a l 和a n t o ns c h t l l l e r 4 7 用多重网格法对复杂 流场模拟的三维n a v i e r - s t o k e s 方程进行并行计算，算法有较优的扩展性，在3 2 结点的i n t e li p s c 8 6 0 上，网格规模为2 5 7 x1 2 9 时的并行效率达到了7 4 。1 9 9 4 年，印度j a w a h a l an e h r u 先进科学研究中心的a m i tj b a _ s u 4 8 在有三个i 3 8 6 f l o s l v e rm k 3 上用谱方法对三维n a v i e r - s t o k e s 方程进行并行计算，在网格规模为 3 2 3 和6 4 3 时的并行效率达到了8 7 2 。1 9 9 5 年，日本的t 1 w a m i y a 等h 9 】在分布 存储的数值风洞n w t ( n u m e r i c a lw i n dt t t r m e l ) 上实现了三维层流n a v i e r - s t o k e s 方程的并行计算，虽有比较多的全局通信，并行效率仍然比较高。同年，c r a y 研究中心的a k s t a g g 等【5 0 j 在n c u b e 2 、i n t e li s p c 8 6 0 、i n t e ld e l t a 等计算机上 使用多种方法进行了三维n a v i e r - s t o k e s 方程的数值并行计算，表明有较好的并 行效率和可扩展性。1 9 9 6 年，法国的s l a n t e r i ”】在i n t e lp a r a g o n 、c r a yt 3 d 和 i b ms p 2 等m p p 机上实现了有限体积法和有限元法混合的四面体非结构网格程 序n 3 s m u s c l 求解喷气式飞机f a l c o n 全机的并行计算，比较了重叠网格与 非重叠网格划分的并行效率，以及三种m p p 巨型机的综合性能。中国空气动力 研究与发展中心较广泛地开展了c f d 并行计算技术研究【5 2 】，研制了并行计算软 件，并运用于解决工程设计中的关键问题。 随着并行计算机和并行算法的发展，一类被称为区域分解算法( d o m m n d e c o m p o s i t i o nm e t h o d ) 的偏微分方程数值解的新技术骤然崛起，并愈来愈受到 人们关注。区域分解算法是八十年代崛起的新方向，由于该方法能将大型问题分 解为小型问题、复杂边值问题分解为简单边值问题、串行问题分解为并行问题， 因此1 9 8 5 年以后研究渐趋活跃，1 9 8 7 年之后，每年召开一次国际会议。美、俄、 法、意等国数值分析专家竞相参加此项研究。进入九十年代，区域分解算法已成 为当今计算数学的热门领域，其趋势方兴未艾。 第一章引言 区域分解算法分为不重叠区域和重叠区域两种。不重叠区域分解方法源自于 有限元子结构方法，有限元刚度矩阵若按子结构分解成块结构形状，则使用g a u s s 块消去法就导出容度方程。p r o s k u r o w s k i 和w i d l u n d 早在1 9 7 6 年就研究了容度 方程的应用【5 3 】；d r y j a 在1 9 8 2 年细致地讨论了多角形区域椭圆型方程的容度矩 阵方法【5 4 】；w i d h m d l 5 5 1 还阐明客度矩阵法与d - n 交替法的关系；c h a n 研究了谱 性质与条件数【5 6 】；a g o s h k o v l 5 7 1 把容度矩阵法归结于离散s t e c k l o v p o i n c a r e 算子。 g l o w i n s k i 早于1 9 8 2 年前就发表了一系列关于区域分解法的文章 5 s , 5 9 ，他的方法 是先转化原始问题为鞍点问题，当用迭代法求l a g r a n g e 乘子时，主要步骤就归 结于子域上求解，g l o w i n s k i 6 。】还应用这种混合形式讨论了区域分解法在流体力 学的应用。 重叠区域分解始于s c h w a r z 在1 8 6 9 年提出的交替方法，经许多著名数学家 的研究，以l i o n s 6 1 1 的投影解释最简单、易用。数值s c h w a r z 算法开始较晚，六 十年代m i l l e r 6 2 1 最早把s c h w a r z 方法用于数值计算，l i o n s 6 3 】应用极值原理论证 了一般域上的二阶椭圆型方程的s c h w a r z 交替法的收敛速度与重迭域的关系，我 国学者康立山【删提出了s c h w a r z 异步并行算法，吕涛 6 5 , 6 6 使用l i o n s 的投影解释 给出异步并行算法较为严格的收敛性证明。 应用区域分解法将复杂的模具型腔或制件分成若干个形状简单的几何体，对 每个几何体添加适当的初始条件和边界条件，构成求解的子问题，分配到各个处 理器上计算，计算结果传到中央处理器上，更新边界条件及初始条件，重新在各 处理器上计算，直到收敛为止。c h r i s t o n l 6 7 1 、k a l r o 6 s 、t e z d u y a r 6 9 等在这方面做 了大量的研究。并行计算可以减轻中央处理器的负担，提高计算效率，减少运行 时间。现在流行的i n t r a n e t 不能满足并行计算对数据传输的要求，要使用并行方 法，需要构造并行计算机，但成本很高，所以要真正在模具企业中推广并行计算， 还需要做更深入的研究。 1 5 论文的主要工作 改进了现有的基于中面的2 5 维流动模拟方法；对于基于实体的双面模拟方 法，提出了虚拟管道数值配对点的概念，消除了理论上的不完备；对于具有挑战 性的真三维充填模拟，从理论和算法上提出了数值模拟的可行性方法，同时完成 了三种数值模拟方法的程序研制。通过区域分解的应用，保证了模拟算法的先进 性。具体内容如下： ( 1 ) 在熔体前沿跟踪方面，改进了w a n g 1 的选取时间步长及更新流动前 沿的方法。用充填因子的输运方程描述流动前沿，用p e t r o v g a l e r k i n 方法导出了 郑州大学博士学位论文 计算充填因子导数的递推公式，以充填因子的高阶导数计算时间步长，用高阶 t a y l o r 展开式更新下一时间步长的充填因子。 ( 2 ) 在双面流动模拟中，提出了在配对点间添加虚拟的等温管道并作为一 个一维单元，与表面上其它单元一起构成有限元分析的网格模型，熔体充满一个 结点后经虚拟等温管道进入它的配对点。由于熔体在等温管道中能量损失小，流 动阻力比平板小，所以当熔体到达其中一个点后会立即进入它的配对点，这样就 实现了配对点之间具有近似相同的物理意义。 ( 3 ) 在三维流动模拟中，提出了用迭代法求解压力场和速度场，以避免耦 合求解中收敛困难及初值不易确定等问题。假定压力梯度在单元中为待定的常 数，用经典g a l e r k i n 方法离散动量方程，由此得到速度场的形式表达式，将它们 代入连续性方程导出了关于压力场的拟p o i s s o n 方程。由此离散的方程组系数矩 阵对称、正定，用一般数值方法如超松弛迭代法就能求得收敛解。用压力场更新 速度场，重复迭代，直至4 速度场、压力场都收敛。再进行速度粘度迭代，求出 最终的速度场