2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末综合检测（二）（含解析）新人教A版.docx

章末综合检测(二)学生用书P117(单独成册)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1抛物线yx2的焦点坐标是()A(0，4)B(0，2)C.D解析：选B.由题意，知抛物线标准方程为x28y，所以其焦点坐标为(0，2)故选B.2若是任意实数，则方程x2y2sin 4表示的曲线不可能是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆解析：选C.由于R，对sin 的值举例代入判断sin 可以等于1，这时曲线表示圆，sin 可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin 可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆3设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|F1F2|2，则该椭圆的方程为()A.1By21C.y21Dy21解析：选A.因为|BF2|F1F2|2，所以a2c2，所以a2，c1，所以b.所以椭圆的方程为1.4(2018高考全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A.B2C.D 解析：选C.不妨设一条渐近线的方程为yx，则F2到yx的距离db，在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO与RtF2PO中，根据余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.5双曲线1(mn0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()A.BC.D解析：选A.抛物线y24x的焦点为F(1，0)，故双曲线1中，m0，n0且mnc21 ，又e 2 ，联立方程，解得m，n，故mn.6已知F1，F2为椭圆1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1B的周长为16，椭圆的离心率e，则椭圆的方程是()A.1B1C.1D1解析：选D.由椭圆的定义知|AF1|BF1|AB|4a16，所以a4，又e，所以c2，所以b242(2)24，所以椭圆的方程为1.7已知直线ykxk(k为实数)及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线没有公共点解析：选C.因为直线ykxk恒过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y22px的内部，所以当k0时，直线与抛物线有一个公共点，当k0时，直线与抛物线有两个公共点8已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在双曲线上，则()A12B2C0D4解析：选C.由渐近线方程为yx，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2y22，于是两焦点分别是F1(2，0)和F2(2，0)，且P(，1)或P(，1)不妨取点P(，1)，则(2，1)，(2，1)所以(2，1)(2，1)(2)(2)10.9已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为xy0，则双曲线的方程为()Ax2y250Bx2y224Cx2y250Dx2y224解析：选D.因为双曲线与椭圆1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y轴上，且焦点坐标为(0，4)，(0，4)又双曲线的一条渐近线方程为xy0，所以可设双曲线方程为y2x2(0)，则248，24，故所求双曲线的方程为y2x224，即x2y224.10抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是()A.BC.D3解析：选A.设抛物线yx2上一点为(m，m2)，该点到直线4x3y80的距离为，当m时，取得最小值为.11已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k等于()A.BC.D解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20.由得k2x2(4k28)x4k20，所以x1x24，根据抛物线的定义得，|FA|x1x12，|FB|x22.因为|FA|2|FB|，所以x12x22，由得x21(x22舍去)，所以B(1，2)，代入yk(x2)得k.12已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2Ba213Cb2Db22解析：选C.由题意，知a2b25，因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40，双曲线的一条渐近线方程为y2x，联立椭圆方程消去y，得(5a25)x25a2a40，所以直线截椭圆的弦长d2a，解得a2，b2.二、填空题：本题共4小题，每小题5分13以双曲线1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_解析：双曲线焦点为(4，0)，顶点为(2，0)，故椭圆的焦点为(2，0)，顶点(4，0)，所以椭圆方程为1.答案：114已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与抛物线xy2的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为_解析：抛物线xy2的方程化为标准形式为y24x，焦点坐标为(1，0)，则得a2b21，又e，易求得a2，b2，所以该双曲线的方程为5x2y21.答案：5x2y2115过点E的直线与抛物线y22px(p0)交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若A为线段EB的中点，且|AF|3，则p_解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由焦半径公式，|AF|x1，又|AF|3，所以x13，由中点坐标公式，得所以x26，y22y1，所以y4y，2p4y42px142p，结合p0可得p4.答案：416设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最大值为_解析：由椭圆的定义知|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|PF2|，易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P，此时|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值为10|MF2|1015.答案：15三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知抛物线C：x24y的焦点为F，椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e.求椭圆E的方程解：因为椭圆焦点在x轴上，所以设椭圆E的方程为1，半焦距为c(a0，b0，c0)由题意知F(0，1)为椭圆的短轴的上顶点，所以b1，又由，a2b2c2，得a2，c.所以椭圆E的方程为y21.18(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线的一个交点为P，求抛物线的方程和双曲线的方程解：依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，因为点P在抛物线上，所以62p，所以p2，所以所求抛物线的方程为y24x.因为双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，所以c1，即a2b21，又点P在双曲线上，所以1，由得或(舍去)所以所求双曲线的方程为4x2y21.19(本小题满分12分)已知椭圆1及直线l：yxm，(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值解：(1)由消去y，并整理得9x26mx2m2180.36m236(2m218)36(m218)因为直线l与椭圆有公共点，所以0，据此可解得3m3.故所求实数m的取值范围为3，3(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：x1x2，x1x2，故|AB|，当m0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.20(本小题满分12分)已知抛物线C：y22px过点P(1，1)过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点解：(1)由抛物线C：y22px过点P(1，1)，得p.所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10.则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yx，点B的坐标为.因为y12x10，所以y12x1，即y1x1x1，即|AM|BA|，故A为线段BM的中点21.(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a，0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(1，0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由解：(1)直线AB的方程为：bxayab0.依题意解得所以椭圆方程为y21.(2)假设存在这样的k值，由得(13k2)x212kx90.所以(12k)236(13k2)0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD为直径的圆过点E(1，0)，当且仅当CEDE时，则1.即y1y2(x11)(x21)0.所以(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.将式代入整理解得k.经验证k使成立综上可知，存在k，使得以CD为直径的圆过点E.22(本小题满分12分)已知抛物线C1：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率解：(1)由C1：x24y知其焦点F的坐标为(0，1)因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21.又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以1.联立，得a29，b28或a2，b2(舍去)故C2的方程为1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，