（基础数学专业论文）两类函数方程的亚纯函数解.pdf

本文首先围绕方程 两类函数方程的亚纯函数解 摘要 7 勺( z ) ，7 ( = ) f ( c z ) = r ( z ，( z ) ) = 等一 6 如) ，亿) ( 其中a j ( z ) 和6 j ( z ) 均为亚纯函数，c 为一复常数) ，对其一特别情形 f ( c z ) = a o ( z ) + a l ( z ) 厂( z ) + - + a 。( z ) 厂”( z ) ( 这里c 为一复常数，a o ( z ) ，a l ( z ) ，a 。( ：) 均为亚纯函数) 韵亚纯函数解的性态进行了探讨。在 f ( c z ) = 4 ( z ) + 5 ( z ) f 2 ( z ) ( 其中c c ，h 1 ，一( z ) 与万( = ) 均为整函数) 的简单情形下，讨论了其亚纯函数解的存在性及 解的个数。对它的推广形式： 艺a j ( c z ) f 7 ( 。)m 弘) ，也) 窆b j ( c z ) f ( 口) = 0 = a ( c z ，( 口) ) = 口( z ，( ：) ) = 盅生一 n 如) ，忆) ( 这里c c ，h 1 ，a j ( z ) ，6 ，( z ) ，( = ) ，h ，( z ) 均为亚纯函数) ，本文给出了关于该方程的亚纯函 数解的级的一个结果。 最后在第三章里，研究了线性函数方程 口f ( c z ) = q ( = ) j = o ( 其中c c ，n n ，0 0 , 0 1 ，a 。均为复常数，g ( z ) 为亚纯函数) 的亚纯函数解的存在性及解的 个数。 关键词：亚纯函数，函数方程，m e v a n i i n n a 理论。 m o r o m o r p h i cs o l u t i o n so f t w ok i n d so ff u n c t l 0 n a le q u a t i o n s a b s t r a c t w ec o n s i d e rm e r o m o r p h i cs o l u t i o n so ff u n c t i o n a le q u a t i o n so ft h ef o r m ，( 口) = r ( z ，( z ) ) = 妻 丝 圭 j f f i o b j ( z ) f ( z ) w h e r et h ec o e f f i c i e n t s q 0 ) ，b j ( z ) a r em e r o m o r p h i c f u n c t i o n sa n dc c i nt h e s p e c i a lc a s eo f f ( c z ) = a o ( z ) + a 1 ( z ) ，( z ) + 、- + a 。( z ) ，4 ( z ) w h e r ec c a n d 如( ：) ，a l ( z ) ，a n ( z ) a r e e n t i r e ，w ep r o v es o m er e s u l t so nt h en u m b e r o fp o l e so fm e r o m o r p h i cs o l u t i o n s a n di nt h ep a r t i c u l a rc a s eo f 厂( c z ) = a ( z ) + 8 ( o f 2 ( z ) w h e r e c e c ，h 1 ，爿( z ) a n d 艿( = ) a r ee n t i r e ，w e o f f e rad e t a i l e da n a l y s i so nt h e e x i s t e n c ea n dt h en u m b e ro fm e r o m o r p h i cs o l u t i o n s i nt h eg e n e r a li z e dc a s eo f 妻小a ) 九a ) j = o 妻o ( 。) ，( 。) i , o m 弘) ，忆 = a ( c z ，厂( 口) ) = 占o ，o ) ) = 盅生 ( = ) ，( ：) w h e r ec m c ， f c l 1a n d 口( ：) ，b ，( ：) ，m ，( z ) ，n j ( z ) a r e m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ， w ep r o v ea r e s u l to nt h eg r o w t ho fs o l u t i o n s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rm e r o m o r p h i cs o l u t i o n si nt h ec o m p l e xp l a n e t of u n c t i o n a le q u a t i o n so ft h ef o r m a ，( c 物= q ( ：) 1 0 w h e r e c c ，九n ， 4 0 ，q ，口h a r ec o m p l e xc o n s t a n t s ，a n d o ( z ) i sam e r o m o r p h i c f u n c t i o n w ea l s oo f f e rad e t a i l e da n a l y s i so nt h ee x i s t e n c ea n dt h en u m b e ro f m e r o m o r p h i es o l u t i o n s k e yw o r d s m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，f u n c t i o n a le q u a t i o n s ，n e v a n l i n n at h e o r y 上海交通大学研究生学位论文 第一章n e v a n i i n n a 理论 一些理论和实际问题的研究往往需要寻求某些整函数或亚纯函数取某一值时的根，并希望了解这些 根的个数及根的分布。p i c a r d 定理对整函数的情形作出了回答。那么，它是否能推广到亚纯函数呢? 1 9 2 5 年，芬兰数学家r n e v a n l i n n a 引进了亚纯函数的特征函数，并在此基础上创立了亚纯函数的两个基本定 理，称之为n e v a n l i n n a 理论。该理论成功地实现了p i c a r d 定理由整函数到亚纯函数的推广。再加上其理 论本身在本学科分支中应用广泛而且作用巨大，所以它成为了近代亚纯函数值分布理论的基础。下面简 要介绍这个理论的部分有关知识。 1 1 特征函数 定理1 _ 1 1 设( z ) 为在一区域i = l r ( o r m ) 内不恒等于0 的亚纯函数。考虑一圆 hr ( o r r ) 和在此圆内，( z ) 的零点口z ( 五= 1 ，2 ， ) 及极点6 ( p = 1 ，2 ，) ，其中每一零点或极点 出现的次数与其级相同，则在圆h ，内成立着下列公式 蝴刮= 去n 他巾i 吐善专卜 寺g | 矧寺g | 矧。 m ， r n e v a n l i n n a 称此公式为p o i s s o n - j e n s e n 公式。 假设z = 0 不是函数，( z ) 的一个零点或极点在( 1 1 ) 式中令z = 0 得公式 ，。s i f ( o ) l = 廿t 。妒9 枷扣南音。s 南， n z ， 此公式称为j e n s e n 公式。 以n ( 手 及n ( ，) 分别表示，( z ) 在圆i z 旧，( o r c r ) 内的零点个数与极点个数c 一个m 级的零点 或极点算作m 个零点或极点) 。利用等式 扣南= 如烈t 身及扣南= n 渺， 1 0 枇) | = l o g + l f ( 利- l o g + i 矧 ( 其中r n 为一适当小的正数) ，我们可以将( 1 2 ) 变形为 上海交通大学研究生学位论文 去私s 枷纱，陋【巫净 ：去似+ 1 矧姒扎。帆叫。 m ， ，( z ) = c j z 5 + c ，+ l z 5 + 1 + ， c ，0 。 个数及极点个数分别为n 爿一n ( 。刳酬，叫吖，。另外 去e ”- o s ( ”印) 眇= 去f ”1 0 9 l ，( ”译，b 一幽s ， s = n i on 一n c 。，。 应用( 1 3 ) 式及以上结论到 ( z ) ，得公式 去卜s + 咿9 ) 阿严盈艄，) l 咿 ：扣。+ | 矧州盟掣( 毋”蚓叫川棚 m = 去f ”- o g + l f ( r e 印枷 v ( ，) = f 竺垒- 芦+ n ( o ，) 1 。g ， m c ，+ c ，= 文，爿+ ( ，爿礼啦卜 再命 则有 t ( r ，) = m ( r ，) + n ( r ，) ，0 r r 。( 1 5 ) ( 1 6 ) c 耐 o+ n 列： r ， = ，r 上海交通大学研究生学位论文 n e v a n l i n n a 称t ( r ，f ) 为函数f ( z ) 的特征函数。如果f ( z ) 恒等于0 ，那么( 1 5 ) 式仍有意义，并且 t ( r ，f ) = 0 ，但此时( 1 6 ) 式无意义。 命题1 1 2 设厂， ，f 2 ，厶为亚纯函数，口。，8 均为复常数，且口万一f l y 0 。那么 口) t ( r ， ) r ( ， ) ， ，1 6 ) t ( r ，厂“) = n t ( r ，厂) ， n n c ) r ( r ，) 地五) + l o g 一， ，i 由七搿 吡m 。， 其中卜形。 与特征函数t ( r ，) 增长的快慢程度有关的一个重要概念为亚纯函数的级，其定义如下 定义1 1 3 将亚纯函数，( z ) 的级定义为 p ：i t l o g + t ( r , f ) ， + l 0 9 7 这时0 p + c o 。 1 2 n e v a n ii n n a 理论的基本定理 n e v a n ii n n a 第一基本定理设o ) 为在一区域h 0 时有不等式 其中 g ( g 一2 ) t ( r ，) s e n ( r ，a j ) - n l ( n + s ( ，) p l 州加t 2 n 伊删+ ( r ，专 。 并且s ( r ) 满足下列条件： 1 ) 如果，0 ) 的级为有穷，则 s ( r ) = o ( 1 0 9 r ) 2 ) 在一般情形存在一个只依赖于，( z ) ，并且总长度为有穷的区间序列( ，使当，不属于( ) 时 有 s ( o = o l o g t ( r ，) + l o g r 。 n e v a n l i r m a 第二基本定理的结论繁杂怪诞，但其内蕴丰富。这一点可以从著名的p i c a r d 定理 定理等为它的简单推论得到证实以下我们将给出这些推论。 推论1 2 1 设，( z ) 为一超越亚纯函数，则对于每一有穷或无穷值口，- j s 程f ( z ) = 口有无穷多个根 最多除去两个例外值a 。 4 上海交通大学研究生学位论文 这个推论称为关于亚纯函数的p i c a r d 定理。例外值口，如果存在，称为，( ：) 的p i c a r d 例外值。 推论1 2 2 设，( z ) 为一超越亚纯函数，其级尸满足o 户 0 ，则称a 为f ( z ) 的一个亏值或f ( z ) 的一个n e v a n l i n n a 例外值，而 8 ( a ，f ) 称为与口相应的亏量。 在很多时候以下的命题1 2 4 与定理1 2 5 是经常用到的。 命题1 2 4 设，( ：) 为一整函数，并设，( z ) 的最大模为 “ ，) 2 蜀利，( z ) l ，其中o ， t 时， ( 1 9 ) 式成立。当d e g ，q = q 时，我们有 肥= 矽- q + 铹o o扭0t 。t “口， 利用前面讨论的结果及归纳假设，我们可以得到 附，踯( p 刊m ，) 钉( r ，罟 + d ( ) ) 吣m ，) + 小引+ o ( 即) ) ( p q ) t ( r ，) + q t ( r ，f ) + o u e ( r ) ) = p t ( r ，f ) + d ( t ( ，) ) 。 最后证明( 1 9 ) 的相反不等式： p h ，) + d ( 1 壬，( ，) ) h r ，r ) ，p q 0 。 前面已证明当q = 0 时的情形，所以不妨假设q 0 。 利用定理：相应于p 和q ，必存在两个以亚纯函数为其系数并关于f 的多项式u 和矿，使得 ，u + q 矿= 1 。 令s = d e gr u ，f = d e g ，y ，由p q 可推出f s 。于是 r + 罚卟爿叱卅撕胁。c 删 8 、 粉 + 厂 c 莹脚 = 上海交通大学研究生学位论文 根据f j 及( 1 9 ) 式，有 r ( 罟+ 等) r r ，罟 + r ( 等) + 。c t ， 吡肿r 卜爿 所以p t ( r ，f ) + d ( 甲( ，) ) t ( r ，r ) 。 综上所述，( 1 7 ) 式成立。 t ( r ，r ) + t t ( r ，) + d ( 、王，( ，) ) 命题1 - 3 3 如果函数f ( z ) 为一亚纯函数，c 为任意常数，那么r ( r ，f ( c z ) ) = r ( i c l r ，) + o ( 1 ) 。 这个命题来源于 2 ，p 2 】。考虑到它在本文经常被引用，g i l a 我们对它给出证明。 证明：由亚纯函数的特征函数的定义，有 t ( r ，( ) ) = 所( r ，( 口) ) + n ( r ，( 口) ) 。 令c = l c l e “，则 m 仉他) ) - 去f 8 l o ：l s ( i c r e “帅) l a o iz 石山 2 r er 9 。s 帆c 矽) 陋 占。r 、7 i = 上2 r ef ”t 。s 州c 矽) 阻 m。i 。、ii = m ( i c l r ，) 。 若，( z ) 为整函数，l j t ( r ，( 口) ) = m ( r ，( 凹) ) ，r ( i c i r ，( z ) ) = m ( h ，( = ) ) ，结论显然成立。 下面不妨假设，( = ) 为非整函数，并设劲为它的p 级极点，则，( z ) 可以表述为，( ：) 2 石苎案l _ 其中g ( z o ) 0 ，于是 八嘲2 南2 菇0 i c z z n l p ，一 、p 显然詈也为厂( 凹) 的p 级极点而且当l 知i 1 c 卜时，有i 剖r ，所以 而 n ( r ，f ( c z ) ) = n ( 1 c r ，( z ) ) ， 且 n ( o ，( 口) ) = ( o ，( z ) ) 。 ( r ，( ) ) = n ( t , f ( c z ) ) t n ( o , f ( c z ) ) d t + ”( 0 ，f ( c z ) ) l 。g r 9 口 上海交通大学研究生学位论文 = p 亟盟芦趔出艄川吲 = ( | a ，( z ) ) + o ( 1 ) a 剐6 t ( r ，( 口) ) = 丁( h ，) + o ( i ) 。口 n e v a n l i n n a 理论对于数学其它分支的研究有很多应用，其中之一是将该理论与函数方程相结合来探 讨方程的亚纯函数解的性态，解的存在性及解的个数等问题。本文将围绕某两类函数方程对这些问题作 一番讨论。 第二章一般s c h r s d e r 方程的亚纯函数解 2 1 导言 早在1 9 2 5 年，j r i t t 在【8 】中就对s c h r s d e r 方程 f ( c z ) = r ( ，( = ) ) 作了研究。这里c c ，而r c o ，l ，r ( f ) 为关于，的有理函数。 1 9 4 9 年，hw i t t i e h 1 0 研究了方程 f ( c o = 口( 力，( z ) + 6 ( 力，( 2 1 ) 其中口( = ) ，6 ( z ) 为多项式。 1 9 8 3 年，在 9 】中l r u b e l 提出，对推广的方程 f ( c z ) = r ( z ，( z ) ) ， ( 这里r ( z ，f ) 为关于两个变量的有理函数) 情况又如何呢? 1 9 9 8 年，k 工s l l i 强蚶 6 】将方程( 2 1 ) 中的系数口( 力，6 ( 力均为多项式的情形推广为口( z ) ，6 ( z ) 均为 亚纯函数，并对它作了研究。他得出：( i ) 当a ( z ) ，6 ( z ) 在某一条件下时，方程( 2 1 ) 至少有一个亚纯函 数解；( i i ) 如果a ( z ) 和b ( z ) 均为有理函数，那么( 2 1 ) 的所有超越亚纯函数解均为超超越的。 将上述方程再进一步推广； 口 q ( z ) ，忆) ，池) = r ( z ，( ；) ) = 等一， ( 2 2 ) o ( = ) ，忆) 这里系数“，( z ) ，6 ( z ) 为亚纯函数，常数c 0 ，d = m a x p ，g ) l ，4 p ( z ) 0 ，b q 0 ) 0 ，r ( z ，( z ) ) 为关于，( z ) 的不可约形式并记甲( r ) = m j a x ( r ( r ，。j ) ，r ( r ，6 ，) ) a 在这一章里，我们将研究形如( 2 - 2 ) 的 方程的亚纯函数解。 2 2方程( 2 2 ) 的亚纯函数解的级 l o 上海交通大学研究生学位论文 关于方程( 2 2 ) 的亚纯函数解的级，g g u n d e r s e n 等在 3 】中已经对它进行了详细研究。他们得出： 引理2 2 1 设，( z ) 为方程( 2 2 ) 的一亚纯函数解，如果l c i i ，而且l 王，( ，) = s ( r ，) ，那么d = 1 。 定理2 2 2 设，( z ) 为方程( 2 2 ) 的一亚纯函数解，如果d = 1 ，h 1 ，那么 t ( r ，) = o u e ( r ) l o g r ) 。 鉴于引理2 2 1 ，以下仅对h 1 的情形进行研究。 定理2 2 3 如果h 1 ，那么，方程( 2 2 ) 的任意一个在原点附近的局部亚纯函数解都能亚纯延拓 到整个复平面上。 定理2 2 4 设，( = ) 为方程( 2 2 ) 的一超越亚纯函数解，l c 1 。如果甲( ，) = s ( ，) ，那么 彤) = 罱。 定理2 2 5 设，( z ) 为方程( 2 2 ) 的一亚纯函数解，p i 1 。如果p 2 “野 户( 口，) ，p ( 6 ，) ) ，那么 彤胁a x p 剐。 定理2 2 6 c 为复常数，且i c i 1 。设，为函数方程 a ( c z ，( 口) ) = b ( z ，( ：) ) 的一非常数亚纯函数解，其中爿( z ，y ) 和b ( z ，y ) 均为以亚纯函数为其系数并关于y 的不可约有理函数， 而且这些系数的特征函数都等于s ( ，) 。如果o l ，并且设，为函数方程 a ( c z ，f ( c z ) ) = b ( z ，( z ) )( 2 3 ) 的非常数亚纯函数解。其中 艺口( c z ) f 7 ( 口) a ( c z ，( ) ) = 掣一 产, b j ( c z ) f ( ) j m 弘) ，亿) 占( = ，( z ) ) = 掣) _ 一 一加) ，( ：) = o 而r a ( z ，) 与b ( z ，) 均为关于，的不可约形式，系数口j ( = ) ，b j ( z ) ，m j ( z ) ，n j ( z ) 均为亚纯函数 上海交通大学研究生学位论文 p = 乎 p ( 。) ，p ( 6 ，) ，户( m ，) ，p ( ) ) o a = d e g f 爿d e g y b = b 那么 郇一p 瞥卜 证明：当p = + o o 或者p ( f ) p + o 。时结论显然成立。下面假设p p ( f ) ，只需证明 彤，毪铲。 设p 0 及充分大的，有 因此 协( ，) i 女l r 4 ，限( ，) i s 七2 ，4 。 设，= r 0it ( r ，) - r 。) ，我们有 p ( ) ：l i m s 。p 坚! 蚴。 r - k + i o g r 固定r 0 。对于每一个， - r ，总存在一个整数= m ( ，) 1 ，使得 旷一r ， l 时，有, 8 i 。对于( 2 7 ) ，本文得出以下几个结果 定理2 3 2 在( 2 7 ) 中，若爿。( 0 ) o ，则它的每一个亚纯函数解均为整函数解。 证明：设，( 力为( 2 7 ) 的任意一个亚纯函数解，并设2 0 为，( = ) 的一个极点。 如果。o = 0 ，那么 ! 觋【，( “) 一4 ( z ) 弛) 一一( z ) ，川( z ) 一爿。( z ) “( z ) 】- ：1 i r a 。( z ) 。 由爿。( o ) o 可知，上式左端的各项在原点处的级不相等，所以左端= 。o ，而右端= 常数，矛盾。因此 z 0 0 令j ：三，我们有 = l i m 厂( z ) - j i m 位) + 爿l 位) 厂( ) + + a n l ( s z ) f ”1 ) + 彳。( ：) ”( 船) h z - - z 0z 。 。 所以3 旭 1 ，2 ，” ，使得溉( ”) = 。，也就：i i m 南，( “) = 。o ，从而。为( ：) 的极点。依次类推， 可知j 。o ( k e n 且七2 ) 也为，( ：) 的极点，但j 。o 斗0 ，矛盾。因此2 0 0 不为，( z ) 的极点。 综上所述，八z ) 为整函数。口 定理2 3 3 方程 f ( c z ) = a o ( z ) + a l f ( z ) + 0 2 厂2 ( z ) + + 口。厂“( z )( 2 8 ) 中的系数q ，a 2 ，口。均为复常数，a o ( z ) 为亚纯函数，其中c c ，l c | l ，d 。0 。如果 o ( z ) 刚好只 有一个非零极点，那么( 2 8 ) 的任意亚纯函数解都有无穷多个极点；如果j 4 0 ( z ) 有超过一个非零极点，那 么f ( z ) 可能有有限个极点。 证明：设2 0 0 为爿o ( z ) 的唯一极点，f ( z ) 为( 2 8 ) 的任意亚纯函数解。 因为 m 2 戛山( z ) - 啪l i r a f ( c z ) 一a l m ) 一n 2 ，2 ( z ) 一，“( z ) 】， 所以 l i r a f ( z ) = 0 0 ，或l i r a f ( c z ) = o o 。 ；+ ：d z - z , 若l i m ，( z ) = 0 0 。令s = 一1 ，那么 = ! 翼，( z ) = l i m b o ( 船) + 口l f ( s z ) + a 2 厂2 ( 船) + + 口。，”( 口) i ， ：斗 z - c z o 。 1 4 、 上海交通大学研究生学位论文 因为如( s z 0 ) o o 所以：l + i m f ( s z ) 2 。依次下去，就有：l _ i m 知f ( s k z ) 3 o o ( 6 n 且女2 ) ，但_ s k z o 叶o ， i f - 盾。 刺贿溉他m 成立。这时不妨设m ) 。菩寿c z ，其中g o n o 将其代入( 2 - 8 ) ：_ + 白i z n ) 式，并两边取极限，得 z t 。i m f ( c z ) = z l 岷i m 囊z g ( c z ) 了 = ：+ l i m i ：二号( z - c z 0 ) n k a o ( z ) + a ，( z - - c z 0 ) ( n - 1 ) k g ( z ) + + a n g ”( z ) 】= m f i f i 以f ( c 2 。o ) = 。，依次类推，可得对所有k n 且3 ，c k 2 0 均为，( z ) 的极点。这说明，( z ) 有无穷 多个极点。 对于a o ( ：) 有超过一个非零极点的情形，下面的例子已足够说明。例：在方程 f ( c z ) = 揣+ ，2 中，而z 2 - - 2 z + c z 有二僻零娥而它的袱加击却贿一个 极点。口 例： 1 、“ 局部袱加蓦* = ”经亚纯延拓后所得到的全局解即，为方程作加一圭叫 l 2 3 的唯一一个亚纯函数解( 具体证明见第三章注( 2 ) 后的例子) 。由方程本身知，2 0 = 2 为，( z ) 的一个极点。 类推下去，可知2 ( 女n 且t 2 ) 也为f ( z ) 的极点。于是，( z ) 有无穷多个极点。 用类似的推导，我们可将上面的结果作进一步推广： 定理2 3 4 在方程( 2 7 ) 中，如果a o ( z ) 刚好只有一个非零极点。o ，而且2 0 满足： 口) 对所有，z ，c l z o 不为一( z ) 0 = 1 ，2 ，n 1 ) 的极点； 6 ) 对所有， 0 ，一1 ，- 2 ，一月，) ，c l z o 不为a n ( z ) 的极点，而且对所有f n ，c 1 2 0 不为a n ( z ) 的 零点。 那么，方程( 2 7 ) 的任意亚纯函数解f ( z ) 都有无穷多个极点。如果a o ( z ) 有超过一个非零极点，那么，( z ) 圭塑奎里查堂翌墨生兰垡兰奎 可能有有限个极点。 只有一个极点。 定理2 3 5 如果方程 + ( 1 - 3 z ) f 2 ( z ) 中，( z ) 有二个非零极点，但它的解，( z ) = f 1 j 却 f ( c z ) = a o ( z ) + a 1 ( z ) ，( z ) + + 爿。( z ) 厂“( = ) ( 2 9 ) 的系数山( 巩4 ( 巩，以( z ) 均为亚纯函数，c = e i o , 0 = 2 z 詈，这里p z g n ，g 2 。并设z 。o 为a o ( z ) 的一极点，而且满足： 口) 对所有f z o ) ，c l ：o 均不为a o ( z ) 的极点 6 ) 对所有f z ，c 7 。o 不为a j ( z ) ( ，= 1 ，2 ，”一1 ) 的极点 c ) 对所有， 0 ，一1 ，一h ， ，c 1 2 0 不为爿。( z ) 的极点，而且对所有，e n ，c 1 2 0 不为爿。( z ) 的零点。 那么对应于每一个z o ，( 2 9 ) 的任意亚纯函数解在圆h = i z o i 上至多有g 个极点。 证明：设，( z ) 为方程( 2 9 ) 的任意一个亚纯函数解。 因为 m = ：l + i r a 知a o ( ：) = ：1 i r a f ( c z ) - a l ( z ) ，( ：) 一4 。( = ) ，”( z ) 】， 所以 l i mf ( c z 、= o o ，或 l 妇f ( z ) = = 斗z oz - - z 0 如果l i mf ( c z ) = 0 0 ，那么 z - - z 0 l i r af ( c 2 z ) ：l 证i l o ( c z ) + a l ( c z ) f ( c z ) 4 - 4 - a 。( c z ) ，一( c 2 ) ：m 。 z - - z 0z - + z 0 所以c 2 。o 为，( z ) 的极点。依次下去，c 。2 0 ( 对所有f n 且，3 ) 也为，( z ) 的极点，而c 。2 0 均包含在 j 2 f 旦f a = c7 z o if z ) = 忙9z o i f z ) 。 如果l i m ，( ：) = o 。令s = 击，则 z - z 0h 0 0 = l i m ，( ：) ：l i m1 4 。( 口) + a l ( s z ) f ( s z ) + + a 。( 口) ，一( 盯) 】。 1 6 尚磊一0 力g程 ： 方 例 在 上海交通大学研究生学位论文 可见必j f l ，2 ，”) ，使得l i m ，。( 口) = o 。，即l i r af ( s z ) = ，所以s z 0 为( z ) 的一极点。依次下去， z - , 辛z n：- z 0 得j 。o ( 对所有f n 且，2 ) 也为，( z ) 的极点，而s 。o 含于爿中。 因为e 2 m = 1 ，所以对所有的f z ，a 中至多有g 个完全不同的元素存在。 综上所述，对应于每一个z o ，( z ) 在圆h = b i 上至多有g 个极点。 1 2 注：定理2 3 5 中，若存在满足条件口) ，6 ) ，c ) 的a o ( z ) 的极点j l 使得i z l | = i z o i 且z 19 4 ，并记 a 1 = c 。z l jf z ，则对应于z l ，( z ) 在圆h = l z o i 上至多有g 个极点。若还存在具有性质口) ，6 ) ，c ) 的 a o ( z ) 的极点= 2 使得l z 2 | = k i 且z 2 一，z 2e a i ，则对应于z 2 ，( z ) 在圆h = k l 上至多有g 个极点。 依次类推，若这样的q ( f = o 12 ) 共有n 个，那么，( ：) 在圆h = ：oj 上至多有 g 个极点a 2 4方程厂( 凹) = 爿( z ) + y ( z ) 厂( z ) + 万( z ) 厂2 ( z ) 的亚纯函数解的存在性 考虑方程 f ( c z ) = 4 ( z ) + r f ( z ) + 酽2 ( z ) f 2 1 0 ) 其中c ，y ，占c ，l c i l ，万0 ，4 ( z ) = 口。z ”为整函数对于方程( 2 1 0 ) 的亚纯函数解的存在性 n = o q g u n d e r s e n 等人在【3 】中得出了以下二个研究结果： 定理2 4 1 ( 4 ) 在( 2 1 0 ) 中，如果 ( 1 一y ) 。4 6 a o ， 及 ( c “一1 ) 2 ( 1 一，) 2 4 6 a o ， 对所有月n 。 那么( 2 1 0 ) 恰好有两个完全不同的亚纯函数解。 ( b ) 在( 2 1 0 ) 中，如果 ( 1 一，) 2 = 4 缸o ， 那么( 2 1 0 ) 恰好只有一个亚纯函数解。 定理2 4 2 在( 2 1 0 ) 中，如果 ( 1 一力2 4 沈o 1 7 上海交通大学研究生学位论文 并且至少存在一个n n 使得 ( c ”一1 ) 2 = ( 1 一y ) 2 4 8 a o ， 那么，方程( 2 1 0 ) 要么没有亚纯函数解，要么恰好只有一个亚纯函数解，要么有无穷多个完全不同的亚 纯函数解。 在上面这两个定理中，定理的条件可以进行适当放宽。那么对应于这些放宽后的条件，又将会有什 么结论呢? 下面本文就围绕这些问题作一番探讨。 将y 推广为整函数r ( z ) f ( c z ) = 爿( z ) + ，( z ) 厂( z ) + 酽2 ( z ) 其中c ，6 c ，i o l 1 ，6 0 t 爿( z ) 丰口r ( z ) 均为墨函数a 将( 2 11 ) 的右面进行配方，得 厂= jf 2 + 字他) 圳z ) = j ( 弛，+ 等 2 俐一訾 令g ( ：) = ，( ：) + 2 婴，那么上式变为 z 0 咖) = 戢小心) - 鲁+ 等。 ( 2 1 1 ) 这说明：方程( 2 1 1 ) 与方程( 2 1 0 ) 在，= 0 的情形从本质上来说是一样的。因此，g r j ( 2 1 1 ) 的研究可 归结为对( 2 1 0 ) ( ，= 0 ) 的研究。 下面考虑将占推广为整函数8 ( z ) 的情形： f ( c z ) = 爿( z ) + 6 ( z ) f 2 ( z ) ， ( 2 1 2 ) 其中c c ，h 1 ，一( z ) = z ”，j ( z ) = 氏z ”均为整函数。 n = on = - o 定理2 4 3 ( 口) 在方程( 2 1 2 ) 中，如果8 0 0 ，4 0 r 0 6 0 1 ，而且对所有n n ，都有 ( c ”一1 ) 2 i 一4 a 0 6 0 ，那么( 2 1 2 ) 恰好有两个完全不同的亚纯函数解。 ( 6 ) 在方程( 2 1 2 ) 中，如果4 口。如= 1 ，那么方程( 2 1 2 ) 恰好只有一个亚纯函数解。 证明：在( b ) 中，因为4 口0 6 0 = 1 ，所以8 0 0 。根据前面的定理2 2 3 及定理2 3 2 ，可知在( 口) 与 ( b ) 中都有：找( 2 1 2 ) 的亚纯解等价于找( 2 1 2 ) 的在原点附近的某邻域内的解析解。因此可设 上海交通大学研究生学位论文 厂( z ) = 厶= ”为( 2 1 2 ) 的一个形式幂级数解。将它代入( 2 1 2 ) ，整理得 n = 0 妻 。n ：一：妻：一十妻i 妻f 圭 乃一，b 一，z n 。 n = on = on = o l j = o i = 0 比较上式两边的同类项系数，得 8 0 f 0 2 一矗+ = 0 ， p 一2 8 0 f o ) z = 8 l + f 0 2 占 f 2 1 3 ) ( c 一一2 岛，0 ) 厶：。+ 芝f 杰，f 乃一，1 占。一+ n - i 五厶一，氐，n 2 。 ( 2 1 4 ) j = o l t = 0 i = i 对于( d ) 的情形，因为l 一4 口0 8 0 0 ，所以根据( 2 1 3 ) 式有两个完全不同的f o 存在。 又因为 也就是 整理得 所以 ( c ”一1 ) 2 l 一4 a 0 8 0 = ( 1 4 8 0 f o + 4 8 0 2 f 0 2 ) ( c ”一1 ) 2 ( i 一2 8 0 f o ) 2 c ”一1 一1 + 2 8 0 ， v n n a c ”一2 8 0 f o 0 。 、 因此，厶e n ) w 由( 2 1 4 ) 式唯一确定。这说明，( 2 1 3 ) 及( 2 1 4 ) 确定了两个完全不同的形式幂级数解。 对于( 6 ) 的情形，因为1 4 a 0 6 0 = 0 ，所以只有一个厂0 存在。而且显然有( c ”一1 ) 2 1 4 a 0 8 0 ，也 就是c ”一2 8 0 厂0 0 ，于是厶0 n ) 可由( 2 1 4 ) 式畦一确定。这说明( 2 1 3 ) 及( 2 1 4 ) 确定了唯一一个 形式幂级数解。 为了确保形式解f ( z ) 存在，还须验证，( z ) 是否存在收敛域。 设o 为满足( 2 1 3 ) 的一个固定值。因为l i i l l 氏= 0 ，所以v 0 ，都j n l 0 ，使得当n n 1 时， 有i j 。l c s 。取足= m a x ( 1 8 0 l ，i 艿l i ，p 。一l l ，s t 那么对所有一e n u o ，都有i j 。l 足。 n 1 ；a g t l 。因为当n 斗佃时，有| c ”一2 8 0 f o l 一2 n 2 足_ + 。，所以j n t n t ，使得当n n t 时， 有 1 9 上海交通大学研究生学位论文 。i c u - 2 8 0 划f o - 2 n 2 k 2 8 2 nk 0 ，我们取n t m a x n 1 ，n o + l ，用完全类似于定理2 4 3 的证法 可以得到r 0 。 和 若有两个自然数”l ，”2 ，使( c 。一1 ) 2 = l 一4 a o j o 成立，那么 c 一2 d o f o l = o ，c ”一2 # o f o ，1 0 ，n e n 且行”1 c 也一2 岛矗2 = 0 ，c ”一2 & o f o ，2 0 ，n e n 且以一2 。 类似于前面的讨论，若对”1 ，r 2 都有( 2 1 4 ) 的右端不等于零，那么方程( 2 1 4 ) 无解。余下的情形 即h i , ”2 中至少有一个”，( f = l ，2 ) ，它们对应的( 2 1 4 ) 的右端为零，那么方程( 2 1 2 ) 就有无穷多个完全不 同的形式解。而且这些解均是以”l 或以r 2 或同时以”l 和n 2 为参变量的一组解。同样地，我们可以证明 形式解的收敛半径r 0 。口 以上均是对毛0 时的讨论，下面考虑j o = 0 的情形。这时不妨假设整函数占( z ) = z j p ( z ) ，其中 尸( z ) = p 。z “，p ( o ) o ，k e n 。 n = 0 定理2 4 5 在方程( 2 1 2 ) 中，如果8 0 = o ，那么( 2 1 2 ) 必有一个整函数解。 证明：设( z ) = g 。z ”为( 2 1 2 ) 的形式解，将其代入( 2 1 2 ) 中，得 2 l 上海交通大学研究生学位论文 g n c n z n = 艺：n + ：t f 妻n ：一、】妻艺g ，g 。：n n = on = o n 2 0 月= o j = 0 整理得 r 月l、 g 。c ”= “= a 。= ”+ l g ，g 。一，p 。一，i z ”+ 。 n = on = o n = o i = 0i = 0 比较上式两边的同类项系数，得 9 0 = a 0 ，g l c = 口l ，g k - l c t = 吼一l g k c = 吼+ 9 0 2 p o ， g n + k c “+ = 口。+ 女+ g ，g ，一p 。一。， n l 。 i = o j = 0 由此可见，形式幂级数( z ) 的所有系数都可由上面的等式唯一确定。为确保厂( z ) 存在，还须验证，( z ) 是否存在收敛域。 因为l i mp 。= 0 ，所以v s 0 ，都jn l 0 ，使得当h n l 时，有i p 。i i 。因为当玎