（应用数学专业论文）半直线上的二阶脉冲奇异微分方程.pdf

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l i n e h ug u a n g h u i i n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，prc h i n a a b s t r a c t t i l et h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si san e wi m p o r t a n tb r a n c ho fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s b e c a u s ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e sp r m i d e a na d e q u a t em a t h e m a t i c a lm o d e lo fm a r l ye v o l u t i o n a r 5p r o c e s s e st h a ts u d d e n l yc h a n g et h e i rs t a t e a t c e r t a i n i n o l n e n t s ，i t st h e o r yc a nb ea p p l i e dt om e d i c i n ea n db i o l 0 9 3 o p t i m a lc o n t r o lm o d e l si n e c o n o m i c s ，t h ed y n a m i c a ls y s t e ma n do t h e rf i e l d s t h es i n g u l a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s ei nt h ef i e l d so fg a sd y n a m i c s e 、一 t o n i a nf l u i dm e c h a n i c s ) n u c l e a rp h y s i c s jt h et h e o r yo fb o u n d a r 3 l a 3 e r ，n o n l i n e a ro p t i c s a n ds oo n i nt h er e c e n tt e n3 e a tst h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fp o s i t i v es o l u t i o n st i l t s i n 9 1 f i a td i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a t eb e e nw i d e l ys t u d i e d t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s a p p l y i n gu p p e ra n dl o w e rs o i n t i o nm e t h o d 、 f i x e dp o i n tt h e o r e m ，m e a s u r eo fn o l l c o m p a c t n e s sa n df i x e dp o i n ti n d e xo nac o n e ，t h e e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dn o n e x i s t e n c e f o rac l a s so fs e c o n do r d e ri m p u l s i v es m g u l a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nt h eh a l f - l i n ea r ed i s c u s s e di nt h i sp a p e i ，a n dt i l ei m p u l s i v ee f f e c t o nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sa l s or e v e a l e d t h ec o n t e x t so ft h i sp a p e ra r ep r e s e n t e da s f o l l m 、r i n g i nt h ef i l s tc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gi n i t i a lv a l u ep r o b l e mo nt h eh a l fl i n e w i t hi n f i n i t ei m p u l s e s ： 山东师范大学硕士学位论文 i ( p ，) = q f ( t m p y ) ，n t 0 ，b 0 0 y ( t ) b o u n d e do n a ，+ 。) a s s u m i n gt h ee x i s t e n c eo ft h et i l eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，w et r a n s f o r mt h ei n i t i a l p r o b l e mi n t oak i n do fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf i r s t l y a n dt h e n ，u s i n gs c h a u d e rf i x e d p o i n tt h e o r e m ，w ee s t a b l i s ht h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nm e t h o df o rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sw i t hnf i x e di m p u l s e si n f i n i t ei n t e r v a l s f i n a l l y ，a p p l y i n gd i a g o n a l i z a t i o n a r g u m e n t ，w eh a v ep r o v e dt h ee x i s t e n c eo fb o u n d e ds o l u t i o n sw i t hi n f i n i t ei m p u l s e so n h a l f - l i n e t h et e c h n i q u et od e a lw i t hi m p u l s e si s a d e q u a t e l 3 e x h i b i t e di n t h ep r o o fo f c o n p a r i s o np r i n c i p l e i nv i e wo ft h ei m p o r t a n c eo ft h ee x i s t e n c eo f u p p e rs o l u t i o n sa n d1 0 、e rs o l u t i o n s b o t ho fs u c he x i s t e n c eo nh a l fl i n ea r ep r e s e n t e di n51 4o ft h i sp a p e r i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sh a v eal a r g ed i f f e r e n c ef r o ms y s t e m s “7 i t h o u ti l n p u l s e s i n5 15 ，i no r d e rt or e x e a li m p u l s i v ee f f e c t so ns y s t e m s ，w ep r e s e u tt h en o n e x i s t e n c eo f s o l u t i o n so fi n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o rac l a s so fs e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nt h eh a l fl i n e i nt h ev i r t u e ，t h e r ei sn o tl n a l l yi m 7 e s t i g a t i o n so nt h en o n e x i s t e n c e o fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss of a r i nt h es e c o n dc f i a p t e rw ec o n c e r nw i t ht i l ee x i s t e n c ea i t ( tu n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o l t h ef o l l o w i n gb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mi nab a n a c hs p a c e ： 。”( t ) + f ( t ，z ，。) = 0 a z ( t ) l c _ “= 厶( z ( k ) z m ) b 。= ( z ( k ) z ( o ) = z o ， z ( c o ) = 。 4 v 0 t o o ，t t k ，a = l ，2 ；3 z 协k ) ) z 协) ) 山东师范人学硕十学位论文 b yu s i n gc o m p a c tc o n d i t i o n sa n ds a d o v s k i it h e o r e m ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n si s 矗i s l v e s t a b l i s h e d ，i nw h i c ht h ed i f f i c u l t i e sw es h o u l ds o l v ea r et h ef o l l o w i n g ：s o r n ep r o p e r t i e so f o p e r a t o ri nc o n t i n u o u ss p a c es h o u l db ee x t e n d e dt ot h a ti np c i r + ，e 1a n dt h ec o r c h j n e a u t h e o r e mi np c i i t + ，e 】s h o u l db ee s t a b l i s h e d t h e n ，t h eu n i q u e n e s so fs o l u l i o n si sd 10 、e ( j b yu s i n gl i p s c h i t zc o n d i t i o n s ，a sw e l la st h ee x i s t e u c eo fn 1 1 l i t i p l es o l i l t i o n si s d 1e s e l l t e d f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e m i nc o n c l u s i o n ，b yc o n t r a s tw i t ht h eo r d i n a 。yd i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t h o u ti m p u l s e s s o m ee x i s t e n c et h e o r i e so ft h ei m p u l s i v e s y s t e m sc o m et ob em o r ec o m p l e xb e c a u s eo ft t l p e f f e c to fi n f i n i t ef i x e di m p u l s e s a l t h o u g ht h ei m p u l s i v ee f f e c tc a nb ec o l l t r o l l e ( 1 ) 、，s o n l p c o n d i t i o n si ns o m ec a s e s ，i ti sp o s s i b l et h a ti m p u l s e sl e a dt on o n e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s a n dm u l t i p l es o l u t i o n s k e yw o r d s ：i m p u l s e ；h a l fl i n e ； s i n g u l mi t y ；u p p e ra n d1 0 w e rs o l u t i o n s ：m e a s u l eo fu o u c o i u l ) a c t u e s s ：c o l l e ：f i x e d1 ) o i n t i n d e x c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 58 ：0 1 7 51 5 山东师范火学硕士学位论文 第一章半直线上二阶脉冲奇异微分方程的初值问题 1 1预备知识及存在性定理 在包含突变节律的的生物学、物理学、医学、经济学等领域的研究中，往往会导 出脉冲微分方程，由于能够刻画现实世界中的很多问题，近年来受到广泛重视m ，1 8 近年来：对二阶脉冲常微分方程解的存在性的研究同趋活跃，采用的方法涵盖了上下 解方法，拓扑度方法，不动点定理等例如：文献 1 】和文献3 1 1 分别利用上下解方法 和用锥上的不动点定理讨论了e m d e n f o w l e r 方程奇异脉冲d i r i c h l e t 边值问题f 解存 在的充要条件文献3 1 利用上下解方法和不动点指数的理论研究了一类二阶脉冲微 分方程多解的存在性与不存在性但 f a f l 所讨论的均是二阶脉冲边值问题，而且非线 性项f ( t ，z ，) = f ( t ，z ) 均与一阶导数无关，另一方面，目前对无穷区i b j 上受无穷多个 脉冲影响的微分方程研究的结果越来越多f - n 鉴于上下解方法在有限区削上证明 两点奇异边值问题解的存在性己取得了不少好的结果l5 】，本章的目的就是利用上 下解方法来讨论无穷区间半直线上受无穷多个脉冲影响的二阶奇异微分方程解的存 在性问题 无穷区i a j 上的的非线性问题来源于许多实际问题，r a v ip a g a r a w l 和d o n a l0 r e g a n 在胶体问题( c o l l o i d1 ) r o b l e m ) 和气体的不稳定流( t h eu n s t e a d yf l o wo fag a s ) 问题 中给出了以下一类二阶常微分方程初值问题解的存在性： r1 l 二( p ) = q f ( t ：，p y ) ，n f o ：b o o ， ( 111 ) l ( ) 在 n ，+ o 。) 上有界 本章则在文| 4 1 的基础上进一步考虑半直线上带无限个脉冲时刻的奇异初值问题： ( p 州= q f ( t ：y ，p y 气n t 0 ，6 0 0 ， y ( t ) 在【a ，+ 。) 上有界 其中，可能是不连续的，a o , q ( t ) 在t = n 处可能出现奇异 “) 满足：n = t o 。l 。2 。m + 一，l i m k - _ + o c t k = + o 。， 叩= o ，i 0 ，( t ) = y ( t + ) v ( t 一) ，a y7 ( t ) = g ( 一g 印一) 6 山东师范大学硕士学位论文 我们首先在5 11 中给出( 1 12 ) 上下解的定义及主要定理；在5 12 中建立了有限 区间上含n 个脉冲时刻的两点边值问题解存在的上下解方法，我们研究的方程右端 含聊7 ，即非线性项与一阶脉冲导数有关；然后证明半直线上含无限个脉冲的结果鉴 于目前对脉冲微分方程解的不存在性很少有研究( 仅见 3 】) ，为进一步揭示脉冲对微 分方程所产生的影响和作用，我们在1 5 中给出脉冲微分方程解不存在性的定理 记j = 【n ，。) ，【，= ( n ，。) ，j n = n ，礼】1 = ( n ，叫p c j ，r = v ( ) ：j - - 4 兄当 t t k 时，( ) 连续且y ( q ) 与( t i ) 均存在) ，p c i 【 r 】= ( ) ：( ) p c i j ，吲，当 t t k 时，y ( t ) 连续且心未) 与9 心i ) 均存在) ，并记( t ) = 可( i ) ，9 7 ( t k ) = 矿( i ) 令 1 h n 】= ( t ) ：y 尸g 【厶，r n p c i ，r ，且p y p c i j , 。，r ) 则k 1 【n ，礼 在范数 iy | | k 1 = r r l & x s u p1 ( t ) l ，s u pp ( t ) y 印) | ) 下成为一b a n a c h 空间 t e 【d ，nj拒【o ，t l j ( t ) 是( 1 12 ) 的解是指：( t ) p c i j ，r 】np c l p r 且p ( t ) y 。( t ) p c j ；r 】n p c l 【，r 】，y ( t ) 满足( 1 1 2 ) 卢( t ) 是( 112 ) 的上解是指：卢( ) p c i j , r np g l 【j ，兄 ，p ( ) 卢( t ) p c i j , r 】n p c i j ，用，且满足： 二( p 3 ) q f ( t ，卢，p 卢7 ) ，a t 0 ：b o20 卢( t ) ，p ( t ) f l m ) 在 a ，+ 。) 上有界 “( t ) 是( 1 12 ) 的下解是指：o ( t ) p c j ，r 】n p e l l ，r ，p 。( t ) p c j ：, r l n p c i r 且满足： 假设 i ( p a7 ) q f ( t ，“，p e t 气n 0 ，t ( a ，o o ) ( 皿) ：p ( t ) c a ，。) nc 1 ( a ，o o ) 且j 珥 0 ，使0 p ( t ) 屿，t ( 。，o 。) 7 山东师范大学硕十学位论文 ( 风) ，o l 1 。曼。t ip 丽如 。 0 o + o 。j l sj r e t + 1 。裂? 。c 。p ( 5 ) q ( 5 ) d 5 a ，f 在 a ，卢】 ，以 r 上连续，其中： 。p2 地m i n 川c e ( 。) ，以2 吣m a x 川f l ( ) 并且对任意的y b ( t ) ，卢( t ) ，w r ，s u p 【。，o 。) i f ( t ，y ，v ) l 0 ， z 0 。志奶z 如丽1d u + o 舛s u p + 。1 小m 州s 定理11 1 假设条件( 日t ) 一( 凰) 成立，则( 1 12 ) 有一个解y ( t ) p c i j ，刷n p c l 【j ，r 】，p ( t ) ，( f ) p c i 。，r 】np c 。【。，：r 】，并且( ) 茎y ( t ) s 罗( ) t ( a ，。) 5 1 2 存在性定理的证明 令h = 竿，c 。= 血掣，礼乩z ， 引理1 2 1d 是1a ，t n 】中相对紧集的充要条件是 y ( t ) l y d ) 和 p ( t ) v ( t ) l y d ) 一致有界，并在 a ，t 1 ，( t i ，t i + 1 ( 1 i 仡) 和( t 。，h 】上均等度连续 证明：见文 1 8 g i 理54 l 8 山东师范人学硕十学位论文 固定正整数n ，我们先考虑脉冲两点边值问题 ( p y ) = q f ( t ，p y 气n m a x s u pp ( ) d ( t ) i ，s u pp ( t ) 37 ( t ) l ，d 0 ) t e 【n ，o o )c i n ，) 高幻r 志蚺。器f 。f i - b l p ( 咖出 冥中 q d 0 = m a x d l ，d 2 ) ，d l = 三屿s u p jn ( t ) i ，1 卢( 圳) ，t e l n ，o 。) f c ol + o os u p lo ( t ) i ，l 卢( t ) 1 ) d 2 _ 堡一，劬( 蟛o ： 【0 ，b o p ( a ) = 0 定义p ：r _ f 一1 ，1 1 及”4 如下： i 札 p ( u ) = “ 【丽 “1 1 ， “ l ”+ = ，+ ( t ，y ，u ) = f ( t ，y ，u + ) ， i i a ( 3 ( t k ) ) ， 卢( “) ， f 髭b ) = “( g ) ， ( t ) sys3 ( t k ) ，雎( y ) = 【i k ( c 1 ( t k ) ) ， y 且， hi 3 i u 卢( ) ， n ( t ) ysz ( t ) y 卢( t k ) ： ( ) ，a ( t k ) 玉ys 口( t 女) l k ( o c ( t k ) ) ，y o ( “) ： 山东师范大学硕士学位论文 考虑i b v p ( 121 1 的辅助问题 ( p 可，) ，= q ，+ ( ，g ，p y 飞n z ( t ，) 根据( ) ，p ( t ) 在t = a 的右连续性及在t = t k ，t = 的左连续性，不防设， t k ( k = 1 ，2 ，礼) ，t ，根据t 7 和t 女的位置关系，t 会出现以下三种情形： 1 ) t 。，i 】； 2 ) t ( t i ，t i + l 】，1si t i ，( s ) 卢( s ) ，s ( ，：f ) ) 若! 。 t i l ，( s ) 卢( s ) ，s ( t ，。) ) ，当t i 一1 屯 山东师范大学硕十学位论文 ( 1 ) 垡= t k ( 1 曼ksi ) ，贝0z ( g ) = 0 ， ( 2 ) 旦( t j ，t j + 1 ) ( 1 茎 0 ， 此时。( 盟) 0 ，z ( 翌) 0 ( 二) 再考虑区r b j ( t ：丁n 1 令 o 。= s u p t ：t 卢( s ) ：s ( t7 ，) ) 若t7 0 此时取瓦+ 1 = s u p t ：t 卢( s ) ，s ( t i + 1 ，t ) ) ，当t i + i 瓦+ l 0 ， 。7 ( 刁= 0 。旦卑。p ( 。) ( ) = m l i r a 。p ( ) 3 也) 0 山东师范人学硕十学位论文 ：l i m 一1 幽型二塑塑 ：三l i 。型型二矍( 旦塑 p l tjt - - + t + 一t 2 高船( 芦( 渊洲 ( ( 。，d ) 2 高热( p z ，) ， 但另一方面按右导数定义 0 。蜉丽1 型譬掣 州1 卜l i r a + 訾 这是一个矛盾所以v ( t ) 19 ( 0 ，t a ，t n 同理可证：y ( t ) ( t ) ，t a ， 引理1 2 3 若( 日7 ) ：( 8 ) 和( 风) 成立：( t ) 是i b v p ( 124 ) 满足。( t ) 曼v ( t ) 墨3 ( t ) 的解，则lp ( t ) y ”) | ，f h 丁n 】其中m 满足( 1 22 ) ( 123 ) 两式 证明：首先在h t l 上证明引理结论成立 情形( 1 ) ：b o p ( a ) = o 此时：( 。) = 一器，存在( o ，tl ) 使( l ) 一( n ) = ( ) ( t 1 一n ) 于是 p ( 洲( f ) 1 ：1p ( ) 攀掣 曼d 。墨d 。 m ， t i n 若在t 1 上，结论不成立，则存在t 4 ：t ”：t ” ， j t “z 矛盾 若在【a ， 上，结论不成立，不妨设存在t + ，t ”使t + t ”且满足： j ) ( t + ) g 协) = 尬p ( t “) y “) = d o ，d o p ( t ) y m ) 冬m ，t k t 州 从而由( 风) ，v t t + ，矿+ 】， i ( p ( t ) y ( t ) ) i p ( t ) q ( ) 砂“p ( t ) v 7 ( t ) 1 ) ， 一( p ( ) 可( t ) ) 曼p ( f ) q ( ) 砂( p ( t ) 7 ( t ) ) ， 一燃黜序揶础，t 。妒( p ( ) 讹) ) 一t “” 志蜒j ! a t m ( 咖( s ) 如 z ”高幽o 山志d u + 瞪s u 。p + 。小m 班b 这与m 的选取是矛盾的，故当p ( n ) = 0 时结论在i n t 。 上恒成立 情形( 2 ) ：b o p ( a ) 0 此时i ( p ( 。) 7 ( o + ) ) i = 1 业絮2 蜮l sd 2sd o ，：取情形( 1 ) 中的= “，仿情形( 1 ) 的证明的前半部分，即可证明当b o p ( a ) 0 时，结论在 a ，t l 】上成立 当t ( t i ，t 。+ 1 1 ( 1sz n ) 时，g ( 产) = v ( t 。) + ，? ( ( ，) ) ，止e 9 ( t 州) 一g ( t ? ) = y l ( ) ( 川一t i ) ， ( t 。，t i + 1 ) ， 业! ! ! j 二业! 型， t i + t t i d 1 m 仿照区i n j 【o ，t 1 上情形( 1 ) 的证明，就可得到结论在( t 。，t i + l 】( 1 i ，。) 上恒成立 ( t m h 上的情形同理可证所以有lp ( t ) v m ) ，【，hj 引理1 _ 2 3 得证 引理1 24 假设条件( h ) 一( 凰) 成立，则i b v p ( 12 1 ) 有一个解y n ( t ) p c g r 。，r np g l ( j7 下n ，r 】，p ( t ) y ：( t ) p c g ，。，r np g l 。，r 】，并且q ( ) g 。( ) 卢( t ) ，t a ，丁n 】 1 4 山东师范大学硕：t 学位论文 证明：根据引理1 2 2 和引理12 3 ，i b v p ( 1 2 4 ) 的解就是i b v p ( 1 21 ) 的解，我们 只需说明 b v p ( 12 4 ) 存在解即可令 m o = s u p i ( g ) l ：y 【n h ， 卢，。 ，1 茎k 茎儿 瓦- 0 = s u p l i k ( y ) i ： a 。，卢。】，1 k 茎，z ， m 1 = s u p lf ( t ，y ，u ) l ( t ，y ，口) a ，o o ) 【血( t ) ，b ( o 一m ，m + 1 ( 1 25 ) 则 ( y ) s ，( 掣) sm o ， v y r ，1s 七7 z ； f 4 ( t ，y ，v ) l 茎m 1 ，( t ，u ) 【a ，。) n ( t ) ，3 ( t ) r 定义算子耳：k 1a ， t n ljk 1a ，】如下： ( 驯= 半a o + z 志川卅。象：础艉) j “j | ) s 1、i ， + ，3j ) ( r ) q ( r ) ，+ ( t ，y ，p ) d r d s + 五( ( ) ) jo a t k 0 满足la 。( ) f a ov t 。，丁孔 j ( 咒) ( t ) l s掣+上t生ao+p(tk)mo掣+m1 p ( 7 - ) q ( 7 - ) d v 蚺。 半+ ( a o + n 砜鸩州- f a t mp ( r 州小，p 志d s + n 弛 p ( 丁l s ( a o + n - o 屿+ m z “加m 州r ) ，志d s 故咒( n ， ) 是有界的对v t 4 ，t “( t 。t i + 1 ( 1 i n ) ， l ( 正。) ( t ”) 一( z 。y ) ( t + ) i ：i 型n 型竺之s 掣鲨如 曼( a o a o + n m o m p 瑚ep ( 7 ) q ( t ) d t 、c ：斋d j s ， + + l ) = 六s ， joc idj p ( t ”) ( 瓦) m ”) 一p ( t + ) ( l ) 耻+ ) i = i p ( t ) q ( t ) f + ( f ( f ) p ( f ) m ) ) 出 d t r r s f l p ( t ) q ( t ) d t 山( 风) 知z ：( k 1 a ，t 1 。】) 在( t ：，t 】( 1 i ，z ) 上是等度连续的同理可证在 【a ，t , 3 ，( t 。t 7 。】上的等度连续性，由引理12 1 知7 1 r i ( 。1 h 一。”是 1 ht 1 。 中的相对紧 集，再根据s c h a u d e r 不动点定理，存在( ) 1 陋，靠】是正。的不动点从而，。( f ) 是 i b ；p ( 1 2 4 ) 的一个解 定理111 的证明 由引理1 24 ，对固定的j 下整数n ，i b v p ( 121 ) 有一个解。( ) ：满足 。( ) p c g ，。，r n p c i 【j7 丁n ，r ，j ，( t ) ：( ) p c i j ，。，兄】n p c i j 7 n ：r ， n ( t ) y n ( t ) s 卢( ) ，l p ( ) ：( t ) i m ，t a ，t 。 ( 1 26 ) 下证 玑( t ) ) ( 札) ， p ( ) 比( ) ) ( 凡) 是 n ，1 上一致有界，等度连续函数族一致 有界性由( 126 ) 式即得，故只需证等度连续性因为 i ( ? ) ( t ) ：( ) ) i = lp ( t ) q ( t ) f ( t ，k ( t ) ，p ( t ) ：( t ) ) i 茎m t p ( t ) g ( f ) ， 1 6 山东师范大学硕士学位论文 由( 12 5 ) 式，m 1 的选取是与无关的，由( 玛) 及引理1 ， 弧( t ) ) ( a n ) ， p ( t ) ：( f ) ) ( 2 几1 在i a , 1 上等度连续，从而是k 1 ( q ，h 】中的相对紧集于是j v ： n ，。4 - 1 一 | 。( t ) k 1 n ，h 】满足 y k ( ) - 如( t ) ，p ( t ) g ：( t ) _ p ( t ) ( t ) ， ：，t ，l ；】， 并且一n o 岛。( n ) 4 - 6 0 p ( o ) z ：( 。) = l i r a k 。o 。( 一n o y k ( a ) + 6 0 p ( n ) ：( o ) ) = c o 其中j v ： 同理可证 玑( t ) ) ，切( t