（应用数学专业论文）adomian分解法解一类一阶的非线性耦合系统.pdf

硕十论文 a d o mi an 分解法解一类 一 阶的非线性祸合系统 ab s t r 8 c t i n th i s p ap e r we s t u d y c o u p 1 e d s y stems o f 幻 刀 o n o 川 in e ardi fferent i ale q u a t l ons fo r 灯 r s t . o r d e r， it c anbes o l v e d w i t h s o me t ec 俪q u esand a d o i1 1 i and e c o m pos i ti o n m e t h o d ， i n p arti c u l ar， a d o m i and e c o mpo s it i o n m e t 】 1 o d i s e ffi c i e ntm a t h e m atic m e t h o d w h 1 chc an e ffi c i e nt l y s o lve l i n e aro r n o n 1 ineare q u a 1 i ons o f m a t h an d phy si c al ， c o u p l e d s y s t e m s o f 朴 胃 。n o n 】 i n ear di ffer e n l i ale q 让 at i o ns fo r fi r s t . o ul er is the m o st l n 1 p o 川 习 n tc o 叩l ed system， som a n y peo pl e we r k e d h a r d atit. inth e p a p e r， a c l as s o f c o u p 1 e d sy st e mof幻 胃 o noul ineare q u ation fo r 五 r s t -o rd e r i s di susse d ， w h i chisfromm o del ofc o n l pet i t l 叽 此 co uple d sy s t e minchi de the o ri gi 耐 c o u p l e ds y s t e mp r o p o s e d勿 l azh a r b o u g o ffa a n ds m ai l b o ugo u 肠 ，mo re o v e r ， ital so di s cus s a ri l h 叮 eti c o f c al c ul a l i n g a d o m a i n ， s pol y n o 而al s ， a d o m ai n ， s p o l y n o m l al s p l aya k e y ro l e inado m i and e c 0 n 1 p 0 s it i onmet h o d . at l ast， this p a pe r p re s e n t c o n d i t i on w hi ch i s s at i s fi e db y c o upl e ds y s t e m， atthe sam e t i m e the c o upl e d 8y stemcan bedec o upi e d bya d o m i andsc o m p 0 s i t i o n m e t h o d ， the res u 】 t e x p and the exi s l e d endi ng， a fe ws . m p 1 e exan1 p 1 esare al sos tu d i ed tos h o wh o wt h e a d o m i an d e c o m pos it i on m e t h o d w o r k s e ffic i e ntly . k c ywo r d s: a dom i an ds co m p 0 s iti on m e t h o d ， a d o lnain ，spol y n o 而al s ， coupl ed sys t e m ， mo d e l o f c o m p e t i ti on. 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果， 尽我所知， 在 本学位论文中， 除了加以标注和致谢的部分外， 不包含其他人己 经发 表或公布过的研究成果， 也不包含我为获得任何教育机构的 学位或学 历而使用过的材料。 与我一同工作的同 事对本学位论文做出的贡献均 己在论文中 作了明 确的说明。 研究生签名:娜竣 严砂 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档， 可以借阅 或上网公布本学位论文的 全部或部分内容， 可以向 有关部门 或机构送 交并授权其保存、 借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内 容。 对 于保密论 文，按保密的有关规定和程序处理。 研 究 生 签 名 : 漏 碰才呵日 硕十论文ad o mi an 分解法解一类一阶的 非线性藕合系统 第一章 绪论 1 . 1祸合系统的介绍 系统是一个很广泛的 概念， 无论是在数学， 还是在物理， 以 及经济学， 还有化学 上都广泛存在， 如果系统在相空间从一点出 发经过一段时间 之后回到起点的某一个邻 域，则该系统是回归系统，周期系统是回归的， 所有的哈密顿系统都满足这个特点， 因 此哈密顿系统是回归系统; 如果系统从相空间 任何一点出 发( 排除测度为零的特殊 点) 长时间后演化可以 遍及相空间几乎所有的区域， 则该系统是遍历系统， 系统的 遍 历性隐含着一层含义就是系统相空间 不能分解成两个不变子空间， 最简单的一个例子 是，粒子在二维环面上的运动. 如果系统一旦发生祸合现象，该系统就会变成祸合系统，祸合是物理上的现象， 在范围很广的条件下，彼此见并不发生祸合，可以相互叠加可以构成任意波形. 在自 然界和现实生活中， 相互作用是到处存在的。 一个大的系统可有若千个相互 作用的小系统组成。 小系统一般是非线性的， 大量的小系统祸合在一起可表现出简单 或复杂的时空动力学行为参看 1 ，而系统的复杂性往往来自 于大量的自由度，而如 果一旦是非线性的那就更复杂了， 即使非常简单的系统也可能由 于非线性而表现出复 杂的动力学行为;而大自由度的系统也可以由于非线性而表现出相干，简单的行为. 对祸合系统的研究以往由于计算机条件所限而通常借助于理论近似和统计手段， 近年来则由于计算机速度和容量的大大提高而得以广泛的研究，并揭示出丰富的现 象，从目 前的研究手段和模型系统来看，大致分以下几类: 一:时空均连续化的偏微分方程系统参看 幻，它既可以是实际系统，也可以 是 连续化的近似， 研究的主要问题是系统的时空特征与非线性波行为， 如孤立子， 扭结， 以及时空斑图动力学. 二:空间分立化的常微分方程参看 3 系统，由于分立性效应，波波相互作用， 产生模式相干， 共振等现象; 在某些情况下， 我们不仅可以把系统的空间分立化， 而 且还可以 把时间分立化，即所谓的祸合映象格子系统. 这些不同方式， 一方面为了 提高运算速度而作为研究问 题的 不同手段， 另一方面， 也揭示了大量世纪系统的复杂的时空动力学行为，而这些现象与直观现象看似矛盾. 我们先看一下动力系统参看 4，上一世纪末，庞加莱等人在天体力学与微分方 程定性理论的研究中， 首先提出了动力系统的概念， 按照最广泛的理解， 动力系统的 研究对象是某些变换群作用下轨道的拓扑结构和渐近性态， 如， 微分流形上的向量场 ( 即常微系统) 所产生的 流就是实数加群的作用， 众所周知， 有两 类动力系统， 一类 l 硕士论文ad o mi an 分 解法解一类 阶的非 线性鹅合 系统 来自向量场， 另一类来自 微分同胚， 动力系统和祸合系统是密切联系在一起的， 动力 系统出 现在科学的一 切分支中， 从物理学中经典力学的微分方程到经济学和生物学的 差分方程。我们首先描述生物学的简单模型. 群体生物学家 对某物种或种群总数的长期性态感兴趣， 给定一些观察到的或实验 测定的参数 ( 食者 个数， 气候的恶劣性，食物的可获性，等等) ，生物学家建立数学 模型来描述群体数的 增减。 这模型可取微分方程或差分方程的 形式， 取决于假设群体 是连续变化还是离 散变化，正如是一年测算一次群体数还是一代测算一次. 在任一情 况下， 群 体生 物 学家 对最 初的 群体几发生 什么 变化感兴 趣. 随着时间的 消 逝， 群体 趋 于零， 即导致物种灭绝吗?群体数变得任意大， 即最终显出过剩吗?因此群体生物学 家 面临 的问 题是 典 型的 动力 系 统问 题: 给定p 。 能否 预 测 群体 数的 长期 性 态， 读者 可 以参看【 5. 而这些系统如果发生了祸合现象呢?随着祸合系统在很多方面的广泛应 用， 尤其是在物理方面，己引起了越来越广泛的注意和研究， 其中， 很多个人或研究 团体，都对祸合系统的去祸问题进行了广泛的研究， 1 . 2祸合系统去祸的方法 我们所遇见的动力系统参看 6 ，或者所研究的系统，一般应该是祸合的，否则 所进行的研究将会失去任何意义， 所有， 现在很多人都尝试这用各种不同的方法来解 祸合系统，也就是所谓的去祸. 去祸的方法应该说有很多种，更准确的说应该根据具 体的情况， 具体谈如何去祸， 其中有两种最主要的方法， 也是最常用的， 就是解析法 和数值法， 解析法需要熟练扎实的数学基本功，当然运用解析法的前提是有解析解， 数值法是容易而 应用广泛， 但是也有一致收敛问题， a d o m ian 分解法就是解析法的一 种，r u n g e . k u tta法 和e uler法就属于数值法. 考虑下面一个静态方程: 去 ， 万=j林) 口j 首 先 ， 我 们 需 要 初 始 条 件 ， 我 们 假 定 在 时 间 to 处 函 数 值 是 x (t 。 ) ， 现 在 我 们 用 方 程 : x (t0+ 山 ) 一 x(t 。 ) 十 夕 ， f(x(t 。 ， 可 以 估 计 在 时 间 to 后 的 二 ， 当 然 也 可 以 估 计 时 间 ro 之 前的x ， e uler法的可能的 错误就是在估计初始时间的导数时没有考虑在这段时间间 隔内 ， 导 数 可 能 是 严 格 变化 的， 这就 是 后 来 产 生了 r u 幻 g e .k u tta法， 它是 把e ul er法 改进了的数值法. 硕士论文a d o mi an 分 解法 解 一 类 一 阶的 非 线 性藕 合系 统 1 . 3a dom ia n 分解法的由来 a do勿 ，an 的逆算符方法又称为分解法参看 7 j ，是由美国数学物理 a dom ia n 在二 十 世纪八十 年代初期 提出 和发 展起来的 求 解线性、 非 线 性数学 物理方程 近似解析解的一个有效的 数学方法， 特别是它在 求解一些非线性问 题中已显示出了强 大的优势参看 8 . a dom ian 分解法可以 解决问题的范围很广，如数学模型产生的方 程， 还有有关代数， 积分， 微分方程产生的 系统， 按照这种方法的思想， 这些方程的 解被认为是是严格逼近于真实解的无限序列的总合， 1 . 4祸合系统去祸方法的研究现状 尤 山 六 口 rbo吸 契 ffa和smaii bo雌 理 ffa在2 0 06年在应用数学与计算杂志上发表 了他们二人研究的两个一阶非线性微分方程组成的祸合系统参看 9: + 关 (x 卜 + 八 (x 卜 = “ (x 知， + uv ) 十 人 (x 十 久 (x 万 一 a(x扮， 动 du-击dy一云 咖) 一 ， 。 ， 咖 ) 一 vo 这 里厂 ， 瓦 (i = 取 2 ) 和a (x ) 是 任 意的 解 析函 数， 他 们 提出 了 一 种 变 换。 = xv， 然 后把此变换代入上述的祸合系统便得到x所必须满足的方程 登 + 以 一 卜 一 “ 一 x (0)= 丘. vo 此时，上述祸合系统就可以用 分解法去祸. l 由 arb o u g o u fl 触 又在当年 研究了 这样一类祸合的微分方程系统参看 1 0: 音 一 (t )一 bx (t 知 (t ) 畜 二 一 。 (t )+ * (t 知 (t ) 这里a ，b ，c ，d 参看 1 1 ， 1 2分别代表猎物的增长率， 捕食者捕食猎物的效 率 ， 捕 食 者 的 死 亡 率 和 捕 食 者的 增 长 率x (t)， y (t)各自 代 表 野 兔 和 狼 在 时 间 ， 的 数 量 ， x(，知 (t)代 表两 个 物 种 相 互 消 亡 的 数 量 ， 他 还 是 用adomi an分 解 法 去 藕的 ， 很明 显 他 硕 于论文a d o mi an 分解法 解 类一 阶的非 线性锅合系 统 所研究的 方程的 背景都是来自 于l o kta 一 volterra 生态学模型. 我将在下一章中 详细介 绍l o kta 一 vollerra 生态学模型. 1 . 5竞争模型的 选取和本学位论文的工作概要 1 9 48年夕 口 尹* 作了 个实验， 他把吃面 粉的 两 种甲 虫a( 赤 拟谷盗) 和b( 杂 拟谷 盆) 放在一个放有面粉的容器中 混合饲养， 按时 供给充分的面粉， 并且每月数一数两 种甲 虫的成虫数目 . 结果发现，大约一年以后b 绝灭了，a相应的获得了自己应有的 发展速度. 19 54年户 口 尸 无 又发 现了 这种实 验与 温度有很大的 关系，当 温度 超过二十九 度时 对 a 有利， 但当 温度低于这个度数时， 则对b 就有利， 因此在一定温度下b 可以战胜a ， 于是b获得发展，a绝灭. 1 946 年0口 m b ic把两种甲 虫a( 锯谷盗 ) 和b( 杂拟谷盗) 放在一起混合饲养， 并给 它们充分的面 粉发现在一定的时间以后， 因为b 吃掉许多a的蛹， 所以， 最终使a绝 灭， 如果把一支玻璃管放入面粉中， 使b 的大的成虫进不去， 则a的幼虫就有了一个 避难所使得a 最终不致于绝灭，结果两种甲虫可以同时共存. 老虎和兔子的例子就是 这样的， 如果兔子有避难所， 那么它们就不致于绝灭， 于是在这种环境中老虎和兔子 得以共存，反之，兔子就会绝灭. 为了 概述上述情况，我们把竞争的两种群分别记为x 和y . 如上所述，在某种条 件 下， x 淘 汰了 y ， 而 在另 一 种 条 件 下y 淘 汰了 x ， 或 者 在一 定的 条 件范 围内 两 种 群 共存，无非就是上述的三种结果，下面来建立两种群相互作用的数学模型. 假设竞争着的两种群在时刻t 的密度分别是x 和夕 ，显然，现在每一种群的增长 都要受到另一种群的影响， 也就是说，x 种群分别除了 按自 己的 规律增长外， 还要受 到 y 种 群 的 作 用 ， 设 其 作 用 函 数 为 9 1 行 ) ， 另 一 方 面 ， y 种 群 的 生 长 也 要 受 到 x 种 群 的 作 用 ， 同 样 设 其 作 用 函 数 为 人 (x ) ， 此 时 两 种 群 互 相 作 用 的 模 型 可 以 粗 略 的 写 为 : 圣 一 。 一 (x )一 。 ，。 ) 全 ， 一 。 一 9 2。 ，一 、 (x ， ( 1 .5 . 1 ) ( 1 .5 2 ) 1 9 35年caus 。 和林 布 “ 认为， 对于非常 简单的 种群， 可以 用 简单的比 例来替 代上述 方 程 中 的 非 线 性 函 数 ， 记 k l 和 k z 分 别 为 单 独 一 种 群 x 和 y 的 负 载 容 量 ， 则 (l .5 1) 和 就 4 硕士论文 ad o mi a n分解法解一类一阶的非线性藕合系统 (l .5. 2 ) 可 以 改 写 成 下 面的 形 式 : 1 丁 x = 气 kl一 x 一 卿 杭 ( 1 .5 .3 ) 一y=几 y 气 一 夕一 承 棍 ( 1 ，5 .4 ) 这里a和声 为竞争系数 . 并 且cause 和用“ 用图解的方法来分析方程，以得到上 述竞争模型的 理论解 释参看 13 一 19 ，21 ， 这也 是常微分方程定 性方法在生态学 研究 中 的 首 次 应用 ， 用我 们熟 悉 的 方法( 方向 场分 析) ， 因 为 直 线石 认一 x 一 卿= 0) 和直 线l z 认 2 一 y 一 声= 0) 的 四 种不 同 的 相 对 位 置 . 1 94 5 一 1 9 4 6 年。口 功 云 ic 观 察 两 种 仓 库害 虫 谷 盗 (x)与 谷 虫伽 ) 能 得到 与理 论 充 分 相 等的 两 者 共 存的 结 果 参 看 22 一 2 5 ( 先由 资 料 估计 出气 ，气 和a ，刀 ， 再通 过 方 程(l .5. 3 ) 和(l. 5. 4 ) 作数 学 理 论 分 析， 再与 仓 库数 据 相 对照 ) ， 但由 上 所 述， 我们 知 道 方 程(l .5. 3 ) 和0 5 .4 ) 组 成的 方 程 组 不 是 对 所 有 的 情 况 都 适 用， 例 如， 1 9 70年办。 匆 研 究果蝇属中的 伪酱油果蝇和锯形果蝇时，象0口 用 b ic那 样，据他的资料故基础方程 ( 1 .5 .s)和( 1 .5. 4 ) 中 所 需 要 的 常 数， 但 他 发 现 在 理 论 上 不 能 说明 两 种 果 蝇的 共 存， 他 认 为这种不吻合的原因是数学 上的线性化引起的， 这样的 线性化使很多重要因素被忽略. 例如两种群的年 龄结构等. 那 么进一步修正 两种 相互作用的 模型参看 2 6，这种模型 的形式应为: 工 : = a 一 bx一 卿一 句 与= 。 一 户 一 gy 一 匆 我们将上述方程推广到下面的形式: + 石 ( x ) u + 八 ( x ) v = cl ( x ) u ， + 几 ( x ) uv + 几 ( x ) : ， + ( x ) 。 ， v + 几 ( x ) v ， u + 几 ( x ) 沪 du-么dy-么 + 石 ( x ) v + 乓 ( x ) u = 试 ( x ) 沪 + 姚( x ) 。+ 姚 ( x ) 。 ， + d4( x ) 。 ， v + 风( x ) 护 ， + 魂( x ) v ， u ( 0 ) = uo， v ( 0 ) = vo 硕十论文ad o mi an 分解法解一类一阶的非线性揭合系统 这 里厂 ， 互 ， 1 = 1， 2 ， ，试 ， 都 被 认 为 是 解 析 函 数. 本 学位论文做的 主要工作， 就是 在l azh arb ougou fl 触 等人所作工作的基础上， 进 一步探讨这方面的问题. 我想 试图重新找出如 何才能去祸的 条件， 然后用ado m i an分解法去祸. 然后再举 例子进行验证. 本学位论文的结构 安排是 这样的: 第 一章: 给出去 祸和微分方程系统的方法及 研究现状. 第 二章:详细介绍a d o m i an分解法和ado m i an多项式的求法和l 口 kta 一 冷lterra 生态学 模型及薛丁愕方程. 第三章:主要结论. 第二章 ado m ian分解法和ad。 而多项式及lokta一 vo lte rra 生态学模型 2 . ia dom 动 ” 分解法的内容 逆算符 方法也 就是a do m ian 分解法的基本思想是: 把所给的 方程分解成线 性部分 和非线 性部分， 再 在方程的两边乘上 ( i nverti ng) 最高阶的导数算子， 而初始条件或 边界 条件所涉及的 变化都是独立于初始 近似值， 再 把一个未知函数分解成一个元素确 定的 序列， 再按照a dom ian 多 项式分解非 线性函 数， 再 用a do附 ian 多 项式靠递 推公式 找到大量的序列他们二人给出了下面的描述. 考 虑 方 程: fu= 9 (t) ( 包 括 线 性 与 非 线 性 、 确 定 与 随 机性 、 代 数 方 程、 常 微 分 方 程、 偏微分方程以 及微分积 分方 程等) ， 把这个方 程的 真解分解为若干个解分量之后， 然后设法求出 各阶 解分量， 让 这些解分量之和以 任意所需的高 精度逼近真解。 其基本 步骤一是把整 个方 程恰当 地分解为若干部分，主 要按照算符尸 分解为线性部分1 和非 线性部分n，而 线性部分1 又分为可 求逆的线 性部分l 及剩余部 分r， 二是对非线性 部分n要用一种方法产生一 个与其等价的多 项式 ( 常 称为a dom 才 a n 多 项式) ，即 用一 个特 殊的有 规可求的多 项式替换非线性函数. 具体地就是将算符f分解为: f=1 + n， 1 =l + r， 也就是 f=l+r+n， 从而 硕士论文ad o mi an 分解法解一类一阶的非线性藕合系统 fu= l u + r u + nu= 9 ( t ) ， l u = 9 ( t ) 一 r u 一 nu， 将l-， 作用于上述方程的两端得 u 二 f l g 一 f l 只 u 一 l- i nu+ 。， 其中中满足l o= 0 ，且对应于初始或边界条件. ( 2 . 1 ) 将 方 程仁1) 参 数 化， 得 习习 仁仁 u = f l g 一 脱- 1 及 u 一 月 乙 份 i nu + 。， u = 艺 u 。 刃 ， nu一 艺 a 。 (u 。 ， ， ， ， ， 。 。 冲，( 2 .4 ) 将 ( 2. 3 ) 和 仁 4 ) 代 入 (z. 刀 得 到 : 艺 气 扩二 f 毖 一 义 l- 沃 艺 气 护 一 筋，艺人 ( uo ， 叭 ， ， 气 ) 扩+ 。 ， 其中兄 是为了 方便引 进的 一个参数，可以 任意大小，人(u 。 ， u ， ， ， u ， ) 是关于 气 ， u ， ， . ， 二 。 的 多 项 式 ， 也 就 是 所 谓 的 a d o m ian多 项 式 ， 为 了 方 便 把凡 扣 。 ， ul ， . ， u 。 ) 简 记为人. 将 方 程 (z. 3 ) 和 ( 2. 4 ) 代 入 (z. 2 ) 式 并 比 较 方 程 等 号 两 边 的 相 同 幂 次 项 ， 得 uo= 。 + 口9， 叭 = 一 尸 r uo 一 l- l丙 ， 叭二 一ir 叭 一 l-l人 ， 气 +l = 一 尸r 气一 尸凡 ， n 二 1，2， 3 所 以 问 题 的 关 键 在 于 确 定人 和 。 ， 。 1 ， ， u ， ) ， 即 只 要 求 出 a 。 就 可 确 定 气 十 ， ，从而根 7 硕十论文 a d o mi an 分解法解一类一阶的非线性藕合系 统 据 精 度 要 求 可 选 择 不 同 的 。 ， 然 后 截 断 将 。 + 2 个 分 量 求 和 尹 = 艺u * ， 并 去 近 似 代 替 真 解u . 当n 斗ao 时， 尹 一 u 分0 ， 也就是 说 逆算符方法是收敛的， 这已由che 洲ault 等 人己经证明 过了的参看 27 . 2 . za dom ian 多项式的求法 a do m jan多 项 式 参 看 28， 29 是由 g e o rg iea dom ian在分 解 法研 究中 提出 的 一种 产 生 与 非 线 性 函 数 等 价 的 多 项 式 .这 也 是 a dom ian 分 解 法 习句 (z.(z. ( a do m ian、 deco mpo sit ionm e th o a)的 重 中 之 中 . 部分为 nu= f (u ) ， 而u 的参数化分解为 u 二 艺 u ， 扩， 刃 = 0 把 ( 2 6 ) 代 入( 2 5 ) ， 得 nu= f (u 仁 )， 不失一般性， 我们不妨设 它的基本思想是: 假定方程的非线性 ( 2 7 ) f (u 仁 = 艺 a 。 阮 ， u ， ，u ， 冲， 在又 = 0 处 对f (u 仁 ) 参 看 30 进 行几 砂 勿 ; 级 数 展 开 得 do f (u 仁 韶 = 鸡= f(u小 dl f (u 扭 ) 韶!祠= a : ( u 。 ， 。 ， ) ， 少 f (u (x) 川 韶脚 = 凡 (u 。 ， u l ， ， u ， ) ， n = 1 ，2 ， 硕 十 论 文 a d o mi an 分解法解一类一阶的非线性藕合系统 如 果 记 d 二 兰， 则 d兄 汪 。 (u 。 ， u ， ， ，。 ， ) = 台 d of 。 扭 树 ，动 ， ( 2 ，8 ) 由 式 子 ( 2. 3 ) 知: 业 d 只甲 1 . * .月. u =材 。， =u l ， =2 ! u z |脚 du一以酬川 d一d 到 d彩. 1 。_ 1再 刁 臼 =n ! u 。 ， 由于 。 1 ， _了 上 声j 户 二丁 = 口滩 了 加 加 改 。 2 ，日 ，f ( 山丫 ja ， u 几户 1 二 ， ，r万 1 一 - ，r ， 即 戈 以 少山 刁 兄 j 。 ， ， _ a ， f ( u 丫. ， 刁 ， f ( 面、 。 ， 。a z f加a ， ， . 了a ， : 口j 补 二，丁夕 二丁 娜 宁 弋 丁 - 犷1 二 忿t t 气 飞 . 个 二一 气 犷二 ， 丁 代 丁 了 犷十 二 一 二 二 了 动碑 一 、 口 沁 j动 碑 . d 泥 少 d 兄 九 刁 兄d 兄 山 d 滩 砂 日 3 f ( u 丫 _ a z j ( 山、 刁 2 。 盯a 3 u = 一 二 二 1 1 十 j一 - 二 1 1 份 we 二+ 一 二 -份 - - 了 ， 加， 戈 叙少即 气 刁 兄 a 之 山 日 兄 尹 归纳得 d 二 f = 艺 (v ， ， 丫 (v ). 其 中 f (卜 廖 ，(，卜 最 )(“， 一 ，)卜 豁 )卜 ，一 ，0，。，一 ，。，一 。 ， 当 ， ， 时 ， c(i，j) = 。 参 看 3l ， 当 ， : 1 时 ， 。 (0，j)= 0 . 如 果 令 ， (i， j) 一 到 那 么 由 戈 刁 滩 一 ) 硕 l 论文a d o mi an 分解法解一类 一阶的非线性藕合系 统 ( 2.8) 可 得 : 沁，力= (i! u ，y ，( 2 1 1 ) 记 、 。 。) = 裂卿 ( 2 . 1 2 ) 由 于 f (v) 一 豁 ，所 以 f (v 】 a=0= 气 (u 小 利 用( 2. 5)到2 13 ) 就 可以 推 导 出 凡多 项 式 参 看 3 幻， 具 体 结 果 如 下: a 。 一 尝 。 0，1 一 f(u 。 ) 一 h 。 。 。) ， 0 ! “ 1、 动 、 一 矗 df 二 。 一 c(l， l)r (ll 一冰 呱 气 (u0) = 叫 、 (u 。 、 _ 。 ， 、 (u 。 、 ， a z = 奋 d zf 二二。 一 奋 和 (l ，2卜 (l ，一 。 ，2卜 。 叫 _ 二 告 奋 (l ，2 】 ，司 、 (u 。) 十 c 。 ，2 】 ，动 气 (u 。好 一 告 和 。 ，1， ，动 “ (u 。 )十 神 ，2 】 问 气 (u 。 ) = 2* :(u 。 )+ 告 一 、 (u 。 ) ， a ， = 工 d 3 f 一_ 工 耘 (l .3 卜 。 、 十 。 仁 3 护 住 、 十 。 。 .3 护 (3 讨 一 粤 伽 。 ，l )r (l ) 十 3 神 ，l 卜 仅 ，l 护 0 ) 十 ， (l ，3 卜 。 川 6 “ “” ” ”一 ”， ， 刁 = 3、 (u 。 )+ 1 2 2(u 。) + 告 一 、 (u 。 ) ， a 4 一 奋 和 (l ，4 )r (l )十 c 。 ，4 卜 。 )十 c 。 ，4 护 。 )+ 仁 ，4 护 。 州 * ( 2 .1 3 ) 硕十论文ad o mi an 分解法解一类一阶的非线 性藕合系统 = 命 卜 4 和 。 ” 1 + ， 、 (u 。 . 2 + 、 。 。 玲 2 22 + 2 4 1 ; )+ 2 4 、 (u 。 知 ; =h 1(u 。 4 气 (u 。 合 升 二 小(u 。( 告卜) 、 (u 。兀 去 )14 “5 一 气 和 。知 5“ 2和 。“ 2一， 气 (u 。兀 合 )一(告)一 ) 气 (u 。兀 会 )一 一 、 (u 。兀 击 下 15， 气 伽 。 6 气 和 。( 合)32一 ，) 气 和 。(告 )一 一 (告 玉 !2;) 、 (u 。( (专 )一 一 告 )一 小。 。兀 去 )一 “ 和 。惴 尹 . 同 样的 方法可以 得到鸡， 凡， ， 人， 这就求得了a d o m i an多 项式，a d o m i an分 解法也就完成了. 例 如: 求非 线 性函 数nu = f (u ) = 矿的人多 项式 . 解: 我们按照 前面介绍的计算公式参看 3 3， 就可求得心，其结果如下: ao= f (u 。 ) = u 。 ， = 。 。 u 。 ， ， 1 = 去 。 1， = ，、 (u 。) 一 剖= 一 ，。 - 。1一 、 = 奋 d z刁 _ = 一 气 (u 。， 告 一 气 (u 。= ，一 ， a 3 = 蚤 d 3刁 二 。 = 一 、 (u 。，一、 (u 。， 告 一 、 (u 。， =z u o u ， + z u l u z ， 硕 上 论文ad o mi an 分 解法解 类一阶的非 线性藕合 系统 一 ”1(u 。” 4 气 (u 。龙 . )一小(u 。兀 . 少 13一 ) 、 (u 。龙 去 ):4 = z u o u 4 + u 2 2 + z u lu 3 ， a ， = z u o u ， + 2 o lu 3 + u 2 2 ， a 6 = z u o u + z u u ， + 2 u 2 u 4 + u 3 2 ， 照 此 继 续 下 去 ， 就 能 求出 a 7 ， 凡， . ， a 。 的 表 达 式 . a d o m i an 多项式的又一种求法: 求解adomi an多项式关键是要从非线性部分开始参看仁 3 4 一 3 8，有下面的引理: 假 设 非 线 性 部 分 为 nu一 f (u ) ， 并 且 。 的 参 数 化 解 为 u 仁 ) 一 艺刃 u ， 参 3 9 一 4 幻 ， 那么就有: 、 、二一到 其中m为自然数. 证明: 由于 u 仁 ) 一 艺矛 气 = 艺扩 u ， + 尸 + ， u ， +l + 尸 ， u 。 + 2 + 尸 + ，u 。 习 + 一 全 。 。 + 二 枷 ， +， + 、 ，+2 + 、 。二 + )， 从 而 二 = 生到一 衅脚 衅 七 硕士论文ad o mi 姐 分解法解一类一阶的非线性藕合系统 于是有: 此引理得证. 利用这个引理可以顺利的并且很快的求出a d o mha 多项式，其具体方法如下: 如果求从。 到n 阶的凡多 项式，首 先， 我们令 u = 艺 矛 u * ， 那么，我们就会得到: nu 一 (u(x 一 嗯 分 那么有前面所述的引理，我们可以设 nu= 叉矛 uk， 从而有: f(u 帅 一 礁 uk) 一 黔， ( 2 .1 4 ) 根 据 上 式， 如 果 要 计 算凡， 鸿 ， 凡， 一 ，凡， 那 么 只 要 求 出 f (u 仁 ， 然 后 对 表 达 硕十论文a d o mi an 分解法解一类一阶的非线性祸合 系统 式分别求关于兄的 0 ，1 ，2 ， 一 、 n 阶导数，并令兄 = 0，就可以得到 鸡， 鸿 ， a z ， ， 凡下 面 我 们可 以 看一 个 例 子: 例 子 : 如 果nu二 矿， 试 求a 。 ， a ; ， a z ， 一 ， 凡 解:由 引理， 我们首先设: u = uo + 元 从 + 几 2 u 2 + 几 3% + 又 4 气 + 兄 5 u 5 ， 由 ( 2. 1 4 ) 式 ， 可 以 得 到 : 全 ; *、 一 ( uo 十 ; 、 + ; 2u 2 + ， 3、 + ， 4、 + ， su ，) 令几 =0 ，得到: 人= u0 2 ， 对( 2 . 1 4 ) 式 的 两 边 求 关 于 兄 的 一 阶 导 数 ， 得 到 : 鸿+ 2 之 人+ 3 兄 ， 凡+ 4 兄 ，人+ 5 兄 4 a 5 一 2 ( uo + “ ul + “ ，、 + ， u ， + ， 、 + “ ， u ， ) ( ul + 2 “ u z + 3 ，、 + 4 “ ，、 + 5 “ u ， ) 令兄 = 0 ，得到: 人= 2 u0 叭 ， 再 对 ( 2. 14 ) 式 的 两 边 求 关 于 兄 的 二 阶 导 数 ， 得 到 : 2 凡+ 6 兄 凡+ 1 2 又 ， 人+ 2 0 兄 ， 凡 = 2 ( ul + 2 机+ 3 “ ， 、 + 4 “ ， u4 + 5 “ u s ) ( ul + 2 热+ 3 “ ，、 + 4 “ ，u4 + 5 “ 、 ) +2 ( uo + 码+ “ ，、 + “ ， 、 + “ 、 + ，u ， ) ( 2 、 + 6 帆+ ， 2 ，u4 + 2 0 “ ， u s ) 令兄 = 0 ，得到: 2 凡= 2 扩十 4 % 姚， 于是，得到: 凡= 可十 2 u0 吮 再 对( 2 .1 4 ) 式的 两 边 求 关 于又 的 三 阶 导 数 ， 得 到 : 硕士论文 ad o mi an 分解法解一类一阶的非线性藕合系统 6 凡 + 24 “ 人 + 6 0 “ ， 凡 = 2 ( 2 、 + 6 元 、 + ， 2 兄 ，u4 + 2 0 兄 ，u s ) ( ul + 2 机+ 3 ，、 + 4 “ 、 + 5 “ u ， ) +2 ( 、 + 2 机+ 3 “ ， 、 + 4 “ 认 + 5 “ 、 ) ( 2 、 + 6 机+ ， 2 “ ， 、 + 2 0 “ ， u ， ) +2 ( u 。 + 2 “ 、 + 3 “ ， 、 + 4 “ ，u4 + 5 “ 、 ) ( 2 、 + 6 俩+ 2 4 机+ 6 0 “ ， 、 ) + 2 ( uo + 执+ “ ，、 + 从 + “ 、 + “ ， u ， ) ( 6 u ， + 2 4 机+ 6 0 “ ，u 小 令兄 = 0 ，得到: 6 凡= 1 2 气 uz+ 1 2 uo u3， 于是，得到: 凡= z ul 吮+ 2 u0 妈 ， 依 次 对( 2 . 1 4 ) 式的 两 边 求关 于 兄 的四 阶导 数 ， 五 阶 导 数， 同 时 再 令又 = 0 ， 就可 以 得 到: 人二 2 u0 气 + u z， + z ul 气 ， 鸡= 2 u0 气+ 纵u4+ 2 姚 隽. 2 . 3 l o 吸 ka， v o lterra 方程的背景 l az 上 arb o ug o u fl 触 ， 和s maj i b o u g o u 6 触 二人 所 研究 的 两 个非 线 性的 一 阶 微 分 方程 组成的祸合系统就是来源于l o i ka. v o l t e n 妞 方程参看 4 3 . 这个方程的背景就是著名的l 习 t k a ， vo lterra 模型，所以，我们有必要介绍一下这 个生态学模型，所谓的l o t k a ， vo l t e n .方程就是指两个如下的祸合方程: 条 一 、 二 一 、 。 畜 一 、 ， + 、 。 l o t k a . v o lterta 模型 l o t k a 目 v o he能 模型是捕食者与猎物之间相互影响的一种最简单的模型. 这个模 型是两 个人各自 独立完成的， 分别是lotk a 在 1 9 25 年，vol t e n 习 在 1 9 26 年提出的目 的是为了解 释亚德里亚海 某些鱼类的 起伏现象，内容 如下: 假设在某一封闭的生 态环境内， 捕食者尸 以猎物h为 食物，而 猎物h则以此系 硕 上 论文a d o mi an 分解法解一类一阶的非线性藕合系统 统 近 乎 无 穷 无 尽的 某 种 生 物 为 食 物( 例 如 狼 吃 野 兔， 野 兔 吃 草) . 令p (t)为 物 种p 在 时间t 的数量，则l o l k a 一 volt 模型为: 些_ rh一 ahp dt 塑_ b hp一 mp dt 这两个方程一个描述猎物的数量， 一个描述捕食者的数量. 上述两个方程中 有两 个 变 量护 ， h ) 和 一 些 有 实 际 意 义 的 参数 : h代表猎物的数量，尸 代表捕食者的数量，; 代表猎物数量增加的固 有率，a 代 表捕食的速率系数， b 代表猎物被捕食者吃掉后捕食者的繁殖率， 脚代表捕食者的死 亡率，下面估计l o tk a . v o herra 模型的参数 (l)， 如 果 没 有 捕 食 者 ， 即 尸 (t)一 。 ， 那 么 猎 物 因 为 没 有 天 敌 ， 乃 呈 指 数 增 长 ， 估 计 固 有 率 ; : h (t)= rh(t) . 价 ) ， 如 果 没 有 猎 物 ， 即 h (t)= 0 ， 因 为 捕 食 者尸 以 h 为 食 物 ， 则p 总 数 呈 指 数 下 降 : 尸 (t)= 一 mp. (s)， 尸 (t 卜(t)项 表 示尸 与h 之间 的 相 互 作 用 . 与l o g is t ic 模 型 一 样 ， 它 基 本 上 表 示 物种尸与h相遇的机率，而系数的正负反映了p捕食h的结果. ()， 估 计 b 和 m . 保 持 猎 物 的 固 有 浓 度 ， 估 计 捕 食 者 在 这 些 猎 物 固 浓 度 时 的 固 有 率 今 ， 把 捕 食 者 数 量的固有率和猎物的密度比较就可以得到: 今= bh 一 m， 这时，如果点不满足直线，那么l 习 i k a . v o l t e n . 模型就是不完善的，应当可以修 正. 今 ) ， 定 性 分 析 : 因 为 誓 = rh 一 ahp 一 ah 心 一 咧 答 一 mp+bhp = 一bp 心一 叫 硕士论文ad o mi an 分解法解一类一阶的非线性藕合系统 如 果h (t)= 竺 b ， . dp 则 - 刃 -=u， dt 即p (t ) 也 是 常 数， 但 是 若尸 (t) r 笋 一 ， “ 则 丝， 0 ， 改 。一_、二。 、 ， . ， ， 、 ， ， d一、毋了 足 刁 、 田陀 创 ， 囚 刀 从 1 权仅 创 宋 1 干翔 退 ， =u 以 ，所以 h (t) = 二p 们= 竺 b 是一解，这个解为l 以 k a . vol t e n 溉 模型的平衡解. 这表示捕食者与猎物的数目 保持不 变，但是由于捕食的行为是持续发生的，因此这是一种动态的平衡点. 第三章主要结论 + 石 ( x ) u + 八 ( x ) v 一 cl ( x ) “ ， + 几 ( x ) 。 + 马 ( x ) u ， + c4 ( x ) u ， v + 几 ( x ) v ， u + 几 ( x ) v ，( 3 . 1 ) + 人 ( x ) v + bz ( x ) u 一 试 ( x ) v ， + ( x ) 即 + 鸽 ( x ) u ， + ( x ) u ， v + 峨 ( x ) v ， u + 峨 ( x ) v ， ( 3 .2 ) u (0 ) 一 u 。 ， v (0 ) 一 vo(3 3 ) du-么dy一dr 这个来自 于上述竞争模型的藕合系统，分析右边的各项的系数可以知道: 当马 = 几二 几= 几= 姚= d.= 魂= 凡= 0 ，cl = dl= 几= 姚时， 就是l 山 azb o ugo u fl 五 ， 和l 山 arb o ugouffa二人所研究的 藕合系统，可以说他们二人所研究的祸合系统是上 述来自于竞争模型藕合系统的一种特殊的情况，我现在想讨论的是: 当 马 ” 几= 马 ， 几= 鸽= d4= 巧= d.笋 。 时， 看 系 统的 各 个系 数满 足何 种 关 系时 ， 此祸合系统也能用a dom i an分解法，来进行去祸. 3