（基础数学专业论文）某些特征和的估计.pdf

山东大学硕士学位论文 某些特征和的估计 陈湘华 ( 山东大学数学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 众所周知，特征和。 。 mx ( 佗) 的估计在d i r i c h l e tl - 函数非零区域的证明中 起着重要作用其中最常用的估计是。对于模q 的非主特征，我们有所谓的p s l y a - v i n o g r a d o v 上界 ：x ( n ) 沂l o g g ， m n s m 此式将直接导致d i r i c h l e t 定理：在一般算术级数中存在无穷多个素数本文中，我 们将讨论某些特定形式的特征和并给出一些新的估计 我们首先援引一些与论题相关的结果如果x 是模q 的原特征，s o k o l o v s k i i 【1 1 】 证明了存在z 满足如下不等式 沂 2 以 这里引表示不大于y 的最大整数此式说明，在一般情况下，除了因子l o g q 外p 6 1 y a ，- v i n o g r a d o v 上界无法改进对于非主特征，b u r g e s s 得到下列均值估计 j ) ( ( 扎+ 仇) j k h ， 这里h 是任意正整数此式最早为n o r t o n 【8 】所猜测，他得到的上界结果只是七h z h e f e n gx u 与其他作者在 1 3 和【1 4 】中利用d i r i c h l e tl - 函数的均值定理研究了区 间【1 ，署) 上的偶原特征和与奇原特征和的2 尼次均值，分别得到了 j 2 后1 2 惫 f 小) i 和 i 小) 1 0 二监：。j 8 0 使q n q ，我们有 1 2 k l ) ( ( 扎) l 妒( 口) 口1 l 。g 烈n ”q ； x x oi n _ l v i 而若 0 ，则有不等式，i 。x ( n ) i 妣q l + c 定理2 对于) ( 模素数p 以及整数k 2 ，我们有 l x ( 佗) l 矿。1 2 l 。9 2 。p 对于与特征相关的某些指数和，我们运用解析方法得到以下三个定理： 定理3 设q 1 ，z 1 ，而o l ? p ( 0 ，1 】若写= 1 + 川扩，则有 x m o d 。l 圣黼c 口确1 2 蚴魄z xql n z i 定理4 设q 1 ，z 之1 ，而n ，p ( 0 ，1 若写蜀= 1 + 川护，则对q l 有 x m o d q qm o d 。l 三黼c 刮2 咖驰g z 口l 竹z 定理5 设z 1 而整数k 1 ，q 2 ，并且可写口= a r + a ，其中a 与r 互素，入r 我们有 i1 2 i ) ( ( 礼) e ( “扩) i q r z t - o 0 9 2 z ) ( 1 。g r ) ， xm o dql n z 这里正= 1 + z 关键词：特征和，均值，d i r i c h l e tl 一函数 山东大学硕士学位论文 e s t i m a t e sf o rc e r t ai nt y p e so f c h a r a c t e rs u m s x i a n g h u ac h e r t ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ) a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ee s t i m a t ef o rc h a r a c t e rs u m m n mx ( 礼) p l a y sa ni m p o r - r a n tr o l ei nt h ep r o o fo fz e r o - f r e er e g i o nf o rd i r i c h l e tl - f u n c t i o n s t h em o s tf r e q u e n t l y a p p l i e dr e s u l ti st h ep s l y a - v i n o g r a d o vb o u n d x ( n ) 锕l o g q f o rxm o dqn o n - p r i n c i p a l m n w h e r emd e n o t e st h eg r e a t e s ti n t e g e rl e s st h a no re q u a lt oy i ti m p l i e st h a ti n g e n e r a lc a s e ，t h ep b l y a ，v i n o g r a d o vb o u n d c a n n o tb es u b s t a n t i a l l yi m p r o v e de x c e p tt h e l o gqf a c t o r f o rn o n - p r i n c i p a lc h a r a c t e r ，b u r g e s so b t a i n e dt h em e a nv a l u ea s t i m a t eo f c h a r a c t e rs u m s h ) ( ( n 十仇) m = 1 2 k h ， w h e r ehi sa n yp o s i t i v ei n t e g e r t h i sw a sc o n j e c t u r e db yn o r t o ni s ，w h oo b t a i n e dt h e w e a k e ru p p e rb o u n d 七h z h c f e n gx ua n do t h e ra u t h o r si n 【1 3 】a n d 【1 4 s t u d i e d t h e2 k t hp o w e rm e a no ft h ee v e na n d o d dp r i m i t i v ec h a r a c t e rs u m so v e rt h eq u a r t e r i n t e r v a l 1 ，i ) b yu s i n gm e a nv a l u et h e o r e m so fd i r i c h l e tl - f u n c t i o n s ，a n do b t a i n e dt w o a s y m p t o t i cf o r m u l a s 5 鱼觚 知f l 山东大学硕士学位论文 f o l l o w i n gar e s u l t o fg a r a e va n dk a r a t s u b a 【5 a n dc o m b i n i n go t h e rm a l ，e r i a l s ， w ew i l ld e a lw i l ，hc h a r a c l e r8 u i l l s xi 。s x ( n ) l 妣，e s p e c i a l l yw h e nki sn o tl a r g eo r ni sr e l a t i v e l ys m a l lc o m p a r e dw i t hq w eh a v er e a c h e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m1 a s s u m i n gt h a tq 。 n 0 ，w eh a v e x ( 礼) n n 2 南 q o ( q ) q 一1 nl 0 9 2 一1 q ； i f g 0 ，i th o l d st h a t xi n x ( n ) 1 2 七q 1 + t t h e o r e m2 f o rap r i m epa n di n t e g e r k 2 ，w eh a v e x x o ) ( ( 佗) 儿 n 2 k p k - 1 n 2l 0 9 2 ( 一p a n df o rc h a r a c t c rs u i n st w i s t e db ye x p o n e n t i a lf u n c t i o n s ，u s i n ga n a l y t i cm e t h o d s ， w eg e tt h ef o l l o w i n gt h r e et h e o r e m s ： t h e o r e m3 l e tq 1a n dx 1 l e t ( z ? ( 0 ，l 】t h e n w h e r et o = 1 + l q i 2 口z t o l o g x ， t h e o r e m4 l e tq 2a n dz21 l e to l ，p ( 0 ：1 】t h e nf o rq 之1 ， f f t - t 0 q q xm o dq w h e r et o = 1 + 川护 x ( n ) e ( a n p ) 咒z 2 q 2 x t ol o g z ， t h e o r e m5 l e ti n t e g e r sk 1 ，q 2 l e tz 1 s u p p o s et h a ta = a r + aw i t h ( a ，r ) = l ，a 酞t h e n w h e r e 乃= 1 + z 七 ) ( ( 礼) e ( a n 。) 札 2 q r x t l ( 1 0 9 2x ) ( 1 0 9 r ) ， k e y w o r d s c h a r a c t c rs u h t 8 ；m e a nv a l u e ；d i r i c h l e tl - f u n c t i o n s 6 咖 山东大学硕士学位论文 m l ，m 2 ，： ( a ，b ) ： 陋，b ，1 ： e ( z ) ： 妒( 礼) ： d ( 礼) ： 符号说明 素数 整数 z l l r = x i l- 瓶 2 以 整数z 的存在性，这里m 表示不大于y 的最大整数此式意味着在一般情况下，上 述的p 6 1 y a - v i n o g r a d o v 上界除了因子l o gq 外不可能再有实质性改进 对非主特征，b u r g e s s 得到如下形式的均值估计 芝k hx ( n + m ，卜khn=l m = l ， 芝m ) l ， i 此处h 是任意正整数此式最早为n o r t o nf 8 】所猜测，而他只获得了上界忌h 至于高次的情形，b u r g e s s 【4 对满足特定条件的特征和做四次方和，得到了下 列结果 。e垂。fx(n+m)i4 0 ，对模p 3 阶为p 2 的特征至多除 了o ( 矿。) 个外，我们有 他还对) ( 模q 得到 p 3 h 1 4 i ) ( ( 佗伽) i = o ( p 3 州h 2 + p 1 + n = 1i m = l x壹隆叫48d7(q)q灿hprimitive n = lm = l ， i ) ( ( n 十m ) l 灿， x 这里d ( n ) 是d i r i c h l e t 因子函数 z h e f c n gx u 与其他作者在【1 3 】和 1 4 中利用d i r i c h l e tl - 函数的均值定理研究 了区间 1 ，i ) 上的偶原特征和与奇原特征和的2 k 次均值，分别得到了 刊x ( - - i ) ：掣广 和 剥( - 1 ) = - a 驴广 的渐近公式 结合g a r a e v 和k a r a t s u b a 5 】的一个结果以及其它资料，我们讨论特征和 莩i n 0 使q 6 n q ，我们有 x # x o 降哟卜扩1 眦h l n 而若n 0 ，则有不等式 1 2 k i x ( n ) l q 1 + xi n n 2 山东大学硕士学位论文 必须指出，如果在这里直接应用p s l y a - v i n o g r a d o v 估计，我们所能期望的对左 边的最小估计是妒( g ) 矿l o g 弘q ，此结果将在q 较大的时候比我们的估计大得多另 一方面，如果考虑主特征x o 的话，我们将遇到巨大困难这将迫使我们面对和式 i x 0 r i n 曼 而它很可能大到强 另一个是关于素数模的结果： 定理2 对于x 模素数p 以及整数k 2 ，我们有 1 2 七 i x ( ”) l 矿。1 n 2 l 0 9 2 陋。) p x # x oi n _ n 此外，对于与特征相关的某些指数和，我们利用解析方法得到了下列三个结果， 定理3 设q l ，z 1 ，而a ，p ( 0 ，1 】若写t o = 1 + 扩，则有 x r o o dgl 三腓c 硼1 2 蚴崦z xgi n zi 定理4 设q 1 ，z 1 ，而o l ，( 0 ，l 】若写t o = 1 + 口i ，则对q 1 有 磊x r o o d r o o dql 三黼p ，1 2 啦驰蚴口ql n z 定理5 设z 1 而整数忌1 ，q 2 ，并且可写q = n r + a ，其中。与r 互素，a r 我们有 l1 2 i x ( 竹) e ( 口刮q r z t l ( 1 0 9 2 x ) ( 1 0 9 r ) ， x r o o d ql n z 这里五= 1 + 我们需要对这些定理做一些解释 在定理3 中，对左边的甲凡估计是口z 2 ，这在 1 这类函数最先是由d i r i c h l e t 为研究算术级数中的素数分布而引进的 与r i e m a n nz e t a 函数类似，l ( s ，) ( ) 也能通过函数方程延拓到除了s = 1 的整个复平 面在后面的部分我们将需要关于l ( s ，) ( ) 的几个重要结果 由上述性质i ) ，我们只需考虑n 0 使q n q ，我们有 i1 2 i ) ( ( 礼) l 妒( g ) xi n n 证明首先，我们交换求和顺序 l ) ( ( n ) l = x ( m ) 元( 佗) = ) ( ( m ) 元( n ) xi n n l m ，n n m ，n q 作为与s h p a r l i n s k i 【1 0 引理5 的类比，我们将证明： 引理2 2 对于任意正整数n p 及特征) ( 模p ，我们有 = 4 - i - o ( p n 2 ( 1 0 9 p ) 2 ) 证明与引理2 1 的证明类似，我们得到 i1 4 i x ( 佗) i = x ( m m 。元- 既。) xl n s nim l ，m 2 s n l ，n 2 1 j v = ) ( ( m t m 。元，元。) m l ，仇2 s _ vx “1 ，n 2 s n = 一1 ) ， l m 2 1 t 。1n 2 ( r o o dp ) “1 ，m 2 亿1 。n 2 s _ 6 i 、【，j d ) 卜 q q 了 伙 r l d d 妒 p + 啪 | d 矿百 纵 一 如 叫 山东大学硕士学位论文 这里n 1 元l 三l ( m o dp ) 而扎2 锄兰l ( m o dp ) 由【1 】中定理1 ，我们知道同余方 程m l m 2 兰佗l n 2 ( r o o dp ) 有4 加+ o ( n 2 ( 1 0 9 p ) 2 ) 个解因此 i1 4 l ) ( ( 礼) l = 4 一4 p 十0 0 , n 2 ( 1 0 9 p ) 2 ) = n 4 + o ( p n 2 ( 1 唧) 2 ) xi n 2 ，我们有 此外对q 2 ， x 三。肿( 知x 2 d t 则对t 1 ，任意给定的满足o 0 + b 瓯的s o = o o + i t o 以及b 0 ，有 芝暑丽1 扯 b + 汀i t f ( s o + 5 ) 等d s + 脚刃， 这里我们写忪0 表示从z 到最近整数n 的距离， 即，t ) t x b b ( b + a o ) 材咖舴) 血n l ，字) 仃呻加t n 1 ，赢 引理2 5 对于盯1 2 以及2 ， l ( 仃十i t , ，x ) ( 1 0 9 2q ( i t l + 2 ) ) m a x 1 ，口( 1 4 ) 2 ( i t l + 2 ) 1 一。) 7 ( 2 2 ) 仁 删 x四 山东大学硕十学位论文 证明当x 妒，此结果能在一些文献中找虱j ，如 1 7 】，i ) 2 6 9 ，( 1 3 ) 以及p 2 7 1 ，练习6 当) ( = ) ( o ，上述不等式能从l ( o + i t ，) ( ) 的定义以及熟知的上界( 参见 1 7 】，p 1 4 0 ， 定理2 ) ： ( p + i t ) ( 1 0 9i t l ) m a x 1 ，i t 1 - 9 】，对盯1 2 且i t i 2 结合推出 下面的两个引理即是 1 8 】中的引理4 3 以及引理4 4 引理2 6 设f ( z ) 与9 ( z ) 为实函数，而9 ( z ) ，7 ( z ) 单调，且，7 ( z ) 9 ( z ) m 0 ，或 者厂( z ) 9 ( z ) 一”。 0 ，或 者厂7x ) 一r 0 使旷 n g ，则 i1 2 kl1 2 i x ( 扎) i( x q l o g q ) 2 忙1 i x ( 礼) i x # x oi n _ n l x x ol n i 妒( 口) q k - 1 nl 0 9 2 ( k - i 口 可以立即由引理2 1 推得；如果n 0 ，只要注意到1 ) ( ( 亿) i 1 ，则 f x ( 佗) l 妒( g ) g q 1 机 i n ni 将是明显的这就完成了定理1 的证明 由引理2 2 ，我们立即得到 l x ( n ) i = o ( p n 2 ( 1 。g p ) 2 ) 这里n p 且) ( 模素数p 从而 i ) ( ( n ) l ( v 每l o g p ) 2 - 2 i x ( 仡) l p 1 n 2 l 。9 2 。) p x x oi n n l x # x oi n n 这就完成了定理2 的证明 在文献 2 】和 3 】中，b u r g e s s 分别建立了关于部分高斯和与特征和的上界，即 m + n、 。三，黼( 詈) n i - 1 r p l 4 ( , - - i ) 酬2 9 ( 3 1 ) p 一 矽 他 x 誉一 山东大学硕士学位论文 这里x 模素数p 非主特征，且0 m m + n 0 成立，此界限在取r = 3 的时候达到如果n p 鑫( 1 0 9 p ) 一g 一，我们有 1 2 k f x ( n ) i p k 4 “警l o g 挑p x # x oi n s i 类似地，如果引用( 3 1 ) 式，最大的应满足 n p 营( 1 0 9 p ) 一， 对某个e 0 成立( 此时取r = 2 ) 应该指出的是，当7 = 1 时，不等式( 3 1 ) 与p s l y a - v i n o g r a d o v 上界在素数模的情况下是等价的假定n p 鲁( 1 0 9 p ) 一，我们 得到 1 2 k i ) ( ( 礼) l 矿郴+ 1 胴。9 2 p 下面g a r a e v 和k a r a t s u b a 5 1 的结果能帮助我们显著提高的上界 ) ( ( n ) ；1 p j l 一軎+ 丽1 + ( 3 2 ) n = l 对任意e 0 以及正整数r 成立，这里x 模素数p 非主特征，其中的隐含常数仅依 赖于正整数r 以及e 明显地，若存在e 1 0 使n p 署。t 成立，则( 3 2 ) 的右边将 总是o ( p l o g p ) ，只要令r 足够大即可在这种情况下， 1 2 k l ) ( ( n ) l 7 2 k 矿一等峙“托p 1 - c 1 0 山东大学硕士学位论文 据一般猜测， 。m 轰+ n 。叫廊， ) ( ( n ) l ；矿， 社= ，+ li 对模p 的非主特征) ( 成立如果此式成立，则我们能接受的n 只需满足n p l t 对某一e 7 0 成立即可在此条件下， 互静n = l ，卜” i x ( 他) i 场1 + t ， x x o 这将导致一个在平均意义下比p 6 1 y a - v i n o g r a d o v 上界小得多的结果 定理3 的证明由分部求和，我们有 x ( 札) e ( a ) = e ( a u 卢) d ) ( ( 他) n 霉 ，士 z 2 一x 。缸俐2 + i t , x 汗班 q 露l o g x ， ( 3 5 ) ( 3 6 ) x 篆。比躯t 似班，i 雨d t 2 l o g t 恶孙1x 三。怎刖2 + i t , x 斤班 q l 0 9 2 z ( 3 7 ) x r o o dq r o o dq 昏咖卢，卜 x i n oi 山东大学硕士学位论文 定理4 的证明在( 3 5 ) 式中取定t = q 2 z ( 1 + ) ，我们得 厂厂 - 一t - q s q x r o o dg z 百 0 x ( 礼) e ( q ) n ff t ：| 二| q q x m o d 口 托 q q x m o dq 2 魄硒俐2 + i t , x 吖 厶郫t 似l 2 + i t , x ) l 嵩t l 2 + 0 ( ，。翻。 由引理2 3 ，与( 3 6 ) 式及( 3 7 ) 式类似，我们有 以及 从而 磊x 三觚乃似1 2 + i t , , x 凇t 2 蜀 粤q x r o o d 碍 q 2 瑶l o g x ， i l ( 1 2 + i t ，) ( ) 1 2 d t j l t l t o 薹x 三。陋似垆槲 l o g t 趱瓢瓦1 薹x 篆。t 俐2 + i t ：x 汗出 q 2 l 0 9 2 z l ) ( ( 住) e ( 位) 口s q x r o o d 口n z 2 q 2 x t 0l o g x 定理5 的证明由d i r i c h l e t 特征的正交性质i i i ) ，我们有 ) ( ( n ) e ( 口舻) n 而1 x 。三，喜删呼h k ) 三删黼( 脯) 南b ， 丽1 笔， 墨e ( 等) = 1 ， l 。g l 2r l x lr o o d 7 211 2 r jl x lm o d 2 、1 1 2 2 、1 2 岛 n入ef x地 坞 山东大学硕士学位论文 这里用到等式 x l ：n o dr 壹元。( 讹( 等) h = l 2 r 妒p ) 由分部求和，p e r r o n s 求和公式，以及利用引理2 6 及引理2 7 ，与定理3 的证 明类似，我们得到 差如l 厶俐2枷m删雨dtil(2+it,x，x)ldt+x12ltl_t耱饥n l 厶似1 2 枷m x ) f 雨 + 。( 挈c 榔南，) ， 这里正= 4 7 r ( 1 + 扩) 取定t = q r x ( 1 + z 惫) ，我们有 z l o g r 1 + z ( 1 0 9r ) 2 x 瓢东，魄死似1 2 + i t , ，( 1 x 凇t ) 2 x 篆东，魄一蝴棚删l 啬) 2 删魄4 n 8 ， 写) ( 2 = x i x 我们知) ( 2 是模( q ，r 】的一个d i r i c h l e t 特征注意到对固定的x 2r o o d 【q ，r 】，使x 2 = x 1 x 的( x 1 ，x ) 个数将不大于( q ，7 ) ( 记号( q ，r ) 表示最大公因数) 从 而由引理2 3 ， 类似地， x r o o dqx ，i i l o d ，魄i t inxx 1 r 。 ! 1纵l 2 + i t , x ，x 凇t ) 2 ( q ，r ) 【q ，r 】砰l o g x = 妒砰l o g x ， i r l s ti l c ，2 + t t ，x ，i 斋) 2 ( 1 0 9 丁) ( g ，r ) q 7 。l 0 9 2 z l ( 1 2 - 4 - i t ，x ) 1 2 d t r 一 厂，俳 毗 x 1 一r翳 m 醚 山东大学硕士学位论文 最终，我们得到 l1 2 i 小) e ( o t r , k ) i 哪础0 9 2 州l 咿) x m o d q i ，l z l 1 5 参考文献 【1 】a a y y a d ，t c o c h r a n e ，z z h e n g ，t h ec o n g r u e n c ex l x 2 三x 3 x 4 ( r o o dp ) ，t h ee q u a t i o n z l z 2 = x 3 x 4a n dt h em p x t nv a l u eo fc h a r a c t e r8 u t t 8 ，j o u r n a lo fn u m b e rt h e o r y5 9 ( 1 9 9 6 ) 3 9 8 - 4 1 3 2 1d a b u r g e s s o nc h a r a c t e rs u ? t l ya n dl - s e r i e si i , p r o c l o n d o nm a t h s o c ( 3 ) 1 3 ( 1 9 6 3 ) 5 2 4 _ 5 3 6 【3 】d a b u r g e s s ，p a r t i a lg a u s s i a ns u m 8 ，b u l l l o n d o nm a t h s o c 2 0 ( 6 ) ( 1 9 8 8 ) 5 8 9 - 5 9 2 4 1d a b u r g e s s ，m e a nv a l u e so fc h a r a c t e rs u m 8i i i , m a t h e m a t i k a4 2 ( 1 9 9 5 ) ，n o 1 ，1 3 3 - 1 3 6 【5 】m z g a r a e v ，a a k a r a t s u b a ，o nc h a r a c t e r8 u r n 8a n dt h ee x c e p t i o n a ls e t 巧oc o n g r t t e n c ep r o b l e m , j o u r n a lo fn u m b e rt h e o r y1 1 4 ( 2 0 0 5 ) 1 8 2 - 1 9 2 【6 】a a k a r a t s u b a ，b a s i ca n a l y t i cn u m b e rt h e o r y ，s p r i n g e r ，b e r l i n ，h e i d e l b e r g ，n e w y o r k ，1 9 9 3 【7 】e l a n d a u ，e l e m e n t a r yn u m b e rt h e o r y , a m sp r o v i d e n c e ，r h o d e1 8 l a n d ，r e p r i n t e d1 9 9 9 8 】k k n o r t o n ，o nc h a r a c t e rs u m sa n dp o w e rr e s i d u e s ，t r a n s a m e r m a t h s o c 1 6 7 ( 1 9 7 2 ) 2 0 3 - 2 2 6 【9 】9g p b l y a ，b e r 舭v e r t e i l u n gd e rq u a d r a t i s c h er e s t eu n dn i c h t r e s t e ，u b e rd i ev e r t e i l u n g d e rq u a d r a t i s c h er e s t eu n dn i c h t r e s t e ，g 5 t i n g e nn a c h r i c h t e n1 6 7 ( 1 9 1 8 ) 2 1 2 9 【1 0 】i e s h p a r l i n s k i ，b o u n d so fi n c o m p l e t em u l t i p l ek l o o s t e r m a ns u m 8 ，j o u r n a l o fn u m b e r t h e o r y1 2 6 ( 2 0 0 7 ) 6 8 - 7 3 【1 1 】a v s o k o l o v s k i i ，o n 口t h e o r e mo fs a r k o z y ，a c t aa r i t h 4 1 ( 1 9 8 2 ) 2 7 - 3 1 【1 2 】i m v i n o g r a d o v ，o nt h ed i s t r i b u t i o no fr e s i d u e sa n dn o n r e s i d u e sd ，p o w e r s ，j p h y s - m a t h s o c p e r m 1 ( 1 9 1 8 ) 9 4 - 9 6 【1 3 】z h e f e n gx u ，w e n p e n g