（计算机应用技术专业论文）复指数函数newton变换j集与广义mj集.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 分形、混沌和孤子是被誉为非线性科学中最为重要的三个概念，本文以非线性科学 中的分形理论为基础，侧重研究了分形学中具有重要意义的复指数函数n e w t o n 迭代j 集( 简称j 集) 的相关理论和方法、双复数空间中的广义m a n d e l b r o t j u l i a 集( 简称m - j 集) 以及广义j 集的控制和广义m 集( 简称m 集) 的控制等内容。 首先，将k i m 的复指数函数推广为更一般形式，经研究发现，发现当参数 a o 引= 1 ，w = n + b i ，i 叫1 时，一般指数方程具有无穷多个根，且每个根均位于变形 的单位圆周上，仅当b = 0 时，根z ：才关于x 轴对称，一般指数方程的根的吸引域是有 界的，这说明由牛顿迭代法所构造的j 集也是有界的。一般指数方程的根的吸引域有无 穷多个，本文采用实验观察与理论分析相结合的实验数学方法对吸引域的结构与参数口 和w 之间依赖关系的进行了研究，证明了吸引域的嵌套拓扑分布结构。 其次，对双复数广义m - j 集进行了研究，阐述了双复数理论，讨论了构造广义m 。j 集的双复数映射的加法和乘法运算是闭的前提条件，并给出了双复数广义m - j 集的定义 及构造算法。理论研究了双复数广义m 集的连通性，双复数广义t e t r a b r o t 集的性质， 以及双复数广义m 集与其对应的广义j 集的关系。利用计算机所构造的双复数广义m - j 集，研究了广义t e t r a b r o t 集与其对应的广义j 集之间的关系和它们的结构特征，结果发 现：逃逸时间越大，3 d 广义j 集与对应的2 一dj 集越相象；广义t e t r a b r o t 集包含 了对应广义j 集构造的大量信息；广义t e t r a b r o t 集及其截面图均具有轴对称性；逃 逸时间越大，截面图与广义t e t r a b r o t 集越相象。 最后，分别研究了广义j 集和广义m 集的控制理论。通过在复迭代函数 z 。= z ：+ c ( a r ) 上利用一个恰当的数学变换，对广义j 集和广义m 集实现了完整的 放大、缩小、沿x 轴和y 轴方向上的伸缩以及广义j 集和广义m 集的旋转控制，并且控 制的实现并没有改变广义j 集和广义m 集的性质。 关键词：n e w t o n 变换；广义m - j 集；双复数系统；控制 大连理工大学硕士学位论文 js e t so ft h en e w t o nt r a n s f o r mf o rs o l v i n gs o m e c o m p l e x e x p o n e n t i a le q u a t i o na n dt h eg e n e r a l i z e dm - j s e t s a b s t r a c t f r a c t a l c h a o sa n ds o l i t o n a r ec a l l e da st h et h r e ei m p o r t a n tc o n c e p t so ft h en o n l i n e a r t h e o r y b a s e do nt h ef r a c t a lt h e o r yo ft h en o n l i n e a rt h e o r y ，h e r ew el a yap a r t i c u l a re m p h a s i s o nt h es t u d y i n go fj u l i as e t s ( a b b r e v i a t e dt ojs e t s ) o ft h en e w t o nt r a n s f o r mf o rs o l v i n gs o m e c o m p l e xe x p o n e n t i a l ，t h eg e n e r a l i z e dm a n d e l b r o t - j u l i as e t s ( a b b r e v i a t e dt om - js e t s ) f o r b i c o m p l e xn u m b e r s ，t h ec o n t o do fj u l i as e t sa n dt h ec o n t o r lo fm a n d e l b r o ts e t s ( a b b r e v i a t e d t o ms e t s ) a n ds oo i l f i r s t l y , t h i sp a p e re x t e n d sk i m sc o m p l e xe x p o n e n t i a lf u n c t i o n ，a n df i n dt h a tw h e nt h e p a r a m e t e r sa 0 ，l g - j - 1 ，w = a + h i ，i 叫1 ，m eg e n e r a l i z e dc o m p l e xe x p o n e n t i a lf u n c t i o n h a v em a n yr o o t s ，a n dt h er o o t sa r ed i s t r i b u t e do nt h ed i s t o r t i o nc i r c l e w h e n b = 0 ，t h er o o t s a r es y m m e t r yw i t ht h ex - a i x s 1 1 1 ea t t r a c t i o n sb a s i n so ft h eg e n e r a l i z e dc o m p l e xe x p o n e n t i a l f u n c t i o ni sb o n d e d t h i sm e a r l st h a tt h ejs e t sa r eb o l l l l d e d t h eg e n e r a l i z e dc o m p l e x e x p o n e n t i a lf u n c t i o nh a sm a n yr o o t s ，i nt h i sp a p e rp r o v e st h et o p o l o g yd i s t r i b u t i o ns t r u c t u r e o f b a s i n so f a t t r a c t i o n s e c o n d l y ，t h i sp a p e rg i v e sar e s e a r c hi n t ot h eg e n e r a l i z e dm js e t sf o rt h eb i c o m p l e x n u m b e r s ，a n de x p l a i n e dt h et h e o r ya b o u tb i c o m p l e xn u m b e r s ，d i s c u s s e dt h ep r e c o n d i t i o no f t h a ta d d i t i o na n dm u l t i p l i c a t i o na r ec l o s e di nb i c o m p l e xn u m b e rm a p p i n go fc o n s t r u c t i n g g e n e r a l i z e dm a n d e l b r o t j u l i as e t s ，a n dl i s t e do u tt h ed e f i n i t i o na n dc o n s t r u c t i n ga r i t h m e t i co f t h eg e n e r a l i z e dm a n d e l b r o t - j u l i as e t si nb i c o m p l e xn u m b e r ss y s t e m t h e nw es t u d yt h e c o n n e c t e d n e s so ft h eg e n e r a l i z e dm - js e t s ，t h ef e a t u r eo ft h eg e l l e r d i i z e dt e t r a b r o ta n dt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eg e n e r a l i z e dm s e t sa n di t sc o r r e s p o n d i n gg e n e r a l i z e djs e t sf o r b i c o m p l e xn u m b e r si n 也e o r y u s i n gt h eg e n e r a l i z e dm js e t sf o rb i c o m p l e xn u m b e r s c o n s t r u c t e do nc o m p u t e r ，t h ea u t h o rn o to n l ys t u d i e dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eg e n e r a l i z e d t e t r a b r e ts e t sa n di t sc o r r e s p o n d i n gg e n e r a l i z e djs e t s ，b u ta l s os t u d i e dt l l e i rf r a c t a lf b a t u r c ， f i n d i n gt h a t ：a 陌h eb i g g e rt h ev a l u e o ft h ee s c a p et i m ei s t h em o r es i m i l a rt h e3 - d g e n e r a l i z e djs e t sa n di t sc o r r e s p o n d i n g2 - djs e t sa r e ；r h eg e n e r a l i z e dt e t r a b r o ts e t s c o n t a i nag r e a td e a li n f o r m a t i o no fi t sc o r r e s p o n d i n g3 - dg e n e r a l i z e djs e t s ；( i b o t ht h e g e n e r a l i z e dt e t r a b r o ts e t sa n di t sc o r r e s p o n d i n gc r o s ss e c t i o nm a k eaf e a t u r eo fa x i s s y m m e t r y ；r h eb i g g e rt h ev a l u eo f t h ee s c a p et i m ei s t h em o r es i m i l a rt h ec r o s ss e c t i o na n d t h eg e n e r a l i z e dt e t r a b r o ts e t sa r e 复指数函数n e w t o n 变换j 集与广义m - j 集 f i n a l l y ，w er e s e a r c h e dt h ec o n t o f l i n go ft h ej u l i as e ta n dt h em s e t sr e s p e c t i v e l y , a n dw e u s e dap r o p e rm a t h e m a t i ct r a n s f o r mt or e a l i z et h ew h o l em a g n i f i c a t i o na n dm i n i f i c a t i o n ， e x t e n s i o na l o n gt h ex - a x i so ry - a x i sa n dr o t a t i o no f g e n e r a l i z e djs e t sa n dg e n e r a l i z e dm s e t s w h i c ha r eb a s e do nt h ec o m p l e xi t e r a t i o nf u n c t i o n , a n dw et h e r e b yr e a l i z e dt h ec o n t r o lo ft h e g e n e r a l i z e djs e t sa n dt h eg e n e r a l i z e dm s e t sw i t h o u tc h a n g i n gt h ec h a r a c t e r i s t i e so ft h e g e n e r a l i z e djs e t sa n dt h eg e n e r a l i z e dm s e t s k e yw o r d s ：n e w t o nt r a n s f o r m ；g e n e r a l i z e dm js e t s ；b i e o m p l e xn u m b e rs y s t e m ； c o n 仃o i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 躯支薄日期：童t q 阜锄 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名： 整耋盘 导师签名：乏鳘主导师签名： 出堂丑 塑年旦月j 生日 大连理工大学硕士学位论文 引言 科学探索是一个从个别到一般、从简单到复杂，不断深化的过程。随着现代自然科 学探索的不断深入，人们愈加认识到真实的世界无不体现着一个非常重要的特征非 线性。非线性混沌与分形理论的基本思想起源于2 0 世纪初，发生于2 0 世纪6 0 年代后， 发展壮大于2 0 世纪8 0 年代。这一理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统 一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑。而分形、混沌和孤子是被誉为非线性科 学中最为重要的三个概念。 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支，被认为是研究非线性复杂问题 最好的一种语言和工具，它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则 的几何形体，它的数学基础是分形几何。自1 9 7 5 年以来，分形理论无论是在数学基础 还是在应用方面都有快速发展。由于分形几何极强的应用性，它在物理的相变理论，材 料的结构与控制，力学中的断裂与破坏，高分子链的聚合，模式识别，自然图形的模拟， 酶的生长等领域取得令人瞩目的成功。另一方面，由于应用学科和计算机制图的刺激与 推动，分形的数学理论也得以迅速发展，并且目的更明确，思想更深入。近年来，在维 数的估计与算法，分形集的生成结构，分形的随机理论，动力系统的吸引子理论与分形 的局部结构己获得较深入的结果，其势方兴未艾。 相对于经典数学、物理学等学科来讲，分形学是一门从正式提出到现在只有二十多 年历史的年轻学科。分形理论是描述具有无规结构的复杂系统结构形态的一门新兴边缘 科学。在过去2 0 多年中，分形理论已成功地应用于许多不同学科的研究领域，并对一 些久悬未解的难题的研究取得突破性进展。今天，分形己被认为是研究非线性复杂问题 最好的一种语言和工具，成为世人瞩目的学术热点。 分形来源于数学，分形中很多急待解决的问题，追根朔源，本质上仍回归到数学问 题的解决。因此，分形几何学面临着巨大的难题和严峻的挑战。自上八十年代以来，随 着分形的发展，分形自身的一些基本问题，诸如：维数理论与简单有效的计算算法、m 集的局部连通性问题、多重分形的数学理论、分形几何的形的刻画等已十分尖锐地摆在 人们的面前，这些问题已直接影响到分形的实质性的、深入的研究。所以，这些基本问 题将是分形理论研究的焦点。为此，本文重点研究了复指数函数n e w t o n 变换的j 集、 双复数广义m j 集的分形结构、广义j 集的控制和广义m 集的控制等理论。 混沌是非线性领域的另一重要组成部分，它与分形总有着千丝万缕的联系。混沌是 物理科学和数学科学两栖的边缘科学。它讨论系统对初值的敏感依赖性、拓扑传递性与 混合性、周期点的稠密性、随机性和遍历性、正的l y a p u n o v 指数、分维数和奇怪吸弓l 复指数函数n e w t o n 变换j 集与广义m - j 集 子等。同时，混沌在许多领域得到或开始得到广泛应用，如声学、光学、湍流、化学反 应中的混沌变化、地震的混沌特性、天气长期预报的“蝴蝶效应”、商业周期中蕴涵着 有序性、股市细微分散的交易和大规模变动情况之间的重要关系等。 全文共分五章。第一章介绍了分形理论的发展史、分形学研究的主要内容等和本文 研究的主题。第二章介绍了复指数函数n e w t o n 变换的j 集理论，将k i m 的复指数函数 推广为更一般形式，阐述了一般指数方程所对应n e w t o n 变换的j 集的理论，分析了一 类复指数方程解的特性，理论证明了j 集的对称性、有界性以及吸引域的嵌套拓扑分布 结构。第三章介绍了双复数m - j 集的理论阐述了双复数理论，讨论了构造广义广义m - j 集的双复数映射的加法和乘法运算是闭的前提条件，并给出了双复数广义m - j 集的定义 及构造算法。理论研究了双复数广义m 集的连通性，双复数广义t e t r a b r o t 集的性质， 以及双复数广义m 集与其对应的广义j 集的关系。第四章分析了广义j 集的控制理论， 并在复迭代函数上利用一个恰当的数学变换实现了对j 集完整的放大和缩小，沿x 轴和 y 轴方向上的伸缩以及广义j 集的旋转，并且所有的这些变换都是在不改变广义j 集性 质的情况下完成的。第五章是在第四章的基础上对另一种典型的分形集广义m 集 的控制理论的研究，本章的研究进一步丰富了广义m - j 集的控制理论，从而完成了对广 义m o 集的研究由绘制到控制的理论上的转变，极大地丰富了分形理论。最后是全文的 总结。 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 1 分形和混沌理论概述 科学探索是一个从个别到一般、从简单到复杂，不断深化的过程。随着现代自然科 学探索的不断深入，人们愈加认识到真实的世界无不体现着一个非常重要的特征啡 线性。非线性混沌与分形理论的基本思想起源于2 0 世纪初，发生于2 0 世纪6 0 年代后， 发展壮大于2 0 世纪8 0 年代。这一理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统 一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑。而分形、混沌和孤子是被誉为非线性科 学中最为重要的三个概念【l 】。 1 1 研究背景及意义 自然界大部分不是有序的、稳定的、平衡的和确定性的，而是处于无序的、不稳定 的、非平衡的和随机的状态之中，它存在着无数的非线性不可逆转的现象，人们对这些 现象所知甚少，有许多阻题甚至束手无策。另外，有些自然科学上作者，习惯于对复杂 的研究对象进行简化和抽象，建立起各种理想的模型( 绝大多数是线性模型) ，把问题纳 入可以解决的范畴，应该指出的是，这种线性的近似方法在许多学科中得到了广泛应用， 但是在复杂的动力学系统中，简单的线性近似方法不可能认识与非线性有关的特性。如 流体中的湍流，对流等。虽然从数学上，这种近似方法也可能对一些非线性系统列出微 分方程( 组) 来加以定量描述，但是除了极个别的例子可以在某一特定条件下，求出其 特解以外，大多至今都解不出来。对于复杂一些的非线性系统和过程，则连微分方程( 组) 也列不出来。而分形则是自接从非线性复杂系统的本身入手，从未经简化和抽象的研究 对象本身去认识其内在的规律性。从基于解决非线性问题入手，分形理论也得到了发展。 需要指出的是，应用分形理论来研究非线性科学中的各种课题，丝毫也不贬低线性 近似处理方法的重要性，因为在一定的范围之内，应用线性近似处理方法可以迅速得到 有效的结果。但是对远离平衡的非线性复杂系统( 过程) 来说，就只能用分形理论来进行 研究，正如对低速运动的物体，用牛顿三大定律来处理完全正确；而对微观世界中粒子 的高速运动，就只能用量子力学和相对论来加以描述。 分形理论诞生后，人们意识到应该把它作为工具，从新的角度来进一步了解自然界 和社会。分形涉及的领域极为广泛，在数学、物理、化学、材料科学、医学与生物、地 质与地理学、地震和天文学、力学、计算机科学乃至经济、社会、艺术等领域都有重要 的应用价值。 分形具有两个重要特征在于自相似性或自仿射性与标度不变性，具有严格自相似性 的形体称为有规分形，而只是在统计意义下的自相似性的分形则称为无规分形。分形是 一3 一 复指数函数n e w t o n 变换j 集与广义m - j 集 非线性系统中通过自组织形成的时空有序结构。分形与混沌关系密不可分，而它们的含 义各不相同，要阐明它们关系的区别是十分困难的，人们常把它们放在一起加以解释。 分形几何学的主要内容可以分为两部分：线性分形与非线性分形。线性分形理论的基本 观点是维数的变化是连续的，研究对象具有自相似性和非规贝性。线性分形又称为自相 似分形，它研究的所有方向上以同一比率收缩或扩展一个几何图形的线性变换群下的图 形的性质，在一定范围内，由一个分形维数就可以加以描述。线性分形又可分为有规分 形和无规分形两类。非线性分形研究在非均匀线性变换群或非线性变换群下的图形的性 质。它可以分为三类：自仿射分形( 非均匀线性变换群) ，自反演分形( 非线性变换群) 和 自平方分形( 非线性变换群) 。另外，按数学性质，分形尚可以分为线分形、面分形与体 分形。 分形几何学能为自然界中存在的各种景物提供逼真的描述。这些景物形态复杂、不 规则，而且显得十分的粗糙，使得采用传统的几何工具进行描述遇到了极大的困难，而 分形模型却能很好地描述自然景物，因为自然界中的许多实际景物本身大体上就是分 形，或者反过来说，按照分形几何方法构造的形体非常像许多自然景物。随着计算机在 图像处理方面的技术的成熟，用计算机生成分形图形，使人们能获得外观新颖奇特、内 容丰富多彩的平面图形。自从1 9 8 0 年m a n d e l b r o t 在计算机上绘出了m 集的第一张图形 以来，人们对这一领域表现出了极大的关注，这是一种全新的图形设计的构思来源和方 法，具有广阔的应用前景。 1 2 分形理论概述 2 1 分形理论的产生和发展 “分形”这个名词是由美国m m ( i n t e r n a t i o n a l b u s i n e s s m a c h i n e ) 公司研究中心物理 部研究员暨哈佛大学数学系教授m a n d e l b r o t 在1 9 7 5 年首次提出的，其原义是“不规则 的、分数的、支离破碎的”物体，但最早的工作可追朔到1 8 7 5 年，德国数学家w e i e r e s t r a s s 构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人c a n t o r 构造了有许多奇异性质的三 分康托集。1 8 9 0 年，意大利数学家p e a n o 构造了填充空间的曲线。1 9 0 4 年，瑞典数学 家k o c h 设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1 9 1 5 年，波兰数学家s i e r p i n s k i 设计 了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分形与拓扑学中的问题而提出的反 例，但它们正是分形几何思想的源泉。1 9 1 0 年，德国数学家h a u s d o r f f 开始了奇异集合 性质与量的研究，提出分数维概念。1 9 3 4 年，b e s i e o v i t c h 更深刻地提示了h a u s d o r f f 测 度的性质和奇异集的分数维，他在h a u s d o r f f 测度及其几何的研究领域中做出了主要贡 献，从而产生了h a u s d o r f f - b e s i e o v i t c h 维数概念。 大连理工大学硕士学位论文 而1 9 6 0 年，m a n d e i b r o t 在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间 的对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托 集排列在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中 很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可 由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维 数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。1 9 7 7 年，他出版了第一本著作 分形：形态，偶然性和维数【2 l ，标志着分形理论的正式诞生。五年后，他出版了著 名的专著自然界的分形几何学 3 1 ，至此，分形理论初步形成。 总之，对于分形及其理论的发展大致可以分为三个阶段【4 】： 第一阶段为1 8 7 5 年至1 9 2 5 年，在此阶段，人们己经提出了典型的分形对象及其相 关问题，并为讨论这些问题提供了最基本的工具。， 第二阶段大致为1 9 2 6 年到1 9 7 5 年，在这半个世纪里，人们实际上对分形集的性质 做了深入的研究，特别是维数理论的研究已获得了丰富的成果。可以说第二阶段更为系 统、深入的研究深化了第一阶段的思想，不仅逐渐形成理论，而且将研究范围扩大到数 学的许多分支中。 第三阶段为1 9 7 5 年至今，是分形几何在各领域的应用取得全面发展，并形成独立 学科的阶段。分形几何受到各国学者的进一步重视和公认，国际学术界出现一股分形热 的学术空气，纷纷对分形概念作各种各样的研究和分析，特别是分形理论的研究，使一 些原己死寂一般的老的学科方向焕发了新的生机。到目前为止，分形的数学理论还没有 形成公理化结构的理论体系，是不完备的。但是分形理论与思想所赋予入们新鲜的、创 造性的理论思维是丰富多彩的，是无限的创新源泉，它使人们对原有的微积分理论要做 出根本性的改变，因为分形的应用急需“分数阶的微积分理论”的诞生。有人预测2 l 世纪初将出现类似于爱因斯坦广义相对论那样数学物理学的革命。目前如何建立“分数 阶微积分理论”不仅仅是分形数学、分形物理学的需要，而且是当代自然科学前沿课题 的理论要求。 目前，分形是非线性科学中的一个前沿课题。在不同的文献中，分形被赋予不同的 名称，如“分数维集合”，“h a i l s d o r f r 测度集合”，“s 集合”，。非规整集合”以及 “具有精细细构集合”等。一般地可把分形看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度 的图形和构造以及现象的总称，由于在许多学科中的迅速发展，分形己成为一门描述自 然界中许多不规则事物及现象的规律性的学科。 一5 一 复指数函数n e w t o n 变换j 集与广义m - j 集 1 2 2 分形的定义 分形是最近提出的一门学科，其定义还不是很明确的。m a n d e l b r o t 曾指出，h a u s d o r f f b c s i c o v i t e h 维数严格大于拓扑维数的集合称为分形。但这仅是试验性的定义，很不严格， 也无可操作性。分形概念还没有一个确切的定义，这跟“生命”一词一样很难下确切的 定义。但分形概念的实质是指被那些传统的物理学和几何学排除在外的不规则形体在标 度变换下的自相似性。粗略地说，分形是对没有特征长度( 所谓特征长度，是指所考虑 的集合对象所包含有的各种长度的代表者，例如一个球，可用它的半径作为它的特征长 度) ，但具有一定意义下豹自相似图形和结构的总称。 1 9 8 6 年m a n d e l b r o t 给出了分形的一个实用型定义： 定义1 1 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。 但这个定义也不够精确和全面。英国数学家f a l c o n e r 认为，分形的定义应该以生物 学家给出“生命”定义的类似方法给出，即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分 形的特性。一般地，称集f 是分形，即认为它具有下述典型的性质： ( 1 ) f 具有精细的结构，即有任意小比例的细节。 ( 2 ) f 是不规则的，以至于不能用传统的几何语言来描述。 ( 3 ) f 通常有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的。 ( 4 ) f 在某种方式下定义的“分形维数”通常大于它的拓扑维数。 ( 5 ) 在大多数的情况下，f 可以以非常简单的方式来定义，可能由迭代产生。 1 2 3 构造分形图的逃逸时间算法 动力系统是确定性分形的源泉，通过研究动力系统的轨道，一方面可以认识更多的 分形；另一方面可以了解构造分形图的理论根据。下面给出动力系统的定义。 定义1 2 度量空间( ) ( ，p ) 上的动力系统是一个变换f ：x - a t x ，记为 2 的多项式厂( 力= 口o + q z + a n z 。记为函数的七重复 合，广= ，0 * 0 0 f ，f ( 回为国的第k 次迭代，( ，( ( ，( 动) ) ) ，如果，( 功= 口，国就称 为，的不动点，如采存在大于1 的整数p ，使厂，( 叻= ，则称是，的周期点，使 ，( c o ) = f o 的最小正整数p 称为的周期，而称 吐八功f ( 功) 为周期p 的轨道。设( - 0 是周期为p 的周期点，且u ，) ( 奶= 五，其中“”表示复变微商，点脚称为： ( 1 ) 超吸引的，如果名= 0 ； ( 2 ) 吸引的，如果o t i l 。 一1 一 复指数函数n e w t o n 变换j 集与广义m 4 集 定义1 3 设厂：e e 是阶数大于l 的多项式，只表示c 中那些轨道不趋于无穷点 的点的集合，即 哆= z e c ： i s ( z ) i ) 二是有界的 ， 称此集为相应于，的充满的j 集，f ，的边界称为多项式厂的j 集，记为j ，即 j f i 蕊f 定理1 2j 集j ，为多项式，的斥性周期点的闭包，它是不含孤立点的不可数紧子集， 如果二j r ，则j ，是u ，。o ) 的闭包。j 集是厂的包含无穷远点在内的每一吸引不动点 k f f i l 的吸引域的边界，而且，在j ，上的作用是混沌的。 l ，2 5m 集 二次函数正( z ) = ：2 + c ，对应每个c = c l + 奶e c ，e ( z ) ) 是依赖于两个参数的动 力系统。参数( c l ，c 2 ) 的全部可能取值称为参数空间。 定义1 4 相应于动力系统 e ，f a z ) = z 2 + c ) 的m 集是 m = c p ，也是连通的) 。 由定义1 4 可见，m 集看来似乎与 的一个相当特殊的性质有关。事实上，m 集包 含了关于j 集构造的无穷信息。但定义1 4 不适合计算、应用的目的。从下面的定理中， 导出m 集的一个方便的等价定义。 定理1 3 相应于一族动力系统 e ，正( z ) = ，+ c ( c e 0 的j 集是连通的，当且仅当 m = c e c ：当玎趋向于无穷时，i ( o ) i 不趋向于无穷) a 这个m 集的等价定义，是用逃逸时间算法绘制m 集的计算机图像的理论基础。 m 集有非常复杂的结构。它有某些明显特征：一个主要的心形图与一系列圆盘形的 “芽苞”突起连接在一起。每一个芽苞又被更细小的芽苞所环绕，依此类推。然而，这 并不是全部，还有精细的。发状”分支丛芽苞向外长出，这些细发在它的每一段上都带 有与整个m 集相似的微型样本。计算机制图中容易遗漏掉这些细发，然而精细的图形 说明m 集为连通集，并且在数学上已由康奈尔大学的h u b b a r d 和巴黎高等师范的d o u a d y 给予了证明嘲。 一8 一 大连理工大学硕士学位论文 1 3 分形学的主要应用领域 分形理论诞生后，人们意识到应该把它作为工具，从新的角度来进一步了解自然界 和社会。分形涉及的领域极为广泛，在数学、物理、化学、材料科学、医学与生物、地 质与地理学、地震和天文学、力学、计算机科学乃至经济、社会、艺术等领域都有重要 的应用价值分形几何的应用研究比理论研究更为引人注目，很难再有另外一门学科能 在这么短的时间内渗透到如此多的学科中并产生重要的影响。 一般来说，分形学的主要研究和应用领域包含以下几个方面： ( 1 ) 分形在研究自然界灾害现象中的作用 在分形理论产生之后，通过研究者的不懈努力，己经发现大量的自然界灾害( 地震、 旱涝灾害、火山喷发、滑坡、泥石流、灾害性海潮) 现象，都具有分形特性。虽然口前 对许多自然灾害的发生机制仍不是很清楚，但是借助于分形理论发现的自然灾害中的大 量奇异分形现象，己经加深了人们对自然灾害发生机理的认识，而且在一定程度上为人 们预测预防自然界灾害的梦想插上了现实的翅膀。可以预见在不远的将来，它必能为深 入认识自然灾害的发生规律产生深远的影响和巨大的作用。 ( 2 ) 在图像、数据压缩方面的研究 分形理论在图像、数据压缩技术中发挥了重要作用。c o l l a g e ( 1 9 8 8 ) ，b a r n s l e y ( 1 9 9 3 ) 等应用迭代函数系统编码在分形信息压缩方面做了有益的尝试。8 0 年代末，美国数学家 b a m s l e y 提出了一种利用图像本身的复杂性中包含的自相似性进行压缩编码的新方法。 b a m s l e y 和s l o a n 在一篇文章中令人惊讶地宣称，利用他们的方法对静止图像压缩可获 得高达1 0 ，0 0 0 ：1 的压缩比。这当然在从事图像压缩的人群中引起了极大的震动。 ( 3 ) 分形在复杂性刻画方面的应用 分形几何作为非线性科学的一个重要分支，从一开始就与刻画非线性复杂性紧密相 连近年来，多标度分形、随机分形的研究方兴未艾。国内外学者在利用分形模型进行 复杂性刻画方面的成功例子比比皆是，在此不再赘述。 ( 4 ) 分形在计算机图形学中的应用 作为“t h e f r a c t a l g e o m e t r y o f n a t u r e ”，分形几何在描述自然界的真实特征和细节 纹理方面具有特殊的作用。因此，分形技术是计算机真实感几何造型方面十分活跃并且 有效的方法和手段。而计算机的应用也大大地推动了分形理论的发展，并形成了一种新 的研究领域：计算机实验数学。p e i t g e n ( 1 9 8 8 ) ，p r i t c h a r d ( 1 9 9 2 ) ，l a p l a n t e ( 1 9 9 3 ) 等在计 算机模拟分形方面做了大量工作，形成一系列有效算法；d e a n g e l i s ( 1 9 9 3 ) 将其应用到生 命科学中；我国许多学者也做出了不少有益的工作目前，国外已经推出多种不同的以 一9 一 复指数函数n e w t o n 变换j 集与广义m - j 集 分形技术为特征的计算机绘图软件，而且，在许多产品设计中也用到了分形的思想和方 法。混沌分形理论在信息压缩、传送及自然景观的模拟中发挥了重要作用。 ( 5 ) 分形生长模型 ， 分形方法提供了一种描述自然界各种生长现象的新的模型。著名的d l a 模型和l _ 系统模型在模拟无机生长现象和植物生长形态描述方面取得了令人鼓舞的成功，各种新 的模型和方法也正在不断发展之中。 ( 6 ) 分形在社会科学中的应用 近年来，分形在社会科学中的研究也已经取得了很大的发展。分形作为一种工具和 其它非线性方法一道被用来刻画社会、经济领域中的各种复杂性现象，取得了一系列新 的进展。“分形认识论”和“分形方法论”的正在逐步形成自己的哲学体系。 1 4 分形与混沌的关系 m a n d e l b r o t 研究发现，分形经常显示出无规则的表征，但是这决不意味着其绝对无 规则，分形具有“自相似”的特征，即取分形图形的任一部分进行适当放大，便仍可得 到与原来整个图形相似的图形。 所谓“混沌”，英文原文为c h a o s ，无论是中文还是英文，其本意都是“混沌无序” 的意思，但是其描述的对象却具有无穷自相似结构，也是具有无规则的表征而实际上具 有无穷自相似的嵌套结构。这样，“分形”和“混沌”的研究便走向了汇合，我们可以 看到这样一个事实，在题为“混沌”的书中有“分形”的章节，而在题为“分形”的书 中又有“混沌”的章节。“分形”与“混沌”这两个从不同角度发展起来的理论走向的 汇合点就是“自相似”。 非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物、“正常”现象的认识转向对“反 常”事物、“反常”现象的探索。孤波不是周期性振荡的规则传播：“多媒体”技术对 信息存储、压缩、船舶、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非 常规”的新方法：混沌打破了确定性方程山初始条件严格确定系统未来运动的“常规”出 现所谓各种“奇异吸引子”现象等。 混沌来自于非线性动力系统，而动力系统描述任意随时间发展变化的过程。这样的 系统产生于生活的各个方面。动力系统的研究目的是预测“过程”的最终发展结果。这 就是说：如果完全知道在时间序列中一个过程的过去历史，能否预测它未来怎样? 尤其 能否预测该系统的长期或渐进的特性? 然而，即使是仅有一个变量的最简单的动力系统 也会具有难以预测的基本上是随机的特性。动力系统中的一点或一个数的连续迭代产生 的序列称为轨道。如果初始条件的微小改变使其相应的轨道在一定的迭代次数之内也只 大连理工大学硕士学位论文 有微小改变，则动力系统是稳定的，此时，任意接近于给定初值的轨道可能与原轨道相 差甚远，是不可预测的。因此，弄清给定动力系统中轨道不稳定的点的集合是极其重要 的。所有其轨道不稳定的点构成的集合是这个动力系统的混沌集合，并且动力系统中参 数的微小改变可以引起混沌集合结构的急剧变化。这种研究是极其复杂的，但是引入了 计算机就可以形象地看到这种混沌集合的结构，看清它是一个简单集合还是个复杂集 合，以及随着动力系统本身的变化它是如何变化的。分形正是从此处进入混沌动力系统 研究的。 混淹学研究的是无序的有序，许多现象即使遵循严格的确定性规则，但大体土仍是 无法预测的，比如大气中的湍流，人的心脏的跳动等等。混沌事件在不同的时间标度下 表现出相似的变化模式，这与分形在空间标度下表现的相似性十分相像。混沌主要讨论 非线性动力系统的不稳定的发散的过程，但系统在相空间总是收敛于一定的吸引子，这 与分形的生成过程十分相像。混沌主要讨论在于研究过程的行为特征，则分形更注重于 吸引子本身结构的研究。同时混沌学与分形很大程度上依赖于计算机的进步，这对纯数 学的传统观念提出了挑战，计算机技术不仅使这两个领域中的一些最新发现成为可能， 同时因其图形自观的表现形式也极大地激发了科学家与公众的兴趣与认识，起到了推广 作用。分形与混沌的一致性并非偶然，在混沌集合的计算机图像中，常常是轨道不稳定 的点集形成了分形。所以这些分形由一个确切的规则( 对应一个动力系统) 给出：它们是 一个动力系统的混沌集，是各种各样的奇异吸引子。因此，分形图像的美丽就是混沌集 合的美丽，对分形图像的研究就是对混沌动力学研究的一部分。 1 5 国内外研究动态及发展趋势 分形理论是近一、二十年才发展起来的一门新的理论，因而目前仍处于发展之中， 自然学领域( 如物理、化学、地球物理学几生物学等) 中的分形学术论文不断增加，社会 科学领域涉及分形的论文和书籍也越来越多了。有关分形的国际会议及各种专题讨论会 有增无减。国际学术刊物( c h a o s s o l i t o n s & f r a c t a l s 和( f r a c t a l s - a ni n t e r d i s c i p l i n a r y j o u r n a lo i lt h ec o m p l e xg e o m e t r yo f n a t u r e 先后也正式创。但是，这些年来关于分形理 论的争论也很多。特别是1 9 8 8 年以来，m a n d e l b r o t 与k r a n t z 一自在为分形的价值而争 论不休。k r a n t z 认为，“对分形一词没有明确的定义，作为一个数学家，我觉得这不是 一个好兆头”。而m a n d e l b r o t 则认为，分形工作是充满想象力、具有挑战性的，这方面 的研究加深了我们对自然的理解。“如果我只是证明了少数几个定理的话，那么用这些 定理很难发现现在还没有创立的或潜在的研究领域”，“我的一个定理回答了自从 p o i n c a r e 定义了克莱因群的极限集后一自处于未解决状态的一个问题” 复指数函数n e w t o n 变换j 集与广义m - j 集 k r a n t z 提出的问题是值得我们认真思考的。下列问题是国内外研究分形理论的发展 方向和趋判6 7 1 ： ( 1 ) 如何判断一个对象是分形或多重分形 m a n d e l b r o t 在1 9 8 2 年指出，h a u s d o r f f - b e 墨i c o v i t c h 维数严格大于其拓扑维数的集合 称为分形。但这仅是试验性定义，很不严格，也无可操作性。1 9 8 6 年，他修改了这个尝 试性定义，提出“其组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。”总之，他自己也 认为，目前仍然没有关于分