（机械设计及理论专业论文）基于hartley变换的动力学系统参数模型直接辨识.pdf

摘要 连续动力学系统参数模型是描述系统动力学特性的最佳方法。连续 参数模型有间接辨识和直接辨识两种方法，间接辨识法存在许多原理和 技术上的缺陷，而直接辨识法直接以连续模型参数为被估计对象，可从 根本上避免间接法的诸多弊端。本文用h a r t l e y 变换实现了连续动力学系 统参数模型的直接辨识，主要进行了以下几个方面的研究： ( 1 ) 借助于h a r t l e y 变换及其性质，在频域对信号进行去噪的基础上， 获得了信号及其微分的时域估计值，建立了线性和非线性连续动力学系 统参数模通过型直接估计的正交递推最小二乘法，仿真辨识了二阶、四 阶的线性连续动力学系统和两类非线性连续动力学系统，研究了辨识参 数对辨识精度的影响。 ( 2 ) 分析了h a r t l e y 调制函数的性质，建立了基于h a r t l e y 调制函数 的线性和非线性连续动力学系统的参数模型，设计了连续模型参数估计 的加权最小二乘法，用仿真算例研究了调制函数参数对辨识精度的影响， 给出了辨识时调制函数参数的选择原则。 ( 3 ) 用论文研究理论成果辨识了冷压平整机h a g c 压力闭环系统的 2 2 、1 2 阶的动态参数模型，并分别将所辨识的参数模型频谱曲线与相 关辨识实测曲线进行比较，辨识结果验证了论文理论研究成果的正确性 和可行性。 与离散模型辨识的研究成果相比，连续系统参数模型直接辨识的研 究远远没有受到应用的重视，国内研究几乎是空白。本论文利用h a r t l e y 变换及其调制函数的性质，分别在时域和频域研究了连续模型直接辨识 算法，并应用于大型工业装备的状态辨识，丰富了系统辨识领域的研究 成果。 关键词：系统辨识；h a r t l e y 变换；连续动力学系统；参数模型 a b s t r a c t p a r a m e t e rm o d e lo fc o n t i n u o u s t i m ei st h eb e s tm e t h o do fd e s c r i b i n g d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so fs y s t e m a tp r e s e n tt h e r ea r et w om e t h o d sw h i c h c a nb eu s e dt oi d e n t i f yc o n t i n u o u sd y n a m i cs y s t e m - - i n d i r e c tm e t h o da n d d i r e c tm e t h o d i n d i r e c tm e t h o dh a sm a n yl i m i t a t i o n si n p r i n c i p l ea n d t e c h n i q u e ，b u td i r e c tm e t h o dd o e sn o th a v es u c hb u g sb e c a u s ei tg e t st h e p a r a m e t e re s t i m a t i o nd i r e c t l y f r o mp a r a m e t e rm o d e lo fe o n t i n u o u s t i m e s y s t e m t h e r e f o r e ，d i r e c tm e t h o dc a nb er i d o fm a n ya b u s e sb yt h er o o t i n t h ep a p e r ，t h ep a r a m e t e rm o d e lo fc o n t i n u o u s t i m es y s t e mi si d e n t i f i e d d i r e c t l yu s i n gh a r t l e yt r a n s f o r m a t i o n ，a n dt h et h e s i sh a sc h i e f l yc a r r i e do n r e s e a r c ho ft h ef o l l o w i n gs e v e r a la s p e c t s ： ( 1 ) b a s e do nh a r t l e yt r a n s f o r m a t i o na n di t sp r o p e r t y ，t h ep a r a m e t e r m o d e l so fl i n e a ra n dn o n l i n e a rc o n t i n u o u sd y n a m i cs y s t e ma r ef o r m u l a t e d t w ol i n e a rm o d e l sw i t h1 2a n d1 4a n dt w ok i n d so fn o n l i n e a rs y s t e m m o d e la r ee s t i m a t e d a tl a s tt h ei n f l u e n c eo fp a r a m e t e r so ne s t i m a t i o n p r e c i s i o ni si n v e s t i g a t e dw i t hs i m u l a t i o ne x a m p l e s ( 2 ) h a r t l e ym o d u l a t i o nf u n c t i o np r o p e r t yi si n t r o d u c e d u s i n gh a r t l e y m o d u l a t i o nf u n c t i o n ，t h e p a r a m e t e r m o d e l so fl i n e a ra n dn o n l i n e a r c o n t i n u o u sd y n a m i cs y s t e ma r ef o r m u l a t e da n dt h ew e i g h t e dl e a s ts q u a r ei s d e s i g n e df o rt h ep a r a m e t e re s t i m a t i o no fc o n t i n u o u ss y s t e m ，a n ds o m et i p s a b o u td e s i g no fp a r a m e t e ro fh a r t l e ym o d u l a t i o nf u n c t i o na r eo u t l i n e d ( 3 ) t h ed y n a m i c a lp a r a m e t e rm o d e lh a g cw i t h 2 2a n d1 2a r e e s t i m a t e dw i t ht h em e t h o d sp r o p o s e di nt h ep a p e r t oc h e c kt h ea c c u r a c yo f i d e n t i f i c a t i o n t h ef r e q u e n c yr e s p o n s ec u r v e so fe s t i m a t e dp a r a m e t e rm o d e l a r e c o m p a r e d w i t hm e a s u r e dc u r v e so fc o r r e l a t i v ei d e n t i f i c a t i o n i t i n d i c a t e st h a tt h em e t h o d sp r o p o s e di nt h ep a p e ra r ea c c u r a t ea n dp r a c t i c a l c o m p a r e dt ot h er e s u l t so fd i s c r e t et i m em o d e li d e n t i f i c a t i o n ，t h ed i r e c t i d e n t i f i c a t i o no fc o n t i n u o u st i m es y s t e mh a sn o ta t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o n ， f e wo f p e o p l ew o r k a ti t b a s e do n h a r t l e y t r a n s f o r m a t i o na n di t s m o d u l a t i o nf u n c t i o np r o p e r t y ，d i r e c ti d e n t i f i c a t i o nm e t h o do fc o n t i n u o u s p a r a m e t e rm o d e la r ec a r r i e do u ti n t i m ed o m a i na n df r e q u e n c yd o m a i n ， w h i c ha r ea p p l i e dt oal a r g e s e a l ei n d u s t r ye q u i p m e n t t h er e s u l t so ft h e 1 i t h e s i se n r i c ht h ea c h i e v e m e n t so fs y s t e mi d e n t i f i c a t i o n k e y w o r d s ：s y s t e mi d e n t i f i c a t i o n ：h a r t l e yt r a n s f o r m a t i o n ； c o n t i n u o u s d y n a m i cs y s t e m ；p a r a m e t e rm o d e l 1 1 1 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：币渤 日期：2 0 0 6 年0 5 月0 8 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密囹。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：礴、慈易 日期：2 0 0 6 年0 5 月0 8 日 导师签名：碳物日期2 0 。6 年。5 月。州， 1 1 研究背景 第一章绪论弟一早三百下匕 板带材轧制机组、汽轮发电机组、大型风机、大中型水利枢纽中的 升船机等大型工业设备，是集机电液热等多种能量形式耦合作用的复杂 系统，这类系统的动力学失配常导致系统功能异常，如某钢铁集团巨资 引进的高速轧机由于持续性振动使得板带材表明产生明暗条纹，无法生 产高质量汽车板【1 】；8 0 年代末期，某电厂2 0 万k w 的汽轮发电机组因振 动导致严重的断轴事故。 动力学建模是这类系统进行动态特性分析、动态设计、工况监测与 预报、故障诊断的关键问题。由于涉及因素众多，单纯的理论分析很难 建立反映这类复杂系统真实物理特性的动力学模型，在线试验辨识则成 为一种行之有效的手段。 反映系统真实动力学特性，并提供人们对系统运行机理认识的模型 大多是用一组( 偏) 微分方程描述的时间连续的物理模型。这些方程的的系 数均有明确的物理含义，对这些系数或由这些系数表征的参数进行估计 可用于系统工作状态的监控，如故障诊断、平衡点预测、极限环的判断 等。在基于模型的预测估计控制中，也需要实时准确获取连续系统模型 参数。因此，连续系统模型对工程技术人员更具吸引力。连续系统建模 的另一个动因是，计算机技术的廉价和功能的日益强化，现代测试设备 已为现代工业装备获取数据提供了诸多方法和技术，连续模型的辨识问 题越来越受到人们的重视1 2 , 3 1 。 目前，大多数模型辨识问题均是针对离散系统的参数估计，已发展 了完整的理论体系和方法1 4 l 。然而，离散差分模型中的模型系数只具有 数学上的含义，不能像连续系统微分方程描述中的模型系数一样提供物 理上的解释因此，连续时间参数模型的辨识问题具有更重要的理论和 工程实用价值。 连续系统参数模型的辨识有两种方法，一种是间接法，它首先是离 散模型的辨识，在得到离散模型后，选用适当的j 域和= 域间的变换方式 将离散模型变换为连续模型。因离散模型辨识已有丰富的研究成果，这 类方法得到较广泛的应用。这类方法的基本出发点是将系统输入输出信 号看作离散序列，用来处理连续系统模型辨识问题，无法避免因信息丢 失导致的原理上的误差，并存在多方面的缺陷【2 j 】：( 1 ) 在连续模型中不出 现的数值敏感问题，在离散模型中将有可能出现，且基于这种模型的控 制器设计对模型系数的误差极为敏感，使得控制信号的数值计算高度病 态；( 2 ) 连续模型能够体现系统先验知识，但在离散化后将完全消失。( 3 ) 连续模型能够保持非最小相位特性，而当系统存在时间延迟环节，且延 迟时间常数不是采样周期整数倍时。离散模型可能会获得不良的非最小 相位特性：( 4 ) 对于线性系统，连续模型能够反映传递函数模型分子和分 母的相对阶次信息，而离散模型则无法反映；( 5 ) 将离散模型转换为连续 模型需经复杂运算，存在技术上的困难，对于非线性模型则无法转换；( 6 ) 离散模型受离散采样频率影响大，甚至会改变系统的稳定性，导致所得 到的连续参数模型严重失真。 另一种是直接辨识法，它是直接对系统的微分方程或传递函数进行 辨识。处理对象是系统的连续输入输出信号，从根本上避免离散间接法 所带来的原理和技术上的缺陷。然而，与离散模型辨识的研究成果相比， 连续系统参数模型直接辨识的研究远没有受到应有的重视【2 j 】，国内研究 几乎是空白。 因此，本论文研究连续动力学系统参数模型的直接辨识理论与方法， 以期为系统动态特性辨识提供一种新的实用手段。 1 2 连续参数模型辨识研究现状 辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确 定一个与所测系统等价的模型。辨识在工业上有着广泛的应用领域，主 要体现在如下几个方面；用于控制系统的设计与分析。利用辨识方法 获得被控过程的数学模型之后，以此模型为基础可设计出比较合理的控 制系统，或用于分析原有控制系统的性能，以便提出改进；用于在线 控制。在工程实际中，大量的系统为时变系统，通过系统辨识在线建立 控制对象的数学模型，不断调整控制器的参数，以对控制对象实施自适 应控制，可以获得较好的控制效果；用于预报预测。在模型结构确定 的情况下，建立时变模型，并预测时变模型的参数，然后在此基础上对 。过程进行预报；用于监视过程参数并实现故障诊断。许多生产过程，”m a 如飞机，核反应堆、大型化工和动力装置，冷轧热轧机组等大型冶金设 备等，希望经常监视和检测可能出现的故障，以便及时排除。这意味着 需不断地从过程中收集信息推断过程动态特性的变化情况，然后根据过 程特征的变化判断故障已否发生、何时发生、故障大小、故障的位置等。 动态系统模型有离散模型和连续模型两大类。对于离散系统的辨识， 在这方面已有大量成熟的研究成果【t6 7 i 。而对于大多数物理系统，其运 2 行过程是连续的动态变化过程，其连续动力学模型才是真实反应其本质 特征的模型。按照信号和模型形式及相应关系，连续系统模型的辨识有 如下形式1 2 l ： ( 1 ) 用离散信号辨识离散模型，然后再转换为连续模型； ( 2 ) 用连续信号辨识连续模型，其工具为信号处理理论； ( 3 ) 用离散信号辨识一个与连续模型等价的非常规离散模型，当采样 时间趋于零时，该非常规离散模型收敛于原连续模型。 不论采用哪一类方法，其最终参数模型的获得有间接和直接两条途 径，因此，其辨识方法可分为间接法和直接法两大类。 1 2 1 连续系统参数模型的间接辨识 连续系统参数模型的间接辨识有如下两种方法： ( 1 ) 基于非参数模型的连续系统辨识。这类方法是首先辨识系统的非 参数模型，然后通过一定的拟合方式得到系统的连续时间参数模型。非 参数模型辨识可分为时域的脉冲响应模型辨识和频率响应模型辨识两大 类，两类模型互为补充，可通过一定形式相互转换。输入信号x ( r ) 、输 出信号y ( r ) 、脉冲响应h ( r ) 及相应频域函数坝j _ ，) 、y ( 仂和月( 价满足以 下关系 j ，( f ) = ( r ) 4 x ( t )( 1 1 ) r = 胃名( 12 ) 式中，表示卷积运算。 对于施加阶跃、饱和斜波、块脉冲三种确定形式信号的系统，产生 了一系列估计阶跃响应、脉冲响应的以去卷运算为基础的时域方法1 2 , sj ， 通过付里叶变换可求得频率响应函数。用一定频率范围的正弦信号激励 系统，通过测试输入输出稳态信号的幅值和相位关系，可直接求得频响 函数。 在许多工程测试场合，阶跃、脉冲等确定性信号将导致生产过程的 中断或系统的破坏，相关辨识理论则满足在线测试的需要。此时，脉冲 响应与频率响应有如下变换关系 s l r w ( r ) = | i ，( r ) + r ，( r )( 1 3 ) 岛= 日( 仂文，( 1 4 ) 式中，尺，( r ) ，r x y ( r ) 分别为信号x ( f ) 的自相关函数和x ( f ) 、y ( t ) 的互相 关函数，& ，( 仂、踮( 仂分别为信号x ( r ) 的自功率谱和和x ( f ) 、y ( t ) 的互功 率谱，骨( 仂为系统频率特性，鼠。( 仂、踮( 仂分别与r ，( r ) 、r 。( r ) 互为 付里叶变换对。 若估计出r 。( f ) 和r 。( r ) ，可通过去卷运算求得系统脉冲响应。若 3 x ( t ) 为理想白噪声信号，则r x y ( r ) 本身是脉冲响应的估计。若x ( t ) 具有周 期性，但在该周期范围内自相关函数近似为脉冲函数，则输入输出互相 关函数可近似看作脉冲响应，这就是工程上广泛采用的伪随机信号 ( p s e u d o r a n d o mb i n a r ys i g n a l s ，p r b s ) 的特征。 用相关辨识理论辨识系统频率响应的关键是谱密度函数的估计。谱 估计理论为频率响应辨识提供了方便的手段 9 a o ，而f f t 算法及相关软件 包则使谱估计变得非常的快捷和可靠d i a2 1 。 由非参数模型可通过许多方法得到系统的传递函数模型。其中最简 单的一类方法是利用阶跃响应曲线中曲线斜率、达到稳态值某百分比时 的上升时间、超调量等通过一定标准形式直接与传递函数参数关联，以 求得到系统的连续时间模型。 根据频率响应数据可用最小二乘类方法求得连续系统模型参数，这 种方法最初由l e v y 提出，后经s a n a t h a n a n 和k o e r n e r ，l a w r e n c e 和 r o g e r s 、s t a h l ，w h i t e f i e l d 、u n b e h a u e n 和r a o 等完善和改进，已有许多成 熟的算法 ( 2 ) 基于离散模型的连续系统辨识。在这种间接方法中，首先是离散 模型的参数辨识，然后选用适当的s 域和z 域间的变换方式将离散模型变 换为连续模型。最常用的j 域和z 域的变换关系有双线性变换： j = 7 2 0 丽- 0 ( 1 5 ) r 0 + 1 ) 、7 式中：丁为采样时间。r 的选择必须满足沙农( s h a n n o n ) 采样定律，一般可 按以下原则选择【，l ： 1 ) 。t o 5 ， 。为系统最大特征值。 2 ) l l o t = 【z o 抄( ，) d f ( 1 1 0 ) 式中；五称为模板函数，在调制函数法中，调制函数就是模板函数。 m a l e t i n s k y 从线性参数模型( 1 i n e a r i np a r a m e t e r ，l - i p ) 等式出发，推导 出样条形( s p l i n e t y p e ) 调制函数。p r e i s i g 在系列研究论文中改进了 m a l e t i n s k y 的推导，讨论了m a l e t i n s k y 样条调制函数的滤波特性，探讨 了调制函数阶次，特性时间常数、时移间隔的选择方法 2 9 , 3 0 i ，研究了 m a l e t i n s k y 样条调制函数代数表达形式及在数字计算机上的算法实现，并 将该方法应用于工业搅拌反应器的热耗散模型辨识f3 1 l 。 p e r s o n 和l e e 设计了正弦调制函数的正交函数集，并成功地与快速 f o u r i e r 变换联系起来，利用f f t 作积分运算，设计了一种高效的辨识算 法，并用f o u r i e r 调制函数辨识了一系列的非线性系统1 3 2 - 3 4 1 。c o 和y d s t i e 将p e r s o n l e e 法应用到模型降阶、多变量系统和时滞系统辨识【”1 。p r e i s i g 和r i p p i n 研究了调制函数法在非线性系统辨识的应用形式1 2 9 1 ，并设计了 样条调制函数1 2 9 j 0 1 b a l e s t r i n o 、l a n d i 及s a n i 用调制函数法研究了含多延 迟环节的连续系统模型辨识1 3 6 1 贺尚红、钟掘等根据高斯函数的特点，将高斯母函数按2 进幂尺度 7 进行伸缩构造多分辨调制函数的学术思想，并通过仿真算例证明其良好 的抗干扰能力。但用这种方法构造的调制函数，伸缩尺度为2 的整数幂， 分辨率较低，调制函数的构造也欠灵活。为此，作者提出了改进，调制 函数无需按2 迸幂进行伸缩，可根据设计需要任意构造不同伸缩比的调 制函数，增加了调制函数构造的灵活性1 3 7 - 4 9 。 为有效辨识可积的非线性系统，p a t r a 和u n b e h a u e n 于1 9 9 5 年提出 了一种新的调制函数一一h a r t i e v 调制函数 4 0 1 ，其定义如下： 一，h 、 。( f ) = ( 一1 ) 7 i 。：陋( 胛+ 肼一) 国o t ，0 t t ，缈o = 2 9 t 。 ( 1 1 1 ) j = o u 式中，m 为频率指数，为h a r t l e y 调制函数的阶次，r 为信号持续时间。 它不但拥有上述一般调制函数的特点，还具有其他调制函数不具有的优 点 4 1 l ：辨识时参数选择简单；积分和卷积的计算简单，计算量较小；可 以可以利用快速h a r t l e y 交换算法实现在线辨识。因为h a r t l e y 调制函数 独有的特性，现已广泛应用于一些非线性系统的辨识，并实现了在线辨 识的递推最小二乘法 4 3 - 5 9 。 本论文利用h a r t l e y 变换及其调制函数的性质，分别在时域和频域 建立了非线性连续动力学系统的等阶辨识模型，通过典型仿真实例研究 了辨识参数选择与最小二乘辨识精度的关系。最后，将所研究的辨识算 法成功应用于大型冶金设备液压a g c 压力控制闭环的模型辨识。 1 3 论文主要内容 论文分四章。第一章为绪论，介绍了课题的背景，对连续系统辨识 的现状进行了综述。第二章介绍了h a r t l e y 变换的定义及其性质，借助于 h a r t l e y 正、逆变换及其微分性质，建立了基于h a r t l e y 变换时域法的连 续动力学系统的参数模型辨识方法；第三章介绍了h a r t l e y 调制函数的定 义，分析了h a r t l e y 调制函数的性质，建立了基于h a r t l e y 变换频域法的 线性和非线性连续时间系统的参数模型直接辨识方法：第四章用论文研 究理论成果成功辨识了某冷压平整机液压自动厚控系统( h y d r a u l i c ，a u t o m a t i cg a u g ec o n t r o l ，h a g c ) 压力闭环系统的连续参数模型，并分别t 将所辨识的参数模型频谱血线与相关辨识实测曲线进行比较。结论部分 对本文探索的方法做出评价，并指出后续工作的研究方向。 1 4 本章小结 本章介绍了课题的研究背景，综述了连续动力学系统辨识的研究现 状，针对现存各研究方法存在的问题，提出利用h a r t l e y 变换及其调制函 3 数的性质，分别在时域和频域对连续动力学系统的参数模型进行直接辨 识的方法。 9 第二章基于h a r t l e y 变换的时域辨识法 2 1 概述 近年来关于连续非线性系统的辨识受到了广泛重视，常用的辨识方 法有f o u r i e r 模函数法，状态变量延时滤波器方法，块脉冲函数法，积分 法，非线性优化法，随机法，p m g o p 法，v o l t e r r a 泛函级数方法。但在 实际应用中这些方法并不能令人满意，如状态变量延时滤波器法无法有 效选择最优滤波器；块脉冲函数法要获得高精度的逼近必须选择很小的 子区间；积分法只能用于满足一些特定条件的非线性系统辨识；随机法 中灵敏度函数的选择非常复杂；p m g o p 法中各正交多项式系数的计算， v o l t e r r a 泛函级数方法中各阶v o l t e r r a 核的估计都是比较困难的，且需 要较大的计算量，并只能用于一些特殊的非线性系统的辨识；f o u r i e r 模 函数法可用于辨识多种非线性系统，且可完全避免初始状态的影响，但 会产生一系列的复数方程，尤其当非线性系统具有卷积时，计算量也较 大。 本章利用h a r t l e y 变换及其性质来辨识一类结构已知且参数可分离的 非线性连续时间系统。h a r t l e y 变换是由美国贝尔实验室的r v h a r t l e y 在 1 9 4 2 年提出的，它是一种f o u r i e r 变换的等效形式，与f o u r i e r 变换相比 较，除了具有f o u r i e r 变换的优点之外，h a r t l e y 变换还有如下特点【知， 1 ： 第一，h a r t l e y 变换是实值变换在对实信号或实数据进行谱分析时，避 免了复数运算，从而使计算的速度更快、更有效，相应的硬件也更简单、 更经济；第二，h a r t l e y 变换的正变换和反变换具有完全相同的形式，因 而，实现h a r t l e y 变换的硬件或软件既能进行正变换，又能进行反交换； 第三，h a r t l e y 变换同f o u r i e r 变换之问存在着一种简单关系，容易实现 两种谱之间的相互转换。因此，h a r t l e y 变换非常适合辨识非线性系统。 本章首先分析了h a r t l e y 正变换、逆变换及其微分的性质，利用频域 一时域相结合的方式获得了信号及其微分的估计值，建立了基于h a r t l e y 变换的非线性连续动力学系统的参数模型直接辨识方法，通过数字仿真 分别辨识了二阶、四阶的线性连续动力学系统的参数模型和一类结构己 知且参数可分离的非线性连续动力学系统的参数模型。本章最后研究了 时间丁和频率指数m 与辨识精度的关系，给出了辨识时参数选择的基本 原则。 1 0 2 2h a r t l e y 变换 h a r t l e y 变换的核函数c a s d o t = c o s c o t + s i nc o l 是傅立叶变换核函数 e x p ( j c a t ) = e o s c o t + j s i l l o ) t 的实部与虚部之和。对于连续函数以f ) ，如果下面 的积分存在。则其h a r t l e y 变换定义为： 擘 研2j f ( t ) c a s o ld t ( 2 1 ) 其中：c a r a t = e o s a g + s i n a i ，其相应的反变换为： 州2 去p ，( c o ) c a s 讲如 ( 2 2 ) 从变换h ， ) 可以看出，h a r t l e y 变换与傅立叶变换非常相似，二者之 间具有紧密的关系。 2 2 1 连续h a r t l e y 变换与傅立叶变换的关系 在模拟信号分析中，如果下面的积分存在，则一个函数八f ) 的傅立叶 变换定义为 f ( c o ) = 士e f ( t ) e j * d t ( 2 3 ) 2 石一 对应的傅立叶反变换为 朋2 去j 二即) e j d t ) h a r t l e y 证明，如果一个函数的傅立叶交换存在，则它的h a r t l e y 变换也 存在，反之亦然。 令h ( c o ) = h 。 ) + 日。( c a ) ，其中h 。 ) 和日。佃) 分别为日 ) 的偶函数部分 和奇函数部分，即 以 ) = 三旧( 珊) 十日( - 国) 】= 煮i ，c o s c o t d t ( 2 5 ) 。墨熙亍圭哆j m ) 一冬( _ 删：去j 二婴9 竺婴。( z - a ) ，嘴* p w t “”4 。 十4“、“1 ”1 ” 则有 ) = h m 一芦和) 2 去朋吣讲一j s i na , t a t ( 2 7 ) 因此，若己知八f ) 的h a r t l e y 谱，则利用它的偶部和奇部可以求出以f ) 的傅立叶谱。类似的，可以得到 h ( a 0 = r e f ( c o ) 一t m f ( - c o ) ( 2 8 ) 即厂( t ) 的h a r t l e y 谱是它的傅立叶谱的实部和虚部之差。 从上面的式子可以看出，对于实数信号( t ) ，其变换h ( c o ) 也是实数的。 但是这里必须要指出的是h a r t l e y 变换虽然是实值变换，但它也是一种一 一对应的变换，不会导致信号任何频率信息的丢失1 4 0 1 。 2 2 2 连续h a r t l e y 变换的性质 h a r t l e y 变换有如下性质1 4 0 , 5 0 1 ： ( 1 ) 尺度变换性质。对于k 0 有： 去少膳炳c o t d t = i 足归，( k c o ) ( 2 9 ) ( 2 ) 微分性质。设j r o ) ( r ) = 筹，则广砸) 的连续h a r t l e y 变换为： 日一，( 国) = 【c a $ ( n x 2 ) ( c o ) ”日，( ( _ 1 ) ”c o ) ( 2 1 0 ) ( 3 ) 卷积性质如果v ( 0 = z ( f ) 正( r ) ，算子木表示时域的卷积 j ：z ( t - r ) l ( r ) d f ，则信号l ，( f ) 的连续h a r t l e y 变换为 h 。 ) = 去阻。 川： ) 一日。( - c o ) h ：( - c o ) + h ( c o ) h ：( 国) + 日。( - c o ) h ： ) 】 ( 2 11 ) 式中，日。 ) 、盯： ) 分别表示信号z ( f ) 和五( f ) 的连续h a r t l e y 变换。 ( 4 ) 时域的相乘性质。如果v ( t ) = z ( f 珑( f ) ，则信号p ( f ) 的连续h a r t l e y 变换为 日， ) = 去阻l ) + 日2 ( 国) 一日l ( 一c o ) + 日2 ( - c o ) + h l ) + 日2 ( - c o ) + h 。( 一c o ) + 日2 ) 】( 2 1 2 ) 式中，。 ) 、：p ) 分别表示信号z p ) 和五o ) 的连续h a r t l e y 变换。注意 方程( 2 1 2 ) 的右边也可以表示为 e l ( 缈) + 日2 ( c o ) + 0 i ( c o ) + 日2 ( 一m ) 其中巨 ) 和o ：( c o ) 分别表示日。 ) 的偶数和奇数部分。通常，此式可以通 过计算实函数的两个卷积而获得，即日 ) o 日：) 。假如其中的一个函数 是偶函数，则只需要计算一个卷积因此，当我们必须计算四个实数卷 积的时候，h a r t l e y 变换比傅立叶变换更具有优势 ( 5 ) 线性定理。若信号z ( f ) 和工( f ) 的h a r t l e y 变换分别表示为h ， ) 、 日2 ) ，则矾( f ) + v ：( f ) 的h a r t l e y 变换为a h l ( c o ) + 腑2 ( c o ) ( 口、b 为实常数) 。 ( 6 ) 奇偶特性。奇函数或偶函数的h a r t l e y 变换仍然是奇函数或偶函 数，即h a r t l e y 变换不改变函数的奇偶性。 以上的性质对理解h a r t l e y 变换的性质具有非常重要的作用，尤其是 性质( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) 对非线性连续参数模型的辨识非常重要。在实卧计算过 程中，常采用离散h a r t l e y 变换。 2 2 3 离散h a r t l e y 变换 设，伽) ，月= 0 ，1 ，n 一1 为一实值序列，它的离散h a r t l e y 变换定 义为： 朋2 者薹八功卿( 2 n f m 忉拈0 卜”, n - 1 ( 2 1 3 ) 其反变换为： 八加专荟h y ( k ) c a s ( 2 n * n 忉 ( 2 1 4 ) 同样，离散h a r t l e y 变换同离散傅立叶变换之问也存在着一种密切的关系。 离散傅立叶变换的定义为 f ) 2 丽1 荟似矿“” ( 2 - 1 5 ) 它的反变换为 加卜去荟以”2 “” ( 2 1 6 ) 容易看出，离散h a r t l e y 变换的核函数c a s ( 2 a r c h n ) = c o s ( 2 n k n n ) + s i n ( 2 n e o n i n ) 是离散傅立叶变换的核函数e x p ( j 2 n m n ) = c o s ( 2 ：, d a 【l n ) + j s i n ( 2 7 d 0 7 n ) 的实部 与虚部之和。 将( 七) 分解为偶函数h 。 ) 和奇函数h 。他) 之和，即 h ) = h 。 ) + 日。( 】 )( 2 1 7 ) 其中 日， ) = 三口 ) + h ( k ) 】= 了1 万n 刍- i ，( 胛) c o s ( 2 砌) ( 2 18 ) 圯= 圭防一h ( k ) 】_ 去篓s i i l ( 2 砌) ( 2 1 9 ) 则伽) 的离散傅立叶变换可表示为 f ( k ) z _ h 。 ) s j h 。( 后) = 寺 ( n ) e o s ( 2 n k n n ) 一j s i n ( 2 n f m n ) ( 2 2 0 ) 叫州肛0 同样 日( | ) = r e f ( k ) l l m f ( - k ) 】( 2 2 1 ) 上式表明，离散h a r t l e y 变换是离散傅立叶变换的实部与虚部之差。如果 已知，) 的离散h a r t l e y 变换，则) 的离散傅立叶变换可以用下式求出 f ( ) = ；防( 后) + h ( k ) 】一_ ，要k ( 七) 一n ( k ) 】 ( 2 2 2 ) 不考虑因子1 2 ，增加2 n 次加减运算就能由f ( n 1 的离散h a r t l e y 谱求出它的 离散傅立叶谱。离散h a r t l e y 变换具有与连续h a r t l e y 变换相同的性质。然 而直接运用h a r t l e y 离散变换通常并不能获得连续变换的很好近似，我们 通常采用复化辛浦生求积公式进行h a r t l e y 变换： 刚咖弘) c a s 一知，要孢蓼粕 2 s ， 式中：，：f ( 1 ) c a s ( c o 。i t 2 l ) ( 吼= 2 x t ) ：( 2 l + i ) 为采样数据序列长度；t 为信号持续时间。 2 3 参数模型直接辨识原理 2 3 1 线性系统 对于单输入单输出线性连续动力学系统，其微分方程模型可以表示 为： j ，( f ) + a j y o ) ( f ) = b u o ( f ) ，屯2 n b ，o g t t ( 2 2 4 ) 式中：a i ，b ，为待辨识参数；u ( t ) 、y ( t ) 分别为输入输出；甜7 ( f ) 为信号的 _ ，阶微分；y o ( f ) 为信号y 的f 阶微分；心，分别为输出信号y 和输入信 号却的微分阶次。 要辨识式( 2 2 4 ) ，关键是要获得1 1 ( 1 ) ( f ) 、y o ( f ) ，而直接对信号进行近 似处理会产生噪声放大问题。为有效解决这个问题，本文首先利用h a r t l e y 变换及其微分的性质获得输入输出信号u ( t ) 、y ( ，) 及其各阶微分的h a r t l e y 谱h 。伽国。) 、日。m ( m o o 。) 、也，( m o 。) ，h y ( m o o o ) 、h ，( m o j 。) 、日，( m o o 。) ( 6 9 0 = 2 x t ，埘= 0 ，1 ，2 ，肘是h a r t l e y 谱的频率指数) ，然后采用 h a r t l e y 反变换获得五( f ) 、( f ) 、d 4 ( f ) ，f i t ) 、多m ( f ) 、多“( f ) ，这样就 可以得到线性连续时问系统的h a r t l e y 变换模型 多( f ) + a 。( f ) = b ，( f ) 心，o a t _ t ( 2 2 5 ) 令z ( t ) = 夕( f ) ，建模误差为s ( f ) ，得最小二乘方程 z 。= 口+ 已( 2 2 6 ) 1 4 式中 巾：= 【甲。i 玉r 2 、匕l 】r ( k = l ，2 阳。打为采样数据长度) 吒譬= l - 歹o ( 七) 一夕2 ( 后) 一夕1 ( 】 ) 女m ( 七) 2 ( t ) 五一( 七) ( k = l ，2 打) 口= 【口l a 2 口 b ob l 西】 乙= 【z ( 1 ) z ( 2 ) ：( 胛) 】1 磊= 【s ( 1 ) s ( 2 ) ( 刀) 】1 由( 2 2 6 ) 得最小二乘估计 百= ：m 。) 。m ：z( 2 2 7 ) 式( 2 2 7 ) 最小二乘算法涉及矩阵求逆运算，当甩数量大时，矩阵规模 增加，计算量加大，为此，可采用类似离散系统辨识的递推算法以避免 矩阵求逆运算 o l s ( k ) 3 e l s ( k 一1 ) + 工( 七) b ( 矗)( 2 2 s ) 三l s ( | | ) 2 雨丽p ”瓦( k - 厕o v ( k ) ( 2 2 9 ) p l s ( k ) = i l l s ( k ) 甲 ) 7 1 气( k - 1 )( 2 3 0 ) s b ( 后) = y ( 七) 甲 ) 7 乱似一1 )( 2 3 1 ) o l s ( o ) 、p l s ( o ) 可按如下方式选择： ( 1 ) 前埘组调制数据最小二乘结果： 唧，。医也吖1，轧阡0融町幢咒y(kkffil k = lk = 1 ) 螂开始雌l jlj lj ( 2 ) 任意假设o l s ( o ) ，取：p l s ( o ) = j ，i 。、。，其中y 为很大的实数，i 。 x 。为相应单位矩阵。可以导出，经七次递推后，有： p l s ( k ) = p l s ( o ) d + 唧】- l( 2 3 2 ) 占l s ( j | ) 2p l s ( k ) 【t x j k y k + p l s ( o ) 4 】o l s ( o ) 】 ( 2 3 3 ) 当i ，一一时，取很大的实数时，在递推过程中，初始条件否l s ( o ) 和p l s ( o ) 的影响将越来越小。 2 3 2 非线性系统 2 3 2 1 可积非线性系统 设所研究的可积非线性系统表示为 ：二气 ( f ) ，y ( f ) ) = 0 ( 2 3 4 ) 其中( z f ( f ) ，j ，( f ) ) 为己知形式的实函数z ( “( f ) ，少( f ) ) 的，阶导数，如果无法确 定，( “( 嘎j ，( f ) ) 的结构，可如同文献 5 t 一样定为材、y 的多项式a 实际中 许多的物理系统都可归于这种类型。例如著名的v a nd e rp o l 强迫振