（基础数学专业论文）形式幂级数环上的自对偶码.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 有限环上纠错码的研究始于上世纪7 0 年代b l a k e 和s p e i g e l 等学者首先研究了 整数剩余类环z m 上的码接着，c a l d e r b a n k 和s l o a x l e 研究了p - 进制整数环上的码 进一步，d o u g h e r t y , l i u 和p a r k 定义了一类类似硌的环r ，同时对这类环和形式幂 级数环上的码进行了研究 本文继续对d o u g h e r t y , l i u 和p a r k 定义的这类环兄和形式幂级数环上的码展开 了研究，得到了以下主要结果： 在第三章，定义了r 上的i i 型码，给出了这些码的一些性质和r 上的自对偶码 提升成r + 。上的自对偶码的一个必要条件 在第四章，我们给出了形式幂级数环上的自对偶码的一种构造方法，并且给出 了形式幂级数环上的自对偶码存在的充分必要条件 关键词：自对偶码；线性码；链环；形式幂级数环 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho fe r r o r - c o r r e c t i n gc o d e so v e rt h ef i n i t er i n g sb e g a ni n1 9 7 0 s b l a k e a n ds p e i g e la n do t h e rr e s e a r c h e r sh a dd i s c u s s e dc o d e so v e rt h er i n g sz m l a t e r c a l d e r b a n ka n ds l o a n ed i s c u s s e dc o d e so v e rt h er i n g sp - a d i c f u r t h e r ，d o u g h e r t y ， l i ua n dp a r kd e f i n e dac l a s so fr i n g ，皿w h i c hw a ss i m i l a rw i t ht h er i n g sz p ea n d t h er i n go ff o r m a lp o w e rs e r i e s h e r e ，r = 知+ a 1 7 + 眈，y 2 + + n 一1 7 一1 ia a f ，v0 s i 1 ) i nt h i sd e f i n i t i o n ，fw a saf i n i t ef i e l da n d ，y 1w a se q u i v a l e n tt o z e r o ，b u t7 w a sn o te q u i v a l e n tt oz e r o a tt h es a m et i m e ，t h er e s e a r c h e r sd i s c u s s e d c o d e so v e rt h e s et w oc l a s so fr i n g s i nt h i st h e s i s ，w es h a l lc o n t i n u et h es t d u yo nc o d e so v e rt h er i n g s 尼a n dt h e r i n go ff o r m a lp o w e rs e r i e s w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，w ed e f i n eat y p e1 1c o d eo v e rt h er i n g s 心w eg i v es o m ep r o p e r - t i e so ft h i sc o d ea n dan e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h es e l f - d u a lc o d e so v e r 冠t ol i f tt o t h es e l f - d u a lc o d e so v e rr + 1 i nc h a p t e r4 ，w eg i v eam e t h o do fc o n s t r u c t i n gt h es e l f - d u a lc o d e so v e rt h er i n g o ff o r m a lp o w e rs e r i e s ，a n dt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h ee x i s to ft h e s e l f - d u a lc o d e so v e rt h er i n go ff o r m a lp o w e rs e r i e s k e yw o r d s ：s e l f - d u a lc o d e s ；l i n e a rc o d e s ；c h a i nr i n g s ；t h er i n go ff o r m a lp o w e r s e r i e s i i 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r - e 枷0 n 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：嘲撼 日期：产5 月l 妇 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者签名：嘲学蝗 导师 日期：知刁降，月【日 日期 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回童诠塞握交厦澄后! 旦坐生；旦二生；旦三生筮盔! 储签名：胡学签 喊叩罗月m 言篓寄隰 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言 上世纪4 0 年代，编码理论发源于b e l l 实验室该理论是研究如何用字母表按特 定要求去表达，去还原信息最初，h a m m i n g 等学者研究的是二元域上的码，后来 扩展到研究一般有限域上的码结构进一步，扩展到了有限环上的码结构在上 世纪7 0 年代，b l a k e 1 和s p e i g e l 2 3 等学者就开始将纠错码的研究从有限域上转移到 整数剩余类环z 。上利用中国剩余定理，对剩余类环z 。上的码的研究就可归结为 对。上的码的研究，这里p 是一个素数，e 是一正整数我们知道，对任意a z 4 ，元 素a 可以唯一表示为n = a o + 2 a l 这里0 a o ，a l 1 利用z 4 上的元素的这种唯一 表示，在上世纪9 0 年代初，f o r n e y 1 1 ，h a m m o n s 等【1 4 】学者在环z 4 上定义了一保距 映射，f l p g r a y 映射如下： ：z 4 一砭，ah ( a l ，a 1on 0 ) ， 这里。表示域嚷上的加法g r a y 映射可以自然地扩展到从z n 到碍“： z z ? ，z = r ( z ) + 2 9 ( z ) ，( z ) = ( q ( z ) ，q ( z ) or ( z ) ) 通过g r a y 映射，f 2 上的一些好的非线性码可以由z 4 上的线性码得到例如，在文 献f l o 】，【1 3 1 中，作者证明t k e r d o c k 码，p r e p a r a t a 码，d e l s a r t e g o e t h a l s 码等实际上 就是一些z 4 上的线性码在g r a y 映射下的像由于这些非线性码比同样长度，同 样h a m m i n g 距离的线性码具有更多的码字，因此在信息传输中可以承载比同样长 度，同样距离的线性码更多的信息，因此具有较高的效率通过g r a y 映射，人们可以 更加清楚地理解这些非线性码的性质进而对非线性码的结构有更进一步的了解 这些重要的发现重新激起了编码理论界对有限环上的码的研究兴趣 设r 是一有限交换且合非零单位元的环，记胛= z = ( z 。，z 2 ，x n ) i 霸r ) ， 那么r “上的任意一个子集c 就称为r 上的一个码，c 中的元素就称为码字在胛上 有一个自然的内积，即： 那么我们就称 vz ，y 彤， 【z ，y 】= x l y l + x 2 y 2 + + z 。 c 上= z r “i z ，c 】= o ，v c c ) 。 为c 的对偶码进一步，如果c = c 上，那么就称c 是自对偶码这类码与组合学，格 论，不变量理论，模形式和数论都有一定的联系特别的，已经证明了有限环上的 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 自对偶码与格论，模形式还有数论有着特别的联系因为这些联系，自对偶码的研 究引起了广泛的兴趣研究一类码时，码的构造是至关重要的最近，k i m 和l e e 在 他们的文章f 1 6 】中，给出了g a l o i s 环上的自对偶码的一种构造方法，并且用这种构 造方法研究了g a l o i s 环上的m d s 自对偶码在文献【2 】中，c a l d e r b a n k 和s l o a n e 研究 了矿进制整数环上的码，并且也给出了z 。上的码提升到z ，。和p 进制整数环上的一 种描述然后，在文献【3 】中，d o u g h e r t ，k i m 和p a r l 进一步研究了这类码，并且给出 了这类码的重量计数子在文献( 7 】中，作者定义了一类类似于z p e 的链环r 和类似 于矿进制整数环的形式幂级数环( 见定义2 1 8 和定义2 1 9 ) ，并且对其上的码进行 了研究 本文在上述研究工作的基础上对形式幂级数环上的自对偶码进行了研究本 文得到了以下几个主要结果： 第一，定义了r 上的i i 型码，给出了这些码的一些性质和兄上的自对偶码提升 成见+ 1 上的自对偶码的一个必要条件 第二，利用有限域上的两个基本结论，给出了形式幂级数环上的自对偶码一种 构造方法 第三，给出了形式幂级数环上自对偶码存在的充分必要条件j 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 1 基本概念 第二章预备知识 设p 2 且为素数，脓示一有限交换环且包含一非零的单位元1 定义2 1 1 设胰一含非零单位元的环，记其单位元为1 r ，( m ，+ ) 是一个交换 群如果定义了一个a k r m 到m 代数运算，对任意的 存在唯一确定的r m m 使 ( r ，m ) r m 并且满足 p ，) vr r ，vm l ，m 2 m ， ( nm ) hr m r ( m l + m 2 ) = r m l + r m 2 ； f 纠vr l ，r 2 r ，vm m ， ( 7 1 + r z ) r n = r i m + r 2 m ； 俐v7 1 ，r 2 r ivm m ， r l ( r 2 ) m = ( r l r 2 ) m ； 似vm m ，1 r m = m ， 则称m 是一个幺作用左r 模，记为r m 或简记为m 类似地，可定义幺作用右尼模特别的，当r 是一交换环时，左尼模与右r 模 就是一样的因此在这篇文章中，我们就统称尼模 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定义2 1 2 设m 是r 模，是m 的非空子集，如果关于m 的运算也构成r 模，则称是j i ，的子模 定义2 1 - 3 设礼是任意正整数令酽= z = ( z l ，z 2 ，z n ) i 甄r ) 则舻是 一个r - 模舻任意的非空子集g 称为冗上的一个长为他的码进一步，如果p 是舻的 子模，则称c 是见上的长n 的线性码在这篇文章中，如果没作特殊声明，所有的码 都指线性码 定义2 1 4 对一环r ，如果其理想都是由一个元生成的，那么我们就称这个 环r 叫主理想环进一步，如果兄还是一交换环，且含有一非零的单位元，同时 对a ，b r ，如果n 6 = 0 ，那么就一定有a = o 或6 = 0 ，我们就称环见乏一主理想整环 定义2 1 5 龇，y 舻，z 与的内积定义如下： 陋，y 】= z l 可l + x 2 y 2 + + z t l 对见上的任一长为n 的码c 我们称 为c 的对偶码 c 上= z r n i 【z ，c 】= o ，vc c ) 定义2 1 6 对见上的一长为他的码c ，如果c c 上，我们称c 是一自正交的码 进一步，如果c = c 上，我们称g 为自对偶码 定义2 1 7 对一有限环r ，如果r 中的任意两个理想都有包含关系，那么就 称r 是一链环 注：如果r 是一有限链环，那么冗一定有唯一一个最大理想，记为飒，并且冗 一定是一主理想环这是因为若r 中有一理想，由2 个元生成，即，= ( r 1 ，r 2 ) ，那 4 么( r 1 ) 与忆) 就不存在包含关系，这与r 是链环矛盾那么设( 是蹶的一个生成元， 那么甄= ( ( ) = = 【必ip 冗) 我们就有一条链： r = ( e o ) 2 ( e 1 ) ( e 2 ) 2 ( f ) 2 由于腚有限的，故上述中的这条降链也一定是有限的因此，就存在一自然数i 使 得( ( ) = ( o ) 令e 是使得( ( 。) = ( o ) 的最小的自然数，我们称e 是e 的幂零指数 记i r f 为r 的基数，口表示r 中所有可逆元所组成的乘群令f = r 妍= r i ( o 为r 的剩余域，特征c h a r f = p ，那么例= q = 矿我们知道f 中所有可逆元构 成的乘群的基数i f + i = q 一1 定义2 1 8 令沩任意一正整数。f 为任一有限域定义 砬= a o + a l y + 现f + + n i 一1 ，y 一1 ia 。f ，v0 s i 一1 】 其中，- y 一1 0 , 但- 7 = o ，并且在r 上如下定义加法和乘法： i - - 1i li - l 。1 7 2 + 6 f 7 2 三( 口l - - b 1 ) 7 l - - - o 1 = 0l = 0 定义2 1 9 记号同上我们如下定义形式幂级数环r 。 0 0 r o o = f = a i 7 ia i f ) i = 0 可以在民上定义类似于兄上的加法和乘法 注：上述两个定义中的，y 相当于一个变元，即见是同构于f h ( 一) ，如中的，y 就 和p 一进制整数环中的p 是一样的 定义2 1 1 0 从有限加群a 到复数域乘法群c + 的任一向态：ahc 称为a 的 一个特征标；此时对i 的任意一子群7 1 1 艮 1 , 1 映射x l b ：bhc 当然也是同态，称 5 h 6 啦 m脚 i | 现 脚 一 田 脚 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 为x 在子群b 上的限制特征标把任口a 映射为1 c 的特征标称为单位特征标， 记作1 定义2 1 1 1 有限环r 的加群的特征标) ( ：rhc + 也称为环r 的特征标如果 环r 的特征标) ( ：rhc + 使得它在任何非零理想，上的限制特征标x i ，：，hc + 都 是非单位特征标，就称x 是有限环r 的生成特征标 定义2 1 1 2 如果一个有限环脯生成特征标，那么我们就称这个环跟一个 有限f r o b e n i u s 环- 定义2 1 1 3 对于一有限环r ，设白乏r 上的一个线性码一个矩阵g 叫c 的生 成矩阵，如果g 的行向量可以生成c ，并且这些行向量中的任何一个行向量都不能 写成其他行向量的线性组合并且拒这些行向量的个数称为码c 的秩，i s 为r a n k ( c ) 2 2 有限链环和形式幂级数环上的码的一些性质 以下结论是显然的，我们简述其证明 命题2 2 1 对于见上长为n 的码c ，其对偶码c 上是冗上长为佗的线性码 证明：对比，y c 上，v r r ，有对于v c c ，k ，c 】= 【y ，c 】= 0 ，因此 k + y ，c 】= 0 如果记 那么 z = ( x l ，z 2 ，z 。) ，c = ( c l ，c 2 ，) 【r z ，c 】= r x l a t + 1 x 2 c 2 + + r x n c n = r k ，c 】= 0 故c 上是兄上长为n 的线性码口 命题2 2 2 r 是一有限链环，g 是r 上长为佗的线性码，c 上为其对偶码，那么有 c 1 f c 上i = j r ” 6 证明：在【2 4 】中已经证明有限f b b e n i u s 环上的任意一线性码c ，都有此结论成 立由于有限链环是一特殊的n o b e l l i u s 环故有i c l i g 上i = l p l o 下面2 个引理可见 2 0 1 引理2 2 3 令腚一有限链环，其唯一一个最大理想为瓢= ( 7 ) ，幂零指数 为e ，那么对v0 r r ，j 唯一的整数i ，0 i e ，使得7 = 朋j ，其中p 是冗上的 可逆元，并且p 关于r o o dr 一是唯一的 引理2 2 4 令腚一包含唯一最大理想瓤= ( 7 ) 的有限链环，这里，y 是瓤的生 成子，并且幂零指数为e 对v r l ，r 2 r ，定义r 上一关系“三”，l z p r t 兰r 2 当且仅 当r l r 2 吼，i s j b r l 三r 2 ( r o o d7 ) ，那么此关系“三”就是r 上的一等价关系， 令y 是等价类的一组完全代表系所组成的集合，那么有 一j 对于所有的7 r ，存在y 中唯一的一组元r 0 ，r 1 ，r c 一1 ，使得r = e 瑚- 1r ( 1 i 一砂l v i = i f i ； ( i i i ) l ( 一) i = j f | j 对于任意的o j e l 都成立 设r 是一有限链环，从【2 0 】中可得到r 上的一个码c 的生成矩阵置换等价于下面 这个形式矩阵g ： g = a o ，1a o ，2a o ，3 7 氏l7 a 1 ，27 a 1 ，3 7 2 如21 2 a 2 ，3 a o e 7 a t 一 一y 2 a 2 e 1 8 1 氏，) , e - 1a e l ，e 上述矩阵g 就称为码c 的标准生成矩阵由此可立即推出具有这种生成矩阵的 码c 的基数 i c l = | f i 岛( e 一姚= ( 矿) 锄。- - 1 ( “) = ( p ”8 ) b ( p r ( e 一1 ) h ) 2 e 一 在这种情形下，我们就称码g 的型为 乜，七1 i 一t 下面三个引理和一个定理见【7 】 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 引理2 2 5 令忍是定义2 1 8 中所定义的环，即r = 印+ a 1 7 + 锄，y 2 + + m l ，y hia i f 】_ ：那么对于任意正整数i ，环尼是一链环，最大理想为( 7 ) 引理2 2 6 令如是定义2 1 9 中所定义的形式幂级数环，那么 俐凡中的任意元素口= 茎oa i ? 是凡中一个可逆元当且仅当q o o j ( 0 环风。是一主理想环 引理2 2 7 如果c 为氏上长n 的一个非零线性码，那么c 的任意一个生成矩 阵都置换等价于下述形式的一个矩阵g 7 g = 一y 瑚 ，y 啪a o ，1一y 咖凡，2一y 砌月o ，3俨a o r p 1 厶1 y m l a l ，27 m 1 a i ，3，y 仇1 a 1 ， 7 m 2 k 2 ，y ”a 2 ，37 a 2 r 1 撕一1 厶，y 晰a r 一1 r 这里o m o m l i ，j 可取o c ) 上o - 个满同态 证明：对于v i k - ：1 0 毗7 忌，那 一厶i k - ：1 0 凸七，y r j ，这样皿；就是一满映射 当j o 。时，对 在尼中， 这样， t 一1 v 口七7 ， k = o j - 1 一1 巩7 。) = ( n 。6 t 矿) k = - ok = os + t = k 1 2 0 i | 考 。：i = 以 cue 弓 7 七 6 h 脚 矿巩 一 ( 5脚 = k 脚 毗 脚 7 q 脚 皿 故 而 j 一1 刚) 蟛( k - - - o i - 1i - 1i - 1 b k 7 ) = b k = ( k = ok - - - - ok = o 吼b t 矿) j + t = k j - 1i - ti - 1 i - 1 皿i ( 口k ，y b k q ) = 皿i ( 口，y ) 哦( b 七7 ) k = 0 k = o k = ok = 0 j - t 皿；( j - 1 i - i i - 1 。七，y + b 1 。7 ) = ( 口七+ b k ) 7 = 口七7 + k = 0k = 0k = 0k = 0 j - 1i - 1 = m ；( 凸七，y ) + 皿；( 6 7 ) i - 1 k ，y k = o k = 0k = 0 故哦确实是马_ r 的满同态当歹= o o 时，同上_ 样可以证明皿i 也是凡_ 尼的 一个满同态 一 。口 引理3 2 4 对于任意的正整数i s 到r 的满同态7 7 取r 十l 到见的投射皿：+ 1 ， o 。，如果令定义3 1 1 中的s 为尼+ l ，r 为r ， 那么r 就是一偶环 证明：由于c h a r f = 2 ，因此对于v s r + 1 都有2 s = 0 另外，若对 于v sek e r 叫+ 1 ，那么有s = a i 7 故在尼+ 1 中，s 2 = 口；，y 2 = 0 因此r 是一偶环口 引理3 2 5 如果u = ( v l ，忱，) 是鼹上的一个自正交的向量，那么皿f ( u ) 是 r 中的一个双偶向量 证明：因为u = ( u i ，忱，) 是r 銎上的一个自正交向量，那么就有，在r 蝥中， hu 卜砰= 0 ， z = 1 如果记= 器。凸u 中，那么砰= 凳o ( 卧。可a l 。a l t 中) ，故由上式可得 n ( ( n 舭z c ，) ) 1 = 1j = o5 + = j 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 那么，自然 nl ( ( 凸a t 一) ) l = lj = oa + t - - j 而显然对v1 z 佗，皿( 切) 都是皿i ( 切) 在皿，1 下的一个原像，因此 nn 住 l e u c ( 皿t ( ) = e u c ( v t ( v z ) ) = ( 皿许- ( 铆) ) 2 = ( ( 钆口) ) = 0 1 = 1= 1k = lj = os + 扛j 即证口 定理3 2 6 如果见上的一个自对偶码c 能够提升成r + l 上的一个自对偶码，那 么c 一定是一个i i 型码 证明：如果设d 是c 在尼+ 。上的一个提升，即皿，1 ( d ) = c ，如果记码c 的长度 为n ，那么对 vc = ( c 1 ，c 2 ，岛) c 就一定存在互= ( 西，而，蠢) ，使得对 这样 vl j 礼，皿：+ 1 ( e j ) = c j 由于d 是自对偶码，因此在尼+ l 中， 这样e u c ( c ) = 0 故c 是i i 型码 1 4 口 勺 。芦 = 勺 ce 。岸 = 苟 cue 0 = 一勺 。触 = c 忙 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第四章形式幂级数环上的自对偶码的构造 4 1主要引理 下面两个引理是有限域中两个基本的性质，我们在这里简单的给出证明 引理4 1 1 设f 是一有限域，i f i = q = p r ，这里p 是一奇素数则f 中存在一元 素q ，使得q 2 = 一1 ，当且仅当口三i ( r o o d4 ) 证明：假设存在q f ，使得a 2 = - 1 ，那么 ( 一1 ) 孚= ( 口2 ) 孚= = i 而( 一1 ) 2 = 1 ，因此2l 譬，故有q 三i ( r o o d4 ) 反过来，当q 三1 ( r o o d4 ) 时，由于f 作为乘法群是一循环群，因此我们可以 找到p 的一个生成元q ，其阶= q 一1 而 ( 口孚) 2 = q = 1 同时，在p 中阶为2 的元素只有土1 ，而川= q 一1 ，因此q 孚= 一i ，即得证 口 引理4 1 - 2 记号同上如果g 三3 ( r o o d4 ) ，那么存在倥，p f ，使 得q 2 + 口2 = 一1 证明：f 是有限域，因此矿是一循环群，记f = ( z ) ，那么 ( z 2 ) = 1 ，z 2 ，z 4 ，。口一3 这是因为如果有z 2 = 一z 孙，那么可推出一1 在f 中有平方根，这与口三3 ( r o o d 4 ) 矛盾此时，对于vz 鼽，z 2 m ( x 2 ) ，由于f 中不存在一1 的平方根，因 此z 2 ”+ z 2 “0 ，从而z 2 ”+ z 2 矿如果存在z 御，z 乱，使得 z 2 + z 2 f + ( z 2 ) 1 5 、， 学 + 3 一q z 孕 r2 z 孚 z ，l = 、l r j 3一 叮 z一 4 z 一 2 z l一 ，l i l 2 z 、 + f 和 即 有 z 2 1 + 。2 ：z 2 5 + 譬 z 2 u 一5 ) + z 2 ( t 一。) ：z 孚：一1 结论得证如果对v2 7 ，z 2 ”( 护) ，都有z 2 “+ z 2 m ( 茁2 ) ，那么固定o 2 ( z 2 ) ，如 果d 2 - i - 所= 舻- t - 废，显然有所= 屠故当p 2 跑遍( z 2 ) 时，乜2 + 卢2 也就跑遍( z 2 ) ，但 对vp 2 ( 正2 ) ，q 2 + 卢2 舻，即不可能对vz ，z 2 m ( z 2 ) ，均有z 2 扎+ 正2 m ( 2 ) ， 故结论成立 口 引理4 1 3 【4 】如果c 是氏上的一线 生码，当g = ( c 上) 上时，那么对vi c o ， 皿t ( c 上) = 皿f ( c ) 上 引理4 1 4 如果c 是如上的一自对偶码，那么对vi 0 0 ，皿 ( c ) 也是如上 的自对偶码 证明：由于c 是如上的自对偶码，那么c = c 上，故由引理4 1 3 知，对vi o o ， 皿f ( g 上) = 皿( c ) 上，而c = c 上，因此皿i ( c ) = 皿t ( c ) 上，这样皿e ( c ) 就是凡上的自对 偶码 口 引理4 1 5 【l s 对于任一有限域l ，i l i = q = p ，那么l 上存在长为n 的自对偶 码当且仅当当口三3 ( m o d4 ) 时，n 三0 ( m o d4 ) ；或，q 三1 ( r o o d4 ) 时， 礼兰0 ( m o d2 ) 4 2 如上自对偶码的构造 定理4 2 1 如果l f = q ，q 三1 ( m o d4 ) ，那么如上一定存在长度为任意 偶数的自对偶码 证明：由引理4 1 1 ，我们知道吲上定存在乜，使得q 2 = - 1 ，同样在r 。上， q 2 = 一1 令c 是由c = ( 1 ，q ) 所生成的一个如上的码由于口2 = - 1 ，故 c ，c 】= o ， 因此c 是自正交的同时，由定理2 2 8 知，c 上的生成矩阵应为( 一qll ，故 由c c 上，可得c = c 上，即c 是一长度为2 的自对偶码对于码coc 而言， v ( z l ，z 2 ，z 3 ，x 4 ) ( coc ) 上 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 那么一定有 因此 反过来，显然 故 ( z 1 ，x 2 ) c 上，( z 3 ，z 4 ) c 上 ( coc ) 上c 上oc 上= co c cod = c 上o c 上( coc ) 上 ( goc ) 上= c od 即coc 是长度为4 的自对偶码类似可证，七个c 的直和就是r o o 上长为2 七的自对偶 码，即忍。上一定存在长度为任意偶数的自对偶码 口 ，定理4 2 2 如果吲。q ，q 兰3 ( m o d4 ) ，那么对于任意整除4 的正整数几， 凡上一定有长n 的自对偶码 证明：由引理4 1 2 ，存在a ，f ，使得理2 + p 2 = 一1 记g 是由生成矩阵 g = 二竺) 所生成的线性码，由2 + f 1 2 = 一1 知，c 是自正交的由定理2 2 8 知，c 上的生成矩阵 日= ( 二茗- - p o r 。1 ；) 而 ( 一q ，p ，1 ，0 ) = 一q ( 1 ，0 ，q ，p ) + p ( o ，1 ，一卢，q ) ( 一p ，一o t ，0 ，1 ) = 一( 1 ，0 ，q ，卢) 一口( 0 ，1 ，一卢，乜) 故c = c 上，即c 是如上长为4 的自对偶码同定理4 2 1 ，可知尼个c 的直和就 是上长为4 是的自对偶码因此结论成立 口 1 7 定理4 2 3 凡上长为n 的自对偶码存在当g - r - 3 q 三3 ( m o d4 ) 时，n 兰0 ( r o o d 4 ) ；或，q 兰1 ( r o o d 4 ) 时，佗兰0 ( r o o d 2 ) 证明：当q 兰3 ( m o d4 ) 时，由定理4 2 2 知，对n 兰0 ( m o d4 ) ，如上存 在长n 的自对偶码当q 三l ( m o d4 ) 时，由定理4 1 1 知，对n 三0 ( m o d2 ) ， 如上存在长礼的自对偶码反过来，若r o o 上存在长礼的自对偶码，由引理4 1 4 知， 对vi c o ，r 上也存在长n 的自对偶码，特别的，域f 上也存在长n 的自对偶码，由 引理4 1 5 知，此时当q 兰3 ( m o d4 ) 时，礼兰0 ( m o d4 ) ；当g 三1 ( m o d4 ) 时， n 三0 ( m o d2 ) ，故结论成立 口 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】b l a k e i f ，c o d e so v e ri n t e g e rr e s i d u er i n g ，i n f o r mc o n t r ，2 9 ( 1 9 7 5 ) ，2 9 5 3 0 0 【2 c a l d e r b a n ka r ，s l o a n en j a ，m o d u l a ra n dp a d i cc y c l i cc o d e s ，d e s i n g s ， c o d e s ，c r y p t o g r 6 ( 1 9 9 5 ) ，2 1 3 5 【3 】d o u g h e r t ys t ，k i ms y ，p a r ky h ，l i m e dc o d e sa n dt h e i rw e i g h t e n u m e r a t o r s ，d i s c r e t em a t h e m a t i c s ，3 0 5 ，v o l1 - 3 ，2 0 0 5 ，1 2 3 1 3 5 ( 4 | d o u g h e r t ys t ，l i uh ，c y c l i cc o d e so v e rf o r m a lp o w e rs e r i e sr i n g s ，t o s u b m i t t e d 5 】d o u g h e r t ys t ，l i uh ，i n d e p e n d e n c eo fv e c t o r si nc o d e so v e rr i n g s ，d e s i n g s ， c o d e s ，c r y p t o g r 5 1 ( 2 0 0 9 ) ，5 5 6 8 【6 】d o u g h e r t ys t ，l i uh ，t y p ei ic o d e so v e rf i n i t er i n g s t oa c c e p t e d 【7 】d o u g h e r t ys t ，l i uh ，p a r ky h ，l i f t sc o d e so v e rf i n i t ec h a i nr i n g s ，t o p r e p a r a t i o n 【8 d o u g h e r t ys t ，p a r kyh ，c o d e so v e rt h ep - a d i ci n t e g e r s ，i np r e p a r a t i o n ， 【9 1d o u g h e r t ys t ，s h i r o m o t ok ，m d rc o d e so v e r 瓦，i e e et r a n s a c t i o n so n i n f o r m a t i o nt h e o r y , v o l u m e4 6 ，n u m b e r1 ，2 0 0 0 ，2 6 5 2 6 9 【l o 】d u u r s m ai m ，g r e f e r a t hm ，c o m p u t i n gs y m m e t r i z e dw e i g h te n u m e r a t o r s f o rl i f t e dq u a d r a t i cr e s i d u ec o d e s ，p r e p r i n t 1 1 1f o r n e yg d ，s l o a n en j a ，t h en o r d s t r o m r o b i n s o nc o d es iab i n a r y i m a g eo ft h eo c t a c o d e ，d i m a c s ，1 4 ( 1 9 9 3 ) ，1 9 2 6 【1 2 】g r e f e r a t hm ，s c h m i d ts e ， e q u v i a l e n c et h e o r e m ，j c o m b i n f i n i t e - r i n gc o m b i n a t o r i c sa n dm a c w i l l i a m s t h e o r y ，s e r a ，v 0 1 9 2 ，1 7 2 8 ，2 0 0 0 h a m m o n s a r ，j r ，k u m a rp v ，c a l d e r b a n ka r ，s l o a n en j as o l dp ，t h e 五l i n e a r i t yo fk e r d o c k ，p r e p a r a t a ，g o e t h a l sa n dr e l a t e dc o d c s ，i e e e - i t ，v 0 1 4 0 ，3 0 1 3 1 9 ，1 9 9 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 4 】h a r n m o n sa r ，k u m m a rp v ，c a l d e r b a n ka r ，e ta 1 ，t h e 五一l i n e a r i t y o f k e r d o c k ，p r e p a r a t a ，g o e h a l sa n dr e l a t e dc o d e ：s ，i e e et r a n s i n f o r m t h e o r y , 4 0 ( 4 ) ( 1 9 9 4 ) ，3 0 1 - 3 1 9 【1 5 】h u n g e r f o r dt w ，a l g e b r a ，s p r i n g - v e r l a g ，n e my o r k ，1 9 7 4 【1 6 】k i mj 一l ，l e ey ，c o n s t r u c t i o no fm d ss e l f - d u a lc o d e so