（光学工程专业论文）考虑分布参数波动的结构混合可靠性分析及应用.pdf

h y b r i dr e l i a b i l i t ya n a l y s i sf o rs t r u c t u r ew i t hf l u c t u a n t d i s t r i b u t i o np a r a m e t e r sa n di t sa p p l i c a t i o n l iw e i l x u e b e o u n a nu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i r e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro f e n g i n e e r i n g a u t o m o t i v e i n t h e g r a d u a t es c h o o l o f s u p e r v i s o r a s s o c i a t ep r o f e s s o r 肛a n gc h a o p r o f c s s o rh a nx u m a y , 2 0 1 1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：日期：沙f 年厂月如日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 作者签名： 导师签名： 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密翻。 ( 请在以上相应方框内打“”) 专婚。日期驯年r 月弘日 日期：沙1 1 年，月妒日 考虑分布参数波动的结构混合可靠性分析及应用 摘要 作为评价设备、设施性能的一项重要指标，结构可靠性越来越受到重视。 传统的可靠性分析技术，大多在确定性的环境下处理问题。但是现实环境往 往很复杂，例如设备的实际条件不符合限定的要求、理论分析时设定的常量 在实际中存在波动等。这些现象要求可靠性分析方法能够应对复杂问题，以 更好的适应实际环境。 基于上述想法，本文分析了分布参数存在波动性的概率区间混合可靠性 问题，主要研究内容如下： 1 分析了混合可靠度模型。该模型是一双层嵌套优化问题，外层在区间 参数空间内搜索，内层在设计变量空间内迭代。其中内层算法参考了传统的 可靠性求解技术。 2 在混合模型的构造过程中，发现累计概率函数对分布参数的单调性会 导致极限状态曲线从原空间映射到标准正态空间时的某种规律。本文分析了 多种工程常用概率分布类型的累计概率函数对其分布参数的单调性，在此基 础上得出两条性质，证明在分布参数存在波动性的情况下，可靠性指标的极 值会在参数区间的边界上达到。 3 依据上述性质，对混合模型求解算法进行改进，包括：将分布参数区 间内的优化问题进行简化，具体是将极限状态方程进行一阶泰勒展开，转化 成便于求解的问题；此外将原来的双层嵌套搜索解耦，把原嵌套优化的双层 迭代转化成平行搜索。改进后的算法，被应用于多个数值算例以及工程算例， 算法得到了验证。 4 敏感性分析有益于发现对目标性能有重要影响的量，同时区分对设计 目标作用不大的量。传统敏感性分析往往以大量可靠性计算为代价，对于本 文研究的问题，尝试回避传统方法，直接推导可靠度敏感指标的解析表达式。 本文列出了六类敏感性指标解析表达式的推导过程。基于该结论，只需对一 次可靠度计算所得信息进行处理即为敏感性指标。通过实际算例，证明了该 算法具有较好的效率以及精度。 关键字：结构可靠性；混合不确定度；概率；非概率区间：敏感性； 硕士学位论文 a b s t r a c t r e l i a b i l i t y i sa n i m p o r t a n tp e r f o r m a n c e i n d e xo ft h em e c h a n i c a l e q u i p m e n t s ，e n g i n e e r i n gf a c i l i t i e s ，e t c m o s t o ft h et r a d i t i o n a l r e l i a b i l i t y a n a l y s i sm e t h o d sa r eu s e di nac e r t a i nc o n d i t i o nt og e tt h es t r u c t u r a lr e l i a b i l i t y i n d e x b u tt h e r ei sal o to fu n c e r t a i n t yi nt h er e a lw o r l d ，s u c ha st h ea c t u a l c o n d i t i o n so ft h em a c h i n ed on o tm e e tt h er e q u i r e m e n t so ft h eg u i d e b o o k ，o r t h o s ev a r i a b l e sw h i c hs h o u l db ec o n s t a n t si nt h e o r yf l u c t u a t ei nt h ea c t u a l p r e s e n t t h e s ea l lr e q u i r er e l i a b i l i t ya n a l y s i sa l g o r i t h mo ft h ea b i l i t yt oc o p e w i t hc o m p l e xs i t u a t i o na st os o l v ep r a c t i c a lp r o b l e m sb e t t e r b a s e do nt h ea b o v ei d e a s ，w et r yt os o l v et h ep r o b a b i l i t y - i n t e r v a lh y b r i d r e l i a b i l i t yp r o b l e m sw i t hv o l a t i l i t y d i s t r i b u t i o np a r a m e t e r s ，t h em a i nc o n t e n t s a r ea sf o l l o w s ： 1 w ea n a l y s e dt h em o d e lf o rh y b r i dr e l i a b i l i t yp r o b l e m s t h i sm o d e li sa d o u b l e n e s t e do p t i m i z a t i o np r o b l e m ，t h eo u t e rc i r c l es e a r c h e si nt h es p a c eo f i n t e r v a lp a r a m e t e r s ，t h ei n n e rc i r c l es e a r c h e si nt h ed e s i g nv a r i a b l es p a c e ，w h i c h m a d er e f e r e n c et ot h et r a d i t i o n a l r e l i a b i l i t ya n a l y s i st e c h n i q u e s ，s u c h a s ： r e l i a b i l i t yi n d e xm e t h o d ，p e r f o r m a n c em e a s u r ea p p r o a c h 2 d u r i n gt h ep r o c e s so fc o n s t r u c t i n gt h eh y b r i dm o d e l ，w ef o u n dt h a tt h e m o n o t o n i c i t yo fc u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yf u n c t i o nt oi t sd i s t r i b u t i o np a r a m e t e r s w i l ll e a dt os o m ek i n do fl a ww h i c ha f f e c tt h em a p p i n go fl i m i ts t a t ec u r v ef r o m t h eo r i g i n a ls p a c et ot h es t a n d a r dn o r m a ls p a c e t h i sp a p e ra n a l y z e sm o n o t o n y o ft h ec u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yf u n c t i o nt ot h ed i s t r i b u t i o np a r a m e t e r s ，w h i c h c o v e r sav a r i e t yt y p eo fp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o nc o m m o n l yu s e di nt h ep r o je c t s t h i sl e a dt ot w op r o p e r t i e s ，w h i c hp r o v e dt h a tt h ee x t r e m ev a l u eo fr e l i a b i l i t y i n d e xw i l lo n l yo c c u ro nt h eb o r d e ro fp a r a m e t e ri n t e r v a l ，w h e nt h ed i s t r i b u t e d p a r a m e t e ri sv o l a t i l i t y 3 a c c o r d i n gt ot h ep r o p o s e dp r o p e r t i e s ，w em a k es o m ei m p r o v e m e n t st o t h eo r i g i n a lh y b r i dm o d e la l g o r i t h m ，w h i c hi n c l u d i n g ：w i t hf i r s t o r d e rt a y l o r e x p a n s i o nt o s i m u l a t et h el i m i ts t a t ee q u a t i o n ，w es i m p l i f i e dt h eo p t i m i z a t i o n p r o b l e mi n t h ed i s t r i b u t i o np a r a m e t e rs p a c e ；w ed e c o u p l e dt h eo r i g i n a l d o u b l e - n e s t e do p t i m i z a t i o np r o b l e m ，f r o md o u b l e n e s t e di t e r a t i o nt op a r a l l e l s e a r c h t h e i m p r o v e dm e t h o dh a s b e e n u s e di ns e v e r a ln u m e r i c a la n d e n g i n e e r i n ge x a m p l e st ov e r i f yt h ev a l i d i t yo ft h ea l g o r i t h m i r 4 s e n s i t i v i t ya n a l y s i s c o u l dh e l pd e s i g n e r t od i s t i n g u i s ht h ep a r 锄e t e r w h i c hh a v eam a j o ri m p a c to nt h et a r g e tp e r f o r m a n c ef r o mt h o s ew h o a r en o t v e r vu s e f u lf o rt h ed e s i g no b j e c t i v e s t r a d i t i o n a ls e n s i t i v i t ya n a l y s i sm e t h o d g e t st h es e n s i t i v i t y i n d e xo f t e na tt h ec o s to fal a r g e n u m b e ro fr e l i a b l l l t y c a l c u l a t i o n f o rt h eq u e s t i o no ft h i sp a p e r ， w et r yt og e tt h ea n a l y t l c a l e x p r e s s i o no ft h er e l i a b i l i t y s e n s i t i v e i n d e xd i r e c t l y ， a v o i dt h et r a d i t i o n a l s t r a t e g y t h i sp a p e r l i s t st h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o nf o rs i xc a t e g o r i e so fs e n s l t l v e i n d e x b a s e do nt h i sr e s u l t ，w ec a ng e tt h es e n s i t i v i t yi n d e xf r o m o n l yo n et l m e o fr e l i a b i l i t ya n a l y s i s p r a c t i c a l e x a m p l e s d e m o n s t r a t et h ee h l c i e n c y a n d a c c u r a c yo ft h ea l g o r i t h m k e y w o r d s ： s t r u c t u r a lr e l i a b i l i t y ； n o n p r o b a b i l i t yi n t e r v a l ；s e n s i t i v i t y ； h y b r i d u n c e r t a i n t y ；p r o b a b i l i t y ； i v - _ _ _ _ _ _ _ 。_ _ _ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 硕士学位论文 目录 学位论文原创性声明i 学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章绪 论1 1 1 结构可靠度研究的意义1 1 2 结构可靠性理论的研究进展2 1 3 存在的问题3 1 4 论文主要研究内容一4 第2 章混合可靠性模型的建立5 2 1 引言5 2 2 可靠性分析中的几个基本概念5 2 2 1 功能函数、极限状态方程与失效面5 2 2 2 可靠度与失效概率6 2 3 传统的一次二阶矩可靠度分析方法6 2 4 混合模型及其求解方法7 2 4 1 带区间分布参数的随机变量可靠性模型7 2 4 2 区间参数作用下的可靠指标算法8 2 4 3 区间参数作用下的功能度量算法1 1 2 5 本章小结1 4 第3 章单调性分析及混合可靠性求解1 5 3 1 引言15 3 2 单调性分析1 5 3 2 1 威布尔分布的单调性1 6 3 2 2 对数正态分布的单调性1 7 3 2 3 正态分布的单调性1 9 3 2 4 极值i 型分布的单调性2 0 3 2 5 极值i i 型分布的单调性2 1 3 2 6 均匀分布的单调性2 2 3 2 7 指数分布的单调性2 2 3 3 混合可靠性的性质及算法改进2 2 3 3 1 混合可靠性的两点性质2 2 3 3 2 混合可靠性指标的求解2 5 v 考虑分布参数波动的结构混合可靠性分析及应用 3 3 3 混合功能度量的求解2 6 3 4 混合可靠度算例2 6 3 4 1 数值算例2 6 3 4 2 悬臂梁2 6 3 4 3 管状悬臂梁2 6 3 4 4 车架结构2 6 3 4 5 碰撞安全性及可靠度计算2 6 3 5 本章小结2 6 第4 章混合可靠度敏感性分析2 6 4 1 引言2 6 4 2 敏感性指标2 6 4 3 管状悬臂梁2 6 4 4 车门结构2 6 4 5 本章小结2 6 总结与展望2 6 参考文献2 6 致谢2 6 附录a攻读学位期间所发表的学术论文目录2 6 附录b 重要表格2 6 v i 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 结构可靠度研究的意义 结构的可靠性分析，其基础是概率、数理统计等理论，结合有限元分析 和网络分析方法，全面评估了系统的设计、制造等环节。 长久以来，“可靠性”这个概念被广泛用来定性评估设备或者工程的品质。 这种评价产品是否可靠的技术，严重依赖人的主观经验，缺乏量化的的标准。 英国国家航空管理委员会出版了适航性的统计学解释一书，最先提出飞 机的安全性的定量标准是其故障率小于10 咱次d , 时。德国专家于二战末期提 出利用概率的乘积原理，将各分系统各自的可靠度相乘，结果视为系统总体 的可靠性，据此得出德国某系列导弹导引设备的可靠度为7 5 ，第一次对产 品的可靠性作出了定量表达。m i t 于2 0 世纪4 0 年代开始进行真空管可靠性 的研究工作。美国在二战时期由于军事设备的可靠性过低浪费了巨大的人力 物力，这些引起了军方对武器、设备可靠性的关注。美国军方成立了著名的 “电子设备可靠度顾问组 ，最先系统研究了结构的可靠性问题，该机构发 表了开创性的电子仪器可靠性报告，创造了一系列评价产品可靠度的理 论，奠定了其在可靠性领域的地位。 2 0 世纪后半期，随着太空探索以及宇航科学的高速发展，大力推动了系 统可靠性的研究工作，可靠性的应用范围也得到了极大扩展，除了原有的电 子系统、航空、航天等部门历来重视对可靠性的研究，机械、土木工程、化 工等领域也开始逐渐对可靠性问题发生兴趣。可靠性研究也不再专属于高端 的航空航天等领域，日常设备、工程的设计也逐渐普及可靠性设计的理念。 将可靠性设计的理念引入到产品的设计环节，从结构、工艺等方面着手想方 设法提高产品的可靠性，从根本上提高产品的质量，这是增强产品和企业竞 争力的不二法门。所有这些都推动可靠性研究在新时期不断进步，进入新的 层次。 近年来，在可靠性设计基础上，与优化方法结合，所产生的可靠性优化 方法，被用于生产实践中，并取得了显著的效益。随着科技水平的提高，伴 随着国民经济的发展，系统可靠性研究将大有用武之地。我国曾于19 6 0 年 左右进行设备、工程安全性的研究探讨，随后制定的一些结构设计规范综合 了概率方法与实际工程经验，到2 0 世纪8 0 年代，可靠性研究进入新的发展 时期，理论研究与工程应用不断推陈出新，这个时期产生了一批可靠性研究 考虑分布参数波动的结构混合可靠性分析及应用 的专著，许多大型工程也采用了可靠性研究的成果，多个部门都制定了相应 的结构可靠性设计规范。到目前为止，在我国在土木工程、水利工程等实际 工程领域的可靠性研究工作已有了几十年的积累，理论研究和工程实践水平 不断提高，这两者互相促进，工程实践检验了理论研究成果的应用价值，为 理论研究提供新的研究点以及有价值的研究方向，同时理论研究成果为工程 建设提供新的方法，在节省资源，提升产品质量等方面，有不可替代的作用。 1 2 结构可靠性理论的研究进展 伴随着人类科技水平的提高以及社会的进步，设备、工程的可靠性和质 量逐渐引起人们的关注。近几十年来，作为新的工程学科，可靠性分析得到 了快速发展。由于工程结构中存在大量不确定因素，给结构可靠性分析带来 很大困难。结构可靠性研究的发展大致包含三个时期： 1 概率可靠性分析时期。2 0 世纪初已出现概率可靠性分析方法的萌芽， 其主要发展时期是从2 0 世纪4 0 年代到6 0 年代末。 2 结构概率可靠性理论时期。从2 0 世纪7 0 年代到8 0 年代，结构可靠性 研究不断被系统化，多个国家都制定了自己的可靠性规范。 3 系统可靠性成熟以及其他可靠性理论的萌芽时期。可靠性研究的发展 逐渐深入，不确定性对可靠性分析的影响越来越多的出现在研究问题中，据 此提出了模糊可靠性等新型的可靠性理论，并不断发展、完善。 2 0 世纪初，概率可靠性理论逐渐萌芽，概率论等理论被用来判断结构的 可靠性。f r e u d e n t h a l 发表的结构安全度口 ，为结构可靠性分析提供了 理论基础。1 9 6 8 年，康奈尔首次提出了一次二阶矩方法口8 1 。19 7 4 年，h a s o f e r 和l i n d 成功解决了康奈尔方法存在的不一致问题口引，但该方法仅能求解设 计变量服从正态分布的问题。 在极限状态方程非线性程度较低的情况下，一次二阶矩法能够给出较好 的失效概率计算结果。非线性程度越高，误差越大，为解决该问题，提出了 二次可靠性分析方法，它利用了极限状态函数的二阶近似。 除上述方法，蒙特卡洛数值模拟也可以求解结构的可靠性。蒙特卡洛数 值模拟可以直接求解而且很容易确定数值模拟的误差，其缺点在于当失效概 率取值较小时该方法的计算量很大。结构的失效概率往往很小，所以蒙特卡 洛方法的应用受到制约。 在实际工程问题中极限状态函数往往为隐式函数，无法进行解析求解， 采用数值模拟方法，多数情况下其计算量难以接受。有人尝试将隐式函数进 行转化，得出其近似表达式，通常采用的方法有响应面、神经网络等。响应 面较为容易，干扰其精度的主要因素有：函数形式、采样点分布。响应面方 2 硕士学位论文 法对强非线性函数近似能力不足。神经网络计算量相对响应面法要大，但对 非线性程度较严重的函数有较好的处理能力。 使用概率可靠性进行结构分析，通常要对变量的随机分布类型进行假定。 由此导致其具有两个较大的不足：1 构造较精确的分布模型，需要用到大量 信息，而实际工程中大多时候无法进行多次试验，来获得足够多的样本点， 所以无法得到充分的数据，来使用概率可靠性分析模型：2 该方法对模型参 数敏感性较高，有研究表明，分布参数与真实值之间发生微小偏差都有可能 带来可靠性指标的极大误差【9 】。相对于概率可靠性问题，非概率可靠性是一 个新兴的研究方向。 要通过数量有限的样本点，构造不确定参数的精确概率分布模型，往往很困 难，但是基于这些有限的信息，可以较容易得出参数的取值区间。实际工程 实践中，变量的变化范围是较容易得到的。2 0 世纪9 0 年代，b e n - h a i m 口0 3 l 】 和e l i s h a k o 彬3 2 1 利用凸模型，描述系统中未知但是存在边界的参数并提出了 结构非概率可靠性的模型。郭书祥和吕震宙等凹3 3 劓，基于区间分析求解技术 针对不确定参数为区间变量的情形，提出一种系统安全级的非概率可靠性指 标，并发展出了一系列分析技术。为处理线性问题，文献 1 0 通过使用两阶 极限状态方程，提出了一种混合可靠性分析方法；文献 11 通过综合概率与 非概率方法，得出一种针对不确定结构的鲁棒性设计技术；文献 1 2 提出了 一种求解混合问题的可靠性设计方法。文献 1 3 ，1 4 探讨了随机振动结构最 差响应的反优化问题；文献 1 5 分析了基于混合不确定模型的敏感性问题， 并对概率与非概率方法的计算结果作了比较；文献 1 6 将混合不确定模型应 用于结构系统，并计算了由区间参数导致的失效概率区间。在区间可靠性指 标基础上，考虑椭球与区间并存的状态，文献 3 5 提出了相应非概率可靠性 指标。在比较了椭球与区间模型之后，文献 3 6 得出结论：区间计算所得的 结果较保守，各变量经常取到边界值。，针对包含不确定参数的情况，基于有 限元分析技术，文献【4 1 ，4 2 发展出一套数值算法，用于求解结构响应边界。 通过将一次二阶矩方法引入可靠性分析，文献 4 3 4 5 定义了一种非概率可靠 性指标，其几何意义是在标准凸空间中，搜索极限状态曲线到原点的最短距 离。基于凸模型，文献 4 6 5 0 研究了带不确定变量的，可靠性优化设计问题。 从上述研究工作可见，对缺乏足够样本的结构，凸模型可用于不确定分析， 以及可靠性设计，而且相对于传统技术，该方法对实际工程应用有一些更好 的特点。 1 3 存在的问题 混合可靠性分析有待进一步研究，与可靠性分析相关的一些重要问题仍 3 构建混合可靠性模型，该模型中使用带区间参数的随机分布变量来描述不确 定性。引入概率转换过程对分布参数的单调性分析，在此基础上得出求解混 合可靠性问题的高效算法，之后用算例验证了算法的精度和效率。在此基础 上，构建了一种结构可靠度敏感性分析技术；最后，本方法被应用于悬臂梁 结构及车门结构的分析。 4 硕士学位论文 2 1 引言 第2 章混合可靠性模型的建立 传统的可靠性分析方法没有考虑不确定因素的影响，针对给定的设计变 量，给出唯一的可靠性指标。然而，现实环境中存在很多不确定因素，例如： 材料性质，人员素质，工作环境等。这些因素都对设备性能发生影响。因此 对可靠性设计问题，有必要考虑不确定因素的作用，验证机械设备在一定条 件范围内的可靠度。具体而言，可以用区间来表示这些不确定因素的波动范 围，构造相应的算法，计算结构在这种不确定环境下的最小可靠性指标与最 大可靠性指标，即为混合可靠性问题的求解。对于传统的可靠性问题，算法 只需在设计变量空间内搜索，得出可靠性指标即可。混合可靠性问题由于区 间参数的影响，待搜索空间维数增加。完整意义下，算法需要搜索每一种区 间参数取值下的设计变量空间，随着区间参数个数的增加，计算量快速增大。 本章首先介绍了可靠性分析的一些基本概念，随后引入混合可靠性问题 的求解模型，分析模型的构建中参考了文献【1 3 ，5 1 ，5 2 前期研究成果。 2 2 可靠性分析中的几个基本概念 2 2 1 功能函数、极限状态方程与失效面 功能函数作为可靠性分析中的一个基本概念，是结构响应与影响该响应 值的各个因素之间的函数关系。若以随机变量x = ( 五，屯，毛) 表示结构中的 影响因素，g ( x ) 代表功能函数，则极限状态方程为：g ( x ) = 0 。在设计空间 中，由极限状态方程构成的曲面称为极限状态曲面，也称为失效面心 。 已知了极限状态方程，就可以定义失效状态，临界状态，安全状态如下： f 0 ，安全状态 各个状态下所对应的随机变量的取值范围分别称为失效域q ，安全域q ，定 义如下： q ，- - x l g ( ：x ) o ( 2 3 ) x = ( 西，x 2 ，毛) 被映射到标准正态空间中，得到的新随机变量u = ( ，吻，) 满足标准正态分布，其映射关系如下： 吩= h ( 薯) ( 2 1 0 ) 6 坝士学位论文 其中只是随机变量五的累积概率函数( c o o ，- 1 是标准正态分布累积概率函 数的逆函数。由此可以得到功能函数的映射关系： g ( x ) - g ( r ( u ) ) = g ( u ) ( 2 1 1 ) r 为基于式( 2 10 ) 的转换函数。式( 2 9 ) 中的概率积分可以重新表示如下： p r g ( x ) o ) = l 咖f u ( v ) d v ( 2 1 2 ) 式中尼是u 的联合概率密度函数。注意到经过上述变形之后，等式( 2 1 2 ) 在“空间中的积分与等式( 2 9 ) 在x 空间中的积分完全等价。被积函数兀( u ) 的 等可靠度线是一系列同心超球面，由此，等式( 2 1 2 ) q b 的积分相对于等式( 2 9 ) 要容易计算。 从这里可以看出，可靠性指标的几何意义是标准正态空间中极限状态 曲面到原点的最短距离，即： p - m i n i u i i ( 2 1 3 ) 可靠性计算最终转化成如下问题： f j 忠。梨亿at0 ” i z 1i 【j j g ( u ) = 、。 2 4 混合模型及其求解方法 2 4 1 带区间分布参数的随机变量可靠性模型 对于一带区间分布参数向量】，的随机向量x ，从原始空间转换到标准正 态空间的过程表示如下： 妒( u ) = 最( x ，l ，) ，矽= 妒以 目( x ，y ) ( 2 1 5 ) 式中y 为区间分布参数构成的m 维向量： y 旷，】，u ，】： 干，甲 ( i = l 2 ，m ) ( 2 1 6 ) 通过上述转换，可以得到标准正态空间中的极限状态方程： g ( x ) = g ( r ( v ，l ，) ) = g ( u ，】，) ( 2 17 ) 试举一例说明区间参数对转换过程的影响。 极限状态方程： g ( x a ，而) = 1 0 0 一五而= 0 ( 2 1 8 ) 而与而均服从正态分布，且五与毛相互独立，分布参数：h = 5 ，q = 0 5 ，鲍 为区间变量且心= 【8 ，1 6 】，0 2 = 1 2 。 在非标准空间中，极限状态方程所对应曲线只是一条，但是将非标准空 间中的曲线转换到标准正态空间中时，会得到一个带状区域，如图2 1 所示。 7 考虑分布参数波动的结构混合可靠性分析及应用 吻 l 1 弋j 。 础 砖 图2 1 极限状态曲线映射得到的带状区域 由于x a 与而均服从正态分布，且相互独立，从非标准空间转换到标准正 态空间的过程中，映射关系如下： 珞= 生丛屹：笙丛( 2 19 ) d 1 显然，由于鸬为不确定变量，对于任意给定的砭经过映射得到的变量吃 是一个不确定变量，其取值范围是如下区间： 心纠 - l 净，警l ( 2 2 0 ) 图2 1 中，点( 嘶，o ，甜：l ) 与点( 1 4 i , 0 谚) 的横坐标相同，是因为从而映射到的 过程中，没有不确定因素，是个一对一的映射。从图2 1 可以看出，随着鸬的 值逐渐从小到大变化，标准正态空间中的极限状态曲线也自上向下移动，这 个移动过程是单向的。当鸬取最大值时，极限状态曲线到达带状区域的下边 界，这正是m p p l 点所在的曲线。更确切地说，这是由于随机变量而的累积 概率函数( c d f ) 是分布参数鸬的单调递减函数，这种单调性通过映射关系的传 递，最终表现为“，对鸬单调递减。 2 4 2 区间参数作用下的可靠指标算法 由于区间参数y 的影响，o ( v ，i ，) = o 所表示的极限状态在参数空间中不 再只是一个曲面，而是由两个边界面构成的体，二维情况下，表现为一个如 图2 2 所示的带状区域，图中距离原点最近与最远的极限状态曲面具有不同 的y 值。 通过分析两边界面的可靠性，可以得出混合可靠性指标： 矿( m p p l , f l ) ，( m p p u , f u ) ( 2 21 ) 式中u 与矿分别表示上下边界面的可靠度指标。 8 硕士学位论文 图2 2 极限状态区域与可靠指标区间 混合可靠度指标不再是确定值，而是一波动区f n - j ，这种可靠度指标的 不确定性是由于引入区t - j 分布参数而导致的。由此，可获得结构失效概率区 间： 乃e 力， = ( 一夕u ) ，( 一矿) ( 2 2 2 ) 为计算边界矿与u ，可构造如下两个优化问题m 3 ： l 呼= m ，i n o ( u ，裂0 ( 2 2 3 ) 卜呼 ，y ) 2 、7 与 k , 8 峄u - - m 如h l ，y ) i i u n ：。 ( 2 2 4 ) 显然，矿与u 的求解为典型的嵌套优化问题。下面以矿为例，解释该过程： 外层循环：识别出区间的最差值乙 乎：= l l u ( 】，) l l ( 2 2 5 ) i 占，y l y y u 、7 在上述模型中，区间变量的最差组合匕删通过最小化可靠性指标来搜索。通 过上述模型，能够在区间变量的空间内找到最小可靠度。上述优化问题需要 计算可靠性指标，需要通过下面的内层优化来实现油羽： 内层循环：找到u ( 】，) s 冀。凛。 仁2 6 ， 此处的变量是标准正态空间中的随机变量。该问题可以使用传统的r i a 求解 算法计算，r i a 方法的求解可以归结为一个优化问题【1 】： 9 考虑分布参数波动的结构混合可靠性分析及应用 。罂。 亿2 7 ， 其中| | | l 表示向量范数。通过上式获得的最优点u 即为最大可能点( m p p ) 。 夕= 0 u 0 为可靠度指标，表示标准正态空间中极限状态曲面到原点的最短距 离。有很多方法可以求解这个最小化问题，这里使用h l r f 迭代格式。h l r f 迭代格式可以由式( 2 2 7 ) 的k k t 条件推导而来。式( 2 2 7 ) 的k k t 条件可以写 为2 引： 嚣v(1l-)ll：)+五v0 q 矿卜。 ( 2 2 8 ) 【g ( 矿) = 、 盼胱) - 0 【g ( 扩) = 0 将v g ( u ) 简写为v g ，式( 2 2 9 ) 两边同乘以( v o ) r ，得： 即： ( v g 再) r 厂u + 名( v g ) rv g 0 1 y l l 。、l ， l ：ii(vgl)ii矿iiullco暇+五胁g)0：u h “叫 川i - f l ( v o ) l l c o s 口+ 五| i ( v g ) l i ) = o c o s 口+ 五| l ( v g ) 0 = o ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 其中口表示向量矿与v g 之间的夹角。由于g ( o ) o ，g ( u ) - o ，则：u r v g 9 叭进一步由式( 2 3 0 ) 可以看出口= 1 8 0 。且旯2 翮1 ，原因在于：若 两个向量的和为0 ，则这两个向量对应分量互为相反数。 将z 的值代入式( 2 2 9 ) ，得到瞳引： 硕士学位论文 卜桫f j 罱 【g ( v ) = 0 该方程通常为非线性，需要迭代计算。利用一阶泰勒展开： g ( u ) g ( u ) + v g ( u ) ) r ( u u 七) 0 结合式( 2 3 1 ) ，经过推导得出： 1 1 u 1 1 = 一【! ! ! ! l l ：粥! ! c 竺： 二) l l ! ! 竺：! 将式( 2 3 3 ) 与式( 2 2 9 ) 综合，可以得到： 儿(vg(u盯k)ruk-g(uk)vg(u) 求解式( 2 2 5 ) 与式( 2 2 6 ) ，可以得到最差可靠性指标矿。注意到式( 2 2 6 ) 的内层循环嵌套在式( 2 2 5 ) 的外层循环之中。求解u 的过程与之类似。 2 4 3 区间参数作用下的功能度量算法 当分布参数为定值时，功能函数曲面映射到标准正态空间中，只对应唯 一的超曲面。使用功能度量法( p m a ) 来求解，对于特定的可靠性指标屈，存 在唯一确定的最小功能函数值g m 协。 在混合模型中，由于区间参数的影响，原始空间中的单一功能函数曲面 映射到标准正态空间中会得到一个曲面族，所有曲面叠加成一个层状体。此 时如果使用功能度量法( p m a ) 来求解，对于特定的可靠性指标屈，曲面族中 的每一个曲面都可以找出一个对应的最小功能函数值，如图2 3 所示，图2 4 是求解过程投影到平面上的示意图，这些最小函数值构成一个区间： g l ，g u 。 d q 3 曩 3 3 q 仁 q q 业i 龋黼| 黔型m 七 一 u 一 一 “一 一 考虑分布参数波动的结构混合可靠性分析及应用 图2 3 二维情况下的p m a 求解混合问题模型 掰： 厂 l 0 。、。皂。 勘 ) 图2 4 混合问题p m a 求解平面示意图 l 与g u ，可构造如下两个优化问题口： 伊2 竺g ( y ) ( 2 3 6 ) 【s t 1 i v l l = p 、7 f g u = 掣j r g ( y ) 【s 上矧= 属 求解该区间的传统方法是一个双层循环过程， 外层循环：识别出区间的取值 ，叩g ( 扩，d 【占j y l 】，】，u 内层循环：找出反可靠性问题的最可能点 呼g ( u ，y ) 【豇i l u l l - - p , ( 2 3 7 ) 其求解g l 的过程如下哺射： ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 硕士学位论文 该问题可以使用传统的p m a 算法求解。 传统的功能度量方法用到极限状态方程以及给定的可靠指标尼，该方法 针对给定的可靠指标屈寻求功能函数的最差表现，即求解如下最小化问题： 薪终 亿4 。， 验算点u 在半径为屈的球面上。a m v 可以用于求解该问题，a m v 迭代 公式可以由式( 2 4 0 ) 的k k t 条件推导而来。式( 2 4 0 ) f 1 9k k t 条件可以写为心引： 骅p 卟。 仁4 ， 进一步变换可得： + 胛g ( 卟。 ( 2 4 2 ) = o i 将v o ( v ) 简写为v g ，式( 2 4 0 ) 两边同乘以( v o ) r ，得： 即： ( v g 再) r 厂u + 旯( v g ) rv g 州i