（应用数学专业论文）基于模糊互补判断矩阵一致性的多属性决策分析.pdf

基于模糊互补判断矩阵一致性的多属性决策分析 摘要 论文主要研究基于模糊互补判断矩阵一致性的多属性决策问题经过深 人分析，论文首先提出一个模糊一致矩阵的充要条件，再根据差异最小化的 思想，构建一个最优化模型，利用一个含有参数的矩阵逼近原模糊互补判断 矩阵，得到一个新的模糊一致矩阵，然后再求出这个模糊一致矩阵的排序向 量同时，论文通过一个简单的转换公式，使论文的新方法可以用于给出正互 反判断矩阵的情况最后，先利用模糊数的口截集，把对模糊数的排序转化 为对区间数的排序，再利用区间数的可能度矩阵是模糊互补矩阵的特点，将 论文的方法应用于模糊数的排序通过分析研究，论文提出一种确定模糊互 补判断矩阵排序向量的新方法，通过转化公式，新排序方法可以应用于决策 者给出正互反判断矩阵的情况最后探讨了模糊数的排序，排序分辨率以及 保序性等问题在研究过程中。总结了有关模糊互补判断矩阵的排序向量的 结论；新的排序方法与传统的求模糊互补判断矩阵的方法不同，传统的方法 往往只求得一个排序向量，而用论文的新方法却求得一族排序向量此外， 利用论文的方法，通过改变排序向量中的参数，可以适当地调整排序结果中 的分辨率 关键词s 多属性决策排序模糊互补判断矩阵一致性 分类号。c 9 3 4 ，0 2 2 3 n i t i - a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gb a s e do n c o n s i s t e n c yo ff u z z yc o m p l e m e n t a r y j u d g e m e n tm a t r t h ep 唧eo ft h i sp 印e ri st os t u d ym i l l t i - a t t r i b u t ed e c ：i s i o nm a l c i n go nt h eb 鹪i 8 o fc 0 s i s t e n c yo ff i l z z yc o m p l 锄e n t a r yj u d 舯e n tm a t r i ) 【at h e o r e mo ns u 伍c i e n c ya n d n e o e s 8 i t y0 ff i l z z yp o s i t i v em a t r i 】【i 8p r o p e da f t e r 删出蛆a l y 豳b 勰e do nt h et h o u g h t o fm i n i 蛐d 喇a 土i o n 衄，腿o p t i m i z a t i m o i i dj sc c 咀s t n l c t e d 丑瑚t ，a n dt h e naf o n d i a 埘t hp 蹦如e t 盯j st a k a d 啪t 8 9 et o 印p r 假脚础et h e e 印o n d i n ge 1 朋1 e n ti nt h ef u z 巧 c o m p l e 】咀e n t 8 盯m 8 t r i x 觚dr e 8 l l l t 8i no b t a i i | 1 9af i l z z yp i t i v em a t r i 丁【m e a n w h i l e ，t h e 甜d e r i n gv 鲥mo f t h e f l l z z y p o s i t m 曲叔i sc b w 8 t e d o t h 撼，坶l l s i n gas i i n p l e f o l 硼l l a ，t h en 鲫m e t l l o di nt h ep 印e r 咖b e 印p h e di nt h es i t u a t i o nw h 盯ep 鲥t i 、，e r e ! c i p l 蒯m a t r i 嘲a 舀唧a tt l 坨e n d ，f o rt h e 阳n k e df i l z z yn 吼b e 碍，口c u t so f 址旧 f i l z z ym m l b e 船a 1 1 8 e d 眦dt h ep 0 髓i b i l i t ym a t r i xo fn i e ac u t 8i sc o 璐t n l c t e d b a 8 e d o nt h eo r d e r i n gv e c t o ro ft h ep s i b m t ym a t 血，t h ep r o b l 鼬o fr 跗l 妊n gf i l z z ym m l b e 碍i 8 t r 踟培f o m e di 玎协t h e eo f8 0 l 、，i n gr 衄k i n gw ，c t o ro fp 懈i b i h t ym a t r 政w h i d hi 88 c t u a u y 8f u z z y 蛐p l e m e n t a r ym a t r i 墨a 危凹a a l y z i n g ，t h i 8p a p 盯p r o p 0 8 鹤ai l e wm e t h d dt 0 d e t 嘲i n et h eo r d e r i n g ，c t o ro ff u z z y m p l e m 喊a r ym a t r 政，蛐dt h en e wm e t h o d 咖 b e1 l s e d 坶8f o 皿曲l aw h e nd i 8 i i d nm a 王呛疆醣v ep 吲t i v er e d p r o c 8 lm a t r i c 鹤a n dt h e p l i o b l 哪o f 埘4 l h n g 矗l z z y 邛m l b e 墙i 8b t u 捌w h 阻m 鼬b 础pf i m c t i o 璐8 r en o tg i 唧， 8 0d ot h ed i s c r i m i i l 8 t i o n 埔n i d r l gw ，c t o r 蚰dr a n k 阳雕n h t i o n t h r o u g ht h es t u 蛳n g ， m e n c l i 塔i o n 8a g i v e n ：n e w 瑚皿l d gm e t h o dj sd i 8 e r e n tf r o mt h et r 8 d i t i o n a l 嘲 t kt 础t i o n a lo n 髑j u s tp r o d l l c e d0 n l yo n er 舭l l 【w c t o rb u tt h bn e wo i l eh 够8 i l y o fo r d e r i n gw c i 删瞎a d d i t i a i l y ，i tc 蛐d h a n g et h e 出8 c r i m i n a t i o no fr a n k e do b j e c t sb y a l t e r i n gt l 塘v 出l 垃o fp 龃锄耽盯i nt h ef o 仉n u l aa 1 ) p f o p r i a t l 弘 k e yw ，0 r d s ：m t l l t i a t t r i b u t ed e c i s i o nm a h n g ；r 腿k ； f i l z z yc 0 删) l e m 姐t a r yj u d g e m e n tm a t 】奴；c o i s t e n c y a m ss u b j e c tc l a s 8 i f i c a t i o 璐： c 9 3 4 ，0 2 2 3 皇查茎竺圭兰竺竺兰堡些兰2叁兰堡塑三些型竺丝竺三兰兰竺兰苎兰查墨全篓1 1 1 前言 第一章多属性决策分析 多属性决策( m u l t i - a t t 曲u t ed e c i 8 i o nm a l d n g ) 问题也称为多指标决策问题，它是决 策方案有限的多目标决策问题，因此有人称之为离散的多目标决策问题 多属性决策( m a d m ) 主要解决具有多个属性的有限决策方案的排序或优选问题多 属性决策问题广泛存在于社会、经济，管理，工程等领域中，如投资决策、项目评估、质 量评估，方案选优、工厂选址科研成果评价，人才考核，产业部门发展排序，技术经济 综合评价，经济效益综合评价等。因此多属性决策理论及方法有着广泛的应用前景，对 多属性决策理论，方法及应用的研究具有重要的理论和现实意义 通常。每个多属性决策问题都包含以下五个要素t ( 1 ) 决策人和决策单元决策人可以是个人或一群人。直接或间接地提供最终的价 值判断，据此选择最优或排列可行方案决策单元包含决策人，其它决策分析者和机器， 是信息的处理器 ( 2 ) 属性集f = ，五，m ) 每个被选方案都有m 个属性 ，2 ，m ( 3 ) 被选方案集x = 五，托，五。) 每个决策问题有n 个可行方案可供选择或排 序 ( 4 ) 决策规则一般可分为两类最优化准则和满意准则满意准则把可行方案划分 为若干有序子集，牺牲了最优性，使问题简化，寻求令人满意的方案 ( 5 ) 决策情况多属性决策问题的决策情况是指问题的结构和决策环境 设多属性决策问题中的决策方案构成的集合为x = 墨，恐，五。) 多属性决策 问题的目标是要从五，恐，五。这几个方案中选择最佳方案，或者将这些方案进行排 序( 给出优劣顺序) ，为此，首先需要从多个方面、多个角度来考虑这些候选方案，也就 是说用多个属性( 指标) 来反映这n 个方案的本质特征，尤其足个性 设方案的属性构成属性集f = ，2 ，m 。个决策方案的某个属性，是对该 方案的某方面特征的描述与刻画，这种描述可能是定量的( 即给出该方案的属性值) ，也 可能是定性的，如很好较好，较差、很差；很重要较重要，重要。一般，不重要等语 言变量如果能用某种方法( 如模糊数学方法) 把定性描述定量化，则多属性决策问题可 以用表1 表示 广西大学硕士学位论文f 2 0 0 6 年) 基于模糊互朴判断矩阵一致性的多属性凌蕈分析 2 属性 方案 、| 2 l m 五z 1 1z 1 2 z 1 m 恐勋1o 镏勋m k耳lz n 2 a m 其中，也，o = 1 ，2 ，疗；j = l ，2 ，m ) 为五在属性厶下的取值，即属性值 对于多属性决策的研究始于1 9 5 7 年，当时c h u r d l m a n ，a c l 【o 仃和a r n o 圩首次正式 利用简单加权法处理了。选择企业投资方针。这样个m a d a 问题但随后对m a d a 的 研究很长时间都未引起人们的重视6 0 年代以来。决策理论在实际同题中的应用逐渐广 泛起来进入7 0 年代后，多目标决策，群决策，序贯决策，模糊决策以及决策支持系统成 为人们研究的重点随着决策科学的发展以及实际的需要。多属性决策的研究开始热门 起来到了八十年代初，h w a n g 和y o 叩非常系统地回顾和总结了前人关于m a d a 的大 量研究成果，编辑和出版了第一本m a d a 的专著lm 此i p ka t t r i b u t ed e c i s i o nm a l d 】唱 m e t h o da n da p p n c a t i o n 那时。关于多属性决策问题的研究己经有了一些成熟的方 法，例如，当方案的数目太多时用于筛选方案的优选法、连接法和分离法，用于确定属性 权重的最小平方法和特征向量法用于方案排序的最常用的简单加性加权法和层次加性 加权法，按属性权重大小选择方案的字典序法，基于理想解概念的t o p s i s 法u n m a p 法。此外还有基于估计相对位置的方案排队法线性分配法，e l e c t r e 法等 正如前文所述，方案的属性可以定性表示，定性属性通常表示决策方案的重要性， 优越性等，当直接确定属性值较困难时，可以邀请专家对所有决策方案在这一属性上的 差别给出两两比较判断矩阵，如a h p 判断矩阵和模糊互补判断矩阵。然后求出判断矩 阵的排序权向量，将该排序向量的分量作为各决策方案在所给定性属性下的属性值这 种定性属性的定量化方法称为基于判断矩阵排序向量的方法 层次分析法( a h p 法) 【1 1 自2 0 世纪7 0 年代中期由s a a t y 提出后，3 0 年来无论在理 论研究还是应用研究方面都取得了显著进展，目前仍然是系统工程及决策分析工作中研 究的主要对象之一a h p 法的基本原理在有关决策理论的书籍上均有介绍，因此在这 里就不再讨论了 模糊互补判断矩阵在决策分析中的应用刚刚起步，在理论上和应用上都不如a h p 判 断矩阵成熟，很多问题还有待进一步研究，如模糊互补判断矩阵的一致性、排序向量的 计算和相关实际应用等问题因此本论文主要对模糊互补判断矩阵的一致性，排序向量 及其在多属性决策中的应用做一些研究工作 广西大学硕士学位论文( 2 d 0 6 年) 基干模糊王补判断矩阵一致性的多属性次策分析 3 1 2 1 模糊互补判断矩阵的有关概念与性质 为以后叙述方便，记j = l ，2 ，n ) 设有个有限的决策方案集为x = 置忙 n ，其中，咒表示第i 个决策方案假设决策者针对方案集x 给出的两两方案优劣比 较的偏好信息是一种实数值表示的模糊互补判断矩阵，下面给出模糊互补判断矩阵的一 些描述决策者针对方案集给出的偏好信息由一个矩阵pcx xx 来描述，相应的隶 属函数蜥：x x 一 0 ，1 】，其中p p ( q ，) = 砌，黝可以被理解为方案码优于五 的程度 定义1 ，1 嘲对于二元对比矩阵p ；慨f k 。其元素的含义如下t ( 1 ) = o 5 表示甄与玛同样重要，记为托一玛i ( 2 ) o 黝0 5 表示玛比墨熏要，记为玛 五，且黝越小，玛比五越重 要； ( 3 ) o 5 黝s 1 表示五比玛重要，记为五 玛，且黝越大，五比玛越重 要 定义1 2 两假设矩阵r = ( ) 。 ，j = l ，2 ，n ，如果矩阵r 中的元素满足 0 曼l ，则矩阵r 被称为模糊矩阵 定义1 3i 目设二元对比矩阵r = ( ) 。若满足性质一 ( 1 ) = o 5 ，m d ( 2 ) r j + 伽= 1 ，m ，j ，) 则称矩阵只为模糊互补矩阵，其中性质( 2 ) 表示矩阵的元素具有互补性 定义1 4 i q 设r = ( 勺) 。为模糊互补矩阵，如果矩阵r 中的元素满足q = 一协+ 0 5 ，则称矩阵冗为模糊致互补矩阵 定理1 11 4 】模糊互补判断矩阵冗；( q ) 。是模糊致互补矩阵的充要条件是矩阵 的任意两行的对应元素之差为常数 1 2 2 模糊互补判断矩阵与互反拳断矩阵的区别与联系 层次分析法( a h p ) 【1 1 一般采用正互反判断矩阵，而有相当部分多属性决策问题。 判断矩阵采用模糊互补矩阵形式模糊互补判断矩阵在一定程度上改善了传统a h p 中 诸如判断一致性与矩阵一致性相异i 一致性检验困难与缺乏科学性等等问题，从而提高 了决策可靠性但模糊互补判断矩阵是在正互反判断矩阵基础上提出的，因此两者既有 广西大学硕士学位论文口0 0 6 年) 基于模糊互朴判断矩阵一致性的多属性次策分析 4 区别又有联系嘲 ( 一) 两者的定义不同 定义1 5 l q 矩阵a = ( ) 。称为正互反矩阵若其元素满足， ( 1 ) = l i ( 2 ) 叼= 去，叼 o ，j j ) 其中性质2 表示矩阵a 的元素具有互反性 定义1 6 【1 】正互反判断矩阵a = ( ) 。称为一致性矩阵，若其元素满足， 叼= 蛳，似，j ，j ) 正互反判断矩阵是由两两比较的比例标度得到的判断矩阵 而若二元对比矩阵p = 慨j ) 。为模糊互补判断矩阵。则其满足。 ( 1 ) 黜= o 5 ，( d ； ( 2 ) p i j + 黝= l ，惭，j j ) 其中( 2 ) 表示矩阵p 的元素具有互补性若模糊互补判断矩阵p = ( p i j ) 。具有一致 性，则有 p = m 一跏+ o 5 ，m ，j ，七d ( 二) 两种判断元素的意义不同 设个有限决策方案集为x = 五i ， ，其中墨表示第i 个决策方案假设决 策者针对方案集给出的两两方案优劣比较的偏好信息是由实数值表示的正互反判断矩阵 a = ( 叼) 。来描述，则对叼可以理解为方案咒与乃的重要性程度之比 假设决策者针对方案集给出的两两方案优劣比较的偏好信息是由实数值表示的模糊 互补判断矩阵r = ( ) 。c x x 来描述，相应的隶属函数p r ：x x 一【0 ，1 】，其 中脚仇，) = 勺。q 可以被理解为方案置优于玛的程度 两者相应一致矩阵的元素与排序的关系不同 设咄和哟为方案五与玛的排序权重，若a = ( ) 。为对方案集x = 五i n 进行两两比较判断的正互反一致矩阵。则有= 姚屿i 若r = ( ) 。为对此方案 集x = 五i i d 进行两两比较判断的模糊一致矩阵。则有= n ( 咄一哟) + o 5 ， 口一1 ) 2 ) ，且n 为常数 ( 四) 两者相应的标度系统不同 对正互反判断矩阵，s a t 蚵建议采用1 - 9 标度1 1 】。而l - 9 标度系统存在一些缺陷 广西大学硕士学位论文口0 0 6 年j 基于模糊互补判断矩阵一致性的多属性凌策分析5 裹2 ：1 9 标度、指数标度与o 1 一o 9 标度的对照 标度含义1 9 标度1 指数标度lo 10 9 标度 备注一 l ，( 倒数原则) ，若采用1 9 标度与指数标度，方案甄与方案吻的重 要性之比为，那么方案与方案戤重要程度之比为吩= l 2 ( 丰 数原则) 采用0 1 一o 9 标度，若方案戤优于方案的程度 为r j ，那么方案叼优于4 的程度为聊= i 一勺 3 、可取口= 9 1 ，8 = 1 3 1 6 1 1 6 砚。为了克服其缺陷与不足，吕跃进在文献【6 1 中建议采用指数标度，并分析了指数标 度在a h p 中的重要作用因此，目前在a h p 中。指数标度恻比较受欢迎而模糊互补 判断矩阵一般采用0 1 _ 0 9 标度系统嗍。可以通过模糊互补判断矩阵与正互反判断矩阵 的转换关系式进行转换 当然。除了两者的区别，两种判断矩阵还有一定联系。两者联系的桥梁就是它们之 间的转换公式( 见文献【9 1 ) 设a = ( ) 。为正互反判断矩阵，兄= ( ) 。为相应的模糊互补判断矩阵，它 们之间的转换公式为( 1 1 ) 式和( 1 2 ) 式文献【9 l 给出了模糊互补矩阵r = ( ) 。 通过转换函数 m j = p 哪一”，唧，j j ，卢 1 )( 1 1 ) 将模糊互补矩阵转化为正互反判断矩阵a = ( ) 。后。矩阵a 具有完全致性反 之，正互反一致矩阵a = ( ) 。通过转换函数 勺= l o g + o 5 ，惭，j ，p 1 )( 1 2 ) 将正互反一致矩阵转化为模糊互补矩阵r = 仉j ) 。后，矩阵冗具有完全一致性取两 式中参数卢= 口陋= 9 = 1 3 1 6 1 ) ，则对0 1 o 9 标度含义重新定义见表2 对于具有完全一致性的模糊互补判断矩阵兄= ( r ) 。，利用转换函数将其转换为 正互反矩阵a = ( ) 。，则a 具有完全一致性而且矩阵r 中的偏好信息在变换后虽 然形式上发生了根本性变化，但决策者对任意两个方案优劣关系做出的判断经过数学变 换之后并没有改变，原有偏好信息的一些特点将被完整地传递到新的偏好信息形式( 即 矩阵a ) 中i 反之亦然 o+0 9 8 7 6 吣瞄” 醇小心啦神廿 9 7 5 3 1 七 要要要要要重重重重重端烈显微等极强明稍同者者者者者后后后后后 比比比比比 者者者者者式前前前前前通 妄皇查兰丝圭兰竺竺圭! ! 些兰2叁三些竺苎兰型竺丝竺三兰竺竺兰苎兰查兰窒塑p 近年来，随着模糊互补判断矩阵理论的不断发展和完善，有关模糊互补判断矩阵的 排序理论与方法也在不断发展和完善本节对目前已有的基于模糊一致矩阵的模糊互补 矩阵的排序方法进行总结归纳和对比研究，找出它们之间的关系，分析其合理性这将 有助于人们对模糊判断矩阵排序方法有正确认识、丰富和完善模糊互补判断矩阵理论和 方法 为叙述方便，设模糊互补判断矩阵p = 慨，) 。的排序向量为u = l ，地，) r ， n 且满足峨0 ，t j ，咄= 1 显然，她越大。相应的方案越排在前面，当尸为一 t = l 致矩阵时。其排序方法可为基于模糊一致矩阵的排序方法现将常见的方法介绍如下， ( 1 ) 方法1 【捌对模糊互补判断矩阵p = ( 黝) 。中的第 行元素求和可得肋， j = l 则第i 个方案的权重为 p i 黝2 p j 也= 寺一= 去= j ，( t ，) ( 1 3 ) 舻蕊2 酉2 丁 。引 u 。 ( 2 ) 方法2 1 1 1 】对模糊互补判断矩阵p = ( ) 。取 = 去砉嘞) + o 5 ，托川) ( 1 4 ) 将矩阵p 转换为模糊一致互补判断矩阵兄= ( 勺) 。( 证明详见文献【1 1 】) 然后按方根 法给出第i 个方案的权重为 吨= ，g d ( 1 5 ) ( 3 ) 方法3 1 1 2 j 对模糊互补判断矩阵p = ( ) n x n ，取 铲志若时跏) + n 5 ，亿佧j )( 1 屉) 将矩阵p 转换为模糊致互补判断矩阵r = ( 勺) 。( 证明详见文献【1 2 】) 然后将行和 归一化，求得第i 个方案的权重公式为 助+ 2 一l 岫2 芝而，g j ) ( 1 7 ) 正旃 ! 皇查兰竺圭兰竺兰圭堡丝! 兰2 兰三堡竺墨竺塑塑丝竺三兰兰竺兰苎兰窒兰坌竺 7 ( 4 ) 方法4 i 培】根据文献【1 3 | 。若p 为模糊一致互补判断矩阵，则 p ”= u 。一“+ o 5 ，( ，j j ) 若p 不一致时，则( 1 8 ) 式不成立，为此构造偏差函数 ，( u ) = 一( c 以一屿+ o 5 ) 】2 1 i = l j = l 求解 f f ) = l i n ，p ) 1 蚺= 1 ，o ，江1 ，2 ，n ) i = l 得出第 个方案的权重为 黝一2 + l 咄= 丝下，a = l ，2 ，哟 ( 5 ) 方法5 【1 4 1 为了修正方法3 中排序权重取值范围较为狭窄、各方案排序权重差别不 大和般不易区别的问题，提出将矩阵p 转换为摸糊一致互补判断矩阵冗= ( q k 。， n 然后令皿= 一0 5 ，再对兄归化求得第i 个方案的权重公式 ，= 1 姚：罂+ 杀筝肛舭，呐姚2 而+ 匈而p 引_ 一j ( 6 ) 方法6 1 1 5 l 若p = ( ) 。满足广义模糊致性关系。则 砌= p ( 咄一) + o 5 ，( i ，j j ，o p 1 ) 两边对j 求和，推导出 黝+ 卢一o 5 ，l = l _ j = 一，( 0 o ，i = 1 ，2 ，n ，蛾= 1 根据模糊致互补矩阵的定义有 唧= 蛔咄一畸= ：娄一：参 = ：砉c 呻，= 孙删= 一o s 这个结果表明矩阵r 中的元素r i j ( 1 ，j j ) 可以表示为 = 咄一1 哟畸+ 0 5 ( 充分性) 由( 2 2 ) 式，j ，有 r i j = 1 0 9 口咄一1 0 勖屿+ o 5 皇查兰竺圭兰竺竺圭堡些兰2叁兰堡竺兰兰型竺丝竺三竺兰竺兰苎兰窒墨全竺 1 1 = ( 1 0 鼬咄一l o 釉峨+ o 5 ) 一( 1 0 印屿一l 嘶峨+ o 5 ) + 0 5 即表明矩阵r 是模糊一致互补矩阵，因此定理得证 定理2 2 假设矩阵r = ( ) 。是模糊互补判断矩阵，并令 幻2 等2 。0 。5 ，够 1 ) ( 2 - 4 ) 则矩阵b = ( 6 l j ) 。是一致正互反判断矩阵 证明显然地，有 o ，j ，k = “5 卢叫“。5 = 卢“一q 因为r 是模 糊一致正互补矩阵，瑚一伽= 勺一o 5 ，因此，k 咄= p “一印= p “5 = 幻由此 证明了b = ( ) 。是一致正互反判断矩阵 在定理2 1 中，当r 等于o 5 时，吣等于1 ，表明待排序的方案a 与a 具有同 样的重要性程度当r 大于0 5 但小于1 时，表明待排序的方案a 比山重要元素 越大，表示也越大当r i j 小于o 5 时。幻 1 证明利用拉格明日乘效法，把约束规划同题( p 1 ) 转化为f 面无约束规划l 司题 ( p 2 ) m i n l ，a ) = ( 1 0 鼬蚺一1 嘶屿+ o 5 一r i ，) 2 + 2 a ( 咄一1 ) 令掣= o ，得到 。妻堕号耥型卫榭= 。 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 皇皇查兰塑圭兰竺兰圭f ! 些型 叁三兰竺兰竺型竺丝竺三竺兰竺兰苎兰查兰窒丝 1 2 通过整理后，进步得到 ( 1 0 9 口峨一1 0 印屿+ o 5 一) + 地；1 n 卢= o j = l 因此 nn 【( 坼姚一l o 印屿+ o 5 一) + 地l i l 用= o 扛1 ，= l 由r 元素的互补性及咄= 1 ，得到a l n 口= o 因为卢 1 ，所以 = o 通过求解 下面的方程组， 得到下面的结果t l ( 1 0 印咄一l o 却岣+ o 5 一) = o ：_ 1 l 岫= l ，咄o ，0 = 1 ，2 ，哟 。以；壁! 孚：l ，g ：。，2 ，矽以= ；r ，p = i ， ，卅 登盖 豢一券，券。枞蚴邗 妻矿盖 斗一舢矿掷，= 参加吐孙一，0 兰皇叁兰竺圭兰竺篁圭丝塑耋2 叁三竺竺墨兰型竺兰竺三鳘竺竺兰量兰童兰窒竺 1 3 3 。若龇( 仞 屿( p ) ，则函数等铸是关于参数口的严格增函数因为糍嚣= p 嘎“一吾q ”， 而岫) 屿( p ) 。则有端= 卢豇占1 一量q 1 ，亦即耋r “一砉r j l 。，因此，函 数：播是关于参数卢的严格增函数，而且 恕器一般豁= 上述结论说明可以通过增大p 的值来提高方案优劣的分辨率但当p 很大时，某些权重 值会趋向于零，这样不利于计算机处理，因此卢应取何值应根据实际情况而定 张吉军对根据按行和归一化法给出的权重值 m 挑= ! 三告一，a = l ，2 ，n ) ( 2 7 ) m 产生疑问，并通过考虑计算的复杂性及分辨率说明其提出的确定权重的方法优于其他确 定权重的方法 下面以文献【1 8 1 给出的实例加以说明所提出方法的可行性 假设有兰个方案a l ，a 2 ，也。对于某一排序准则，建立下面的模糊一致互补判断矩 阵 o 5 o 2 4 lo 3 2 8 1 r = i o 7 5 9o 5 o 5 8 7 i( 2 8 ) 【o 6 7 2 0 4 1 3 o 5 j 然后采用张吉军的方法1 1 8 1 计算矩阵r 的排序向量，得到权重向量w 7 = ( o 2 3 7 6 ，o 4 1 0 2 ，o 3 5 2 2 ) t ， 该权重向量表明也卜a 3 卜a 1 再利用本章的排序方法来计算矩阵r 的权重向量首 先，根据本章的方法，决策者要确定参数卢 1 ) 的值我们选取不同的尻= e ，仍= e m 和风= e 2 0 ( 其中e 是自然数) 分别利用公式( 2 3 ) 来计算矩阵r 的排序向量，并得到 下面的结果， ，l = ( 0 2 8 7 1 ，o 3 7 2 0 ，0 3 4 9 0 ) 1 忱= ( o 0 5 0 2 ，0 6 6 9 4 ，o 2 8 0 4 ) t 1 3 = ( o 0 0 4 8 ，o 8 4 6 6 ，0 1 4 8 6 ) 1 上面的三个排序向量都反映如卜也卜a 1 从上面计算结果，也很容易看出当参数p 增大，被比较的三个方案的分辨率也在增大但也要注意到，当p 充分大时一些方案的 权重会趋向于o 而其它方案的权重接近1 。这也是不利于方案的排序 广西大学硕士学位论文f 2 d d 6 年j 基于模糊互补判断矩阵一致桂的多属性决策分析 1 4 标度定义含义 l 同样重要两方案对于某属性同等重要 3 稍微重要两方案对于某属性，一方案比另一方案稍微重要 5 明显重要两方案对于某属性，一方案比另方案明显重要 7 强烈重要两方案对于某属性，一方案比另一方案强烈重要 9 极端重要 两方案对于某属性，一方案比另一方案极端重要 2 ，4 ，6 ，8相邻标度中值表示两方案对于某属性，一方案比另一方案重要 的程度为上述相邻两标度的折衷值 上列标度倒数反比较 方案a 对方案山的标度为，反之为击 2 2 从传统的层次分析法标度过渡到模糊标度 假设有组方案a = a 1 ，也，厶 ，在某一衡量准则下，根据传统的s 土y 的 1 9 标度法则。方案a 0 = 1 ，2 ，n ) 与其它方案两两比较判断，得到正互反判断矩阵 a = ( 叼) 。x 。，其中元素叼是方案a 与 比较的相对重要程度，l ，j = l ，2 ，n t l s 蹰竹采用1 9 标度。其各级标度的含义如表3 所示 已经有很多基于传统的a h p 求解权重方法，因此在本节，只考虑如何将传统层次分 析法标度过渡到模糊标度，从而使得a h p 方法在更广的领域内使用 令 f w ( a ) = l o 艮o u + o 5 ，( q 8 1 ) ( 2 9 ) 然后得到个模糊互补矩阵r ( a ) = ( ( q ) ) 。显然地，0 ( q ) 1 ，( o ) = o 5 和( n ) + ( a ) = 1 取口8 1 的目的是保证o ( o ) 1 利用( 2 9 ) 转化之后， 相应其各级模糊标度的含义如表4 所示 定理2 4 如果a = ( 叼) 。x 。是一致正互反判断矩阵，那么r ( 口) = ( ( ) 。是模 糊一致互补判断矩阵，其中( 口) = l o + o 5 。i ，j = 1 ，2 ，站 证明因为a = ( o 埘) 。n 是一致正互反判断矩阵，所以，= m k b ，j ，七= 1 ，2 ，n 并有 勺( a ) = 1 0 + 0 5 = l o g 。( 口讯q ) + 0 5 = ( 1 n 请+ o 5 ) 一( 1 q 吗膏+ o 5 ) + o 5 = ( a ) 一伽( + o 5 因此r ( a ) = ( q ( a ) ) 。是个模糊致互补矩阵 苎皇查兰竺圭兰竺竺圭! 丝! 型 叁兰苎竺苎竺塑竺丝竺三苎兰竺兰苎兰查兰坌堑 1 5 标度定义含义 l o l + 0 5 同样重要两方案对于某属性同等重要 l o 3 + o 5 稍微重要两方案对于某属性，一方案比另一方案稍微重要 l o 5 + 0 5 明显重要两方案对于某属性，一方案比另一方案明显重要 l o 7 + 0 5 强烈重要 两方案对于某属性，一方案比另一方案强烈重要 l o 9 + o 5 极端重要两方案对于某属性，一方案比另一方案极端重要 1 0 9 。 + o 5 相邻标度中值 表示两方案对于某属性，一方案比另一方案重要 ( i = 2 ，4 ，6 ，8 )的程度为上述相邻两标度的折衷值 1 一上列标度反比较 方案a 对方案山的标度为，反之为l 一 标度定义含义 o 5 同样重要 两方案对于某属性同等重要 0 7 稍微重要两方案对于某属性，一方案比另一方案稍微重要 0 7 9 3 0 明显重要两方案对于某属性，一方案比另一方案明显重要 0 8 5 4 2 强烈重要两方案对于某属性，一方案比另一方案强烈重要 o 9 强烈重要两方案对于某属性，一方案比另一方案强烈重要 o 6 2 6 2 ，o 7 5 2 4 ，相邻标度中值表示两方案对于某属性。一方案比另一方案重要 0 8 2 6 2 0 8 7 8 6 的程度为上述相邻两标度的折衷值 1 一上列标度 反比较 方案a 对方案如的标度为，反之为1 一勺 模糊互补矩阵中的元素( a ) ( ，j = l ，2 ，呐可以表示成方案a 比方案坞重要 的程度，( 口) 越大，方案a 比山越重要，( a ) = o 5 时表示方案a 和方案鸟同 等重要。例如，选取n = 2 4 3 ，则相应其各级模糊标度含义如表5 所示至于每个模糊标 度值的大小则依赖于对口( a 8 1 ) 值的选取特别地，u ml o 茁= o ，1 9 善9 a + 公式( 2 9 ) 中可以变动的参数a ( a 8 1 ) 表明个正互反判断矩阵a = ( ) 。对 应着一族模糊互补矩阵r ( a ) = ( ( 口) ) 。，口8 1 正如前面所述，不同的决策者对模 糊语气( 稍微，明显强烈，极端) 的理解是不同的因此。个正互反判断矩阵对应着 族模糊互补矩阵不足为奇当然决策者完全可以根据自己的知识，经验及对模糊语气 的理解来确定各级模糊标度，这一点与传统的a h p 方法大大不同在实际中，决策者可 以依据自己的偏好来确定不同的标度 通过上述讨论分析，我们给出一种基于模糊互补判断矩阵或正互反判断矩阵的排序 方法，具体步骤如下 ( 1 ) 如果决策者给出的矩阵是正互反矩阵则采用公式( 2 9 ) 将矩阵转化为模糊互补 苎皇查茎竺圭兰竺竺圭! 些型 叁兰兰塑兰兰型竺矍竺三兰兰竺兰墨兰塞竺窒竺 1 6 矩阵，再转步骤2 或步骤3 ； ( 2 ) 如果决策者给出的判断矩阵是模糊一致矩阵。直接转步骤4 ； ( 3 ) 如果决策者给出的判断矩阵是模糊互补判断矩阵，贝! l 用( 2 2 ) 式的值拟合判断矩 阵中的元素。从而得到一个模糊一致互补矩阵。再转步骤4 ； ( 4 ) 选取适当的参数卢。利用( 2 3 ) 式计算矩阵的权重； ( 5 ) 根据步骤4 得出的权重向量对方案进行排序 2 3 算例分析 为了说明上述方法的有效性。下面给出在文献【1 5 】中的个数值例子 假设有个决策问题，决策者给出三种不同的模糊互补判断矩阵，它们分别是基于 o l ，o 1 一o 9 五点标度和o 1 一o 9 九点标度得出的 r o 5 o1l1 小l ：警蚓 l0o 5 1 o 5 j r o 5o 3o 6o 7 1 如= 船裟划 【o 3o 5o 6o 5 j fo 5 o 3 2 5o 5 6 lo 6 7 5 也：i 盎慧0 1 ：；i 。妊：虿l lo 3 2 5 o 5o 5 6 1o 5j ( 1 ) 如果采用行和归化方法，则得出以下结果， u ( 1 ) = ( o 2 9 2 ，o 3 3 3 ，0 1 2 5 ，o 2 5 0 ) t u ( 2 ) = ( o 2 5 8 ，o 2 8 3 ，o 2 1 7 ，o 2 4 2 ) r ，( 3 ) = ( o 2 5 5 ，o 2 8 0 ，o 2 2 5 ，0 2 4 0 ) r ( 2 ) 文献【15 】中的作者采用其提出的方法计算该倒子，得到下面的结果一 ，( 1 ) = ( 0 3 0 6 ，0 3 6 l ，0 0 8 3 ，o 2 5 0 ) r u ( 2 ) = ( o 2 6 1 ，o 2 9 4 ，o 2 0 6 ，0 2 3 9 ) r 皇叁兰丝圭兰竺竺圭堡丝兰! 兰三堡竺苎兰望竺兰竺三兰竺竺耋苎兰查兰全丝 1 7 8 l忱忱 龇 a 1 的排序权重 口= 1 0o 2 9 4 l0 3 9 2 30 0 9 3 00 2 2 0 6 口= 2 00 2 9 7 1o 4 3 2 10 0 6 6 4o 2 0 4 3 口= 5 0 o 2 9 5 4o 4 8 1 70 0 4 1 80 1 8 l l 口= 1 0 0 0 2 9 0 6o 5 1 6 80 0 2 9 10 1 6 3 4 a 2 的排序权重 口= 1 0o 2 6 1 l0 3 1 0 30 1 9 5 8o 2 3 2 7 口= 2 0 0 2 6 3 1o 3 2 9 4o 1 8 0 9 o 2 2 6 5 口宰5 0o 2 6 4 80 3 5 5 1o 1 6 2 4 0 2 1 7 7 口= 1 0 00 2 6 5 30 3 7 4 80 1 4 9 2o 2 1 0 7 也的排序权重 口= 1 0o 2 5 6 50 3 0 2 90 2 0 8 70 2 3 1 9 口= 2 0o 2 5 7 50 3 1 9 7 0 1 9 6 9o 2 2 5 9 口= 5 00 2 5 8 10 3 4 2 5 0 1 8 1 9o 2 1 7 5 口= 1 0 00 2 4 6 90 3 6 7 3 0 1 8 0 5o 2 0 5 3 u ( 3 ) = ( 0 2 5 7 ，0 2 8 9 ，o 2 1 7 ，0 2 3 7 ) t ( 3 ) 当采用本章的方法，选择不同的p 时，得到表6 中关于模糊互补判断矩阵j 4 l ，如，a 3 的几组不同的向量 表6 中的结果表明a l ，a 2 和也的序关系与用行和归一化法和文献【15 】中的方法得 出的结果是一致的事实上，参数芦是由决策者来决定的因为参数p 的大小隐含着决 策者重视排序对象的分辨率的程度。所以口越大。则表明决策者越重视方案之间的差异 程度；相反，决策者并不重视排序方案之间的差异性程度卢是由决策者来决定的，表 明利用本章方法的过程是个交互式的决策过程，这一点是用行和归一化法和文【l5 】中 的方法是所没有的 2 4 结论 本章讨论了利用模糊层次分析法确定权重的问题，提出了一种确定模糊互补矩阵的 权重方法，并说明个模糊互补判断矩阵与一族权重相对应及该方法的合理性，纠正了 人们对模糊层次分析法某些错误的认识同时提出了从传统层次分析法标度到模糊层次 分析法标度的转换。说明了个正互反判断矩阵与一族模糊互补矩阵相对应以及说明 了传统层次分析法人为地改变决策者的偏好与统一标度的不足 皇查兰竺圭兰竺篁兰丝竺! 型 叁三兰竺兰些望竺丝竺三竺竺竺兰苎兰塞兰窒堑 1 8 3 1 模糊多属性决策分析现状 在许多模糊多属性决策问题中，当建立模型时，经常涉及到用模糊数来描述方案的 属性值因此。方案综合评价值也就相应地表现为模糊数同时。选择最好的方案或对 方案进行排序就成为选择最大( 或最小) 模糊数或对模糊数排序的问题除了模糊多属性 决策问题外，许多研究人员在其他的许多研究领域也遇到了模糊数，例如，模糊决策树 的效用比较。在模糊层次分析问题中的权重排序。处理群决策i 可题时选择最好的方案， 在模糊线性规划求解时，建立不等方程式处理模糊对策矩阵，甚至医学中的问题也应用 到模糊数的排序事实上，只要我们在建立模型中用到了模糊数，并且最终需要选择或 排序对象，那么就要进行模糊数的排序 在1 9 7 6 年，r j a i n 最先遇到了处理排序模糊数的问题，当时他提出了一种解决方 法【2 1 】后来，有了很多关于模糊数排序的方法，例如。b a 黯k w a k e r m a l 【在文1 2 2 】和 w 矶s o n 在文【2 3 】分别提出了解决模糊数排序的方法，前者是基于模糊多属性决策建立 模型，后者是基于模糊决策树的问题提出解决方法这些对模糊数排序的讨论引起了研 究者的关注，此后，b a l d w i n 和g u n d 在1 9 7 9 年发表了一篇对模糊数进行排序的文章 f 2 4 1 ，该文指出由j a i n 和b a 踊k m k e r 舱a k 分别提出的方法中的优缺点，并且同时介绍 了一种改进的模糊数排序方法自从那时起。对模糊数的排序的问题引起了越来越多的 关注个方面是越来越多领域涉及模糊数的排序。因此相应地，有越来越多的文章讨 论模糊数的排序问题，这两个方面相互促进例如，c h 和c h e n g 在文【2 5 】利用距离 测度提出了一种方法来选择候选人iy 如和d 蛆g 在文【2 6 】中研究模糊效用比较并利甩 模糊优先介绍了一种模糊数排序方法至今为止。许多作者就不同的角度提出了各自的 模糊数排序方法，大约有4 0 多个排序指标嘲c h 酏a 1 在文【2 8 】总结了这些方法并 把它们分成四类，例如优先关系法陋，3 1 ，嚣j ，模糊均值扩展法阻，”删。模糊评分 法1 3 7 ，饕 ，删和模糊语言法1 4 1 - 救j 。还有很多方法忡，“】是基于距离测度得出此外。有 些学者对这些方法进行了综述和比较，例如b o r t o