（应用数学专业论文）时滞微分差分方程的渐近性问题及神经网络模型的定性研究.pdf

摘要 本篇博士论文由五章组成 第一章概述了问题产生的历史背景和本文的主要工作 第二章讨论了具时滞差分方程的渐近性，通过比较方法，建立了方程的所 有解( 或有界解) 渐近于某个常数的充分条件 第三章讨论了一类非自治中立型时滞微分方程的渐近性，通过考虑其相应 的常微分方程的解的性质，得到了方程的所有解收敛的充分条件，同时建立了 相应的离散化结果，这些结果较大地改进和推广了一些已知的结果 第四章研究了具m c c u l l o c h p i t t s 非线性型信号函数的离散时间神经网络 模型的长时间动力性质，通过分析方法，详述了阈值在阻止时滞导致模型产生 振动的过程中起到的重要作用 第五章考虑了具时滞闽值的神经网络模型的全局渐近稳定性问题，通过 l y a p u n o v 函数法及线性化系统，获得了系统的零解全局渐 条件同时考虑了相应的离散动力系统的全局吸引性 关键词：时滞差分方控彳中立型时滞微分方毽神经网 、 性，全局渐近稳定位，全局吸引性，闽值，比较定理，l y a p u n o v 函数。 a b s t r a c t t h i sp h d t h 船i si sc o m p o s e do f f i v ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a e k g r o u n do fp r o b l e m sw h i c hw i l l b ei n v e s t i g a t e da n dt h em a i nw o r k so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r 2 ，b yu s i n gt h em e t h o do fc o m p a r i s o n ，w es t u d yt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r o fad e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n ，a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s ，b yw h i c he v e r ys o l u t i o n ( b o u n d e ds o l u t i o n ) o f t h i se q u a t i o na s y m p t o t i c a l l yt e n d st oac o n s t a n t ，a r eo b t a i n e d c h a p t e r3m a i n l yc o n s i d e r st h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n sf o rac l a s so f n o n a o t o n o m o u sn e u t r a l d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s o m er e s u l t st h a ts o l u t i o no ft h e e q u a t i o nc o n v e r g e n tt oc o n s t a n ta r eo b t a i n e db yc o n s i d e r i n gt h ec o r r e s p o n d i n go r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h ec o r r e s p o n d i n gd i s c r e t er e s u l t s a r eo b t a i n e dt o o o u rr e s u l t s i m p r o v e a n d g e n e r a l i z et h es o m ek n o w nr e s u l t s t h e p u r p o s eo fc h a p t e r4i st os t u d yt h el a r g e - t i m ed y n a m i c so fd i s c r e t e - t i m en e u r a l n e t w o r k sw i t hm c c u l l o c h p i t t sn o n l i n e a r i t y w eg i v et h ed e t a i l e da n a l y s i so ft h er o l eo f t h r e s h o l di np r e v e n t i n g d e l a y i n d u c e do s c i l l a t i o n so ft h em o d e l f i n a l l yi nc h 印把r5 ，w ec o n s i d e rt h eg l o b a l l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ed y n a m i c a l t h r e s h o l dn e u r o nm o d e lw i t hd e l a y n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o r t h ee x i s t e n c eo fag l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ee q u i l i b r i u mo f t h es y s t e m 。o u rm e t h o di s b a s e do ut h el y a p u n o vf u n c t i o n a la n dl i n e a r i z a t i o ns y s t e r n t h e g l o b a l l ya t t r a c t i v e n e s so f t h ec o r r e s p o n d i n gd i s c r e t e t i m es y s t e mi ss t u d i e dt o o k e y w o r d s ：d e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n ，n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，n e u r a l n e t w o r kd y n a m i cs y s t e m ，a s y m p t o t i cb e h a v i o r , g l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l y s t a b l e ，g l o b a l l y a t t r a c t i o n ，t h r e s h o l d ，c o m p a r i s o nt h e o r e m ，l y a p u n o vf u n c t i o n a l 第一章概述 1 1问题产生的历史背景 随着现代科学技术的发展，自然科学与社会科学的许多领域中提出了大量的时滞动力 学系统问题例如物理学、生物学、电路信号系统、遗传学、自动控制系统、化工循环系 统、信息系统及社会经济学中涉及到了大量的泛函微分方程而渐近性问题作为泛函微分 方程定性理论研究的一部分，在近3 0 年来有了迅速的发展，发表的论文数以千计，许多专 著都总结和收录了这方面的工作( 如见文 1 4 ，2 6 ，2 7 ，3 9 ，4 8 ，8 4 ，1 0 4 1 ) 同时，作为时滞微分方程的差分近似，时滞差分方程也从各种实际问题中提出，许多 由差分方程描述的具体的数学模型已经层出不穷进一步，许多微分方程的性态可借助于 它的离散形式差分方程的性态来得到，因而关于时滞差分方程的定性研究引起了人们 广泛的兴趣尤其是自1 9 8 8 年张炳根教授在美国o h i o 国际微分方程会议上第次提出作 为时滞微分方程的离散形式，时滞差分方程的解的振动性与非振动性的研究( 见文1 3 3 ) 以来， 已有一大批数学家转向时滞差分方程的定性研究这一领域中来而时滞差分方程的渐近性 研究也成为当前较活跃的研究领域之一( 见文【3 ，4 ，5 4 ，5 5 ，6 0 ，9 9 ，1 0 2 1 ) 有关神经网络研究的历史至少可追溯到1 9 4 3 年心理学家m c c u l l o c h 和数学家p i t t 发 表的一篇总结生物神物元的基本生理特征并提出形式神经元的数学描述与结构方法( 即m - p 模型) 的论文但真正带来神经网络研究兴盛时期的标志是美国加州理工学院生物物理学家 h o p f i e l d 教授于1 9 8 2 年和1 9 8 4 年发表在美国科学院院刊上的两篇有关h o p f i e l d 神经网络 模型的文章f 见文f 4 6 1 ) 近些年来，科学家们提出了许多具备不同信息处理能力的神经网络 模型，并已有多种模型被实现和开发，且在信息处理、模式识别、自动控制、信号处理、 辅助决策、人工智能、计算机技术等领域得到了广泛的应用由于神经网络模型中，非常 大的一部分是微分、差分方程模型，如著名的h o p f i e l d 模型、g r o s b e r g 模型、c n n 模型 等，并且考虑到网络中神经元之间信息传递过程中对时间的实际需要，这些模型往往应是 具有滞后的微分、差分系统正因为如此，近年来，国内外许多微分差分方程研究工作者 纷纷加入到这一研究领域中来，并取得了不少的成绩，有关这方面的工作，可参见文献 f 3 0 ，4 0 ，5 0 ，5 l ，5 2 ，5 8 ，5 9 ，6 9 j 以下仅就本文研究的几个问题产生的历史背景作一简要概述 一、具时滞差分方程的渐近性问题 1 9 7 6 年在一次“非线性系统及其应用”国际会议上，b e r n f c t d 教授和h a d d o c k 教授提 出了一个猜想( 【7 1 ) ：时滞微分方程 x i ( ，) = 一x 1 1 3 ( f ) + x 1 3 ( f f ) ， 0 ， ( 1 1 1 ) 的每个解当，- o 。时趋于某个常数 1 9 8 1 年，丁同仁教授在中国科学上发表论文( 【8 4 】) ，解决了上述猜想事实上t 作 者考虑了更一般的时滞微分方程 x ( f ) = 一f ( x ( o ) + g ( x ( t r ) ) ， r 0 ，( 1 1 2 ) 证明了如果对所有的j ，r ，f ( y ) = g ( y ) 且f 在r 上连续、单调递增，则方程( 1 1 2 ) 的所 有解当，寸c o 时趋于某个常数 1 9 7 8 年，s o r g 教授在研究一个经典的放射性电子的运动时提出了如下的时滞微分方程： 一( f ) = 一s i n h x ( t ) 一x o 一三) l ( 1 1 3 ) 并从物理学角度猜想：方程( 1 1 3 ) 的每个解是渐近于常数的 1 9 7 8 年k a p l a n 等人( 【6 2 1 ) 验证了上述猜想是正确的事实上- 他们讨论了一类更广 泛的时滞微分方程 x ( ，) = - f ( x ( t ) ，x ( t r ) ) ，r 0 ，( 1 1 4 ) 并证明了在一定条件下方程( 1 1 4 ) 的每个有界解当f 一( 3 0 时趋于某个常数 显然，方程( 1 1 4 ) 是一类自治时滞微分方程，而对于非自治的时滞微分方程 一( f ) = f ( t ，x o ) ，x ( t r ) ) ，r 0 ，( 1 1 s ) 是否存在上述的渐近行为? 1 9 8 8 年，陈伯山教授对上述问题给予了肯定的回答( 1 2 6 1 ) ，在假设 f ( t ，“，v ) 连续且关于u 单调递减的前提下，证明了，如果 f ( t ，u ，v ) sq ( t ) g ( u ，v ) + p ( r ) ， 或 f ( t ，”，v ) q ( t ) g ( u ，v ) + p ( f ) ， 这里g ( u ，v ) 连续、关于“单调递减而关于v 单调递增，且 g ( u ， ) - ；o ；p o 【o ，o o ) ，0 g ( f ) m 则方程( 1 1 5 ) 的每个有界解当f - - + o o 时趋于某个 2 常数；如果 f ( t ，u ，v ) = q ( t ) g ( u ，v ) + ，( f ) 则方程( 1 1 5 ) 的所有解当t 哼时趋于某个常数 1 9 9 6 年，黄立宏和庚建设教授在文1 5 5 1 6 0 考虑了方程( 1 1 2 ) 的离散形式 x ( n ) 一x ( n 一1 ) = 一f ( z ( ) ) + g ( x ( n 一女) ) ，月”o ， ( 1 _ 1 6 ) 并证明了在相同条件下，时滞差分方程( 1 1 6 ) 具有同样的渐近性结果 很自然地提出下面的问题： 如何寻找方程( 1 1 ，5 ) 的离散形式，并保持原有的连续型微分方程的渐近性质不变? 二、中立型时滞微分方程的渐近性问题及其离散类似 关于中立型时滞微分方程的渐近性问题的研究，一直以来所见到的文献不是很多( 见文 f 9 ，4 5 ，9 2 1 ) 1 9 8 7 年，在第十一届非线性振动国际会议上，h a d d o c k 教授提出了猜想( 1 4 4 1 ) ： 如果0 时趋于某个常数 1 9 9 8 年，黄立宏教授与庚建设教授考虑了方程( 1 1 8 ) 的离散形式 v ( x ( n ) 一c x ( n 一) ) = - f ( x ( n ) ) + f ( x ( n t ) ) ，n 珂o ， ( 1 1 1 0 ) 其中v 是向后差分算子，定x y o v x ( n ) = x ( n ) 一x ( n - 1 ) 证明了在相同的条件假设下， 时滞差分方程( 1 1 1 0 ) 具有与方程( 1 1 8 ) 相同的渐近性结果 因此，很自然的问题是： 1 方程( 1 - 1 9 ) ，条件( 4 ) 能否做进一步的改进? 2 如何寻找方程( i 1 9 ) 的离散形式，并保持原有的渐近性结果不变? 三、具g - p 非线性信号函数的神经网络模型的离散化问题 自1 9 8 4 年h o p f i e l d 构造了一个简化的神经网络模型( 见文1 4 6 1 ) 以来，有关神经网络动 力性质的研究引起了人们广泛的关注，近十几年来，关于这方面研究发表的论文层出不穷， 取得了许多丰富的成果( 见文【1 3 ，2 0 ，4 0 ，6 7 ，7 8 ，8 9 1 ) 作为h o p f i e l d 模型的特殊情形，黄立宏教授和吴建宏教授在文1 5 6 1 和文1 5 7 1 中分别考虑 了下面的两个由时滞微分系统模拟的具两个神经元的神经网络模型： z ( ，) = 一x ( f ) + 厂( y ( f r ) ) ，( 1 1 1 1 1 ) l y ( ，) = - y ( t ) + f ( x ( t r ) ) 二 、 。 和 一( ) = 一x ( ) + 厂( y ( f r ) ) ，n 1 1 2 ) l y 0 ) = 一y ( t ) 一f ( x ( t f ) ) 、。 模型( 1 1 1 1 ) 和( 1 1 1 2 ) 在许多方面( 如移动物体的信号处理等) 发现了许多有趣的应 用关于这两个模型的动力学研究也发现了不少的文献但大多数文献只考虑了具分段线 性信号函数或光滑反曲函数的情形( 见文【5 ，2 2 ，2 3 ，4 3 ，7 5 1 ) 在文 5 6 1 和文 5 7 1 e 9 ，作者分别研 究了在模型( 1 1 1 1 ) 和( 1 1 1 2 ) 6 e 信号函数具有m c c u l l o c h p i t t s 非线性型： 他) = 铲警 ( 1 “s ， 时系统的长时间动力性质，证明了对所有的初始值m = ( 妒，y ) x 。，模型( 1 1 1 1 ) 和( 1 1 t z ) 的解的性质当t 充分大时完全由值( 妒( o ) ，( o ) ) 和阈值口的大小确定 然而，在神经网络模型动力学性质的离散化研究方面开展的工作相对较少f 见文 4 1 2 8 ，8 6 ，9 9 1 ) 在文1 1 0 l l 中。周展教授等人考虑了模型( 1 1 1 1 ) 的离散系统： 2 x ( h ) = x ( h 一1 ) + f ( y ( n - k ) ) ，( 1 1 1 4 ) 1 2 y ( n ) = y ( n 一1 ) + f ( x ( n 一女) ) 。 在一定条件下，得到了与文1 5 6 1 类似的渐近性结果 很自然地提出这样的问题： 能否将模型( 1 1 1 2 ) 离散化，并研究相应的离散系统的动力学性质? 四、具时滞阈值的神经网络模型的收敛性问题及其离散类似 基于h o p f l e l d 神经网络模型，m a r c u s 和w e s t e r v e l t 提出了如下的时滞微分系统( 见文 1 6 7 】) ： q “沁) = 一坼( f ) + 气乃( “，( t - - 2 1 ) ) ，江l ，2 ，” ( 1 1 i s ) nt=l 经过适当的变换，系统( 1 1 1 5 ) 可化为： h “：( f ) = 一“。( f ) + 口 ：( “j ( t - - f j ) ) ，i = 1 ，2 i 一，n ( 1 1 1 6 ) y = t 并研究了当a = ( 口。) 是对称矩阵时系统( 1 1 1 6 ) 的线性稳定性 然而由于对像系统( 1 1 1 6 ) 这样的大系统的动力性质进行详细分析是十分困难的，因此 b a b c o c k 和w e s t e r v e l t ( 见文1 1 3 1 ) 提出了首先考虑某些简单网络的动力学性质其中最简单 的形式之一是： 雌ui 溉a 蛐t a n h 躲 , , 珊 似“， l ；( ，) = 一“2 ( f ) + 2l ( ，一r 1 ) j 这里c i , a 2 ，f l ，r 2 都是已知常数 模型( 1 1 1 7 ) 的动力性质已经有许多人进行了研究( 见文1 4 0 ，8 9 1 ) 当1 = f 2 时， g o p a l s a m y 和l e u n g 在文 4 0 1 q a 研究了系统( l 1 1 7 ) 的动力学性质。证明了在缺损时滞时， 系统( 1 1 1 7 ) 的平衡解是全局渐近稳定的；但当时滞r 充分大时，系统( 1 1 1 7 ) 被激活到一个 瞬间的周期环状态，从而产生h o p f 分支同时文1 4 0 1 还讨论了相应的离散动力系统的动力 性质 1 9 9 7 ，g o p a l s a m y 和l e u n g 进一步研究了具时滞阈值的神经网络模型( 见文f 3 8 】) ： ( f ) = 一x ( f ) + 口t a r 血【x ( f ) 一b x ( t f ) 1 ( 1 1 i s ) 证明了模型( 1 1 1 8 ) 存在唯一的平衡点且是渐近稳定的充分必要条件是： a o ，b o ，a o b ) o ) ( 2 1 1 ) 进行渐近性研究。证明了如果对所有的y r ，g ( 力；y ( y ) ，且f 在r 上连续、单调 递增，则方程( 2 1 1 ) 的每个解趋于常数，从而证明了b h 猜想是正确的。1 9 8 8 年，陈伯山 教授在科学通报上发表文章 2 6 1 ，讨论了更加广泛的一类非自治时滞微分方程： x ( f ) = f ( t ，x ( f ) ，x ( t r ) ) ，r 0 ( 2 1 2 ) 证明了如果对所有的( f ，”，v ) ( o ，0 0 ) r r ，f ( t ，“，v ) = q ( t ) g ( u ，v ) + p ( ，) ( 其 中，f ( t ， ，v ) c ( 【o ，) r r ，r 】) ，f 关于“单调递减，g ( u ，v ) c ( r x r ，r ) ，g 关于u 单调递减而关于v 单调递增，对所有的“r ，g ( u ，“) ；0 ，此 外，p l 1 ( o ，0 0 ，) ，q c ( ( o ，o o ) ，( o ，m ) ) ，m 是有限正常绚，则方程( 2 1 2 ) 的每个解当，寸o o 时趋于常数。此结论显然进一步地推广和改进了文嗍的结论。 本章的目的就是要绘出上述各方程的离散形式并研究在离散形式下方程的渐近性状 态。我们知道在多数情况下用有限差分来逼近导数时可能会导致其离散形式具有“复合性” 或“混沌性”。这在连续情形下是不具有的。因此，对方程( 2 1 1 ) - - ( 2 1 2 ) 的离散形式进行 研究是很有必要的。 一般情况下，在将连续形式的模型离散化时，我们通常采用了用向前差分来逼近方程 中的导数的方法。对于方程( 2 1 2 ) ，我们得到的离散形式为： r ，( 玎+ 1 ) 一颤h ) = f ( n ，x c n ) ，x ( n - 女) ) ，”= n o 十l ，h o + 2 ，- ( 2 1 3 ) 现在的问题是方程( 2 1 3 ) 是否还能保留方程( 2 1 2 ) 所具有的渐近性质呢? 我们的回答 是否定的 例1 考虑初值问题 f z ( 疗+ 1 ) 一z ( ”) = g ( 打) ( 一工( 珂) + z ( ”一1 ) ) + p ( ) ， n = o ，1 ，。一 ( 2 1 4 ) 【z ( 一1 ) = o ，x ( o ) 2 1 ， 其中q ( o ) = 1 ，q o ) = 2 ，q ( n + 2 ) = q c n ) ( i l = 0 , 1 2 ) ，而 f 0 ，盯为偶数； 、 p o ) 2 三，拧为奇数 防州司乳 显然，白( 以) 是有界的，而p c n ) 收敛i k g ( u ，v ) = 一u + v 则从( 2 l 4 ) 知有 f ( n ，v ) = q ( n ) g ( u ，v ) + p ( ) 然而方程0 1 4 ) 的解是振动的事实上，由分步法我们 - j - 以直接求出方程( 2 1 4 ) 的解为； 工( 聆) = 显然上述解是振动的而且上无界 、 ， 上述例子告诉我们需要重新寻找方程( 2 1 。3 ) 的离散形式，以能保留方程( 2 1 3 ) 所具有 的渐近性质在文1 5 5 1 中，作者提出了用向后差分来逼近方程中的导数，从而将方程离散 化的思想，并且根据这个想法考虑了方程( 2 1 1 ) 的离散形式： x ( n ) 一x ( n 一1 ) = - f i x ( n ) + 6 x ( n 一七) 1 ，h = r o + 1 ，n o + 2 ， ( 2 i 5 ) 其中f ，g 在r 上连续且f 单调递增，得到了下面的结论； 定理4 若对所有的y r 有f ( y ) g ( y ) ( 分别地f ( y ) g ( y ) ) ，则方程( 2 1 5 ) 的每个解当门_ c o 时趋于某个常数或者+ o 。( 分别地一) ；特别地，若对所有的y r ， 9 一 一 m 一炉葛 陬”陟临 有f ( y ) ；c ( y ) ，则方程( 2 i 5 ) 的每个解当n o o 时趋于某个常数。 在本章中，我们将考虑方程( 2 1 2 ) 的离散形式： x ( n ) 一x ( n 1 ) = f ( n ，x ( n ) ，x ( n 一) ) ，h = h o + l ，月d + 2 ， ( 2 1 6 ) 我们将在第三节给出并证明方程( 2 1 6 ) 的渐近性结果。 2 2 一些引理 考虑非自治非线性时滞差分方程 z ( ，力一x ( n 1 ) = f i n ，z ( 门) ，x ( n 一七) ) ，= 门o + 1 ，n o + 2 ，( 2 2 1 ) 其中后是正整数，f c ( 月x r ，月) ，f 伽，v ) 关于甜月单调递减。 我们总假定( a i ) ：6 ( u ，c ( r r ，月) ，g ( u ，关于变量“是单调减少的，而关于变 量v 是单调增加的，且对v u 尺，g ( u ，“) ；0 ；序列扫( h ) 满足：伽0 ) ，1 ，这里 l = 扫( n ) ) ：| p ( n _ m ，而序列( 拧) ) 满足；d 0 及序列k 。：k ，一k o ( f jo o ) ，使得对i = 1 , 2 ，有 l g ( k ，) 一y ( k o h 5 。 0 ， 即 l y ( n o + m ；n o ，k ，) 一y ( n o + m ；玎o ，k o ) l f 。 0 ( 2 2 4 ) 不失一般性，我们可假设民一1 k 。sk o + l ，由( 2 2 2 ) 我们有 y ( n o + 1 ；n o ，k ，) 一g ( y ( n o + 1 ；以o ，k ，) ，k ，) = y ( n o ；月o ，k ，) = 口 = y ( n o + 1 ；n o ，k o + 1 ) 一g ( y ( n o + l ；n o ，k o + 1 ) ，k o 十1 ) s y ( n o + 1 ；n o ，k o + 1 ) 一g ( y ( n o + 1 ；n o ，k o + 1 ) ，k ，) 由此有 y ( n o + 1 ；n o ，k ，) y ( n o + 1 ；门o ，k o + 1 ) 进一步利用数学归纳法，我们能够证明对所有的n = ，+ l ，有 y ( n ；n o ，k ，) y ( n ；n o ，k o + 1 ) ( 2 2 5 ) 类似地，我们可以证明对所有的n = 胛o ，+ l ，有 1 1 y ( 胛；n o ，k ，) y ( n ；n o ，k o 1 ) ， 结合( 2 2 5 ) 式意味着序列砂( ；，k ) i ：l 打，对每个加。，+ l ，) 是有界的。由魏尔 斯特拉斯定理，我们可以选取( i q o , ， 1 0 , k ，) ) 的一个收敛子列 ) ，( ；，足芦) ，这里 k ，c k ，且令 l i m y ( n o ；r o , k ，? ) = z ( n o ) 类似地，我们可以选取 y ( + 1 ；n o , k ，? ) 的个收敛子列( + l ；，k ，? ) ，这里 c k ，? ，且令 ! i + m 。y ( n 。+ 1 ；n o , k 。尹) = z ( ”。+ 1 ) 一般地，考虑序列p o 。+ ，；，k 。y ) j ( 1 - 0 ( 2 2 6 ) 另一方面，由定义知移( n ；，k 。) 是初值问题( 2 2 2 ) ( k = k o ) 的解，因此，由解的 唯一性推出 t ， z ( n ) = y ( n ；n o ，k o ) ，疗= 胛o ，r o + 1 ，门o + m 它显然与( 2 2 6 ) 式矛盾，引理2 2 2 得证 利用引理2 2 1 类似的证明方法及分步法，我们容易得到下面的引理 引理2 2 3 对任给的a ，r ( j = 0 ，l ，女一i ) ，初值问题 x ( n ) 一。( ”，- 1 ：仃，。( ”) ：”一) ，盯2 ”。+ 1 ”。+ 2 ， ( 2 2 7 ) k 。一j = 口j ( = o ，1 ，k 1 ) 、 存在唯一的解。 引理2 2 4 设差分方程 y ( n ) 一y ( n 一1 ) = g ( y ( ) ，a + s ) ， = 月o + 1 ，r o + 2 ，一， ( 2 2 8 ) 其中a 是一给定的常数。s 是参数( o 1 ) 。又设初始条件 y ( n o ) = o0 o 是一给定的正 整数，则存在一个与( n o ) 无关的正数，使得 y ( n ；n o ，占) a + 占一，1 = n o , n o + 1 ，一，胛o + m 证明因为k = a + 占是占的连续函数，所以由引理2 2 2 知道 a 0 ) = a + s y ( n o + m ；n o ，占) 是一个s 的连续函数，而且它与胛。无关。 由( 2 2 8 ) ，我们有 y ( n o + 1 ；n o ，e ) 一g ( y ( n o + 1 ；n o ，s ) ，a + ) = y ( n o ；n o ，, f f ) = a a t - s g ( a + ，a + 占) 由函数g 的单调性及上式我们可推得 y ( n o + 1 ；n o 占) 0 而且与( ，s ) 无关。 ， 由方程( 2 2 8 ) 及( 2 2 1 0 ) 可知，对n = 4 - l ，+ 2 ，有 y ( n ；n o ，) 一y ( n 一1 ；n o ，s ) = g ( y ( n ；n o ，) ，a + s ) g ( 爿+ 占，a + 占) = 0 ， 即y ( n ；n o ，s ) y ( n l ，n o ，e ) ，从而 y ( n ；n o ，占) y ( n o + m ；n o ，s ) ，n = n o ，行o + 1 ，门o + m 结合( 2 2 1 1 ) 式，则得到 y ( n ；n o ，占) s a + 占五( 占) s a + 占，厅= 胛o ，n o + l ，n o + 所 引理2 2 4 得证。 引理2 2 5 设差分方程 y ( n ) 一y ( n 一1 ) = g ( j ，) ，a 一占) ，珂= 盯o + l ，月o + 2 ， ( 2 2 1 2 ) 其中a 是给定常数，是参数( 0 s s 1 ) ，又设初始条件 t y ( n o ) = a ， a a ( 2 2 1 3 ) 令涉( 塌，占) ( 胛= ，+ 1 ，) 是初值问题( 2 2 1 2 ) ，( 2 2 1 3 ) 的解，m o 是一给定正整数， 则存在一个与( ，s ) 无关的正整数v ，使得 y ( n ；n o ，占) a 一占+ v 即= 胛o ，, o 十l ，h o + m 证明证明的方法与引理2 2 4 类似，从略 2 3 主要结果及其证明 下面我们将给出方程( 2 2 1 ) 的渐近性结果。 定理2 3 1 设对所有的( 订，“，v ) n r r ， f ( n ，“，v ) q ( n ) g ( u ，v ) + p ) ， 其中g ( u ，v ) ，p ( h ) ，g ( h ) 满足前面的假定( 4 ) ，则时滞差分方程( 2 2 1 ) 的每个解辟) j 当 1 4 ”斗o o 时趋于某个常数或一o o 。 证明首先我们证明( 2 2 1 ) 的每个解扛( h ) 都是上有界的为此设 ( f ) = f ，i + 1 ，) ，n ( i ，) = f ，f + 1 ，_ ，ki ， 并令彳( ”) 2 。m ( 。a x 。) x ( f ) n + = n ：n ( + 七) ，爿( ) = z ( n ) ) 显然，若胛n ( n o + 七) n + ，则爿0 ) 一a ( n 一1 ) s 0 ； 若月n ，则爿( n ) 一a ( n 一1 ) z ( 月) 一x 一1 ) 由于 x ( 疗) 一x ( n 一1 ) = f ( 疗；x ( 胛) ，x ( n 一后) ) g ( ) g ( x ( ”) ，x ( n 一) ) + p ( 打) g ( ) g ( x ( ) ，彳( h ) ) + ip ( 疗) | ，n n ( n 。+ i ) ， 由g ( u ，“) = o ，u r ，贝0 当月n + 时，有 彳( ”) 一a ( n 一1 ) x ( ) 一x ( n 一1 ) 马p ( 疗) 又由于p ( n ) 除0 ，故当疗n ( n o + 七) 时，有 a ( n ) 一a ( n 1 ) - i p ( n ) i 综上，对所有的珂n ( n o + 0 ，有 彳( 胛) 一a ( n 一1 ) 纠p ( ”) i ( 2 3 1 ) 于是 爿( ”) 一o 。矛盾，因此l i m u ( n ) = “是有限值。故 h 另一方面，令 l i r a “( 月) = a v ( 以) = x ( 疗) 一 ：jp ( f ) j ， ( 2 3 2 ) 显然v ) 是上有界的- 设l i m s u p v ( n ) = b ，! i 。m 。i n f v ) = b ，由于! 魄x o ) 不存在， 则b b + 。，因此存在常数d 。使褥b n 0 2 曼n 。可以充分大，f t 2 与( ，矿) 无关，g ( 2 37 ) l 5 l i m a ( n ) = a 矛 盾，故l i m x ) = a 存在，定理2 3 1 证毕。 m 注2 3 1在定理2 3 1 中不能排除可能性 l i m x ( n ) = - - 0 0 1 7 ， 这里我们有 胁，卜砉c z ，+ 志 0 a 1 ( 2 3 8 ) 1 选取p ( ”) = o ，g ( ”) 2 方，g ( “，”) = 一p “+ p ”，显然条件( a 1 ) 满足。 由于 笔丁z + e ”，因此有 f ( n ，u ，v ) s q ( n ) g ( u ，v ) + p ( n ) 即定理2 3 1 的条件满足。但由( 2 3 8 ) 可知 从而对任给的正整数n 及。当n 时，有 x ( n ) 一x ( n o ) = ( x ( f ) 一x ( f 一1 ) ) 一寺( 1 + e x ( o ) 一了1 ， 月 1月 。 = ”+ l ，。月n + i 即 注意到 x ( 胛) x ( ) 一窆了1 = 月。+ 1 1 主去：o o ( o ) h ：f 珂 则上式蕴含了方程( 2 3 8 ) 的每个解当n _ o o 时趋于一o 。 1 8 器 施 m 粉 。一 +矿 卜 + 町 2 玎 知 轧，泌 d 一 一 = 胛 “ 一 曲“ ， 定理2 3 2 设对所有的( 胛，“，v ) n x r r ，有f ( n ，u ，v ) q ( n ) g ( u ，v ) 4 - p ( n ) ， 其中g ( u ，v ) ，p ( ”) ，g ( h ) 满足假设( a i ) ，则时滞差分方程( 2 2 1 ) 的每个解扛( 疗) 当n _ + 0 0 时趋于某个常数或o o 。 证明该定理的证明与定理2 3 1 相仿，从略。 注2 3 2 在定理2 3 2 中也不能排除可能性 l i m x ( n ) = 0 0 例2 3 2 考虑时滞差分方程 x ( n ) 一x ( 盯一1 ) = 一一a r c t a n x ( n ) + ( 2 + e “”一”) ，( o a n o 时，有 z ( ”) 一x ( n 。) = ( x ( p x ( i