（光学专业论文）lorenzhaken方程的动力学行为及其在非线性网络中的应用.pdf

摘要摘要本文研究了二能级原子与光场相互作用系统，给出了该系统精确的哈密顿鼍，该哈密顿量包含有旋转波近似下被忽略的非能量守恒项。通过理论推导以及数值计算研究了了原子相干性、经典注入光场、以及光场位相、原子1 ：i ) = 相等冈素对系统动力学行为的影响。首先，考虑原子的相干性和经典注入光场，研究了二能级原子与光场相互作h 系统，利用旋转波近似得到非锁相的l o r e n z h a k e n 方程。光场以及原子的火谐龄引起了系统的1 f 锁相，在一定条件下，光场及原子极化位相随时间呈，r 阶跃变化，系统的混沌行为除锁相条件下的双混沌吸引子外，还有由非锁相条件引起的四混沌及单混沌吸引子：除有倍周期外，还有周期运动同时，非锁相还增大了混沌的分数维维数在一定条件f ，注入光场、火谐鹫和原子相干性可抑制混沌物理上这是由于注入相干性和犬失谐造成的弱原子一光场作州引起的在非锁相的双稳态情况下，没有观察到混沌现象双稳态是对称的“舣”烈稳态其次，考虑了虚光子过稃对下光场与r y d b e r g 原子或分子相互作川系统的动力学行为的影响，得到了推广的l o r e n z h a k e n 方程。通过数值方法观察到了具有吸引中一山的般吸引子以及四吸引子和没有吸引中心的耿吸引子。这与典刑的l o r e n z h a k e n 模邗的烈吸引子不同，亦与非锁相的四吸引子不同。趋向混沌的途径主要是由倍周期或准倍周期经由弧稳态或c r i s e s 进入到混沌状态。由丁虚光子过程的影响，产生混沌现象的参数范同扩人了。值得注意的是原来在双稳态情形一f ，l o r e n z h a k e n 模型以及非锁相的l o r e n z h a k e n 模刑不会产生混沌现象，但是推广的l o r e n z h a k e n 系统中却能观察到混沌现象。在一定条什r ，注入光场、原子相干性和失谐量可抑制混沌，但是其条件却比l o r e n z h a k e n 模刑以及1 r 锁相l o r e n z h a k e n 模型的复杂。最后研究了以洛伦兹系统为单元的不同构型f 的混沌阵列。对丁网状阵列，中心驱动振子的引入能够使环上振子达到混沌同步；同时，环上的耦台也能够减小产生横向同步的纵向耦合系数的临界值。关键词：推广的l o r e n z - h a k e n 方程，原子相干性，经典注入光场，光学戕稳态，虚光子过程，混沌，混沌同步耦合l o r e n z 振子a b s t r a c ta b s t r a c tc o n s i d e r i n gt h ea t o m i cc o h e r e n c e sa n di n j e c t e dc l a s s i c a lf i e l d ，w ed e r i v e dt h en o n - p h a s e - l o c k i n gl o r e n z - h a k e ne q u a t i o nb yu s i n gt h et e c h n i q u eo fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ee f f e c t so fd e t u n i n g , i n j e c t e df i e l da n dt h ea t o m i cc o h e r e n c eo nt h ed y n a m i c a lc h a r a c t e r i s t i c so f t h i se q u a t i o ni st h e nn u m e r i c a l l ys t u d i e d t h er e s u l t ss h o wt h a ti nl a s e rw o r k i n gs i t u a t i o n s ，t h ed e t u n i n gr e s u l t si nt h ec h a o t i cb e h a v i o r so ft h el i g h tp h a s eu n d e rd i f f e r e n tc o n d i t i o n s ，t h es y s t e mc a ng e n e r a t ef o u ra t t r a c t o r s ，d o u b l ea t t r a c t o r sa n ds i n g l ea t t r a c t o r ，a n dt h ef r a c t a ld i m e n s i o no ft h es y s t e mi sl a r g e rt h a nt h el o c k i n g - p h a s es y s t e m t h eo p t i c a ld e t u n i n g ，i n j e c t e df i e l da n da t o m i cc o h e r e n c ec a ni n h i b i tt h ec h a o so f c a v i t yf i e l d i nt h eo p t i c a lb i s t a b i l i t yr e g i o n s ，w eg e ts y m m e t r i cb i s t a b i l i t yp a i r , b u tn e v e rf i n dt h ec h a o t i ca t t r a c t o r s n e x t ，t h ed y n a m i c so fa ne n s e m b l eo ft w o l e v e la t o m si n j e c t e di n t oas i n g l e m o d ec a v i t yi ss t u d i e di nt h ee x a c ta t o m f i e l d i n t e r a c t i o ns i t u a t i o n ，i nw h i c ht h ec o u n t e r - r o t a t i n gt e r m s ，w h i c hd e s c r i b et h es oc a l l e dv i r t u a lp h o t o np r o c e s s e s ，n e g l e c t e di nt h er o t a t i n g - w a v ea p p r o x i m a t i o na r ec o n s i d e r e d t h ec a v i t ym o d ei sd r i v e nb yt h ei n j e c t e dc l a s s i c a lf i e l d ，a n dt h ea t o mi sp r e p a r e di nac o h e r e n ts u p e r p o s i t i o no f t h et w ol e v e l s w en u m e r i c a l l ys t u d yt h ed y n a m i c so f t h i se q u a t i o n w ef i n dt h a tt h ev i r t u a lp h o t o np r o c e s s e sh a v es t r o n ge 艉c t so nt h ed y n a m i c s ，w h i c hc a nc a u s et h et r a j e c t o r yi np h a s es p a c eo fs t r a n g ea t t r a c t o rs p i r a la r o u n df o u rf o c u sp o i n t s ，a n dt h et r a j e c t o r yi sm o d u l a t e db yv i r t u a lp h o t o np r o c e s s e s t h ec h a o sr e g i o ni np a r a m e t e rs p a c ei sn o wi n c r e a s e d i ts h o u l db es t r e s s e dt h a tt h es t r a n g ea t t r a c t o rc a ne x i s ti no p t i c a lb i s t a b i l i t y , a n di ft h ea t o m i cc o h e r e n c e sa n dc l a s s i c a lf i e l dc a ni n h i b i tc h a o sd e p e n d i n gt h el a s e rf r e q u e n c y l a s t ，d y n a m i c sb e h a v i o ro ft h ea r r a y so fc o u p l e dl o r e n zo s c i l l a t o r si nc o b w e bg e o m e t r i e sa r es t u d i e dn u m e r i c a l l y t h ec e n t e r - d r i v e ro s c i l l a t o rc a np r o m o t et h es y n c h r o n i z a t i o no ft h er i n g ，a n dt h ec o u p l e dr i n gc a na l s od e c r e a s et h ec r i t i c a lv a l u eo ft h el o n g i t u d i n a lc o u p l e dc o e f f i c i e n tt or e a c ht h et r a n s v e r s es y n c h r o n i z a t i o nk e y w o r d s ：g e n e r a l i z e dl o r e n z h a k e ne q u a t i o n ，a t o m i cc o h e r e n c e ，i n j e c t e df i e l d ，o p t i c a lb i s t a b i l i t y , v i r t u a lp h o t o np r o c e s s i n g ，c h a o s ，c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n ，c o u p l e dl o r e n zo s c i l l a t o r 东南大学学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。研究生签名：日期：东南大学学位论文使用授权声明东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。研究生签名：导师签名：日期：绪论绪论混沌现象是近年来非线性动力学系统研究中引人注目的前沿课题及学术热点之一它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序和无序的统一，确定性和随机性的统一，加深了人们对客观世界的认识。它在自然科学以及社会科学等领域中，覆蔫面之人、跨学科之广、综合性之强。发展前景及影响之深远都是空前的。从非线性动力学自身发展的逻辑来看，确定性混沌的研究大体经历了三个阶段：首先是研究混沌产生的条件机制和途径：再是研究溉沌中的瞥适性、统计特性及分形结构：然厉是主动地控制混沌到达有序。1 9 6 3 年，洛仑兹( e n l o r e n z ) 在人气科学杂忠上发表了“确定性非周期流”的文章。这位天才的天气预报和气象学家的研究u u 开了混沌科学的大门，他预感到气象预报的困难在于非线性模拟方程的解对初始条件微小差异的极端敏感性。于是，他通过研究和数值分析发现了混沌，同时也证明了混沌对初始条件变化的敏感性提出了著名的“蝴蝶效应”( b u t t e r f l ye f f e c t ) ，描述了混沌的基本特征之一“对初始条件的敏感性”。1 9 7 5 年约克( j a y o r k ) 和李天岩在研究函数的区间迭代时，发现确定性方程中出现周期解和混沌解，并以题为“周期三意味着混沌”( p e r i o dt h r e ei m p l i e sc h a o s )发表其结果，从此混沌一词成为专门的术语”+ 。一般说来，混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则远动，也就是一个确定性理论描述的系统，但其行为却表现为不确定性，或者说其行为不可妪复。它是非线性系统将遍存在的现象。混沌强调的是一种不可预测性，特别地体现在睦时间行为的不可预测上。其次，混沌系统是可以用确定性方程描述的系统，它的不确定性，不是来源于外界的随机力( 或噪声) ，也不是无限维自由度的相互影响的结果，而是非线性系统中普遍存在的一种l 甫i 有性质。最先研究光学混沌的是哈尚( h h a k e n ) 。他从理论上指山，描下；单模激光器运转的友兜斯韦一布洛赫方程与描下j 人气湍流运动的洛伦兹方程在形式上一致，从而顺言激光混沌的存在。最早在实验上观察到光学混沌现蒙的是在光学烈稳态系统，t 9 7 9 年池e | = | ( 1 k e d a ) 首次提出在含有吸收介质的环形腔中会发生1 混沌，他从理论上讨论了光学般稳态系统的不稳定性和混沌，并建立了池田微分一筹分方槲“，1 9 8 1 年占布斯( h m g i b b s ) 等人公布了光电 i ；| 合型光学烈稳态系统的光学混沌实验。白此，1 r 线性光学系统( 包括被动系统和激光系统) 中的混沌的研究掀起了高潮。在著不多十年时间内取得了许多有趣的结果。激光的动力东南大学硕士学位论文学行为与其他领域的动力学行为、混沌行为和湍流行为有很大相似性。另一方面，非稳输入、激光脉冲的弱复制、超短脉冲可获得的线宽的限制、相干艮度、辐射模式、白发无规则脉冲等等皆是由于激光内在的非线性性质引起所以理解激光的动力学有助丁解释其它系统的丰富现象”。到了1 9 9 0 年，混沌研究出现了历史性的重人突破，这一年。美国马里兰人学的物理学家奥特( o t t ) 、格里博古( g r e b o g i ) 以及约克( y o r k e ) 二入首先从理论上提出控制混沌的方法”1 ，被人们称为o g y 方法。同年，该校的迪托( d i t t o ) 、- ，前( r a u s e o ) 以及斯帕山( s p a n o )三人从实验上验证了0 g y 方法的有效性j 。混沌控制方法的突破性进展及其实验席川的蓬勃开展为人们展现了十分诱人的应用和发展前景。也是在i 9 9 0 年，美国海军实验室的p e e o r a和c a r r o l l 首次利用驱动一响应方法在电子线路上实现了两个混沌系统的白同步”l ，这一突破性的进展，极大地激发了各国学者对混沌同步研究的热情。w i n f u l 羊r a h m a m 研究了住半导体激光耦合阵列系统中实现混沌同步的可能性1 ，1 9 9 4 年，r o y 利t h o r n b u r y “以及日本的s u g a w a r a 等人“”，通过利用激光光强相互耦合从实验上观察到两个混沌激光系统达到同步。此外，混沌同步在保密通信“”“l 、神经网络模拟”“、1 f 线性系统性能优化、人脑行为建模以及模式识别等领域有着极为重要的应崩。复杂网络同步的研究也初露端倪，井已遍及从物理学到生物学，其至到社会科学的各个学科领域”。l o r e n z 系统作为第一个混沌模型，说明了一个确定性的系统能够以最简单的方式表现出非常复杂的形态，并展现出至今最复杂而又昂迷人的混沌吸引子；它是混沌发展史上的一个重要里程碑，具有举足轻重的地位。具有奇怪吸引子的l o r e n z 系统远远不只是剧来说明复杂的混沌状态的简单抽象手段，而且还是用来描述现实世界中的某些动力学现象的很好的模型。由于在光学研究领域描写单模激光器运转的麦克斯韦- 布洛赫方稗与l o r e n z 方科在形式上一致，w e i s s 等人首先在n h 3 激光器实验中观察并证实了h a k e n 模刑的l o r e n z 删激光混沌现象，以后又在远红外激光器中进一步证实了h a k e n 模型中许多激光混沌性质f ”。3 i 。现在这一模型被称为l o r e n z h a k e n 模獭( 以f 简称l h 模1 4 ) i ”j ，义由y - 复杂1 r 线性网络研究的发展，人们可以用该模型构建更加复杂的非线性网络系统。人们虽然对l o r e n z h a k e n 方程进行了许多研究 3 4 5 2 】，但其研究的人多是停留在旋转波近似情况下，而对于非旋转波近似情况 ：l h e 的动力学特性未见研究成果的报道。冈此，本文的任务就是采用非旋转波近似研究l h 系统中的动力学行为( 即混沌行为) ，通过求解模型的哈密顿量，来分析非锁相以及非旋转波近似对系统动力学行为的影响。对于单个的l h系统数值的研究给我们构建以其为单元的复尔 线性网络奠定了基础，本文最后将介纠由l h构成的复杂网络的混沌同步特性。2绪论本文的结构如下：第一章，以二能级原子与光场相互作用系统为模型。给出了该系统精确的哈密顿昔第二章第三章第四章该哈密顿量包含有旋转波近似下被忽略的非能量守恒项。并且考虑了原子相干性、经典注入光场、以及光场位相、原子位相等因素对系统动力学行为的影响理论推导得出推，“的l o r e n z h a k e n 方程。考虑原子的相干性和经典注入光场，数值研究了二能级原子与光场相互作用系统在旋转波近似下的非锁相l o r e n z h a k e n 方程的动力学行为；给出了失谐量、原子相干性以及经典注入光场对系统的影响。考虑虚光子过程，数值研究了二能级原子与光场相互作川系统在旋转波近似f 的非锁相l o r e n z - h a k e n 方群的动力学行为；给山了频率、原子相干性以及经典注入光场等因素对系统的影响。介绍了混沌同步原理，研究了复杂非线性网络的混沌同步行为。东南人学硕【：学位论文1 - 1理论模型第一章理论分析首先我们简单介绍一下j c 模型，它是由j a y n e s 和c u m m i n g s 在讨论微波激射器( m a s e r )时提出的，如图1 1 所示，由单个二能级原子与量子化的单模光场组成的相互作用系统的理想模型。它是描述原子与光场相互作用的一种理想模型。由丁对它只需作旋转波近似就可精确求解，因此不仅在量子光学中而且在激光物理、核磁共振和耸子场论等许多问题中都常被采用”、h a ) 2 【图1 1j c 模型本文讨论的物理模型是在此模型基础之上，考虑一束二能级原子注入激光喈振腔中土：单模光场相互作用【“脚i 。假设初始时刻原子受激跃迁处于高能级激发态，原子以衰减速率r从高能级衰减到低能级基态，同时有一经典光场注入谐振腔。在非旋转波近似( 即考虑到虚光子效应) 下，给出系统的精确的哈密顿鼍片= 踟。+ 莩圭 哆一+ g 莩一似矿盯，+ 日盯j + a + q + + 。仃，)( 】)+ f ( 口+ p 一帅一口已7 4 。)上武中的前三项分别表示光场的光子能量，注入二能级原子的能餐以及光场和二能级原子的相互作用tm 和0 9 2 。是单模光场和二能级原子的频率，g 是原子平腔模相互作州的耦合常数，取常数是因为我们忽略了相互作j l ；i j 的空间效应，o ( t ts ) 是阶跃函数，表示每个原子只有在注入光场时才开始与之相互作用，口+ 与口分别是光场的产生与潭灭是算符町与q 分别是第，个原子的上升与下降算符( 二能级原子的泡利算符盯+ 和口表示及其对易关系，见附录a ) ，其中( 矿+ + a o - ，) 为虚光子项；式中最厉一项表示外部注入的经4第一章理论分析典光场与腔内光场的相互作用，振幅为旬，频率为d 。1 2理论推导按照海森堡运动方程警= 磊1 爿，h i ，可推导山光场和原子算符的蟮子郎之力( l a n g e v i n ) 方程( 令 = 1 ) ：口= ( 一f 街一r ) 口一喀o ( t 一，) ( c r ，+ c r j ) + s d p 叫蛳町= ( 一i c 0 2 】一f 1 ) o r ，+ i g o ( t t j ) ( 口+ 日+ ) 盯；町= 一r o 町+ 2 i g o ( t t j ) ( a + c r ，4 - a c t ，一口+ 町一a c r j )( 1 2 1 )其中，茁，r 上和l 分别是腔场和原子的横向以及纵向弛豫速率，由t - 上式e e i e o a ( t )和一f 哆1 q ( f ) 项的存在而使得口( f ) 和盯，( r ) 有随时间的迅速变化，这里我们引入缓变堵的算符：a ( t ) = e - i v t a ( t )q ( f ) = p “矛)( 1 2 2 )代入( 1 2 1 ) 中，得a ( t ) 和矛，的运动方榉与a ( t ) 和盯，的运动方烈相似，= 一【f ( 一矿) + r 一一辔o ( t 一) ( 嘭+ p 2 9 厅j ) + 旬p 。“嘭= 一( f 一矿) 嘭一r 1 嘭+ i g o ( t t j ) ( a + e 2 。a + ) 子；彰= - f o + 2 i g o ( t - t j ) ( a + 矛，一彳彭+ e _ 2 9 爿矛，一p2 9 爿+ 矛j )因此为了分析的简便去掉“”符号。即用a ( t ) 和盯7 来表示缓变茸算符。由此将单个原子算符变换成描述原子宏观性质的算符。由于单个的原子算符对绝热近似很敏感，而平均的原子宏观算符则不然，所以平均的原子宏观算符取作：m ( ，) = - i o ( t ，) 盯)，( f ) = o ( t - t ，) 盯m( 12 3 )( 12 4 )m ( t ) 代表原子宏观极化龉，( 1 23 ) 式中的一i 是为了数学化简的方便而引入的，n ( t ) 表示两个原子能级粒子数之著，即粒子数反转。按照这一定义，我们得到宏观郎之万算符方稃东南大学硕士学位论文_ = 卜f ( 一矿) 一r 】彳+ g ( f e 2 订m + ) + 白p 叫蛳m = 一i r p 2 i + 卜i ( c a 2 1 一矿) 一f i 】m + g ( a n + e “? c a + )( 12 5 )= r ( p 2 2 一日1 ) 一r n 一2 9 ( a + m 十m + a + e 以厨 ，+ p 2 衙a + m + )其中p ：= ( 仃矗) ，p 。= ( 盯 ) ，p ：= ( 盯) ，户：+ p 。= 1 为求解该方稗首先要将郎之万算符方程变换为对应的c 数方程。将算符按照一定次序排列，c 磺女方科中的罐也按这种次序对应排列，定义c 数乘积汞i 算符乘积的对应关系，这里我nj 取止规摊序a + ，m + ，n ，m ，a ，c - 数郎之万方程为：且= 一f ( 出一矿) 一r 且+ g ( m e z i v t 9 m + ) + 占d e 叫q ，。碗= 一i r p 2 1 + 卜f ( 哆l 一刀一r 】朋+ g ( 且+ p 2 9 n a + )( 1 2 6 )= r ( p 2 2 一一i ) - f 【i n 一2 9 ( a m + m + a + p 一2 祈a m + 已2 而a + m + )为了把方程化为无量纲的式子，我们定义如f 的变带和参数：月= 瓜棚= ，_ 0 ( 1 一；) , s a e - j r a a t = i 讣，r 2 拱= 导，巩= 掣，c = 筹，a = 导，盯= 寺，占= 罕a = 等，岛，= j 岛。卜m ，v = 导，r = r 。，这里p = i p 口i e 唧是初始时刻的原子密度算符矩阵元。 巩分别对麻激光场、原子极化、粒子数反转等宏观鼙的统计平均。由上面的定义我们可以得到无龉纲的方程：膏十妒x = 盯【( 一1 一i s ) x + y ( e 。n ，一驯一e 2 , w e 一计竹t ) + y e 4 ，一9 1 】夕+ i ( 口u y = - f 坠f 见lp ，( n 一一n ，) + ( 一1 一f 暖f ) j ，段2 一目o+ c 茅( 1 一z - - ) ( e ”一竹，1 + p2 。”p 一9 + 蛳)j = 一b z + x y c o s ( 伊u p ) + c o s ( 妒+ 一2 v r ) 】( 1 2 7 )式( 1 2 7 ) 中点“”表示对f = r 上f 无量纲的时间微分t 工代表无鼙纲的激光场，y 代表无量纲的原子极化，z 代表无量纲的粒子数反转，y 代表经典注入光场，舻代表光场相位，矿 ，代表原子极化相位。把上面三式的实部和虚部分开，可得到推广的洛伦兹一哈肯方程：6第一章理论分析量= 仃 一x + y 【c o s ( 一尹) 一2 c o s ( p + c p m 一2 v r ) + y c o s ( 妒【，一妒) )驴x = c r - d i x + ) ，【s i n ( 口，m 一妒) + 名s i n ( 妒+ 一2 v r ) + ys i n ( t p d 一妒) j夕= 2 b e f 岛【fs i n ( 够z i 一) 一y+ c x ( 1 一三) c o s ( 妒一妒) + c o s ( 妒+ 口一2 v r ) c咖h y = 一2 b c l 岛1i c o s ( c 2 1 一) 一嘎l y+ c x ( 1 一三) s i n ( p 一口) 一a s i n ( 妒+ 6 p m 一2 v r ) c2 = 一6 名+ ) f c o s ( 妒一牟k ) +c o s ( r p + 妒m 一2 v r ) 】f 1 28 1其中c = ( 岛：- , q 1 ) 。我们引入参数五，当a = 0 时，为旋转波近似：当 = 1 时，为非旋转波近似。以上公式的具体推导，详见附录a7东南大学硕f ? 学位论文第二章非锁相l o r e n z h a k e n 方程动力学研究2 1背景介绍二十世纪六十年代，l o r e n z 给出了描写r a y l e i g h - b n a r d 对流运动的一阶微分方科，升揭示了其中的混沌解【l 】现在该方程是描写双吸引子混沌的标准方程后来，h a k e n 从理论上得出，描写单模激光器运转的麦克斯韦布洛赫方程与l o r e n z 方程在形式上一致”该方程在激光物理特别是激光动力学研究领域被称为l o r e n z h a k e n 方程( 以。f 简称为l h e ) 人们对l h e 的混沌动力学进行了广泛而深入的研究 3 4 j a 2 1 最近我们考虑原子的相干性和注入光场，得到锁相条件下的l h e1 5 9 1 ，井证明在激光运转条件一f ，原子的相干性利注入光场可以抑制混沌本章将研究在激光和双稳态两种运转条件r ，火谐鼙、经典注入光场以及原子相干性对非锁相的l h e 的动力学特性的影响为了方便比较l h e 和非锁相的l h e 之间不同的动力学行为。首先，我们介纠一r 表述均匀加宽单模激光器动力学行为的l o r e n z h a k e n 方程1 3 5 , 3 s l ：量= 一仃( 工一y )j = ，= c x y 一汜( 2 1 。1 )= x y b z激光系统为三个一阶耦合方程，1 e 线性项为一船荆ix y ，尽管方科的形式看米简单却蕴含了丰富的难以预料到的现象。考虑一特定的激光器，如n h ，激光器的弛豫参数为盯= 1 4 2 5 3 。b = 0 2 7 7 8 ，通过改变泵浦速率c ，我们可以揭示该方科的动力学行为。1 0 c l在此范围内只有零点( x ，y ，z ) = ( 0 , 0 ，0 ) 是稳定解，无论初值如何变化千目空间( z ，y ，z )系统的轨迹总是趋于零点，这是因为泵浦速率太小，增益小丁损耗，故不能产生激光振荡，如图2 - 1 所示。第二章非锁相l o r e n z h a k e n 方程动力学研究n图2 1 ( a ) 相空间轨迹，其中c = 0 5 ：( b ) 相空间在x 轴的投影随时间f 的演化2 1 s c c 当c 1 时方程( 2 1 1 ) 的零点解仍存在，但是已经失稳；同时还存在另外两个稳定解( x ，弘z ) 和( 一x ，一y ，z ) t 这两个解仅仅光场z 和极化强度y 的符号不同。由方稃( 2 i 1 ) 可知，l o r e n z - h a k e n 系统具有( x ，y ，z ) 呻( 一苴，一弘z ) 变换不变性。且系统稳态解为c ：= ( 士：i 石= 百，：页；：面，c 一1 ) 不动点c ：和c - 代表增益大于损耗时产生的连续激光辐射。c = l 相当于激光的“第一闽值”，即能够产生连续稳定的激光输山的最小值。n图2 - 2 ( a ) 相空间轨迹其中c = 4 ；( b ) 相空间在x 轴的投影随时间r 的演化任何靠近原点的初值，最终将趋丁两个稳定解e 千( 1 中的一个。当c 4 9 时，相轨迹最终趋向c 上，如图2 - 2 所示；当4 9 c c 继续增大泵浦速率c 超过c 。时，系统中山现奇怿的解。a ) 奇怪吸引子当c 3 5 8 5 时，靠近原点的初始相轨迹山现“奇怪”行为不再趋丁两个稳定解中的任何一个，而是永远绕着两个稳定解：绕c 若干圈咀后义改为绕c 一若干罔，再绕e 若干圈等等，没有先后顺序，也没有任何周期性相轨迹仅限于以c 和e 为中心的一个“带”中但是相轨迹永远不会相交，见图2 - 4 。相空间中轨迹受限制的区域称为“吸引子”它吸引着在它内部和外部的轨道。它在三维相空间是两个薄曲片。另一方面，激光体系为耗散系统，相空间中体积随着流以均匀速率在收缩，体积随时间演化的方科为：矿( f ) = v e 一”“。为避免相轨迹相交，吸引子的维数人丁2 ，住一维乖i 二维之间，吸引子是分形的，具有分数维其l y a p u n o v 维数为2 0 9 。该吸引子的另一个重要的性质是对初值的敏感性，如图2 - 4 ( b ) 所示，对于工分量上的两个初值相著1 0 1 的情形，系统的相轨迹在x分量上的投影随着时间的演化出现了不同，这意味着初始时相互靠得很近的两条轨迹鼹终分离。开始时是呈指数分离当达到吸引子线性尺度的一个值时，轨迹保持在这里但是没有荧联，达到这种最终状态所需要的时间并不长，这样在实际生活中使得长期预报变成不可能。对初值的敏感性的动力学行为称为“混沌”，表现这种性质的吸引子称为“奇怿”吸引子【6 ”。0第二章非锁相l o r c n z - h a k c n 方程动学研究图2 - 4 ( a ) 相空间轨迹其中c = 4 0 ；( b ) 相空间在x 轴的投影随时间r 的演化其中实线对应于图( a ) 的韧始条件：虚线对应于图( a ) 中初始条件变化x = 1 p 一6b ) 不动点当c = c h = o - ( o - + b + 3 ) p - b - 1 ) = 4 5 4 5 时，不动点存在但己失稳。泵浦速率c = l( 激光辐射产生) 和c = c ( 不稳定辐射产生) 分别表示激光器的第一闽值和第二闽值。在c a c b + 1 或r f l i + f 1 ，它要求腔场损耗火丁粒子数反转平极化弛豫速率之和，即坏腔条件。意思是激光腔的线宽要大于介质的均匀线宽另一方面当胯的损耗很大时，为使激光器有激光输出( 越过第一闽值) ，要求介质的增黼要高激光器火稳( 称第二阚值) 依赖于r l l r ，是第一激光阈值的9 2 0 倍州对均匀加宽单模激光器米讲，如此高的阈值在实验上难以达到因为到达第二阐值的泵浦参数止比丁介质的均匀线宽，寻找窄线宽的介质是可能达到第二阐值的气体激光器的均匀线宽取决于自发辐射和原子或分子的碰撞，自发辐射随激光跃迁的频率按自由空间的模密度而减少，因此长波激光跃迁有效地降低了自发辐射，而碰撞速率正比于气压， ：作在低气压下的艮波艮红外激光器线宽可以很窄，有可能观察洛伦兹型混沌w e i s s ” 认为用激光泵浦的远红外连续激光器可达到第二阈值并且在一定的条件f ，他们在n h 3 激光器中观察到了l o r e n z 刑混沌现象。c ) 周期性窗口l o r e n z 吸引子在整个区域c c c 升不都是奇降吸引子，存在周期性窗口，例如在区间7 3 4 c 7 3 5 和1 0 7 3 c 1 1 7 8 内，存在着周期窗口。东南人学顾l 学位论文4 走向混沌的道路在1 3 8 c 区域内，吸引子失去其奇异性，并经分岔序列变为周期吸引子。为微述清楚起见，c 值从大逐渐减小，在1 4 6 5 o o o 区域内是周期振荡，其振荡周期随c 值的变化而缓慢变化，周期为t ；当c = 1 4 6 5 7 时，吸引子经历一次倍周期。由t 变为2 t ，当c = 1 4 1 5 7 时又发生分岔变成4 t 吸引子。就这样r 斗2 r 寸4 t + 一2 ”7 1 ，系统行为不再为周期性的，而是有无限多周期。通过分岔序列最终由周期吸引子变为泓沌吸引子。需要指出的是周期吸引子不是混沌吸引子，因为它对初值并不敏感。趋向混沌有许多途径。这里所述的倍周期只是其中一种，还有弧稳态，c r i s e s 以及间歇混沌等途径【6 ”。2 2失谐量的影响我们已经看到在一定的参数范围内l h e 能够产生奇怪吸引子、倍周期分岔等现象。那么在非锁相条件下的l h e 的动力学又是怎样的呢? ，我们仍取盯= 1 4 2 5 3 ，b = 0 2 7 7 8 ，并作旋转波近似( 即令兄= 0 ) ，来数值研究方程( 1 2 8 ) ，得幽2 - 5 所示结果图2 - 5 系统的状态与j ( = 哦) 和一的关系图其中y = 0 p = 0 图中c 为四混沌吸引子区域q 是由四混沌吸引子到单混沌吸引子的过渡区；q 为单混沌吸引子区域：c 。为等幅的混沌吸b子区域# m 为单混沌吸引子的亚稳态区：p 代袭倍周期区域：s 代表稳态区域，当d ，3 5 0 一 岛1 ) ，若失谐量占= 岛l = 0 ，则系统处丁锁相状态纯= 仇= 竹，败= 仍i + 口2 混沌区域为c 3 5 8 5 1 3 8 0 ，且混沌相幽为烈l o r e n z奇异吸引子，例如图2 - 6 所示，其中图( c ) 说明系统的位相没有变化，处丁锁相状态：由幽( d )可知系统的p o i n e a r 6 截面反映出相轨迹是两个“薄”曲面。在该参数f ，系统的l y a p u n o v维数是2 0 9 ，其最大l y a p u n o v 指数是o 4 0 5 当c 1 3 8 0 时系统进入倍周期nf c ) t图2 - 6 ( a ) 系统锁相条件的动力学相圉。其中j = 4 i = 0 ，岛i = 0 j ，= 0 ，c = 4 0 ，双l o r e n z 奇异吸引于的两个稳定点的坐标为( - + - 3 2 9 1 5 ，士3 2 9 1 5 ，3 9 ) ( b ) 相空间在x 轴的投影随时间f 的演化( c ) 光场位相与原子极化位相随时间r 的演化，其l y a p u n o v 维数20 9 ，最大l y a p u n o v 指数o 4 0 5 ( d ) 相轨迹在z = c 一1 = 3 9 处的p o i n c a r 6 截面当失谐量占及嘎1 至少有个不为零时，系统始终处于非锁相状态在一定的c7 值范同内，随着失谐量的增火，系统从四混沌吸引子( c 区) ，经由四混沌吸引子到单混沌吸；i 子过渡区( c 2 区，见后面讨论) ，到单混沌吸引子( c 医) 当0 占 o 。1 ，系统进入了吒区域，即由四混沌吸引子到单混淹吸引子的过渡区在该区域内，混沌吸引子的相图如图2 - 9 所示，四个混沌吸引子逐渐变为两个，最终变为单混沌吸引子；其光场位相随时间的变化量万阶跃东南人学硕l 学位论史图2 - 9 系统在非锁相条件下的动力学相图t 其中d = 以= 0 2 ，n = 0 ，y = 0 ，c = 5 0当失谐量艿 0 8 时系统进入c 3 区域，即单混沌吸引子状态，其相幽如剀2 - 】0 所示相轨迹局限于以稳定点为中心的一个带内，但是轨道不相交；其光场振幅随时闻的变化为无规则的尖峰序列：光场位相随时间的变化为万阶跃单混沌吸引子的吸引中心是前面四个稳定点之一，井由初值决定6第二章非锁相l o r e n z - h a k e n 方程动力学研究图2 1 0 系统在非锁相条件下的动力学相图，其中5 = 4 = 2 ，岛= 0 ，y = 0 ，c = 6 0 ，稳定点( - 4 0 4 8 5 ，4 0 4 8 5 ，5 9 ) 其l y a p u n o v 维数为0 1 3 ，最大l y a p u n o v 指数是3 0 2 当失谐量艿 5 5 时，系统处于p 区，即倍周期区域，如图2 - l i 所示7o东南人学硼i 。学位论文图2 - 1 1 系统在非锁相条件下的动力学相图t 其中d = 最，= 6 5 ，n = 0 ，y = 0 ，c = 5 0 ，稳定点( 一3 6 8 9 5 ，3 6 8 9 5 ，4 9 ) 当失谐量占 3 5 ，系统处丁= 稳定点说明当火谐鲑过人时系统的混沌状态被抑制2 3注入经典光场的影响最近，我们研究了注入光场对锁相情形fl h e 的影响 5 9 , 6 0 i 。当系统处t - 1 i - = 锁相时，若一l , 0 2 2 ，由于光场位相织随时间的演化趋丁不同的稳定值，当稳定值为丌的偶数倍时光场x 的稳定值为正：当纯稳定值为7 r 的奇数倍时，光场x 的稳定值为负故在戕稳态情形f ，体系山现对称的烈稳态对，如幽2 - 1 2 所示在舣稳态运转条什r ，系统无混沌妓席图2 1 2 非锁相的双稳态曲线。其中d = 哦= 0 0 0 1 ，一= i ，仍= 0 ，c = 5 0第二章非锁相l o r e n z - h a k e n 方程动力学研究若届l = 0 ，在锁相条件f ，艿或y 可抑制混沌如当c7 = 1 0 0 时，占= 岛l = 0 ，y = 0 9可抑制混沌；5 = 以l = 1 时，y = 1 8 时抑制混沌：而占= 疋= 5 ，y = 3 0 时抑制馄沌住图2 - 5 中的q ，岛，c 3 混沌区域，注入光场抑制混沌的临界值随火l 旨姑的增人而增人2 4原子相干性的影响因原子的相干性可使原子产生关联辐射，所以原子的相干性可以抑制混沌幽2 - 1 3给出了c = 1 0 0 ，y = o ，及经1 = 三时，在不同的火谐鲑f 厶。一n i 曲线由剀2 - j 3 可知，0 占 i n l 0 ；而一l o 0 6 2 时，z m 戕 l 时，九。与失谐量及原于相干眭没有明显的依赖关系但当p 。0 5 时，无论失谐昔为何值，均无混沌产生图2 - 1 3 九。目i 曲线其中一= 1 0 0 。f 岛i = 岛f 岛2 ，仍1 = 衫2 ，】，= 09东南人学硕i 。学位论义2 5本章小结34光场以及原子的失谐量引起了系统的非锁相，在一定条件下，光场及原子极化位相随时间呈石阶跃变化；非锁相还增大了混沌的分数维维数以及其最火l y a p u n o v 指数系统的混沌行为除锁相条件f 的双混沌吸引子外，还有由非锁相条什引起的四混沌及单混沌吸引子；除有倍周期外，还有周期运动；在一定条件下，注入经典光场y 、失谐督占( 五1 ) 和原子相干性l p ：l i 可抑制混沌在物理上这是由丁注入相干性雨1 人火谐造成的弱原子一光场作川引起的在非锁相的双稳态情况下，没有观察到混沌现象烈稳态是以x = 0 为对称的双双稳态第三章虚光子对l o r e n z h a k e n 方程动力学行为的影响第三章虚光子对l o r e n z h a k e n 方程动力学行为的影响3 1引言众所周知，在量子光学中，旋转波近似是一个很好的近似。显然如果光i 乜探测器的响应时间t 远大于光场的平均周期l 矿时，推广的l o r e n z - h a j ( e n 方利( g l h e ) 中含有p r 圭刃的c o s ( 妒+ 仍，一2 v r ) 和s i n ( p + 伊h 一2 v r ) 项的时间平均为零t 那么可以忽略该项的影响，这就是旋转波近似( r w a ) 。但是如果对于光场与r y d b e r g 原子1 或分子相互作用系统，则由于t 4 时，随着c 的增大，系统由稳定态经倍周期，弧稳态，再经倍周期，最后进入混沌区( “和c c ) 。肖泵浦速率超过时，( 为产生混沌的闽值t 其范嗣是1 3 c ； 2 0 0 时，混沌吸引子的带宽变窄) ，弗且系统的混沌动力学行为也有别t - l h e 幕i 非锁相的l h e 系统。由此可见，在非旋转波近似下，产生混沌的c 值范围较l h e( 3 5 8 5 0 c 7 4 时，系统进入“区域，即过渡区在此区域，产生了相轨迹同绕具有两个吸引中心( x o ，- y o ，z 。) 旋转的烈混沌吸引子( 如幽3 - 3 ( a ) ) 或者四个吸引中心( 而，+ y o ，z o ) 和( ，q ：y o ，) 旋转的四混沌吸引子( 如图3 - 3 ( b ) ) 与l h e 具有两个吸引中心( + ：而：而，c ，一1 ) 不同的是，1 r 旋转波近似r 山现的吸引中心( ，y o ，) 的坐标值是随着c ，b ，盯，的不同而不同的，且目前尚无解析的表达式。田3 - 3 非旋转波近似下系统的动力学相囱在x y 平面上的投影其中c = 5 0 y = 0 ，p 。= 0和占= 疋l = 0 ( a ) y = 2 6 时的双吸引子；( b ) 旷= 2 7 时的四吸引子值得注意的是，随着频率的增大，在过渡区域，四吸引子出现的更加频繁，且相轨迹集东南大学硕上学位论文中在一个窄带内，就好像一朵