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摘要 随嚣诗算枧网终的迅速发展，势发理论成为计算枧科学翦漤的磷宠热点 近年来人们提出概率进程演算模型，来解决并发通讯系统中产生的不确定性 本文弓| 入逸闻篷遴程演算模鍪简称i c c s ) ，渡嚣阉蘧旅代概率逡程演算模鹫 中的概率分布，来解决并发通讯系统中产生的不确定选择文章首嵬介绍了模 糊区间值逻辑在区间值逻辑中，一个命题的真度和假殿是彼此独立给出的 与模糊度程冀寝褪对应，嚣耀僮集会上定义寿鼹令不阕熬镶窿美系及提瘦懿 逻辑算子i c c s 建立在模糊区间德逻辑撼础之上区间值进程的前缀、并行 进程以及和避程都被赋瑷醒闻值由于在区闻德上定义有关于模糊度和关于 舆度的题个不同的偏序关系及檩波数逻撩算子，区闼德进程霹以根据实黪霞 娶在模糊度与真度两个不同度量之间作出选择文章给出了i c c s 关于模糊度 翻关于粪炭静两类撩俸语义, 4 0 3 繇t o , s ，分赛孳l 入稿瘫懿强趸模拟裙强 曩模拟的概念，并讨论了有关性质 2 a b s t r a c t r e c e n t l y , s o m ep r o b a b i l i s t i cp r o c e s sc a l c u l im o d e l 8h a v eb e e ni n t r o d u c e dt o s o l v et h ep r o b l e mo fn o n d e t e r m i n i s t i cc h o i c e sa r i s e si nc o n c u r r e n c ya n dc o r n * m u n i c a t i o ns y s t e m s w ep r o p o s ean e wm o d e lc a l l e da 8i n t e r v a l v a l u e dc c s ( i c c s f o rs h o r t ) t os o l v et h en o n d e t e r m i n i s m i nt h i sm o d e l ，8 ni n t e r v a lv a l u e i sa s s i g n e dt ot h ea c t i o no fap r e f i xa n da ni n t e r v a lv a l u ed i s t r i b u t i o ni s * s i g n e dt ot h ec o m p o n e n t so fap a r a l l e lc o m p o s i t i o na n ds u m m a t i o n b a s e d o nt h es y n t a xa n dt h eo p e r a t i o n a ls e m a n t i c so fi c c sg i v e ni nt h i sp a p e r ，w e i n t r o d u c et w os o r t so f s t r o n gb i s i m u l a t i o n sa n d a n w - s t r o n gb i s i m u l a t i o n a n d i n v e s t i g a t es o m ep r o p e r t i e sa sw e l l 3 引言 分枣式系统、容锩系统、通溅系统等系统的运行中都会产生程序的不确定 性f 9 1 ，人蛔弓l 进撅攀进程来鳃决程痒的不确定性，使进程懿不确定选择按概 率分枣选择。近颦米，出理了许多概率进程演算模型，其孛，应唆生黪可女e 概 率进程l 弋数t h ea d d i t i v ep f 。b 曲i 糙t 沁p r o c e s sa l g e b r am o d e l ，篷称鸯a p p a ) 淄 是m i t n e r s 鲍c c s1 1 l 瓣概率撂展，与其鳇概率遴稷演算模翟箨昆，存瓣下三个 特点：( 1 ) 语淡在a p p a 孛，遴稷静赘缀、并行邀程以及裙遴撵都放斌戳 概率分拳，惑其像攘毽枝对萃爨进程赋以摄率分布。( 2 ) 语义a p p a 给辩的 操作语义餍予g e n e r a t i v e 驻隧枧类登( g e n e r a t i v e s u b - s t o c h a s t i cm o d e l s ，丽不是 涟橇鹣，敬系统允许死镁其余稹整的转换规舞i 都是菲概率进程代数转换规则 酌壹接穰仿，蔼a p p a 中，转换窥猁照如下形式： p d e , 型e l t j 其中 p ：一溉m ：懿型e 7 ，i m 0 r e l a b e l l i n g 也作类似处理。( 3 ) 方法论先前模型中，置模拟等关系没有概率化 ，即，其处理等价关系、先序关系等关系的方法与非概率模型中是一样的，本 质上仍是二值逻辑。丽a p p a 弓l 入了一个比较“概率化”的强模拟关系，提供了 一个概率进稷间等价性的精细量度艘的工作本质上罴连续僮逻辑( c o n t i n u o u s v a l u e dl o g i c ) 的，亦即n i t s s o n 弓l 进的概率逻辑( p r o b a b i l i s t i cl o g i c ) f 1 2 l ， l 嚣菲 传统的二值逻辑 本文姆gl 进一个艇的模型寒处理苓确定选择，张为驻闼馑避程伐粼i n t e r v a l - v a l u e dp r o c e s sa l g e b r a ，楚称i c c s ) 。该模型是a p p a 的区闼僮拓曩，困覆墩是 c c s 的区闼憋据鼹。我嬲采取a p p a 数一拨骰法，游绘c c s 赋以嚣耀毽本王 4 作建立褒m m u k a i d o a o 及hk i k u c h i 鼹g l 逃的模糊区阕僮逻辑 6 l 鲮基础之上。 在模糊区耀篷逻辑中，愈题被赋以一个褒1 0 ，1 l 裁救区耀袋作为其囊篷区 闯篷形翅 捌( 8 ，b 。，1 i ) ， 其中n 可解释为某给定命题的支持度，1 一b 可解释为该命题的反对度若 n b ，6 。可解释为模糊度，若b 曼。，n b 可解释为矛盾度嘲亦即，在 区间值逻辑中，一个命题的真度和假度燕彼此独囊给出的，并且人们可以对其 模糊度及矛盾度，真度及假度作蹦处理就n 、b 的关系而言，有三种。t l ：b 时，f n ，b 】= 。，模糊度及矛盾度都为0 若i c c s 中所有区间值都满足o ：b 及 亚随机条件，则该模型即为a p p a 模型 在 c c s 模型中，我们对c c s 赋以区间值如下； ( 1 ) a e ap r e f i x ( 2 ) l ，x i e i ，as u m m a t i o n ( 3 ) 双e l l i 岛) ac o m p o s i t i o n 其中。，如为区间值，而 穿= 0 h 士，x 1 2 ，。，茹l n ，x 2 3 ，2 ：2 n ，o ”一1 ，n ) 为一坐笋维的区间值一个进程以区间值z = k b l 做a 动作，意为；系统对 该动作的支持度为。，反对度为1 一b 。系统还给出了对子该动作的模糊度和 矛盾度，分别为b n 和n b 在1 , 2 及1 3 节中。我们介绍了由m m t t l m i d o n o 及h k i k u c h l i l 6 l 弓l 入的区间值 集会上的两个序关系 靼c ，分别是针对冀度及模糊度薅定义的。在i c c s 中，可以任意选用其中一个序关系来处理进程中的区闼值。例如，当我们或系 统关注囊度g 母，露选择序关系_ 及出它尊出的逻辑算子v ，a ；当我f l 、l 或系 统关注摸期澄时，可选择序关系c 及盎它导出蛉逻饕算予u ，n 。一般地，我 们慝 米表示这嚣个序关系中的任一令，用u 。n 表拳提瘦麴导出葵予。 5 下落请嚣i c c s 豹语义。我秘以p l o t k i n 豹s o s 1 3 l 懿形式给出i c c s 翡攥佟 语义，与a p p a 程襁，辍也有不同之娃。在i c c s 中，区黼餐遴程程的转换魏 瓣墅鲤下形浅 靴& 骂舻 l 其中 聋：= u 瓤ny 。：b 兰弘e 7 ，i j ，上 上撂8 一 1 3 ，0 i c = 【l ，o t ，是酝闻馕集合关于廖关系 的最，l 、售。类似她， 我嬲以 = f 1 ，l j ，= 敬1 表零区阅基集会关于序关系- c 熬最大毽) 门a n d u 罴一般赛予，我嬲霹根据系统在a ，v 秘n ，u 中传燃选择。爨默实嚣上我嬲 定义了两类操佟语义，记鸯7 - 0 8 郓a o s ，羚别秘镶序奖系 0 r e l a b e l l i n gi st r e a t e ds i m i l a r l y ( 3 ) m e t h o d o l o g y t h er e l a t i o n ss u c ha sb i s i m u t a t i o ni np r e v i o u sp r o b - a b i l i s t i cp r o c e s sa l g e b r a sa r es t i l l o r d i n a r yo n e sb u tn o tp r o b a b i l i s t i co n e s ， t h a ti s ，t h em e t h o d o l o g ya d o p t e dt od e a lw i t he q u i v a l e n c er e l a t i o n sa n d p r e - o r d e r sf o rp r o b a b i l i s t i cp r o c e s s e si st h es a m ea sf o rn o n p r o b a b i l i s t i cp r o c e s s e s ， a n dt h eu n d e r l y i n g ( m e t a ) l o g i ci ss t i l lt h ec l a s s i c a lt w o - v a l u e dl o g i c ，w h i l ei n a pp _ aam o r e p r o b a b i l i s t i c v e r s i o no ft h es t a n d a r dp r o b a b i l i s t i cb i s i m u l a t i o n i si n t r o d u c e d a n di tp r o v i d e sas u b t l e rd e s c r i p t i o no fe q u i v a l e n c eb e t w e e n p r o b a b i l i s t i cp r o c e s s e s i n s t e a do f c l a s s i c a lt w o - v a l u e dl o g i c v i n gw o r k si nt h e f r a m e w o r ko fac o n t i n u o u sv a l u e dl o g i c ，n a m e l yp r o b a b i l i s t i cl o g i ci n t r o d u c e d b yn i l s s o n 【1 2 1 t h e p u r p o s e o ft h i sp a p e ri st op r o p o s ean e wm o d e lt od e a lw i t hn o n d e t e r m i n i s t i cc h o i c et h a tw er e f e rt oa si n t e r v a lp r o c e s sa l g e b r a ( i c c s ，f o rs h o r t ) t h i sm o d e li sa ni n t e r v a le x t e n s i o no fa p p a a n dh e n c ea l li n t e r v a le x t e n s i o n o fc c s b ya d o p t i n gt h ei d e ao fy i n g sa p p a w ee n r i c hc c sw i t hi n t e r v a l v a l u e si n s t e a do fp r o b a b i l i t i e s ，a n dt h eu n d e r l y i n g ( m e t a ) l o g i ch e r ei s f u z z y i n t e r v a ll o g i cp r o p o s e db ym m u k a i d o n oa n dh k i k u c h i 6 i n f u z z yi n t e r v a ll o g i c ap r o p o s i t i o nw h i c hc a n n o tb ed e t e r m i n e dt ob e t r u eo rf a l s ei s e x p r e s s e db yi n t e r v a l si nf 0 ，1 1 a st r u t hv a l u e s a ni n t e r v a l 9 t r u t hv a l u ei se x p r e s s e da s 【a ，纠( n ，b 【0 ，1 1 ) w h e r enc a nb ei n t e r p r e t e d8 sad e g r e eo fa f f i r m a t i v ea s s e r t i o nf o rag i v e n s t a t e m e n t ，l b8 sad e g r e eo fn e g a t i v ea s s e r t i o nf o rt h es 8 4 n es t a t e m e n t + 6 8a sa d e g r e eo fv a g u e n e s so ra m b i g u i t y i f 8 曼ba n d # 一b 8 sa d e g r e eo f c o n t r a d i c t i o ni fb 曼a 1 5 l 。t h a ti s ，i nt h i si n t e r v a ll o g i c ，d e g r e e so f t r u ea n df a l s e f o r a s t a t e m e n t a l e g i v e n i n d e p e n d e n t l y a n d w e c a n t r e a t d e g r e e s o f a m b i g u i t y a n dc o n t r a d i c t i o na sw e l l8 8d e g r e e so ft r u ea n df a l s e t h e r e8 2 et h r e ee a s e s w i t hr e s p e c tt ot h er e l a t i o nb e t w e e naa n db + w h e nq = b i ti se q u i v a l e n t t oan u m e r i c a lt r u t hv a l u ea ，a n dt h ed e g r e eo fv a g u e n e s s c o n t r a d i c t i o ni s0 ni sa c t u a l l yt h em o d e la p p ai nc a s et h a te v e r yi n t e r v a l v a l u ei no u rm o d e l s a t i s f i e so = ba n dt h es u b - s t o c h a s t i cc o n d i t i o n i no u rm o d e lo fi c c s w ee n r i c hc c sw i t hi n t e r v a lv a l u e sa 8f o l l o w s ： ( 1 ) n z e ，ap r e f i x ( 2 ) 删z ，厩，as u m m a t i o n ( 3 ) z ( e 1 l 【b ) ，ac o m p o s i t i o n w h e r ez ，x ia r ei n t e r v a lv a l u e s ，a n d 掌嚣( 茹l ，x 1 2 ，x t n ，；：2 3 ，茹加，茗n l m ) i s a n 驾掣一d i m e n s i o n a li n t e r v a l v a l u ew h e nap r o c e s sa c t sl i k eaw i t ha n i n t e r v a lv a l u e 。= f a ，6 】，i tm e a n st h a tt h e r ei ss o m e t h i n g s u p p o r t i n gt h ea c t i o n w i t ht h ed e g r e ena n ds o m e t h i n go b j e c t i n gt ot h ea c t i o nw i t ht h ed e g r e e1 一b i nt h es y s t e m a n da l s ot h ed e g r e eo fu n k n o w n c o n t r a d i c t o r yi n f o r m a t i o n c o n c e r n i n gt h ea c t i o ni se x p r e s s e di no u rs y s t e mb yb a a b 1 n a st w o p a r t i a lo r d e rr e l a t i o n s a n d c 8 1 ( 2d e f i n e do nt h es e to ft r u t hv a l u e s o fi n t e r v a ll o g i c ，c o n c e r n i n gt r u t ha n da m b i g u i t y ，r e s p e c t i v e l y ，i ns e c t i o n12 a n d1 3 ，w ec a nt r e a tt h ei n t e r x a 1v a l u e si nt h ep r o c e s s e sw i t hr e s p e c tt oa n y o n eo ft h ct w or e l a t i o n s f o re x a m p l e ，w h e nw eo rt h cs y s t e mf o c u so nt r u t h ， t h e nt h er e l a t i o n a n di t si n d u c e do p e r a t o r sv ，aa r ec h o s e n o nt h eo t h e r h a n d ，i ft h es y s t e mf o c u s e so na m b i g u i t y ，t h e nt h er e l a t i o nca n di t si n d u c e d o p e r a t o r su na r eu s e d w ew i l lu s e a n dl j 门t or e p r e s e n ta n y o n eo ft h e t w op a r t i a lo r d e rr e l a t i o n sa n di t si n d u c e dl a t t i c eo p e r a t o r si ng e n e r a l w en o wt u r nt oc o n s i d e rt h es e m a n t i c so fi c c s t h em o d e li c c si sa l s o g i v e na no p e r a t i o n a ls e m a n t i c si n t h es t y l eo fp l o t k i n ss o s 【1 3 1 ，a n di ti s p r e s e n t e di nt h es p i r i to fa p p a m o d e l s b u tt h e r ei sa ni m p o r t a n td i f f e r e n c e b e t w e e nt h e mi ni c c s t h et r a n s i t i o nr u l ef o ri n t e r v a l v a l u e ds u m m a t i o ni s o f t h ef o r m w h e r e 瓢e 竺+ e i i 1 z ：= u z 。n 玑：最三，i ， 上 a n d 上d e n o t e s0 = 【0 ，o l l c = 1 ，0 1w h i c ha r et h er e s p e c t i v em i n i m ao ft h es e t o fi n t e r v a lv a l u e sw i t hr e s p e c tt ot h er e l a t i o n s - c ( s i m i l a r l y , w eh a v et h e n o t a t i o n1 = f 1 ，1 v = 【0 ，1 】f o rt h er e s p e c t i v eg r e a t e s te l e m e n t s ) r a n du a r et h eg e n e r a lo p e r a t o r sa n dw ec a nm a k eac h o i c eb e t w e e na ，va n dn ，u a c c o r d i n gt ot h es y s t e m s ot h e r ea r ea c t u a l l yt w os o r t so fo p e r a t i o n a ls e m a n - t i c s ，n a m e l yt o s a n da o sw i t hr e s p e c tt ot h et w op a r t i a lo r d e rr e l a t i o n s - a n dc ，r e s p e c t i v e l y f o re x a m p l e ，t h ep r o c e s s p = 【0 2 ，0 5 a 04 ，0s 1 0 + ( o7 ，0 4 a o2 ，s8 】0 十 o 7 ，0 7 i b i s 1 ，s2 1 c 1 0 1 1 h a st h cf o l l o w i n gt r a n s i t i o n p 乌0 z = ( 【o 2 ，0 5 a 【0 4 ，o6 】) v ( 【o 7 ，o 4 】a 0 2 ，o 8 ) = o2 ，0 5 lv 【o2 ，o4 】 = ( 0 2 ，o 5 1 ， i ft h es y s t e mf o c u s e so nt h ed e g r e eo ft r u t h ，i e ，w i t ht o s i nt h eo t h e rc a s e ， i ft h es y s t e mf o c u s e so nt h ed e g r e eo fa m b i g u i t y ，i e ，w i t ha 0 8 ，t h e n z = ( f o 2 ，0 5 】n f o4 ，o6 】) u ( 【o 7 ，0 4 】n 【0 2 ，o8 d = 【0 4 ，0 5 】u o 7 ，o4 】 = 【0 4 ，0 5 r e l a b e l l i n gi st r e a t e ds i m i l a r l y ，s e et h ei n f e r e n c er u l ei ns e c t i o n2 2 w ei n t r o d u c et w os o r t so fs t r o n gb i s i m u l a t i o n sr ta n dr ai ns u c haw a y t h a t ，i ft w op r o c e s s e sa r ei nac e r t a i nr t ( r a ) ，t h e nt h e ym u s tb e h a v ei d e n t i - c a l l yw i t ht h e o p e r a t i o n a ls e m a n t i c st o s ( a 0 5 ) a nu s t r o n gb i s i m u l a t i o n i s i n t r o d u c e d ，w h e r eu i sac e n t e ro ran u m e r i cw h i c hw i l lb es p e c i f i e di ns e e - t i o n1 4 g i v e nu 厶i n ，a nu s t r o n gb i s i m u l a t i o nb e t w e e nt w o p r o c e s s e sp ， q i sar e l a t i o ni nw h i c hp ，qm u s tb e h a v ei d e n t i c a l l yw i t ht h ei n t e r v a lv a l u e zi fi “= u j ；w h i l eh o wp ，qb e h a v ew i t ht h ei n t e r v a lv a l u eyi s r o u g h l y i d e n t i f i e di f 俨= 0 uo r = 1 ca n de v e ni g n o r e di f = c n b a s e do nt h ec o n c e p to fq u a n t i z a t i o no fa ni n t e r v a lv a l u ew i t hac e n t e r n u m e r i eu ，w e i n t r o d u c e w - q u a n t i z a t i o no fa ni n t e r v a lv a l u e dp r o c e s sw h i c h 】2 i sam a df r o l nt h es e to fi n t e r v a lv a l u e dp r o c e s se x p r e s s i o n st ot h es e to ff o u r v a l u e dd r o c c 8 8e x p r e s s i o n s h e n c eo u ru s t r o n gb i s i m u l a t i o ni se s s e n t i a l l y a b i s i m u l a t i o no nt h cs e to ff o u r ，v a l u e dp r o c e s se x p r e s s i o n s w em u s tp o i n to u t t h a t t oc a l c u l a t ca ni n t e r v a lv a l u e df o r m u l ai sv e r yc o m p l e x ，w h i l ei n af o u r v a l u e ds y s t e m ，i tb e c o m e se a s i e r t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s c h a p t e r1 i n t r o d u c e sm u k a i d o n oa n d k i k u c h i ，si n t e r v a ll o g i c ，i nc h a p t e r2 ，w eg i v e t h es y n t a xa n do p e r a t i o n a l 8 e m a t i c so fi c c s f i n a l l y ，i nc h a p t e r3w ei n t r o d u c et h es t r o n gb i s i m u l a t i o n a n dw - s t r o n gb i s i m u l a t i o no nt h es e to fi n t e r v a lv a l u e da g e n t s ，a n dd i s c u s s t h e i rp r o p e r t i e s 1 3 c h a p t e r 1 i n t e r v a ll o g i c i n t e r v a ll o g i cw a s p r o p o s e db ym m u k a i d o n oa n dhk i k u c h i ( 6 1 i nt h i si n t e r v a l l o g i c ，a n yp r o p o s i t i o n sc a nt a k ei n t e r v a lv a l u e s ，w h i c hc a nb ev i e w e da ss p e c i a l c a s e so f l i n g u i s t i ct r u t hv a l u e s 1 3 】o rt h e g e n e r a lc a s e so f n u m e r i c a lt r u t hv a l u e s j 1i n t e r v a lt r u t h 场l u e a ni n t e r v a lt r u t hv a l u ei se x p r e s s e da s a ，6 ( a ，b 【0 ，1 】) w h e r eac a nb ei n t e r p r e t e da nad e g r e eo fa f f i r m a t i v ea s s e r t i o nf o lag i v e n s t a t e m e n t ，1 一b8 8ad e g r e eo fn e g a t i v ea s s e r t i o nf o rt h es a l l l ( 、s t a t e m e n t b 一。a nad e g r e eo fv a g u e n e s so ra m b i g u i t ) i fn 曼ba n d “一f j a sad e g r e e o fc o n t r a d i c t i o ni fb a 【5 】t h a ti s ，i l lt h i si n t e r v a ll o g u l 、g l ( o ft r u e a n df a l s ef o ras t a t e m e n ta x eg i v e ni n d e p e n d e n t l y a n dw ec a l lli ( 、a t d e g r e e s o fa m b i g u i t ya n dc o n t r a d i c t i o na sw e l la sd e g n 、e so ft l l ea l l t lt a l s t 、p h m l la r c t h r e ee a s e sw i t hr a s p e c tt ot h er e l a t i o nb e t w e e naa n db w h e na = b ，i ti s e q u i v a l e n t t oan u m e r i ct r u t hv a l u e ，a n dt h ed e g r e eo fv a g u e n e s s c o n t r a d i c t i o n i s0as e tc o n s i s t i n go fa l li n t e r v a lt r u t hv a l u e si se x p r e s s e da s i 一 hb 】io ，b 【0 ，1 1 1 2p a r t i a lo r d e r so ft r u t ha n dv a g u e n e s s t w ok i n d so fp a r t i a lo r d e rr e l a t i o n s a n dca r ed e f i n e do nt h es e tia sf o l l o w s ： d e f i n i t i o n1 2 1 溺l e t 一，ja n dy = 汝，y b jb ee l e m e n t so fi ， y - 4 i fa n do n l yi f ，蜘， y c 富 i fa n do n l y i f z 。蜘，y b 2 ：b ， w h e r eqa n dca r es a i dt ob et h ep a r t i a o r d e rr e l a t i o n sw i t hr e s p e c tt ot r u t h a n d8 瞒6 匆u i t y , r e s p e c t i v e l y t h el e a s te l e m e n t 船迸t h eg r e a t e s te l e m e n to ft h e p a r t i a lo r d e rr e l a t i o n - 4 | c 强b e d e n o t e db yt h ef o l l o w i n gs y m b o l s ： 【0 ，0 l = 馥f 1 ，1 l = t f l ，o t g 黔，i 】= u ( 0s t a n d sf o rf a l s e ，1s t a n d s f o rt r u t h ，cs t a n d sf o rc o n t r a d i c t i o na n dus t a n d s f o ru n k n o w n ) w ew i l lu s ett or e p r e s e n tt h eg r e a t e s te l e m e n ta n d 上t o r e p r e s e n tt h el e a s te l e m e n t i f i ti sn o t s p e c i f i e dt h a tw h i c hp a r t i a lo r d e rr e l a t i o n h a sb e e nc h o s e n t h es e t1 4i sd e f i n e da sf o l l o w s 1 4 一 毡1 g 砚 1 5 1 3l a t t i c eo p e r a t o r s i nt e r m so ft h et w op a r t i a lo r d e rr e l a t i o n s ，l o g i c a lo p e r a t i o n st r u t ho r ( v ) ， t r u t ha n d ( a ) a n d a m b i g u o u so r ( u ) ，a m b i g u o u sa n d ( n ) a r e d e f i n e da sf o l d e f i n i t i o n1 3 1 6 1 ii st h ec o m p l e t el a t t i c ew i t hr e s p e c tt oe a c ho ft h e p a r t i a lo r d e r s a n dc f o re l e m e n t sz = k ，x b 】a n dy = 【y a ，y b 】o f i ，t h e l a t t i c eo p e r a t i o n sa r ed e f i n e da sf o l l o w s ： 。vy = f m a x ( x 。，) ，m a x ( x b ，y b ) 】 。a y = 【m i n ( x 。，蜘) ，m i n ( x b ，蜘) 】 zu y = m i n ( x 。，蜘) ，m a x ( x b ，y b ) 】 zn y = 7 1 l a x ( x 。，弛) ，m i n ( x b ，y b ) 】 b o t h ( 1 4 ，v ，a ) a n d ( 1 4 ，u ，n ) a r es u b l a t t i c e s w ew i l lu s e a n du ，门t o r e p r e s e n ta n yo n eo ft h et w op a r t i a lo r d e rr e l a t i o n sa n di t si n d u c e do p e r a t o r s a g e n e r a ln o t a t i o n 1 4c e n t e ra n dn u m e r i c d e f i n i t i o n1 4 1 ( 1 ) 6 ja ni n t e r v a lt r u t hv a l u e 【a ，6 】i ss a i dt ob eac e n t e r i f a = 1 一b ( 2 ) a n i n t e r v a lt r u t hv a l u e 口，6 】i ss a i dt ob ean u m e r i ci fa = b t h es e ti ci st i l es e to fa l lc e n t e r sa n di t lt h es e to fa l ln u m e r i c s ： i 。= k b 】ia = 1 6 ) ，i 。= 【o ，b j id = b d e f i n i t i o n1 4 2l e tzb ea ne l e m e n to fi ( 1 ) f o rag i v e nc e n t e r 肛，t h eq u a n t i z e dv a l u e 扩i sd e f i n e da sf o i l o w s 1 ， i fa n d o n l y i fp - 4 za n d z 仁肚 0 ， i fa n d o n l y i fz _ 肛a n dz 仁肛 u i f a n do n l y i f p cz ，p za n dz 必“ c i f a n do n l y i fz ch ( 2 ) f o rac e r t a i nn u m e r i c ，t h eq u a n t i z e dv a l u e 护i sd e f i n e da sf o i l o w s u i fa n d o n l y i f c 。a n d 。必 c i f a n do n l y i fzc a n dz 幺 1 ， i fa n do n l y i fpzp 仁。a n d z 匹 0 ，i f a n do n l y i fo l e t 雪= ( x l ，x ) b ea ne l e m e n to f i “，a n df o ru i c i n t h e l lw pd e f t n e = ( 矗“，磊“) 1 5 q u a n t i z a t i o nt h e o r e m w cc o n s i d e rt w ot y p e so ft e r m s ，f i r s t l yt e l m sb u i l tf r o mv a l i a l ) l e s i ，a 1 1 dt l l c o p e r a t i o n sv ，a ，s e c o n d l yt e r m sb u i l tf r o