（电力系统及其自动化专业论文）非线性电路混沌现象的研究.pdf

k 广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 - 一 娜 i 舅? k 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究 成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮 助的个人和集体，均己在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名： 触编 io 年6 月西日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；一 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 面| 时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 诘文作者签名：麟新签名：李世乍舴6 月玎日 一 一 - r j k 面 t 镥 u p r 摘要 非线性电路混沌现象的研究 摘要 当今世界科学中，有一门学科是大家关注的热点，即非线性科学。非线性科学不仅 涉及自然科学，而且还与人文科学等众多领域相关，对其研究的成果，对人类社会的发 展将有实际的价值和深刻的意义。 本论文是研究非线科学在电学中的应用。以前的电路研究在线性电路中取得了很多 成果，随着集成元件的广泛使用，在很多电路中非线性现象广泛的存在，对非线性电路 的研究是很有必要的。特别是混沌现象的研究，更是非线性电路研究的重要课题。 首先在理论分析的前提下，介绍了各种非线性元件，对一般非线性电阻电路进行了 讨论；以非线性动力学理论为工具，对非线性自治电路、非线性自治电路的分岔和混沌 的基本理论、基本分析方法进行了阐述。然后以一个三阶自治电路进行了分析研究，给 出了混沌电路中非线性电阻的构造方法，并建立了数学模型，对根据模型对其进行了仿 真研究，分析形成混沌的过程；并通过实验仿真，验证理论分析的结果。 研究实际的电力系统的稳定性是有着重大的现实意义。因电力系统在周期扰动下将 产生混沌的现象，为提高电力系统的稳定性，将单机无限大系统转化为周期干扰下的 h a m i l t o n 系统，并利用m e l n i k o v 方法研究电力系统产生混沌的物理条件。 通过分析，推导了m e l n i k o v 函数具有简单零点的条件，得出了产生混沌的参数区 域，为准确判别混沌振荡提供了计算依据。研究表明，如果扰动功率较小，则不会产生 混沌；如果扰动功率较大，系统将出现混沌。为展开非线性电路理论研究工作提供了方 法。 总之，非线性混沌现象存在于我们的日常生活中。任何事物均有两面性，混沌同步 可应用于保密通信系统中；混沌的产生也可能影响到系统的稳定性。通过理论分析、仿 真和实验的验证，为今后在非线性电路中有目的地避开、产生、控制或强化混沌现象提 供了一些方法。 关键词：非线性电路；混沌；混沌电路；混沌控制；混沌研究 a b s t r a c t r e s e a r c ho nc h a o so f n o n l i n e a r i t yc i r c u i t a b s t r ac t n o w a d a y st h en o n l i n e rs c i e n c ei st h eh o tp o i n ti nt h ew o r l ds c i e n c e i tn o to n l yi n v o l v e s t h en a t u r a ls c i e n c e sb u ta l s om u l t i t u d i n o u sd o m a i ni nt h eh u m a n i t i e ss o c i a ls c i e n c e s r e s e a r c h r e s u l to nn o n l i n e rs c i e n c eh a st h es i g n i f i c a n ts c i e n t i f i cv a l u ea n dt h ep r o f o u n ds i g n i f i c a n c ei n d e v e l o p m e n to fh u m a ns o c i e t y 1 1 n sp a p e ri ss t u d yn o n - l i n e rs c i e n c e sa p p l i c a t i o ni ne l e c t r o l o g y f o r m e re l e c t r o c i r c u i t s t u d yg a i n sg r e a ta c h i e v e m e n ti n1 i n e rs c i e n c e w i t ht h ew i d eu s ei ni n t e g r a t e dc o m p o n e n t ， n o n - l i n e rp h e n o m e n o nw i d e l ye x i s t si nm a n ye l e c t r o c i r c u i t s s oi ti s n e c e s s a r yt os t u d y n o n - l i n e re l e c t r o c i r c u i t r e s e a r c ho nc h a o sp h e n o m e n o ni ss p e c i a l l yt h ei m p o r t a n tt o p i ci n n o n 1 i n e re l e c t r o c i r c u i tr e s e a r c h f i r s to fa l l ，u n d e rt h e o r e t i c a la n a l y s i s ，n o n 1 i n e rc o m p o n e n tw a si n t r o d u c e d g e n e r a l n o n - l i n e a rr e s i s t i v ec i r c u i t sw e r ed i s c u s s e d ；w i t hat 0 0 1o fn o n 1 i n e a rd y n a m i c st h e o r y , n o n - l i n e a ra u t o n o m o u sc i r c u i t s ，n o n - l i n e a ra u t o n o m o u sc i r c u i tb i f u r c a t i o na n dc h a o st h e b a s i ct h e o r y , b a s i c a n a l y s i sm e t h o dh a sb e e nd e s c r i b e d t h e nr e s e a r c ho nat h i r d o r d e r a u t o n o m o u sc i r c u i tg i v e st h ec h a o t i cn o n l i n e a rr e s i s t a n c ec i r c u i tc o n s t r u c t i o nm e t h o da n dt h e e s t a b l i s h m e n to fam a t h e m a t i c a lm o d e l ，t h em o d e lw a sc a r r i e do u ta c c o r d i n gt oas i m u l a t i o n s t u d yt oa n a l y z et h ef o r m a t i o no fc h a o t i cp r o c e s s ；m o r e o v e r , p r o v et h e o r e t i c a la n a l y s i sr e s u l t b ye x p e r i m e n ts i m u l a t i o n t h es t a b i l i t ys t u d y i n ga c t u a le l e c t r i cp o w e ri ss y s t e m a t i ci st oh a v es i g n i f i c a n tp r a c t i c a l o ri m m e d i a t es i g n i f i c a n c e b e c a u s ep o w e rs y s t e mu n d e rt h ed i s t u r b a n c ew i l lp r o d u c ec h a o s p h e n o m e n o ni nt h ec y c l e ，i no r d e rt oi m p r o v ep o w e rs y s t e ms t a b i l i t y , t h es t a n d - a l o n ei n f i n i t e s y s t e m sw i l lb ec o n v e r t e di n t oh a m i l t o ns y s t e md i s t u r b e di nt h ec i r c l e a n du s em e l n i k o v m e t h o dt os t u d yt h ep h y s i c a lc o n d i t i o n so fc h a o sp r o d u c e di ne l e c t r i cp o w e rs y s t e m t h r o u g ha n a l y s i s ，d e r i v a t i o no ft h em e l n i k o vf u n c t i o nh a ss i m p l ez e r oc o n d i t i o n s ， o b t a i n e df o r p r o d u c i n gc h a o t i cr e g i o n s o fp a r a m e t e r s ，i no r d e rt od e t e r m i n e a c c u r a t e l y c a l c u l a t e do nt h eb a s i sp r o v i d e sac h a o t i co s c i l l a t i o n s t u d i e sh a v es h o w nt h a ti ft h e d i s t u r b a n c ep o w e ro fs m a l l e r , t h e r ew o u l db en oc h a o s ；i fal a r g e rp o w e rd i s t u r b a n c e ，t h e s y s t e mw i l la p p e a rc h a o t i c i tp r o v i d e sm e t h o d st or e s e a r c ho nn o n 1 i n e re l e c t r o c i r c u i tt h e o r y i naw o r d ，n o n l i n e a rc h a o sp h e n o m e n o ni sf o u n di no u rd a i l yl i f c j u s tac o i nh a st w o s i d e s ，c h a o ss y n c h r o n i z a t i o nc a l lb ea p p l i e di ns e c r e ts i g n a l i n g ；c h a o sa l s oc a na f f e c ts y s t e m s s t a b i l i t y t h e o r ya n a l y s i s ，s i m u l a t i o na n de x p e r i m e n tv a l i d a t i o np r o v i d es o m em e t h o dt o p u r p o s e f u l l ya v o i d ，p r o d u c e ，c o n t r o l o r s t r e n g t h e n c h a o sp h e n o m e n o ni nn o n - l i n e r e l e c t r o c i r c u l tf o rt h ef u t u r e k e y w o r d s ：n o n l i n e a rc i r c u i t ；c h a o s ；c h a o sc i r c u i t ；c h a o sc o n t r o l ；c h a o sr e s e a r c h 追 ， 1 一 ， ，力 0 目录 第一章绪论1 1 1 课题研究意义1 1 2 国内外研究状况3 1 3 本课题研究工作3 第二章非线性元件5 2 1 非线性电阻5 2 2 非线性电感8 2 3 非线性电容1 0 2 4 非线性电阻电路的解1 l 2 5 小结1 2 第三章非线性自治电路1 3 3 1 非线性电路的状态方程1 3 3 2 状态方程的解1 5 3 3 平衡点及其稳定性1 7 3 4 极限环及其稳定性2 l 3 5 小结2 3 第四章非线性自治电路的分岔和混沌2 4 4 1 分岔2 4 4 1 1 切分岔2 4 4 1 - 2 转换键型分岔2 5 4 1 3 叉式分岔2 6 4 1 4 霍夫分岔2 7 4 2 混沌2 8 4 3 李雅普诺夫指数2 8 4 4 小结3 0 第五章混沌电路的仿真和实验3 1 5 1蔡氏电路的仿真3 l 5 1 1 蔡氏电路3 1 5 1 2 非线性电阻的实现3 3 5 1 3 仿真研究3 7 5 2 混沌电路实验3 8 5 2 1 混沌实验电路图3 8 5 2 2 实验步骤及现象3 9 5 3 小结4 3 第六章电力系统在周期扰动下的混沌研究4 4 6 1 单机无限大系统4 4 6 2m e l n i k o v 方法4 7 6 3 单机无限大系统产生混沌的条件4 8 6 4 数值仿真5 0 6 5 小结5 l 第七章结论5 2 参考文献5 3 致谢5 6 攻读学位期间发表论文情况5 7 ， 、 ， _ r 第一章绪论 1 1 课题研究意义 第一章绪论 非线性科学是- - i 7 近年来广为人们关注的- - 1 7 的学科，主要探索和研究的是长期以 来存在于现实生活中出现的各种各样复杂的非线性问题。人们对现实生活中的种种复杂 现象有了重新的的认识，得益于非线性理论的发展。长期以来的研究，基于对线性系统 的研究已趋于成熟与完善，因此，对出现的复杂的非线性现象，人们总是想将其转化成 已知的线性系统，或是将其近似等价于多个简单的近似线性系统来进行分析。但随着科 学的进步及社会的发展，利用近似的线性系统去模拟真实的非线性系统的弊端逐渐显现 出来。因此，复杂的非线性需要利用专门的非线性理论来进行解释，这门学科的建立和 完善成为当代学者的首要任务。 一百多年以来，人们对电路理论的研究，取得的较多成果在于线性电路理论方面。 而自然界是千变万化的，绝大多数行为均是非线性，电路也是如此。非线性电路理论是 非线性科学很多方向研究中较为重要的一部分。研究非线性电路的时间于二十世纪六七 十年代，缘于随着半导体元件的广泛应用于电子电路中。半导体元件及大规模集成电子 元件等具有非线性性质的电子器件产生的非线性电路行为，无法用现有的线性理论来进 行解释、分析，科学家们将研究的方向朝着非线性电路的综合分析、故障诊断等方面积 极开展。 混沌是二十世纪非线性科学领域的重大发现，是非线性方程描述的确定系统所产生 的介于周期振荡与噪声之间的一种复杂振荡。1 9 6 3 年，美国麻省理工学院著名的气象 学家洛伦兹( e n l o r e n z ) 在研究一个气象学模型时，首次发现混沌运动乜1 ，也就是我 们常说的蝴蝶效应。法国数学家、物理学家昂利彭加勒在科学的价值一书中写道： “初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别，前者微小误差促成了后者的 巨大误差，于是预言变的不可能了口1 。 随着七十年代末非线性科学领域中混沌现象研究 热潮的兴起，非线性电路中混沌现象一直是许多学者及研究人员不断探索、研究的方向 h j l 。研究的成果是构造出了不少能产生混沌、超混沌的电路，实际应用电路的出现，让 电路中的混沌现象的研究变成整个非线性理论研究科学中不可缺少的一个分支，也丰富 非线性理论研究科学的内容。 非线性电路理论为非线性新器件的应用提供了理论基础，混沌现象也在许多领域有 的真实体现，只是近似或简化，因此，有可能存在无解或解并不是唯一的情况。 ( 3 ) 非线性系统平衡状态稳定性问题 现实中，付诸于工程实施的系统一定是稳定的系统，线性系统的一般存在一个平衡 状态，其稳定性判定的方法多种多样，也是极为容易判别的。但非线性系统却并非如此， 利用判定线性系统稳定性的方法不能适应于非线性系统，而且其平衡点很多情况下也不 只一个，有些是稳定的平衡点，而有些却是不稳定的平衡点，分析起来比较复杂，出现 的状态也多种多样。 ( 4 ) 非线性电路中的一系列特殊现象 非线性电路成为人们广为关注的热点，有一个重要的原因是在研究的过程中，发生 了一些人们以前从未遇见奇异的现象。这些奇异现象的研究，进一步揭示了非线性理论 不为人知的一面，也成为非线性理论的研究和发展的动力。例如一个非线性系统状态会 因为系统解的形式因为参数的微小变化而发生本质性改变的，这就是分岔；在某些非线 t k k b p 、一 第一章绪论 性电路和系统，还会出现一种貌似随机的混沌现象。这些现象的出现，让非线性系统科 学的理论的内容有了新的扩充，并促进了非线性系统科学的进一步发展。 ( 5 ) 混沌的概述 混沌的发现被誉为是继本世纪相对论和量子力学问世以来第三次物理学革命n 3 1 。这 场革命冲击和改变着科学和技术领域，向我们提出了巨大的挑战n 劓。混沌是指确定的宏 观的非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随机现象n 5 1 引；看似无序， 但却有一个限定的范围，是在一定的条件下表现出来的对初值敏感的现象。可以利用非 线性电路中的波形研究和分析混沌现象，并调整参数来达到控制实现的效果。因此，研 究非线性混沌特性有着深远的意义，也是研究非线性科学的方向之一。 1 2 国内外研究状况 现阶段研究的主要内容是关于混沌的控制n 7 。2 ，还有蔡氏电路的混沌仿真研究等。 通过对蔡氏电路的研究，得到混沌的时域图形和平面图，在一定条件下电路会出现混沌 双涡卷吸引子和稳定的周期轨道：在非线性电路混沌振荡的研究上，发现了可产生混沌 振荡的非线性电路方程参数不是唯一的，适应选择元件值，可使电路具有易起振、噪声 低，时延小等优点。随着动力学理论的日益完美和其应用的发展，一个新的思想又涌现 出来，就是控制和同步混沌。经过国内外科学家的十几年的研究，很多控制混沌与同步 的方法已经在该领域中被提出并付诸实现。但由于此方面的研究时间较短，还有很多不 为人知的理论及现象需要科学家们探索及研究，因此该课题的研究仍然是学术热点。在 研究方向上主要有以下容：1 混沌控制中现代控制理论的应用；2 控制超混沌与同步； 3 研究混沌的反控制；4 混沌控制的物理机制研究；5 混沌控制方法的适应性研究。 大家还在努力的掌握混沌的一些规律和特性，寻找“无序中的有序 ，使混沌控制 的研究重点由理论研究转向具有工程应用价值的领域，以便今后让混沌现为我们实际的 生活所利用。 1 3 本课题研究工作 了解并掌握混沌发生的原理及过程，是该领域需要探索的方向，该课题的研究是很 有现实价值的。有时可以根据需要来制造混沌，例如在通讯过程中需要对数据及信息进 第一章绪论 行保密的时可以制造混沌；同时在有些系统中需要避免混沌的发生，例如电力系统中某 些振荡现象。目前混沌的产生主要通过三条途径：倍周期分岔，阵发混沌和准周期进入 混沌。三种不同的分岔类型是：倍周期分岔、切分岔和霍普夫分岔。 描述混沌程度的方法有很多种，而且各有利弊。其中较主要的有如确定奇异吸引子 的各种维数、确定混沌系统的所谓柯尔莫哥洛夫、对周期驱动系统较易实现的分频采样 法以及庞加莱截面的方法等等。理论分析中则大量使用泛函分析，借用相变理论中的重 正化群方法。比如费根鲍姆推出的普适常数及标度因子就在于是解一个反映自相似结构 的泛函方程形式的重正化群方程。另外，分析系统的梅尔尼科夫( m e l n i k o v ) 函数也是确 定混沌的一个重要方法。 根据当前国内外混沌控制的研究动态与发展趋势，目前具有较广应用前景的是非线 性电路进行混沌控制的探讨和研究乜2 嘲3 。因混沌理论的研究时候不是很长，现阶段人们 的研究水平在还特定的动力学系统的混沌控制方法上，并不具有广泛的适用性，许多研 究人员还在不懈努力的寻找具有适用性的混沌控制方法。本论文主要研究具体的非线性 电路的的混沌现象，开展深层次的理论分析，并通过计算机进行迭代运算，为混沌系统 的控制问题，其中包括混沌的控制( 混沌的抑制) ，混沌的反控制( 混沌的产生和加强) 以 及混沌同步的控制提供一些理论依据。 4 - j 一 扣 k 第二章非线性元件 第二章非线性元件 至少含有一个非线性元件的电路称为非线性电路，其运动规律由非线性微分方程来 描述。严格来说一切实际电路都是非线性的，许多非线性元件的非线性特征不容忽略， 否则就将无法解释电路中发生的现象：由于非线性电路具有本身的特殊性，所以分析研 究非线性电路具有很重要的意义。 设( 磊，刁，) ，( 受，刁：) 是同一类型的动态无关的变量偶，如果二端元件的的关系满足 厂( 鼻，7 7 ，) = 0 及厂( 色，7 ：) = 0 时，对任意两个常数口和，满足 厂( 口轰+ 彘，口刁l + 刁2 ) 2 0 ( 2 - 1 ) 即厂( 参，r 1 ) 是关于( f ，r 1 ) 的线性函数，则称该元件为线性二端元件，否则称之为非线 性元件。 o ， 2 1非线性电阻 线性电阻元件的特性可用欧姆定律“= r i 表示，在“一f 平面上是通过坐标原点的一 条直线。非线性电阻的伏安特性不满足欧姆定律而遵循某种特定的非线性函数关系。非 线性电路在电路中的符号如图2 - 1 所示。可用下列函数关系表示 “= f ( i )( 2 2 ) 它的典型的伏安特性如图2 2 所示。从特性曲线上可以看到：对于每一个电流值有 且只有一个电压值与之相对应；反之，对于同一电压值，电流可能是多值。如“= ， 就有f i 、f 2 、f 33 个不同的值。 图2 - 1 非线性电阻符号 f i g 2 1n o n l i n e a rr e s i s t a n c es y m b o l 一5 一 第二章非线性元件 j k - ， l ) p l i 0 0 厂鲁叫础， 弋查：1 ld t ( 3 - l o ) 实际电路问题的动态过程只有一个。因此，以后总是认为电路模型是合乎实际，在 给定的状态变量的起始值之下，状态方程有唯一解。 自治状态方程( 3 - 9 ) 决定的系统，称之为动力( 学) 系统，f ( x ) 称向量场。 3 2 状态方程的解 刀维自治状态方程戈= 厂( x ) 的解一般是时间t 的函数，并且依赖于初始时刻t 。时状态 变量的起始值。考虑到这些因素，解可以记作缈( f ，t o ，) ；伊：r xrxr ”一r 一，显 然有 缈( 气，f o ，) = x o ( 3 - 1 1 ) 解必须满足状态方程，即 d c p ( i t , t o 一, x o ) ：厂眵( 吖。，x 。) 】 衍 。“”。 作变量代换，用( t f ) 代替f ，r 是任意实常数，得 ( 3 1 2 ) 第三章非线性自治电路 型生掣：厂眵(f_f，fo，)】dt。 。 ( 3 1 3 ) 上式说明，解的时间平移缈o f ，。，x 。) 也满足状态方程，从而它也是解。为了行文 便，称它为平移解；原来的解伊( f ，x 。) 称为原解。 以f 为参变量，原解可用状态空间( 或相空间) r ”中的一条轨线描述，见图3 - 1 。 图3 1r ”中的轨线 f i g 3 1 t h er a i ll i n eo fr ” 图3 1 中，在轨线上相点的附近注明了对应的时间。设i 时相点在一处，则 毛= 妒( f j ，t o ，x o )( 3 - 1 4 ) 当r = + f 时，平移解是 妒【( i + f ) 一f ，t o ，x o 】= 缈( f ，b ，x o ) = ( 3 - 1 5 ) 所以平移解也通过t ，x ，是代表原解轨线上的任一点，因此，代表平移解的轨线， 还是图中的那条轨线，只是起始相点的位置改变了。从轨线上的t 点运动到x 点所需的 时间都是7 一，和f 的大小无关。因此，轨线上起始时刻可任意规定。 自治状态方程在相空间的任意二条轨线不能相交。 第二章非线性自治电路 规定起始时刻f 。= 0 以后状态方程的解可以写成妒( f ，x o ) ，指定f = ，。，矽( ，。，) ，可 以看成是把状态空间中的相点，通过映谢伊( f 。，) ：r ”一r ”之后得到的像，从这个观 点看，对r ”空间任一点x ，通过此映射得到的像就是缈( ，x ) ，记作办。( x ) ，称作动力 系统的流，或自治状态方程的流，或由厂建立的流。图3 2 中，在状态空间里画了三个 相点x 。，z ：，x ，它们代表f = 0 时的点，经过映射勿o ) 的像，是图中另外三点，显然，x ， 和力。( x ) 在同一条轨线上，其它几点情况类似，图中的三条曲线就是以而，石2 ，而为起始点 的三条轨线，它们分别由以( x 。) ，办( x ：) ，办( x ，) 表示。图中还画出了以( 而) ，识( x ：) ，识( x 。) 三 点。 图3 2 状态空间的三条轨线 f i g 3 2 t h r e et r a j e c t o r i e si ns t a t e s p a c e 3 3 平衡点及其稳定性 自治状态方程戈= 厂( x ) 的平衡点或不动点x 。定义为状态方程的一个解，而且x 。是不 随时间变化的不变向量，即 q k , ( x 。) = x e , v t ( 3 1 6 ) 解x 。满足状态方程，由于文= o 乃得 f ( x 。) = 0 ( 3 - 1 7 ) 式9 0 是疗维零向量，因此平衡点x 。是非线性代数方程式的解。在电路理论里，状 态变量x 常代表电感电流或磁链、电容电压或电荷，自治电路中的独立电源是直流电源， 一l 卜 第三章非线性自治电路 x 。对应于电感电流或磁链不随时间变化，从而电感电压为零；电容电荷或电压不 而电容电流为零。这时电感相当于短路，电容器相当于开路，整个电路类似直流 用下的电阻电路。解得些电路的电感电流( 或磁链) 和电容电压( 或电荷) ，就 平衡点或不动点。平衡点可以不止一个。时常把状态空间的坐标原点移到所研究 个平衡点处，平衡点x ，是状态空间的一条轨线，见式，它是状态空间的一点其它 织( x 。) 却可以很复杂二维线性系统的轨线较简单，由于可以在二维状态空间，即 面或相平面上画出轨线图形，给人以直观的认识，所以这种系统是最基本的系统。 性自治系统的状态方程是 妄= 彳x = - 口a l l 2 1 口a 尥2 二1 2 c 3 一8 ， 数矩阵a 的特征方程是 刀一( 口i l + 口2 2 ) 五+ d e t a = 0 ( 3 1 9 ) t a w e 0 时，原点是唯一的平衡点。设是 ，如特征值，平衡点可分为两类：双曲平 非双曲平衡点。 1 ) 双曲平衡点。此时，r e ；h o ，r e 如0 。节点、焦点、鞍点属于这一类。下 了对应于这些平衡点的相图。图3 3 的原点是节点，r e 2 a 0 ，r e 如 0 ；图3 4 中的原点是焦点， 2 = a + _ j c o ，a 0 ，随时间不断增加，极限环不稳定；若岛 o ) 伊= f r o ( 4 1 2 ) ( 4 - 1 3 ) ( 4 1 5 ) ( 4 - 1 6 ) ( 4 - 1 7 ) 式中，c 与，。由初始条件决定，由式可知，当甜0 时，相平面的相点到坐标原点的 距离p 随时间缩短。当时间f o o 时，p 专0 ，即“轴线( x ，y ) = ( o ，o ) 上的各点是稳定焦 点，相f f i j i 拘趋近于它。由式可知，当u o 时，无论初始值p 大小如何，p 值随时间 非线性自治电路的分岔和混沌 形成一闭合圈，即极限环。这种因参数u 从负变化，从 夫分岔。分岔点位于u = 0 。 图4 5 霍夫分岔 f i g 4 - 5 h o f fb i f u r c a t i o n 自治系统的相点如果不趋于空间的无穷远处，有三种情况：相点趋于平衡点即直流稳 态；相点趋于极限环，稳态是周期振荡；运动是非周期振荡。 拟周期振荡是非周期的。另一种非周期运动称混沌运动或混沌。混沌的重要特点是 初始值直接影响状态变量的波形，而且初始值有微小的变化，将得到不同的状态变量的 波形。 混沌的另一个特点是：混沌轨线的维数不是整数，称非整数维或分数维。众所周知， 点的维o ，线的维是l ，面的维是2 。有三个吸引子的维，已证实都是略大于2 的数，即大 于面的维2 ，看来吸引子由无穷多个片状物构成。显然，吸引子的轨线不可能颁布在一 个光滑柱状曲面上，如果轨线在一个曲面上，那么相点从曲面的上端运动到下端后无法 返回到上端去( 因为轨线不能相交) ，但是相点又不能停在下端( 因为无平衡点或极限 环) ，所以相点必须过渡到另一个曲面上，具有分数维、轨线形状极其复杂的吸引子， 称奇异( 怪) 吸引子，奇异吸引子是对轨线的几何形状讲的。