（计算机应用技术专业论文）基于偏微分方程与小波变换的图像降噪算法研究.pdf

摘要 图像降噪是图像处理的重要环节之一，其目的是为了提高图像的信噪比， 改善图像质量，尽可能减少噪声对后续图像处理的影响。传统的图像降噪方 法主要滤除图像的高频成分，由于图像的细节也分布在高频区域，所以总是 在对噪声进行滤除的同时模糊了图像的边缘。 小波变换方法与偏微分方程方法是两类重要的降噪方法，本文对基于小 波分析和偏微分方程的图像降噪方法分别进行了深入研究，并在此基础上讨 论了小波分析和偏微分方程在图像降噪中结合应用的问题。目前，偏微分方 程和小波分析在理论上的联系还比较薄弱。本文分析了相干增强扩散方法和 小波阈值收缩方法之间的关系，推导了小波收缩方法和相干增强扩散方法之 间的一致性，给出了相干增强扩散在小波分析意义下的解释，同时解释了相 干增强扩散方法与小波阈值收缩方法在图像性质上的等价性。 相干增强扩散方法既能保证边缘的保留也能保证对边缘处的噪声进行处 理，而小波变换能够有效提取图像边缘特征，因此文中提出了一种用小波系 数估计图像边缘方向的相干增强扩散图像降噪算法，该方法用经过软阈值滤 波后的小波系数估计图像边缘方向来构造扩散矩阵，然后对噪声图像用相干 增强扩散方法进行降噪处理。仿真试验结果表明文中的扩散算子可以很好地 定位和保护图像边缘，较好地运用了小波的时频分析功能，在噪声较大时可 以取得较好的降噪效果。 关键词：图像降噪；偏微分方程；小波变换；相干增强扩散；小波收缩 哈尔滨工程大学硕七学位论文 a b s t f a c t i m a g ed e n o i s i n gi so n eo f t h em o s ti m l ) o r t a ms t e p si ni m a g ep r o c e s s i n g i t s p u r p o s ei s t oa l h 撇t h es n rb e t w e e no r i g i r ni n l a g ea n dd e n o i s e di m a g e i m p r o v et h ec h a r a c t c ro fi m a g e a n dr e d u c et h ei n f l u e n c et 0t h ef o l l o w i n gi m a g e l 撇e s s i n ga sf a r 嬲p o s s i b l e t h e 自r m i f i o n a lm e t h o d so fi m a g ed e n o i s i n ga l w a y s f i l t e rt h eh i g h - f t e q u e n c yc o m t o n e n to fi m a g e b mt h ei m a g ee d g e sa l s od i s t r i b u t e i nh i g h - t i e q l l c n e yc o m p o n e n t s ot h e ya r ea l w a y sb l u r r e dw h i l ef i l t e r i n gt h en o i s e i nk , n a g e w a v e l e tt r a n s f o r ma n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) a l r ct w oi m p o r t a n t m e t h o d so fi m a g ed e n o i s i n g i nt h i st h e s i s ，f i r s t l y , w er e s e a r c h e dt h ei m a g e d e n o i s i n gb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m a n dp d es e p a r a t e l y s e c o n d l y , w e d i s c u s s e dt h ec o r r e l a t i o nb c l m e i lw a v e l e tt r a n s f o r ma n dp d ei ni m a g ed e n o i s i n g t h i r d l y , w ea n a l y z e dt h er e l a t i o n s h i pb e 嘶e e nc o h e r e n c ee n h a n c i n gd i f f u s i o n ( t e d ) a n dw a v e l e ts h r i n k a g e f i i l a l l y w eg a v eo u t t h ei n t e r l ) f e t a t i o n0 ft h ec e d 硼d e rw a v e l e ta n a l y s i sa n dt h ec q u i v a l e n c yb e t w e e nc e da n dw a v e l e ts h r i n k a g e i ni r l l f l g ee b a r a e t e 】r c e d 锄n o to n l yp r e s e r v et h ei m a g ee d g e sb u ta l s or e d u c et h en o i s ei n i m a g ee d g e s w a v e l e tt r a n s f o r mc l l ne f f e c t i v e l ye x u a c ti m a g ee d g ec l 柚x a c t e r s o w ep r o p o s a l 趾i m a g ed e - n o i s i n ga l g o r i t l t mo fc o h e r e n c ee n h a n c i n gd i f f u s i o n , w h i c hu s e dw a v e l e te o e f f i c i e n t st oe s t i m a t e i m a g ee d g e i tu s e dw a v e l e t c o e f f i c i e n t s ，w l d e hw e i l ：s h l - l l l l kb yw a v e l e ts o f t - s h r i n k a g e ，t oe s t i m a t et h ei m a g e e d g ea n dt h e nc o n s t r u c td i f f u s i o nm a t r i x f i n a l l yw er e d u c e dt h en o i s ei ni l i l a g c u s i n gc e dm e t h o d e x l 埘- i m e n t a lr e s u l t ss h o w e dt h a tt h ep r e s e n t e dd i f f u s i o n f ；咖rc o u l dl o c a t ea n dp r o t e c ti m a g ee d g ea c c u r a t e l y , a n dt h et 玎e s e n t e da l g o r i t h m c o u l dr e d u c en o i s ee f f e c t i v e l y k e yw o r d s ：i m a g ed e n o i s i n g ；p a r t i a ld i f f c r e m i a le q 硼t i o n ；w a v e l e tt r a n s f o r m ； c o h e r e n c ee n h a n c i n gd i f f u s i o n ；w a v e l e ts h r i n k a g c 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已 注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 日期：2 岬年月弘日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 据研究，在人类所接受到的全部信息中，有7 0 以上是通过视觉得到的。 和语音或文字信息相比，图像包含的信息量更大、更直观、更确切，因而具 有更高的使用效率和更广泛的适应性。当图像以数字形式进行处理和传输时， 由于具有质量好、成本低、小型化和易于实现等优点，这种存储和传输格式 已经成为该领域当前和未来的主要发展趋势。 数字图像处理，就是把数字图像经过一些特定数理模式的加工处理，以 达到有利于人眼视觉或某种接收系统所需要的图像的过程。一般而言，人们 希望知道的是真实图像，而在图像的获取、传输和存贮的过程中总是不可避 免地受到各种噪声源的干扰，使观测到的往往都是受了不可预知的噪声污染 了的图像。这些噪声的存在使得所观测到的图像模糊不清，该注意的细节被 忽略，该识别的目标变得不可识别，严重影响了图像的应用效果。为了从图 像中获取更准确的信息，图像降噪预处理方法的好坏成为后续处理的关键。 图像降噪指的是利用各种滤波模型，通过多点平滑等方法从己知的含有噪声 的图像中去掉噪声成分“1 。图像降噪包含两个方面容；消除噪声和增强图像 特征。但这两个目标在一定程度上是一对矛盾。因为去除噪声意味着除去图 像的高频部分，而图像的边界也是图像的高频部分，所以在去除噪声的同时， 往往使图像的边界变得模糊。如何解决好这一对矛盾是评价图像降噪模型好 坏的一个重要标准。 小波分析”“蚓和偏微分方程m ”州方法是近年来发展起来的图像处 理技术，它们在图像处理中都有突出的表现，但是两者在图像处理领域的理 论联系却较少提及。尽管在数学上小波应用于偏微分方程求解已有部分理论 结果，但这些结果在图像处理中的直接应用还面临许多问题。因此，对于小 波和偏微分方程相结合图像处理方法“”“删的研究不仅具有重要理论意义， 哈尔滨工程大学硕士学位论文 而且具有实际应用价值。 1 2 图像降噪技术发展现状 偏微分方程方法是一种有效的图像处理技术。它在图像分割，图像重建， 边缘检测，图像复原等领域得到了广泛的应用。偏微分方程法从机理上来说 是二维方法。许多图像处理问题能够表达为最小化某个能量泛函，进一步转 化为偏微分方程求解。适当规定能量泛函中对求解的约束项，可以达到边缘 保持的作用。这种方法隐含了自动标定边缘位置和取向的作用，实施各向异 性平滑，因而能够取得良好的效果“1 。尤其是p e r o n a 和m a l i k 提出的各向 异性扩散方程m ，使得在图像降噪的同时尽量地保持边缘甚至能一定程度地 增强边缘，在实际应用中取得了良好的效果。 基于小波变换消除噪声是近年来研究比较热的另一种有效的降噪技术， 不同研究者提出过各种不同的方法，在大体上，可以将小波变换降噪方法分 为小波收缩法、相关方法和模极大值法三类： d o n o h o 和j o h n s t o n e 等提出了称为“小波收缩”的图像降噪方法嗍，后 来人们对消噪的阈值进行了优化，d o n o h o 等人将小波系数分为：主要系数和 次要系数，主要系数数值较大，包含小波分量几乎全部能量，决定了图像的 边沿等细节；次要系数数值较小，大小分布在零值附近，对图像影响不大， 可视为噪声系数，予以去除。这两种系数区分是通过阈值判别实现，该方法 去除所有绝对值小于阙值的小波系数，保留所有绝对值大于阈值的小波系数， 在较大程度上消除了图像噪声，但是，被去除的小波系数并非全是属于噪声， 被保留下来的小波系数还有相当数量的是属于噪声。另外，消除噪声程度主 要取决于阈值和阈值函数的选取”。 相关方法m “主要是基于信号在各层相应位置上的小波系数之间往往 具有很强的相关住，而噪声的小波系数则具有弱相关或不相关的特点：在不 同尺度空间( 分辨率) 下，图像特征对应着许多大数值的小波系数，这些小波 系数之间存在有相关性，称其为尺度间的相关，这种相关性是小波变换分解 过程中内在固有的，反映了多尺度性；在相同的尺度空间下，重要的小波系 数“聚集”在某些区域，如图像的边缘一般是重要的小波系数出现的区域， 2 哈尔滨- t 程大学硕士学位论文 这种相关性称为尺度内的相关。x u 等人正是利用相邻尺度小波系数的相关程 度，提出了一种s s n f 方法来进行降噪，该方法是通过将相邻尺度同一位置 系数的相关量来构成相关量图像，在作适当的灰度伸缩后，再同原来的小波 图像进行比较。其中较大的相关量被视为对应于边缘等的图像特征，而被抽 取出来，并作为原信号小波变换的估计，然后经反变换就得到降噪图像。因 为s s n f 是一种迭代方法，迭代的终止规则是看剩余系数的能量是否接近于 噪声的能量，所以噪声方差的估计在这个方法中显得非常重要。1 9 9 8 年， c r o u s e 、n o w a k 和b a r a n i u k 等人基于小波域系数间相关依存关系提出了多种 隐马尔可夫模型( h m m ) ，h m m 描述了不同分量系数隐含状态变量间依存相 关性，这种相关性是通过系数状态变量之间的转换概率来反映的汹1 。1 9 9 9 年 r o m b e r g 和c h o i 等人基于该模型用于消除图像噪声，利用系数间的相关依存 关系，对系数进行重新估计，使其逼近原始图像的小波系数，从而抑制噪声 咖。目前该方法在h m m 建模、模型结构、相关性以及参数估计等方面的研 究刚刚起步，很多问题有待进一步研究探索。 m a l l a t 等人提出了基于小波模极大值的的降噪重构算法，根据信号和噪 声在小波变换不同尺度上的传播特性，剔除由噪声产生的模极大值点，保留 信号对应的模极大值点，然后用所余模极大值点重构小波系数，进而恢复信 号吼蚓。该方法对噪声消除的稳定性很好。 尽管目前小波降噪方法己经成为图像恢复和降噪的主要研究方向，但大 部分仍集中于高斯分布场合的研究，而对于其他噪声分布的研究不是很多， 究其原因，其一是由于日常出现的噪声一般都服从或近似服从于高斯分布， 再者是因为非高斯分布噪声往往都有比较复杂的模型，因此用现有的数学工 具很难进行理论性的描述，并且，从某种意义上说，降噪方法成功的关键， 有时还要受到信号和噪声的相似程度的限制，如果信号具有同某种噪声极为 相似的特征，那么小波变换将无法或很难区分信号和噪声空间，当然对这种 噪声的降噪效果也不会很好。所以，目前小波降噪方法所取得的成功不仅将 大大拓展降噪方法的应用领域，而且会进一步推动小波降噪的发展和丰富小 波降噪的内容。 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 i i m 1 3 论文的研究内容及章节安排 本文认真研究了偏微分方程和小波变换的原理及它们在图像处理中的应 用，分析了偏微分方程和小波变换之间的关系。根据偏微分方程降噪方法和 小波变换降噪方法各自的优缺点及它们之间的关系，提出用小波系数估计边 缘方向的相干增强扩散图像降噪算法，并与经典图像降噪算法进行了对比试 验。 本文的组织结构如下：第1 章是绪论，概括性的介绍了本文的课题研究 的目的和意义、当前的研究状况和研究内容。第2 章介绍了偏微分方程的基 本理论及其差分格式，给出基于偏微分方程的图像降噪算法，并对降噪结果 进行了对比第3 章介绍了小波变换理论基础，给出基于小波变换的图像降 噪算法。第4 章分析了偏微分方程和小波变换之间的关系，给出了相干增强 扩散在小波分析意义下的解释，同时解释了相干增强扩散方法与小波阈值收 缩方法在图像性质上的等价性，并提出了用小波系数估计边缘方向的相干增 强扩散图像降噪算法。 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章基于偏微分方程的图像降嗓算法 2 1 偏微分方程算法的发展历程 偏微分方程方法在图像处理领域有着广泛的应用，在图像恢复、图像降 噪、图像分割、边缘检测、图像校准等方面取得了较好的效果，其高质量的 处理结果己引起了人们的广泛关注0 1 。与以往的某些经典降噪方法相比，利 用偏微分方程不但能够较好地抑制噪声，并且能够保留图像原有的边缘和纹 理等特征，提高抑制噪声和图像复原的效果。 偏微分方程降噪理论首先是从g a u s s 滤波引入的。理论研究和数值运算 均表明，大部分局部滤波算子都能转化为微分算子。对于二维图像“工，y ) 而 言，最为广泛应用的方法就是将，( x ，) ，) 视为一个均匀( 图像各点处的扩散系 数相同) 线性扩散过程。但是这种扩散方程由于其均匀扩散性，使得其不能在 去除噪声的同时保留边缘，而只能在两者中取一个折衷“”1 。要改进均匀扩 散的高斯滤波带来的缺点，一个自然的想法就是考虑利用图像结构的先验信 息，减少在边缘处的扩散以在降噪的同时更好地保持边缘。一个简单的思路 就是将梯度算子作为边缘检测算子，构造扩散系数为原始图像梯度的函数， 在梯度小的地方( 图像的平坦处) 具有较大的扩散系数，而在梯度大的地方( 边 缘处) 具有很小的扩散系数，因而它能够有效地去除平坦处的噪声，而保留边 缘不变。但这种方法存在两个方面的缺点：第一是它依据原始图像的梯度 来判断边缘，这种判断无疑会受到噪声的影响而产生偏差；第二是它在边缘 处的扩散系数取得很小，这实际上相当于没有对边缘处的噪声进行处理，因 而边缘处的噪声几乎保持不变。 为减小噪声对边缘检测带来的影响，p e r o n a 和m a l i k 提出了一种非线性 扩散方程”，这种方程在迭代的过程中不断地根据最近一步所获得的图像的 梯度作为边缘检测算子，因而能减少噪声对边缘检测的影响。但是这种方程 仍然没有解决边缘上的噪声处理问题。为解决边缘处的降噪问题，w e i e k e r tj 5 哈尔滨工程大学硕士学位论文 等人在非线性扩散方程的基础上进一步研究了非线性各向异性扩散方程 ”，这种方程将扩散系数设计为一个矩阵，并使得它总是在沿边缘的方向 上具有较大的扩散系数，而在垂直于边缘的方向上具有较小的扩散系数，这 样就既能保证边缘的保留也能保证对边缘处的噪声进行处理。 2 2 基于偏微分方程扩散的图像降噪算法 2 2 1 线性扩散 线性扩散即各向同性扩散，在数学物理方法中称其为常系数热传导方程。 方程模型为： 如(9，。o)-u=纵auy堋 ( 2 _ 1 ) 1 “g ，o ) = 甜。( x ，力 “_ 1 方程( 2 1 ) 表示的是常系数热传导方程的柯西问题，其解为： 甜g ，y ，f ) = q k y ) 伉y ) ( 2 2 ) 其中 叽小刍一一訾1 伢。， 式( 2 2 ) 就是典型的高斯滤波方程，g ，g ，y ) 为高斯核。k o e n d e r i n k 指出各 向同性扩散方法和高斯滤波方法是等价的臼1 。 高斯滤波是目前应用范围最广的图像降噪方法，但由于它的低通滤波 特性对图像中的高频部分不加区别的一律消减，使得滤波结果图像中出现明 显的特征模糊现象，严重降低了图像的可视性。 2 2 2 非线性标量扩散 高斯滤波造成的特征模糊主要是因为式( 2 1 ) 在所有图像位置上扩散的 程度是一致的，并不区分是图像特征还是噪声。为解决高斯滤波引起的图像 特征模糊现象，研究人员指出应当将扩散过程同图像特征联系起来，在不同 的区域采取不同的平滑策略，使扩散过程在降噪的同时实现特征的自动保护， 从而提出了各向异性扩散方法”。 p e r o n a 和m a l i k 提出了著名的p m 方法”1 。p m 方法的扩散方程为： 卜= 喈删协) ( 【“g ，y ，o ) = 似力 ”“ 其中 枷砚0 2 两1 q - 5 “例 或 c q w l ) = 斗2 协6 ， 这里“是输入图像，d i v 是散度算子，v 表示梯度，c 是扩散系数。 一般情况下c 是图像的梯度函数，随着梯度的增加而单调下降，取值范 围限定在【o ，l 】之间，如式( 2 - 5 ) 和式( 2 - 6 ) 。该扩散系数决定了扩散进行的 方式，提供了一种局部白适应的扩散控制策略，使得扩散尽可能在噪声的位 置进行，而在图像的边缘位置停止。该扩散系数以标量的形式给出，因而又 被称之为标量扩散。 当图像的梯度绝对值小于扩散常数k 时，认为当前位置不含有图像边缘， 相应的图像灰度扩散速度增强；相反。当图像的梯度绝对值大于扩散常数k 时，认为当前位置含有图像的边缘，相应的图像灰度扩散将变弱甚至中止。 这样图像的边缘就能够得以很好保留。c a r t e 等指出当图像的梯度绝对值大于 扩散常数七时，p - m 扩散变为后向扩散，因而可以强化图像特征，但后向扩 散具有“病态”性，使得p m 扩散也具有了“病态”性，扩散结果变得不可 预测。 2 2 3 非线性张量扩散 扩散系数也可以以张量的形式给出，这时扩散系数是一个矩阵，被称之 为扩散张量哪( d i f f u s i o nt e n s o r ) ，记为d 。非线性张量扩散通常采用下述扩散 模型； o , u y - - ，。d j i v ：( d ( v x ，u 力) ( 2 7 ) 一协，y ，o j = ( x ，力 其中d 为2 2 的扩散张量。 1 边缘增强扩散 边缘增强扩散以v u ，o v u ，= v u ，v u ，7 为边缘定向算子，d 与算子 v u 。0 v u ，有相同的特征向量，其中 铲妣小巧，磁( ) = 击叫一尝 协s ， 而特征值为： 扣1 扣面订 啕 其中f 为大于零的常数。 边缘增强扩散的优点是考虑到了扩散系数沿边缘方向和垂直边缘方向的 不同，缺点是所采样的边缘定向算子v “。o v u ，不能正确的对边缘定向4 一。 2 相干增强扩散 w e i c k c r tj 于1 9 9 9 年提出相干增强扩散，其扩散张量d 的特征向量与结构 算予，) 相同， 厶( v ) = q * ( v u 8 圆v u j ) ( 2 1 0 ) 特征值取为： f 口 朋= 2 枷吼 - 口+ ( 1 - a ) e d 一南 其他( 2 - 1 1 ) 其中“，：为v u 。0 v u 。的特征值，c 为大于零的常数。 相干增强扩散的优点是所采样的边缘定向算予能准确的描述边缘方向， 缺点是其特征根的选取不适合平坦区域的降噪，会导致虚假边缘的产生慨”。 图2 1 是高斯滤波、p m 扩散和相干增强扩散对纹理图像的扩散效果对 比，从图中可以直观看到三种方法的扩散性能。图2 2 是p m 扩散方法用于 自然图像的降噪结果。图2 3 是相干增强扩散方法用于自然图像的降噪结果。 从图2 2 和图2 3 可以看出，p - m 扩散和相干增强扩散具有较好的降噪效果。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 图2 1 扩散效果对比图 ( a ) 高斯滤波t - - o ，1 0 0 ，2 0 0 ，4 0 0 c o ) p - m 扩散l - = - 3 ，t - - - o ，2 0 0 ，4 0 0 ，6 0 0 ( c ) 相干增强扩散口= o 0 1 ，t - - - o ，2 0 0 ，4 0 0 ，6 0 0 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( a ) 原始图像( b ) 噪声图像( p s n r = 2 0 3 9 0 9 ) ( c ) 循环1 0 0 次( p s n r - - 2 3 5 8 3 1 ) ( d ) 循环2 0 0 次( p s n r = 2 5 0 7 4 4 ) 图2 2p - m 方法降噪结果 ( a ) 循环1 0 0 次( p s n r = 2 4 2 3 7 1 ) 循环5 0 次( p s n r = 2 3 9 1 4 6 ) 图2 3 相干增强扩散方法降噪结果 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 3 偏微分方程算法的差分解法 现在我们已经j 觯3 - 基于倔，傲分方程的图像i 锋嗓算法的基本原理，f 皿 以相干增强扩散为例，通过计算相干增强扩散方程，来进一步认识偏微分方 程算法的扩散过程。 采用2 2 的模板u = u u ，肌j 山u u + i ，m i j + j ) 对方程( 2 7 ) 进行差分计算， 并对边界采用周期延拓。 设扩散张量。= ( ：) ，购 a ，甜= ( a ，a ， ( ：6 c ) f k a a ，j u e a ，u + b o ，) + a ，( 6 a ，u + c o ，甜) ( 2 - 1 2 ) = a ，( ，“) + a ，( 6 。，“) + a ，a ，甜) + a ，( c a ，甜) x 和y 方向的前向差分分别定义为： a ：坠! 二鱼( 2 1 3 ) a 弘华 l 时，这个范围比原来的小波函数、 ，g ) 的范围要大 一些，小波的波形变矮交胖，而且，当a 交得越来越大时，小波的波形交得 越来越胖、越来越矮，整个函数的形状表现出来的变化越来越缓慢；当o o 所决定的半个变换域上的小波变换孵( 口，6 ) ；n ，0 6 er 所记忆。这 一特点是f o u r i e r 变换所不具备的。 3 2 ，2 离散小波变换 在信号处理中，一般采用离散小波变换。我们把连续小波变换式中的参 数吼b 都取离散值，固定伸缩步长a o l ，位移步长6 蒯，取口= 幻b = r i b 口酊4 ， 从而把连续小波变换成离散小波，即 1 i ，。，g ) = 毋1 l ，忉x 一万6 0 ) m ，撑e z( 3 i o ) 由此可以看出，对应于绝对值大的、负的m ，一的波形时展开的，同时 有大的平移因子b o a o “与之对应；对应于大的、正的m ，o 的波形是集中 的，小的平移因子6 棚，就足以覆盖。 有了离散小波，类似地可以定义离散小波变换d 对于任意的信号z 其离 散小波变换定义为 ( 明l j = 露7 2e f ( t ) w ( a t - l b e ) d t ( 3 一l1 ) 在有些场合下，小波函数族不是相互正交的，而是相关的，此时，离散 小波变换域只是，2 ( z 2 ) 的子空间。框架相关性越强，子空间就越小，这在某 些场合是有用的。如果取鲰分别接近l 和0 ，则框架的相关性很强，接近 于连续小波，它可以用于边缘检测等场合。在另一些场合，则走向另一个极 端，要求去除框架的相关性。人们选取v ，a o , b o 使得小波函数族为规范正交 基啪。 3 2 3 正交多分辨分析及其矩阵形式 定义3 1 设；，z j 是工2 伍) 上的一列闭子空问，g ) 是工2 伍) 中的一 个函数，如果它们满足如下的五个条件，即 ( 1 ) 单调性： 1 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 匕c j r + ! ，v je z ( 3 1 2 ) ( 2 ) 唯一性： ( 3 ) 稠密性： ( 4 ) 伸缩性： ( 5 ) 可构造性； n 巧= o j d ( 鬯巧 - p c 神 ( 3 - 1 3 ) ( 3 一“) “工) 巧营“2 x ) 巧+ we z ( 3 1 5 ) 轴g n ) ；n e z 构成予空间的标准正交基。 那么，称 眈；_ z j ；巾( x ) 是p ( r ) 上的一个正交多分辨分析捌 ( 3 - 1 6 ) 由正交多分辨分析的定义，容易得到一个重要结果，即函数族 + ，g ) = 2 i 巾( 2 i x - n ) ；一z ( 3 1 7 ) lj 是n 空间的标准正交基。这就去除了框架的相关性。 下面介绍多分辨分析的矩阵形式，以利于更好的理解多分辨分析。用多 分辨分析( m u l t i r c s o l u t i o n a n a l y s i s ) 方法的矩阵记号m m = ( h 龆r 罂q 伊 和构造正交小波的充要条件 m 如如轴) = i ，口露r ( 3 - 1 9 ) 或者更详细地写成 其中 阻删2 + i h 如+ 丌】2 = 1 h o f 0 ) + h 如+ 兀旷0 + 丌) = o a e r ( 3 2 0 ) i 唯1 2 十f 巾+ 尢】2 = 1 = 忑1 怠h 。e i | | - = 了1 2 怠h 。e 柏 利用系数序列 ；n ez 和。；一ez 可将上式改写为 ( 3 - 2 1 ) z h 。五一，= 6 妇) ；。= o m e z ( 3 2 2 ) e g ；。，- - 8 ( m ) 定义两个无穷维的方阵 乎川，2 m 触( 3 - 2 3 ) 1 r = b ) 佃。：让。川”，延二 其中h n ，。= h m 一2 一，g 州= g m - 2 。分别是矩阵h 和r 的第打行第1 1 1 列的元 素，m ，拧z 。为了清楚和直观，在这里详细写出这两个矩阵的形式 h = 一，一h 以，一h 一1 ，一h o , 一h + l ，一h + 2 ， ，一h 一2 ，一h t ，一h o , 一h + l ，一h + 2 ， ，一h - 2 ，一h l ，一h o , 一h + l ，一h + 2 ， 2 l ( 3 - 2 4 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 f = ，g 一2 ，g i ，g o ，g + l ，g + 2 ，+ 引入无穷维单位矩阵 e 0 ) = 和无穷维的分块方阵 ，g 一2 ，g l ，g o , g + l ，g + 2 ， ，g 2 ，g l ，g o ，g “，g + 2 ， ，0 ，0 ，1 ，0 ，0 ， ，o ，o l ，o ，o ， ，o ，0 ，1 ，0 ，0 ， m ：旧 u j 这样，充要条件可以写成矩阵形式 m m = m m - - e ( o o ) 或者 ( 3 - 2 7 ) ( 3 - 2 8 ) h h = h h h r 。= ：i t h r = ；f 。 f = 啦) c s z 9 ， 3 2 4m a l l a t 算法及其矩阵形式 将r ) 上的多分辨分析啪记为眈；_ ，z 娟) ) ，尺度方程和构造方程 为 f 嘶) = 压哌舡一七) j t e z 1 、i ，( f ) = 压g 。谗f 一_ j ) l k , l z 其中系数关系是& = ( _ 1 ) l 。再t t ，七z 。对任意的整数歹和七， ( 3 - 3 0 ) 引入记号 哈尔滨工程大学硕士学位论文 和 ( 3 - 3 1 ) = c l o s e s p a n 如m 鼢t z j = c l o s e s p a n w 卅似| z ( 3 3 2 ) r 伍) = o 哆= 赫“”似以七) g z z ) 对于任意信号，( f ) ep 伍) ，引入记号 ( 3 - 3 3 ) 称为厂缸) 的尺度变换系数和小波变换系数，同时，将丸) 在闭子空间和髟 上的正交投影分别记为乃o ) 和g ，( f ) ，这样 根据空间正交直和分解关系 巧+ t = 巧。形 可得 ( 3 - 3 4 ) ( 3 - 3 5 ) + = z + 邑 ( 3 3 6 ) 或者用信号的尺度变换系数和小波变换系数表示为 勺+ l 牛p l ( f ) = 勺，1 9 肚d + d j , k u ( f ) ( 3 3 7 ) t e zk e zk e z 这样，小波变换的m a l l a t 分解算法公式可写成： 曲对 一 一 0 o 妇姑 2 2 = = 、：；，o 币 v ，l m i b j 后万 o t ， r求r矗 l l i l i i ， j c d ，j，l d d 肚 肚 q ，v 上勺办 l | 眈 = i t 、j、j、：，“：， 乃毋 ，j、【 h 。= 万一。c j + 抽 髻一(3-38) 1 d j 广；神勺， 7 l _ t z 而合成算法可以写成 勺仙= 帆勘+ 。“) ( 3 - 3 9 ) 为了用矩阵和向量形式描述m a l l a t 算法，把信号的尺度变换系数序列和 小波变换系数序列写成无穷维向量的形式 这样，小波变换的m a l l a t 分解算法的公式就变成 c j , 一1 c j 囊 c j , 十l ： ： 乃，一i d jo d j + i ： - - “：乏冀h1茎ho套h墨h 2i一-|参f+lh 2hh oh1h2 - 2 一+ l + i c o 一一l+ + lc ，+ 1 + 1 g - 2g ig dg + 1g + 2 g - 2g 1g og + 1g + 2 g 一2g - 1g og + ig + 2 合成算法的公式就变成 ： 勺+ 1 - i c j + i m c + l ，+ i ： h - 2 九1 hk 2 h _ 2h _ l 以l + 2 九2 舡i h 以2 ” ( 3 4 1 ) ( 3 - 4 2 ) ” 协以 力胡“ 一叱掰 4 一 ； uo，。人 哈尔滨工程大学硕士学位论文 + j g - 2 g - i g o z 釜兰，：z 。g 量 ( 3 - 4 3 ) 3 2 5 数字图像的小波变换算法 假设数字图像是矩阵 喇= ，) 2 。：。 ( 3 4 4 ) 而且，无论是水平方向还是垂直方向，都是按周期2 n 的方式理解为周期循 环的无穷无尽的延拓m 。为了简单起见，引进如下一些记号： 愀= 娥，。) 。 簿聚墨 t s ， 【哕) - 鳅，l 。 f _ i l o | i i l _ 1 1 2 | 1 1 3 2 _ i l _ i f 10 0 1 h ：l o o 。| i l i 2 而，- _ i l 2 _ j l _ i ，- l o o i ( 3 - 4 6 ) l 2 胁 删h 10 0h o 而i j 眦 x 2 ( 3 - 4 7 ) ；“； 人 一钆一“ 一鼠 一钆一“ 一岛 一 一 一 批 w g - b哆| m 西“ 一g o o 加云 一 o 一鼠一g o f i 一 哈尔滨工程大学硕士学位论文 t = | | o 是l 磊2 矗3 壳“一2 瘫肼一100 00 再。一h i 元2 万3 j ；j i ，一2 万村- 10 0 ； 再2 石3 再2 五村100 一h 。五1 g og l 0 09 2 g ，g 一2g l g - 2g lg o9 10 09 2 g 扣j l ，g 一g - 3 i 0 j n0 9 2 g ，- g 一2g ig og i ( 3 - 4 8 ) 这样，鸵眵得剑教子图像的金子塔算法的非常简洁的形式。 分解算法是 f d j o d j 】 一f h 喇h h 喇r 1 l 巧2 d j 3 j = 【r 喇h r d 5 妒j = f h l f j n j ( o ) * t f h t r f l ( 3 4 9 ) = 叫t 合成簋法县 瑚书r + 筝掣嗣 = r 睇辨 伊s 。， = h 砂西+ h d j o p + r d j o y + r d d 亍 上述各个矩阵方程就是数字图像小波变换的矩阵算法形式。 3 3 基于小波变换的图像降噪算法 1 9 9 2 年，d o n o h o 和j o h n s t o n e 提出了小波阈值收缩方法渊 ( w a v e l e t - s h r i n k a g e ) ，还给出了阚值计算公式，并从渐进意义上证明了阚值收 缩方法的最优性? 1 ；与此同时，k r i m 等人运用r i s s a n 胁的m d l ( m i n i m u m 哈尔滨工程大学硕士学位论文 d e s c r i p t i o nl e n g t h ) 准则，也得到了相同的阈值公式“；此后小波阈值收缩方 法被用到各种降噪应用中，并取得了很大的成功，对高斯噪声尤其如此。但 是d o n o h o 和j o h n s t o n e 给出的通用阈值，由于有很严重的。过扼杀”小波系 数的倾向，因此人们纷纷对阙值的选择进行了研究，并提出了多种不同的阈 值确定方法删。后来，人们针对阈值函数的选取也进行了一些研究，并给 出了不同的阈值函数，但是当这些方法用到非高斯、有色噪声场合中，效果 却不甚理想，其最主要的原因是这些方法都基于独立同分布噪声的假设，并 且这些方法大多是从d o n o h o 和j o h n s t o n e 给出的方法发展而来的，因为用小 波阈值收缩方法确定阈值时，假设噪声服从独立正态分布，所以它们最后的 降噪性能也依赖于噪声的独立正态分布特性。对此，人们提出了具有尺度适 应性的阈值选取法，用来解决正态分布有色噪声的小波降噪问题，而另外一 些学者则研究了在比白噪声更重要的噪声情况下的小波降噪问题，并给出了 显式的阈值公式“”。目前，基于阈值收缩的小波降噪方法的研究仍然非常活 跃，近来仍不断有新的方法出现，而且也可以看出，人们的研究方向已经转 为如何最大限度地获得信号的先验信息，并用这些信息来确定更合适的阈值 或阈值向量，以达到更高的降噪效率。另外，除了阈值收缩方法外，k i v a u c ， j o h n 和x u 等人还提出了不同的降噪方法1 ，例如利用l i p s c h i t z 指数的方法 和基于最大后验概率m a p 的比例收缩法等，这些都丰富t d , 波降噪的内容。 我们知道小波变换的最大优点在