（应用数学专业论文）基于演化博弈思想下的一类竞争合作模型在对称情形下的研究.pdf

摘要 本文从演化博弈的思想入手，在两个种群的生态系统中引入了种群通过学 习、模仿等动态过程而对策略进行调整。由传统的l o t k a v o l t e r r a 模型出发， 对种群之间的线性、单调的相互作用关系进行了演化博弈思想下的改进，提出 了一类种群间具有非线性、非单调的相互作用关系的合作竞争模型。通过微分 方程的稳定性理论和定性理论，证明了这类模型不存在周期解，给出了其在对 称情形下的局部稳定性结果以及全局定性结构图，并对一般情形下模型的局部 稳定性和全局定性结构作了初步的讨论。 全文包括三个部分。 第一部分即第一章，给出了这类模型的思想基础和生态意义。 第二部分即第二章，是模型的引入部分。 第三部分包括第三章到第五章，从微分方程的稳定性理论和定性理论出发， 分别对模型极限环的不存在性，平衡点的局部稳定性，以及对称情形下的全局 定性结构进行了研究，并在此基础上展开了对模型结果的应用分析。最后提出 了有待改进之处。 关键词：演化博弈竞争互惠( 合作) 合作竞争模型极限环局部稳定性全 局定性分 a b s t r a c t t h i sp a p er b a s e do nt h et h o u g h to ft h ee v o l u t i o n a r yg a m e s ，i n t r o d u c e st h e m e c h a n i s mt h a ts p e c i e sc a nm e d i a t es t r a t e g i e sb yd y n a m i cp r o c e s ss u c ha sl e a r n i n g a n ds i m u l a t i o ni nt h ee c o s y s t e mi n v o l v i n gt w os p e c i e s s t a r t e df r o mt h et r a d i t i o n a l l o t k a v o l t e r r am o d e l ，t h r o u g ht h ei m p r o v e m e n to nt h el i n e a ra n dm o n o t o n o u s i n t e r a c t i o na m o n gs p e c i e s ，w ep r o p o s eas o r to fc o m p e t i t i o na n dc o o p e r a t i o nm o d e l w i t hn o n l i n e a ra n df l e x i b l ei n t e r a c t i o na m o n gs p e c i e s b yt h et h e o r yo fs t a b i l i t ya n d t h e o r yo fg l o b a l l yq u a l i t a t i v ea n a l y s i so ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w ep r o v et h e ， n o n e x i s t e n c eo fl i m i t c y c l e ，a n dt h e nd r a wt h er e s u l t sa b o u tt h el o c a ls t a b i l i t yo ft h e r e s tp o i n t sa n dt h eg r a p ho ft h eg l o b a l l yq u a l i t a t i v es t r u c t u r e ，u n d e rt h es y m m e t r i c a l c o n d i t i o n b e s i d e s ，w ed of u r t h e rd i s c u s s i o na b o u tt h em o d e lu n d e rt h eg e n e r a l c o n d i t i o n t h ew h o l ep a p e rc o n s i s t so ft h r e ep a r t s t h ef i r s tp a r ti st h ep a r a g r a p ho n e ，w h i c hp r e s e n t st h et h e o r e t i c a lb a s i sa n d e c o l o g i c a ls i g n i f i c a n c e t h es e c o n dp a r ti st h ep a r a g r a p ht w o ，w h i c hi n t r o d u c et h ec o m p e t i t i o na n d c o o p e r a t i o nm o d e ls t e pb ys t e p i nt h et h i r dp a r t ，c o n t a i n e dp a r a g r a p ht h r e e ，f o u ra n df i v e ，w ed ot h er e s e a r c ho n t h en o n e x i s t e n c eo fl i m i t c y c l e ，l o c a ls t a b i l i t yo ft h er e s tp o i n t sa n dt h eg r a p ho ft h e g l o b a l l yq u a l i t a t i v es t r u c t u r e ，a n dt h e ns h o wt h ea p p l i c a t i o na n a l y s i so ft h em o d e l ， b a s e do nt h er e s u l ta b o v e a tl a s t ，p o i n to u tt h ed e f i c i e n c yo ft h ep a p e r k e yw or d s ：e v o l u t i o n a r yg a m e s ，c o m p e t i t i o n ，m u t u a l i s m ( c o o p e r a t i o n ) ， c o m p e t i t i o na n dc o o p e r a t i o nm o d e l ，l i m i t - c y c l e ，l o c a ls t a b i l i t y , g l o b a l l yq u a l i t a t i v e a n a l y s i s 【i i 1 1 演化博弈思想 第1 章绪论 人类文明日益进步，而伴随而来的自然环境给我们的教训也刻骨铭心，人 类在发展经济的同时愈加意识到对生态环境的保护，从而实现可持续的发展模 式。生态环境的优劣影响环境中各个生物种群的数量，因而对生态环境的保护， f 又主要体现在如何使生态环境中各个物种的数量保持稳定。因为生态环境变化 而导致的某些种群的环境容忍度和竞争力的降低，如何使之能够继续稳定的存 在，必须学习使用策略，提高自身的环境容忍度和竞争力，从而达到数量的稳 定。这正是演化博弈的思想所在。 演化博弈理论是对博弈论的一种进化，是建立在对经典博弈理论的理性基 础的质疑之上的。经典的博弈理论的理论基础是采用“完全理性”的假设。完 全理性不仅要求参与者在任何情况下都以自身利益最大化为目标，还要求他们 在博弈环境中具有完美的判断和预测能力；不仅要求他们自身有完美的理性， 还要求所有的参与者都相互信任对方的理性，有着“理性的共同知识”。 这种完全理性假设与现实世界不符，因为它不仅意味着参与者绝对不会犯 错误，决不会冲动和不理智，并且相信对方也是完全理性的。而实际上，参与 者在选择决策时经常会表现出不理智，犯错误，尤其是在复杂的环境中或者面 对复杂的问题时。 正是对理性的质疑和困惑，演化博弈理论迅速地发展起来。与经典博弈理 论相比较，它假设参与者是有限理性的。这种假设更加贴近现实，参与者很难 一开始就做出最优的决策，他们会根据周围的环境去学习、模仿，进而对决策 做出动态的调整，使决策更加符合自身利益，强调是一种动态的过程。 演化博弈理论的思想来源于达尔文的生物进化论和拉马克的遗传基因理 论，它从有限理性出发，认为参与者对对世界状态只拥有有限知识。一般地， 参与者并不能最大化自身的利益，他们是幼稚的，即参与者不相信他们现在的 中山大学2 0 0 6 届应用数学专业颁二匕学位毕业论文 行为会影n 向对手的选择，参与者的决策是基于某种包含了对手如何行动的相关 信息的博弈历史，同时通过对历史的观察提高参与者对成功策略和不成功策略 的认识。 演化博弈理论以参与者种群为研究对象。对于单种群，主要研究该科- 群内 部个体之间行为的相互影响；对于多种群，主要研究种群与个体之问的行为相 互影响以及不同种群的个体之间的相互影n 向。它把种群行为的调整过程看作为 一个动态系统，个体通过学习、模仿等动态调整过程做出决策 1 7 。 1 2 两个种群的生态系统 生态系统中大多存在着成千上万的物种，它们通过非常复杂的作用机制在 系统中共存。多种群之间的相互关系可以由两个种群之间的关系归纳得出，而 即使是两个种群的生态系统，其中的作用机制也会非常的复杂，涉及到季节变 化，年龄结构，空间分布等因素的影n 向。排除上述因素，仅考虑种群个体数量 的相互影响，可以把两个种群之间的关系初步分为三个基本类型 l 5 ： ( 1 ) 竞争。两个种群关于某一共同资源的占用上是对手，其中一个种群的 个体数量越多，意味着另一个种群的生存环境越恶劣，个体数量也就越少。竞 争也同样适用于种群内部的个体之间和部落之间。 ( 2 ) 互惠。这是和竞争相反的情形：两个种群彼此收益于对方。一个种群 数量越多，意味着另一个种群的生存环境越优越，个体数量也就越多。互惠在 种群内部的个体之间和部落之间也经常可见，尤其是群居动物和人类。我们把 发在种群内部的互惠称为合作。 ( 3 ) 寄生。这种情形是不对称的。寄生物从寄主处获得收益，而寄主并没 有获得来自于寄生物的任何收益。也就是说种群a 的数量越多，种群b 的生存 环境越优越，个体数量也就越多：反之种群b 的数量越多，种群a 的生存环境 并未因此而改善，个体数量也就并没有增加。比如捕食者与被捕食者之间的关 系。 由于资源是有限的，因而种群之间的竞争不可避免。但是单纯的竞争经常 导致其中的某一种群的灭绝，或者各自降低自身的环境容纳量而共存。然而环 第l 章绪论 境容纳量的降低将不利于他们与其他对手的竞争。因此单纯的竞争在多种群生 态系统中对种群的共存没有帮助。 在两个种群的竞争生态系统中，普遍认为，一个种群的存在对另一个种群 起负相关作用，而实际上，正相关作用也存在于竞争种群之间。例如，豆科植 物，一方面，它们和其他植物一样，在生长过程中需要阳光，水，二氧化碳以 及矿物质，因而表现为竞争的关系；而另一方面，豆科植物在生长过程中合成 出氮，提供给周边的其他植物，从而促进它们的生长 2 。类似地，一种木腐菌 植物在和其他植物竞争公共资源的同时也提供矿物质给其周边的其他植物 3 。 互惠也发生在捕食者与被捕食者系统中。例如草食动物和草，一方面草食 动物食草对草起负相关作用，另一方面草食动物由于推动营养的代谢循环而对 草起正相关作用e 4 、5 、6 。适当放牧对草地是有利的，过度放牧或者不放牧都回 导致草地退化。又如啮齿动物和森林，啮齿动物既是种子的捕食者，也是种子 的播散者。如果啮齿动物数量过剩，它们会吃光所有的种子，从而阻止了种子 再生重建为森林；如果把森林中的啮齿动物移除，由于缺少了啮齿动物对种子 的播散和掩埋，也阻止了种子再生重建为森林 7 、8 、9 、t o 。 在捕食者与被捕食者模型中，传统地相信被捕食者对捕食者总是起正相关 作用，而实际上并不是总是这样。举例而言，在内蒙古的草原上有一种草食性 的野鼠，一方面如果草原植被过于稀疏，那么野鼠就会因为没有足够的食物并 且缺少掩蔽而数量减少；另一方面如果草原植被过于茂密，那么就会不利于野 鼠间的信息沟通，数量也会受到抑制。所以这种野鼠只喜欢比较适宜的草原植 被。从而野鼠对草原植被的零增长等倾线表现为抛物线的形式 ll 。 从这些实例中，我们可以意识到，对竞争者而言，互惠是降低竞争者之间 的竞争强度的一个调节因素；对捕食者与被捕食者而言，互惠也是降低捕食者 对被捕食者强度的一个调节因素。 1 3 对传统模型的挑战 由此可见，存在互惠或者合作的竞争者或者捕食者与被捕食者之间的相互 作用对传统的用于描述多种群相互作用的模型提出了一个巨大的挑战 1 2 。一方 中d i 大学2 0 0 6 届应用数学专业顺二卜学位毕业论文 面，在这些传统模型中，种群间的作用类型或者是i ：e 卡m 关的，或者是中立的， 或者是负相关的，尽管一个特定作用类型的程度可以改变，但是它不能根据对 方数量的变化而对作用类型进行改变。另一方面，传统模型中一个种群对另一 个种群的零增长等倾线经常是单调的正作用或者负作用。这并不适合描述存在 互惠或者合作的竞争者之间的相互关系。 由传统的l o t k a v o l t e r r a 竞争模型出发，我们引用了一种在竞争者之间考 虑了互惠或者合作的两个种群之间相互作用的模型。在这一模型中，不光是作 用的程度可以改变，而且作用的类型也可以改变。这一模型假设一个种群对另 一个种群的作用不是单调的，而是在低密度环境下表现出正相关作用，在高密 度环境下表现出负相关作用。 第2 章模型的引入 2 1 指数增长与逻辑斯蒂( l o g i s t i c ) 增长模型 x ( f ) 表示在f 时刻的某生物种群的个体数量，在种群数量非常大的假设下， 我们可以认为x ( f ) 可导，记为x ( f ) ，x x 可以看作为单个个体的增长率，或者 说是单个个体对数量增长的平均贡献率。如果该增长率为常数，即 x ：肘 ( 2 1 1 ) 从而有x ( t 1 = x ( o ) e 一 即指数增长模型。 。吨 指数增长模型在许多方面得到了 证实，实际上人类世界人口的增长数据 也反映出指数增长模型的合理性，如图 2 - 1 所示。 种群个体数量的增加意味着单个个体占有的资源的减少，从而单个个体对 数量增长的平均贡献率将降低，我们假设最简单的情形，贡献率关于个体数量x 线性减少，形如，( 1 一去) ( ， 。，k 。) ，其中k 被认为是环境容纳量，r 被看 作在个体数量很小时的增长率，从而得到逻辑斯蒂( 1 0 9 i s t i c ) 增长模型： 二= 麒( - 一去) ， 中山大学2 0 0 6 届应用数学专业硕二卜学位毕业论文 易腑坪) 2 嵩 当x ( o ) 位于0 到k 2 _ i 司时，个体数量会随时间而增长，直到达到数量k ：当x ( o ) 大于k ，个体数量会随时间减少，直到达到数量k 。 2 2l o t k a v o lt e r r a 竞争模型和互惠模型 l o t , k a v o l t e r r a 竞争模型是a l f r e dl o t k a ，v i t ov o l t e r r a 分别于1 9 2 5 年描述蚊子和人类在传播疟疾过程中的循环机制，和1 9 2 6 年分析亚得里亚海中 一种草食性鱼类和一种肉食性鱼类之间的动力系统时各自独且_ x - 上u 饨r 4 出的。假设 一个种群对另一个种群的作用总是负相关，并且是关于对手的数量线性相关， 可以描述如下： 警叫半j 2 。， 警刈：( 半 n i 、n ：分别表示种群l 、2 的数量，k 、k ：分别表示种群l 、2 的环境容纳量， 、也分别表示种群1 、2 的瞬间增长率，口表示种群2 对种群l 的竞争系数， 则表示种群1 对种群2 的竞争系数。要求k 。、k ：，_ 、也，口、均大于0 。 类似地，互惠模型可以描述如下： 警训。( 半 警刈：c 半j ( 2 2 2 ) n 。、n ：以及参数k 、k ：，、如含义同上，不同之处在于口、分别表示种 群2 对种群l 的互惠系数和种群l 对种群2 的互惠系数。同样要求k 、k ：，_ 、 心，口、均大于0 。 第2 章模型的引入 2 3 由线性到非线性，单调到非单调的改进 无论是模型( 2 2 1 ) ，还是模型( 2 2 2 ) 都是建立在线性假设的条件下，前 者假设种群1 的增长率关于种群2 的个体数量线性单调地减小，种群2 的增长 率也关于种群l 的个体数量线性单调地减小；而后者假设种群1 的增长率关于 种群2 的个体数量线性单调地增加，种群2 的增长率也关于种群l 的个体数量 线性单调地增加。这种线性的作用反映在模型的等倾线方程中。 其中模型( 2 2 1 ) 等倾线为 in l = k i 一口2 l n 2 = k 2 一p n l 模型( 2 2 2 ) 的等倾线为 i i = k - i - 口 l n 2 = k 2 + p n i 我们把模型( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 的等倾线由一次直线式改进为二次抛物线 的形式，从而使得不仅种群之间的作用的程度可以改变，而且它们之间的相互 作用关系也会随对方数量的变化而改变，得到了改进模型。描述如下： 警咄n , ( c 1 - n , - a , ( ) 2 ) ( 2 3 1 ) 掣：尺：( c 2 - - ：飞( 一b 2 ) z ) d t 其中r l ，r ，a l ，a 2 ，b l ，b 2 ，c l ，c 2 是常数，并且r l ，r 2 0 ，a i , a 2 0 ， c ic 2 0 ， b ib 2 0 。 模型简述： ( 1 ) n i 、n 2 分别表示种群l 、2 的数量。 ( 2 ) 我们把影响种群的增长率的因素划分为两大类：内生因素和外部环境对内 生因素的作用大小，r 、r ：分别表示科t 群1 、2 的内生增长率，c l 、c 2 分别表 示外部环境对种群1 、2 的内生增长率的影响因子。a 、b 和a ：、b 2 分别甩于表 述种群2 对种群i 的作用机制的参数和种群i 对种群2 的作用机制的参数。 中山大学2 0 0 6 届应用数学专业顾二l 学位毕业论文 ( 3 ) 当种群2 数量很小的时候，种群2 的数量的增加对种群l 数量的增加起促 进作用：同样地，当种群l 数量很小的时候，种群1 的数量的增加对种群2 数 量的增加起促进作用。因此在两个科t 群数量都很小的时候，两者之间是互惠关 系。但当两个种群的数量都超过一定的数量的时候，科t 群2 的数量的增加对种 群t 数量的增加起抑制作用；同样地，种群l 的数量的增加对种群2 数量的增 加起抑制作用。因此两者之间是竞争关系。可见该模型是一类具有动态决策选 择的竞争合作模型。 ( 4 ) 附注当包，b ，0 时，该模型转化为纯竞争模型。 模型( 2 3 1 ) 相对于模型( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 的重要意义： ( i ) 摆脱了单纯的竞争模型或者互惠模型，更加贴近生态环境中真实情形， 并且同样适用于描述种群内的个体之间或者部落之间的相互关系，以及存在互 惠合作的捕食者与被捕食者之间的相互关系： ( i i ) 互惠合作的方式促进了彼此间竞争的种群在环境中共存，达到环境的生 态稳定； ( m ) 互惠合作的方式增大了它们各自的环境容纳量，从而提高了它们在环境 中的竞争能力。 3 1 概念和性质 第3 章极限环的不存在性 定义3 1 1 ：设有微分方程 面d x = m ) ，c ( 。尺”，r ”) ( 3 1 1 ) 空间r ”称为相空间，解x = x ( t ) 在相空间的图形( 即以f 为参数在相空间中描出 的图形) 称为方程的轨线，f ( x ) 确定的向量场与，无关，称这样的方程( 3 1 1 ) 为自治系统。自治系统( 3 1 1 ) 过点p d 的解记作缈( p ，t ) ，固定p 让f 变化， 妒( p ，f ) 在相空间中表示一条轨线。v t o 尺，称轨线缈( p ，f ) ( t o f + ) 为自治 系统的正半轨，记作茹；称轨线缈( p ，f ) ( 一t t o ) 为自治系统的负半轨，记作 。 定义3 1 2 ：若存在时间序列 ，当门- - + o o 时f 。一+ ，使得热妒( p ，f 。) = p + 则点p + 称为自治系统( 2 2 1 ) 过p 点的轨线缈( j p ，f ) 的缈极限点，或称正半轨茹 的缈极限点。r p ( p ，f ) 的缈极限点的全体称为e ( p ，f ) 的q 极限集，记作q p 。 类似可以定义轨线汐( p ，f ) 的口极限点和a 极限集，存在时间序列 ，当 ，2 寸+ 时f 。寸一，使得i i m 缈( p ，f 。) = p + 。 h + o 。 定义3 1 3 ：设有平面自治系统 妄= p ( w ) d 衍y = q ( x ，少) ( 3 1 2 ) 的闭轨线f ，若存在万 0 ，使系统( 3 1 2 ) 在【 的两侧领域s ( r ，万1 内的一切 中山大学2 0 0 6 届应用数学专业硕二i 学位毕业论文 轨线均以i _ 为其q 或爿极限集，则称r 为系统( 3 1 2 ) 的一个极限环。 容易看出，极限环实际上一具有某种特殊属性的闭轨线。 定理3 1 1 ( p o i n c a r 色一b e n d i x s o n ) ： 若辟有界且q p 中不含奇点，则或者辟= q p 为闭轨；或者q p 为闭轨而辟正向 盘旋逼近于q 。 证明：参见 1 4 p 3 2 3 3 。 引理：平面自治系统得任一闭轨线的内部必至少包含此系统的一个奇点。 证明：参见 1 4 p 3 4 3 5 。 定理3 1 2 ( b e n d i x s o n 环域定理) ： 设有由闭曲线厶与上：( 厶3l 2 ) 所构成的环域d ，j c l - 与l ，l ：相交的丁e 半轨均穿 入( 出) 环域d 。且d 内不含奇点。则在d 内至少存在此系统的一条闭轨线r ， 而且f 必将d 的内境界厶包含在其内部。 证明：仅就正半轨穿入d 的情形证明，穿出情形类似可证。 没有一条i e 半轨辟穿入d ，由假设辟将永远停留在有界域d 的内部，从而q p 非空。又由于d 内无奇点，据定理3 1 知，q 。必为一闭轨线【1 。若r 及其内部 全位于d ，如图中虚线所示，则由引理可知，【 内至少有一奇点p + ，显然尸+ d ， 与假设矛盾，故r 必将厶含在其内部。 图3 一l 定理3 1 3 ( b e n d i x s o n - d u l a c 判别法) ： 若在单连通域g 内存在函数b ( x ，y ) c i ( g ) ，使 掣+ _ o ( b e ) o ( o ) ，( w ) g ( ：3 ) 0 xd 1 ， 且不在g 的任一子区域内恒为零，则系统( 3 1 2 ) 不存在全部位于g 内的闭 第3 章极限环的不存在性 轨线和具有有限个奇点的奇异闭轨线。函数8 ( x ，y ) 常称为d u l a c 函数。 证明：若存在( 3 1 2 ) 的闭轨线。设所包围的区域为。由g r e e n 公式得 c ，f b e d y - b 触= 颤掣+ 挈卜 rd v 由定理假设知上式右端不为零：左端由( 3 1 2 ) 式有 c 爹b p d y b q d x = f ( b p q b q e ) d t = 0 ，矛盾。 r 关于( 3 1 2 ) 不存在奇异闭轨线的证明参见 1 4 p t 5 8 ，此处略。 3 2 自治系统不存在极限环 定理3 2 1 ：系统( 2 3 1 ) 在i n t 内不存在周期解。 证明：针对平面自治系统( 2 3 1 ) ，p ( i ，n ：) = r l ( q - n 一a i ( ：一6 1 ) 2 ) ， q ( n ，n ：) = r 2 n 2 ( c ：一n ：一口：( - b ：) 2 ) ，在i n t 内构造d u l a c 函数，形式如下： 8 ( l ，) = 志 汁绷口：筹+ 可o ( b e ) = 一爱一静 从而由b e n d i x s o n d u l a c 判别法可知：平面自治系统在i n t 尺：内无闭轨，也即无 周期解。进而在i n t r ：内也无极限环。 4 1 概念 第4 章平衡点的局部稳定性 定义4 1 1 ：设有自治系统 鲁川n 厂c ( g 州) ( 4 1 1 ) 若x + g ，使厂( x + ) = 0 ，则称x + 为系统( 4 1 1 ) 的奇点，也称为平衡点。 性质4 1 1 ：设x + 为( 4 1 1 ) 的奇点，则 ( 1 ) 若i i n x ( t ，t o ，x o ) = x + ，x o x + ，贝0 = + o 。或= 一o o ； r 口 ( 2 ) 若l i mx ( t ，t o ，x o ) = x + ，贝0f ( x + ) = 0 ( f + ) 性质4 1 1 表明： ( i ) 非奇点的轨线在任何有限时刻不能到达奇点，而只能在无限时刻趋向奇 点。这时称轨线由正向o 寸+ o 。) 进入奇点，或者负向o 一一0 0 ) 进入奇点； ( i i ) 在无限时刻轨线所进入的点必为奇点。 定义4 1 2 ：设有集合b 。若v p b ，则系统( 4 1 1 ) 过p 点的整条轨线l ，b ， 则称b 是系统( 4 1 1 ) 的一个不变集。 定义4 1 3 ：设微分方程 i d x = f ( t , x ) ，x ( t o ) = z 。，x r ” ( 4 1 2 ) d f 满足解的存在唯一性定理的条件，其解x ( ，) = x ( t ，t o ，x o ) 的存在区间是( 一o o ，+ o 。) ， 且f ( t ，x ) 还满足条件 f ( t ，0 ) = 0 从而x ( t ) = 0 是( 4 1 2 ) 的解，称它为零解。 ( 4 1 3 ) 定义4 1 3 ：若对任意给定的占 0 ，都能找到万= 万( s ，t o ) ，使nnx 。i i t o 时总停留在半径为g 的开园o ( o ，g ) 内：方程( 4 1 2 ) 的零解不稳定的意义是至少存在一个岛 0 ，使得对任意的 万 0 ，在开园o ( o ，万) 内至少存在一个点工。和个时刻 f 。，使得 i x ( t 。，气，x 。) f f s 。 注2 ：对( 4 1 2 ) 的任何一解都可以定义稳定性，此处不在详述。参见 1 4 p 4 2 。 4 2 平衡点的局部稳定性综述 由2 3 节对模型的描述 f 警= r i l ( c 。一l1 ( ，6 1 ) 2 ) 【虿d n + = r 2 n ，- ( c ，2 飞( n 1 - b , _ ) 2 ) ( 4 2 【) ( 1 ) n ，( ，) = 2 ( ，) = 0 。意味着如果在给定的某一时刻种群l ( 种群2 ) 的数量 为零，那么它就将一直为零。 1 4 第4 章平衡点的局部稳定性 - o ，晰蒜犏，( v n 2 0 ) ，其中 e = g 一霹，为种群2 的环境容纳量。意味着如果种群l 不存在，那么种群2 的数量将趋向于种群2 的环境容纳量疋。 (3)：(r)=。，i(r)=ji芋褊，(v。(，)。)，其中kt=q一口，6l， 为种群l 的环境容纳量。意味着如果种群2 不存在，那么种群1 的数量将趋向 于种群l 的环境容纳量k 。 说明：按照逻辑斯蒂的( 1 0 9 i s t i c ) 增长模型环境容纳量大于零，从而有k ， 0 ， 也即c 2 一a 2 b ； 0 。但是若c 2 一a 2 b ；0 ，当种群l 不存在时，即n ( f ) = 0 ，由 ( 4 2 1 ) 式有：警咄：( c 2 - a 2 6 ；_ ) 由此可知系统( 4 3 1 ) 在种群i 不存在的情况下，种群2 的数量将趋向于零， 也即种群2 趋于灭绝。从生态学的角度可以理解为种群1 不存在时，种群2 由 于缺少食物而最终消亡。所以我们对k ，的取值无要求。当k ， 0 时，我们把k ， 理解为种群2 的环境容量。 同理对k 的取值也无要求。当k 。 0 时，我们把k 理解为种群1 的环境容量。 这三个解在相平面内的轨线如图4 - 2 所示，构成了i n t 艇的边界。由解的存 在唯一性显然有i n t 和i n tr ：的边界均是不变集。 图4 - 2 当k ， 0 时，系统( 4 2 1 ) 在i n t 的边界上有三个平衡点，分别为( o ，0 ) ， ( 0 ，k ：) ，( k 。，0 ) 。若k 0 ，则平衡点( k ，0 ) 演化为( o ，0 ) ；若k ：0 ，则平衡 点( o ，k ：) 演化为( o ，0 ) 。 中山大学2 0 0 6 届应用数学专业f i 页：l - 学位毕业论文 自治系统( 4 2 1 ) 在i n tr ：内的平衡点( l ，n ：) 满足 r i ( q 一i q ( ：一6 ) 2 ) = o i 掣：( c 2 - - n 2 - a 2 ( 卟b 2 ) 2 ) = 0 即得到等倾线方程组如下： t2 一口t ( 2 6 - ) 2 + c l( 4 2 2 ) l m = 一a 2 ( n i b 2 ) + c 2 其中l 的等倾线为= 一q ( 2 一b 1 ) 2 + c ，n ：的等倾线为 2 = 一日2 ( l b 2 ) 2 + c 2 。 若两条等倾线不相交，则系统无平衡点。 若两条等倾线仅相切，则系统有平衡点，但不稳定。 若两条等倾线相交，则系统有平衡点，根据等倾线在平衡点的斜率，可以把平 衡点分为1 1 种情形，其局部稳定性分析如下： l 的等倾线上的点满足：n i ：一口( ：一6 ) ：+ c ，从而学：o ，即种群l 的增 o l t 长率为零，数量保持不变；n 的等倾线内侧的点满足：n 0 ，即种群l 的增长率大于零，种i 群1 的数量n i 增加；n i 的等倾线 d f 外侧的点满足：n i 一a 。( ：一6 1 ) ：- + - c 1 ，从而华 0 ，c 0 ) 即 d x 2 一彳( x ：一1 ) 2 + c( 5 1 4 ) l x 2 = - a ( x l 1 ) 2 + c 显然，两条等倾线有如下关系： ( 1 ) 两条等倾线关于直线_ = x ：对称 ( 2 ) 两条等倾线的位置关系可以有三类：相离，相切，相交 ( 3 ) 两条等倾线在i n tr ：内的交点个数有六类：无交点，一个交点，一个切点，两个交点， = 个夺点，四个交点。 5 2 对称情形下的平衡点类型及其局部稳定性 在对称情形下，系统( 5 1 2 ) 的两条等倾线关于直线_ = x ，对称，因而在 i n tr ：内的平衡点要么在直线_ = x ：上，要么关于直线_ = x ! 对称。从而在4 2 节中一般情形下的平衡点类型t 70 一、t 8 0 、t 90 + 、t l o + 0 不会出现，不再 详细复述，如图5 2 所示。 t 2 + +t 一+ 第5 章对称眭假设下的全局定性分析 t + 一t0 0 x 以上各图中实线表示j c l 的等倾线，虚线表示x 2 的等倾线 实心点表示局部稳定的空心点表示局部不稳定 图5 2 5 3 对称情形下的全局定性分析 把i n t 分成如下四个部分： 区域i ： ( j c l ，x ：) i o 1 ) 区域【v ： ( j c l ，x ：) i o l 如图5 3 所示，显然可有如下结论： ( 1 ) 在区域i 内的出现的平衡点类型有t l + + ，t 2 + + i l lt0 0 ，其中t i + + 和t 0 0 均是局部稳定的，t 2 + + 是局部不稳定的。 ( 2 ) 在区域i i 内的出现的平衡点类型为t + 一，是局部稳定的。 ( 3 ) 在区域i i i 内的出现的平衡点类型有t 卜一，7 f 2 - - ，其中t 1 - - 是局部稳定的， t 2 - - 是局部不稳定的。 ( 4 ) 在区域内的出现的平衡点类型为t 一+ ，是局部稳定的。 &； 【 图5 - 3 中山大学2 0 0 6 扁应用数学2 争业硕二i 二学位毕业论文 由于等倾线方程( 5 1 4 ) 在i n tr ：关于直线x = x ：对称，所以只须考虑 i _ 2 x ： 1 x ：= 一a ( x 一1 ) 2 + c 在i n t r ：内的情形 显然可知： 当c l 一上，( 5 3 1 ) 有两7 7 异解， 4 爿 ( 5 3 1 ) 其中川己料n ：等+ l x f n a x ：! ；+ l ，其中：4 4 c 一4 a + l 。等倾线x ：一a ( x 一1 ) 2 + c 在x = x ，8 。处 2 4 一 的斜率为孕i _ l 一沤。 出lb x 由5 1 节的结论知系统( 5 1 2 ) 在对称情形下，两条等倾线方程( 5 i 4 ) 在i n tr ：内的情形有六类，具体分析如下： ( 1 ) 在i n tr ：内无交点的情形 命题5 3 1 ：当o c o ，或者o c = 彳o 5 时，系统( 5 1 2 ) 在i n t r ：无平衡点。 。纱、 第5 章对称性假垃下的全局定性分析 j | | 不一： 图5 - 4 汪明：在内无交点时，只需满足：( 5 3 1 ) 无解jc l 一上 4 a 从而有结论：0 c 0 4 a 相交于原点，在i n t r ：内无交点时，只需满足： 从而有结论：0 c = a 0 5 相切于原点，在i n t 内无交点时，只需满足： 譬? 三未重解j 三支一去 从向有结论：a = c = 0 5 综上所述：当0 c 0 ，或者0 c ：a 0 5 时，系统( 5 1 2 ) 在 4 a 。 i n t 无平衡点。 全局定性分析结果：上述三种情形，由于系统( 5 1 2 ) 均在i n t r ：内无平衡点， 在i n tr ：的边界上有j c l ( f ) 斗0 ，x 2 ( f ) 寸0 ( 当fj + ) ， 并且系统在整个 只：= ( _ ，x ：) h o ，x ：o 仅有唯一的平衡点( o ，o ) 。根据性质4 1 1 - 矢i ：i 尺；内所 有的非奇点的轨线都将趋向于平衡点( o ，0 ) 。如图5 4 所示。 ( 2 ) 在i n tr ：内仅有一个交点的情形： 命题5 3 2 ：当。 彳 c 1 ，或者i 3 i ，或者。5 c ：彳l 时，系 【a c 统( 5 1 2 ) 在i n t r ：内仅有唯一的平衡点。 i r d cz 彳 丁t l 4 ：a 。 从而有结论：0 a c l 交点落在区域【i i 内时，只需满足： 从而有结论：l 小 0 一 第5 章对称性假故下的全局定性分析 巍dxc0 1 c ，雠。 k 。j ：二二， 一彳+= l 从而有结论：0 5 堕l一lj d x i x i = ，1 n v l x 一彳+ c = 0 c l 一1 4 a l c l + 三 c = a 从而有结论：l c = a 1 - i - - 二 4 a 综上所述：当。 4 c l ，或者l c l + 云，或者o 5 c ：彳l 时，系统 ia c ( 5 1 2 ) 在i n t 内仅有唯一的平衡点。 全局定性分析结果：上述四种情形，由于系统( 5 1 2 ) 在i n t 艇内仅有唯一的 平衡点p ( i ，i ) ，根据定理3 2 1 系统在i n t 内不存在周期解以及5 2 节关 于平衡点局部稳定性的结果知，p 点是局部稳定的，且由性质4 1 1 可知从 i n tr ：内任一点出发的轨线都将正向趋向于平衡点p ( i ，i ) 。而在i n t 尺：的边界 上的轨线，视等倾线与坐标轴相交情形的不同而各异，具体结论由4 2 节中的 分析可知，不再详述，如图5 - 5 所示。 ( 3 ) 在i n t 内仅有一个切点的情形 命题5 3 3 ：当c = 1 一时，系统( 5 1 2 ) 在i n tr ：内仅有一个切点 4 a 图5 6 中山大学2 0 0 6 届应用数学专业硕二卜学位毕业论文 觋切点落在蹦内，脯耗群三要鳓j = l 1 i 从而有结论：c = l 一二 4 a 全局定性分析结果：系统( 5 1 2 ) 在i n t 尺：内仅有唯一的平衡点p ( i ，i ) ，而 由于切点是不稳定的。在i n t 尺；内存在两条趋向于平衡点p ( i ，i ) 的轨线m p 和 n p ，把i n t 艇划分为两个部分，满足从m p n 右上方的点出发的轨线将趋向于平衡 点p ；从m p n 左下方的点出发的轨线将趋向于平衡点( o ，0 ) 。而在i n tr ；的边界 上的轨线由4 2 节中的分析可知将趋向于原点。如图5 - 6 所示。 ( 4 ) 在i n tr ：内仅有两个交点的情形 命题5 3 4 ：当l 一石l c l + 石3 时，系统( 5 1 2 ) 在i n 洲：内仅有两个平衡 l c 堕i一lj d r - l ，：，p 一彳+ c l 一1 4 a 1 c l + 二 4 a c 彳 从而有结论：l c 1 + 石3 c a 交点均落在区域i 内时，只需满足：jc 1 f ( 5 3 1 ) 有两互异解 i 一爿+ c l 一上 4 a c l c a 第5 章对称性假设下的全局定性分析 从而有结论：l 一击 c l c a 综上所述：当l 一击 c l + 石3 时，系统( 5 1 2 ) 在i n t 尺：内仅有两个平衡点。 c c c c n 1 似 h 4 c c r，f、l 沧 结有而从 一似3一钏 一 + 4 li = c c c 解 异 互 辆 。却 d 叫c&j孔妣一呶“ 三“ h 4 = c c ，、 沦结有而从 与衡 平个 三 有汉内 眦 在 2一- 0 统 系三鲥 h 4 一 c c ，、，l 当述所匕 综 第5 章对称性假设下的全局定性分析 全局定性分析结果：系统( 5 1 2 ) 在i n t 尺：内有三个平衡点片( 耳，_ t x 2 ) 、最( 孑，乏) 、 b ( i ，叠- - 5 ) ，根据定理3 2 1 系统在i n t 霹内无周期解以及5 2 节关于平衡点局 部稳定性的结果知暑局部不稳定，最、是局部稳定的。在i n t 内存在两条 趋向于平衡点日( x f ，x - 7 ：) 的轨线蛔和日，其中轨线假以( o ，o ) 为口极限点， 它们把i n t 划分为两个部分，满足从m e , u 左上方的点出发的轨线将最终趋向 于平衡点最( 孑，乏) ：从蚴右下方的点出发的轨线将最终趋向于平衡点 b ( i ，1 x 2 ) 。而在i n t 的边界上的轨线，视等倾线与坐标轴相交情形的不