相似三角形证明技巧-专题.doc

.相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础 二、相似三角形(1)三角形相似的条件： ； ； .三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；a)已知一角等角找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 b)己知两边对应成比例找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 c)己知一个直角 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4d)有等腰关系 找顶角对应相等 判定定理1 找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3 e)相似形的传递性 若12，23，则13五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法例1、已知:如图,ABC中,CEAB,BFAC.求证: 例2、如图，CD是RtABC的斜边AB上的高，BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，ACAE=AFAB吗？说明理由。分析方法：1）先将积式_2）_（ “横定”还是“竖定”？ ）例1、 已知：如图，ABC中，ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DEDF。 分析方法：1）先将积式_六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明1、 等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。例1：如图3，ABC中，AD平分BAC， AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E求证：DE2BECE分析： 2、 等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例2：如图4，在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F求证：3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。例3：如图5，在ABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BEAG，垂足为E，交CD于点F求证：CD2DFDG小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似； 不相似，不用急：等线等比来代替。”同类练习： 1 如图，点D、E分别在边AB、AC上，且ADE=C 求证：（1）ADEACB; (2)ADAB=AEAC. （1题图） （2题图） 2 如图，ABC中，点DE在边BC上，且ADE是等边三角形，BAC=120求证： （1）ADBCEA;（2） DE=BDCE; (3)ABAC=ADBC. 3 如图， 平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点， D=ECA. 求证：ADEC=ACEB .（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决） 4 如图，AD为ABC中BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。求证：FD=FCFB。（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。）5如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,求证：FC=FGEF.（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。） 6如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F作FMBE交DE于M.求证：FM=CF.(注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。此题用等比替代可以解决。)7如图，ABC中，AB=AC,点D为BC边中点，CEAB,BE分别交AD、AC于点F、G，连接FC.求证：（1）BF=CF. (2)BF=FGFE. （练习题图） （8如图，ABC=90,AD=DB,DEAB, 求证：DC=DEDF.9如图，ABCD为直角梯形，ABCD,ABBC,ACBD。AD= BD，过E作EFAB交AD于F.是说明：（1）AF=BE;(2)AF=AEEC.10ABC中,BAC=90,ADBC,E为AC中点。求证：AB:AC=DF:AF。11已知，CE是RTABC斜边AB上的高，在EC延长线上任取一点P,连接AP,作BGAP,垂足为G，交CE于点D.试证：CE=EDEP.(注：此题要用到等积替代，将CE用射影定理替代，再化成比例式。) 七、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明 可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截； 平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园幂图5AEFBDGCH例1如图5在ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DFAB于F，交AC的延长线于H，交BE于G，求证：(1)FG / FAFB / FH (2)FD是FG与FH的比例中项1说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似找相似三角形用三点定形法(在比例式中，或横着找三点，或竖着找三点)，若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换例2如图6，ABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F，已知BE：EC3：1， CADBEF图6 SFBE18，求：(1)BF：FD (2)SFDA 2说明：线段BF、FD三点共线应用平截比定理由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的平方，求出三角形的面积 BEACDMN例3如图7在ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N求：AN：AB的值； 3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡ABCEDGF例4如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BEAC交AC于F，过F作FGAB交AE于G求证：AG 2AFFC 4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法”确定要证明的两个三角形相似、AEBDMCF例5如图在ABC中，D是BC边的中点，且ADAC，DEBC，交AB于点E，EC交AD于点F(1)求证：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的长5说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长图CEDAFMB例6如图10过ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E过点D作DMFC交AB于点M(1)若SAEF：S四边形MDEF2：3，求AE：ED； (2)求证：AEFB2AFED 6说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比注意平截比定理的应用例7己知如图11在正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，ADP与QCP相似？PADBQC图11 7说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点P所在的位置本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解图12ADBCP1P2P3例8己知如图12在梯形ABCD中，ADBC，A900，AB7，AD2，BC3试在边AB上确定点P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似 8说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点P所在的位置本题有多个位置，应注意计算，严防漏解例11如图，已知ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CFBA，BF交AD于P点，交AC于E点。 求证：BP2=PEPF。 11分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明PECPCF，问题就能解决了。 例12如图，已知：在ABC中，BAC=900，ADBC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。 求证： 。 12分 析：比例式左边AB，AC在ABC中，右边DF、AF在ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。 八、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”；第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。九、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使ADAE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证： 例2. 如图，ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：ABDF=ACEF。 例3、如图45，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=_.例4、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长例5、ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE例6：如图ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。二、作延长线例7. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF例8如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，连E、F交AC于G求AG：AC的值 三、作中线例10： 已知：如图，ABC中，ABAC，BDAC于D求证： BC22CDAC 中考综合题型1.已知：如图，在中，是角平分线，试利用三角形相似的关系说明1说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边（2）要说明线段的乘积式，或平方式，一般都是证明比例式，或，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式2.如图，矩形中，厘米，厘米（）动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米秒过作直线垂直于，分别交，于当点到达终点时，点也随之停止运动设运动时间为秒（1）若厘米，秒，则_厘米；（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求(用表示)DQCPNBMADQCPNBMA 3如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t2时，判断BPQ的形状，并说明理由；（2）设BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；4. （2012湖北黄石，24， 9分）如图（10）所示：等边ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1AC于C1交AB的延长线于B1.请你探究：，是否都成立？请你继续探究：若ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断. 5. （2012四川巴中，31， 12分）如图12，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，AB:BC=4:3，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且CEF=ACB.（1）求AC的长和点D的坐标；（2）说明AEF与DCE相似；6. （2011江苏宿迁,28,12分）如图，在RtABC中，B90，AB1，BC，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E（1）求AE的长度；（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想EAG的大小，并说明理由（第题）7. （2011广东汕头，21，9分）如图（1），ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，BACDEF90，固定ABC，将EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与AGC相似的三角形有 及 ；（2）设CGx，BHy，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；8. （2011湖南怀化，21，10分）如图8，ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.(1) 求证：(2) 求这个矩形EFGH的周长.9. （2011湖北武汉市，24，10分）（本题满分10分）（1）如图1，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P求证： （2）如图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；10如图，在ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点且满足ADAB，ADEC（1）求证：AED=ADC，DEC=B；（2）求证：AB2AEAC11（2010江苏南京）学习图形的相似后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”。（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。已知：如图， 。试说明RtABCRtABC.12(2010江苏苏州) (本题满分8分)如图，在ABC中，C=90，AC=8，BC=6P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N设AP=x (1)在ABC中，AB= ； (2)当x= 时，矩形PMCN的周长是14；(3)是否存在x的值，使得PAM的面积、PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明13（2010安徽省中中考）如图，已知ABC，相似比为（），且ABC的三边长分别为、（），的三边长分别为、。若，求证：；若，试给出符合条件的一对ABC和，使得、和、进都是正整数，并加以说明；若，是否存在ABC和使得？请说明理由。14(2009武汉)如图1，在RtABC中，于点，点是边上一点，连接交于， OEBO 交边于点（1）求证：；（2）当为边中点，时，如图2，求的值；（3）当为边中点，时，请直接写出的值BBAACOEDDECOF图1图2F15(2009年上海市)已知ABC=90，AB=2，BC=3，ADBC，P为线段BD上的动点，点