（固体力学专业论文）含随机初始缺陷半刚接钢框架结构的稳定性能研究.pdf

广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授y 吣吣1 吣7 吣3 帆9 帆哪! 呲2 i i 4 i i 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究 成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮 助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢。 一： 司扣状 、 多一。年 月v 四自 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 囱即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文名嘲分状燧名 移妒年文脚日 含随机初始缺陷半刚接钢框架结构的稳定性毹研究 摘要 钢框架结构中存在的初始缺陷以及梁柱连接节点的性能对结构的内力 与侧移的影响很大。以往的钢结构设计当中，对这两种因素的影响没有引 起足够的重视，对于梁柱节点常常看成是完全刚接或者完全铰接，对于结 构存在的初始缺陷也重视不够或者计算中忽略它的影响；事实上，钢框架 结构梁柱的节点既不是完全刚接也不是完全铰接，而是介于刚接与铰接之 间，即半刚性连接；同时，钢框架结构由于材料性能、施工安装等方面的 因素不可能不存在缺陷，而这些缺陷的存在对结构的影响也不可忽视；因 此，综合考虑初始缺陷、节点半刚性因素对钢框架结构的影响是很重要的。 本文对考虑初始几何缺陷影响的平面半刚接钢框架进行分析与研究， 利用平衡微分方程法推导了梁柱结构考虑二阶效应、一致变形初始缺陷以 及梁柱半刚性连接时的单元刚度矩阵；建立了平面框架q r 法计算格式，编 制了平面框架q r 法计算程序，使q r 法在平面框架求解上得到了实际应用。 本文通过大量计算分析了各种非线性因素对结构的影响，并研究了缺 陷随机分布对结构的影响。计算结果分析表明，二阶效应、一致变形初始 缺陷及节点半刚性对结构的内力与位移有很大影响，增大了结构的侧移， 同时降低了结构的稳定承载力。本文所采用的q r 法未知量数目少、计算结 果精度好、刚度矩阵的计算过程简便。 关键词：一致变形初始缺陷节点半刚性q r 法二阶效应极限承载力 初始缺陷随机分布 s t a b i l i t ys t u d yf o rp l a n es e m i r i g i ds t e e l f r a m es t r u c t u r ew i t hr a n d o mi n i t i a ld e f e c t s a f f e c t i n g a b s t r a c t f o rs t e e lf r a m es t r u c t u r e ，i t si n i t i a ld e f e c t sa n dt h en a t u r eo fb e a m c o l u m n c o n n e c t i o n sw i l le n g e n d e rg r e a ti m p a c to nt h el a t e r a ls w a ya n dt h ei n t e r n a lf o r c e o ft h es t r u c t u r e f o r m e r l y , t h e s et w of a c t o r sd i dn o ta r o u s ee n o u g ha t t e n t i o ni n t h ed e s i g no fs t e e ls t r u c t u r e ，jo i n t sa r eo f t e ns e e na sf u l l yr i g i do rf u l l y a r t i c u l a t e d ，t h ei n i t i a ld e f e c t sd i dn o ta r o u s ee n o u g ha t t e n t i o no rt h ei m p a c to f t h ei n i t i a ld e f e c t sa r ei g n o r e d ；am a t t e ro ff a c t ，t h en o d eo fs t e e lf r a m ec o l u m ni s n e i t h e rf u l l yr i g i dn o rf u l l ya r t i c u l a t e db u tb e t w e e nr i g i da n da r t i c u l a t e d ，t h a ti s s e m i r i g i dc o n n e c t i o n ；t h es a m et i m e ，s t e e lf r a m es t r u c t u r em u s th a v ei n i t i a l d e f e c t sb e c a u s eo fm a t e r i a lp r o p e r t i e so fs t e e lf r a m e s ，i n s t a l l a t i o na n do t h e r f a c t o r s ；t h e r e f o r e ，c o n s i d e r i n gt h ei n i t i a ld e f e c t s ，s e m i - r i g i de l e m e n tn o d e s o n t h es t e e lf r a m es t r u c t u r ei sv e r yi m p o r t a n t t h e p l a n es e m i - r i g i ds t e e lf r a m es t r u c t u r ew i t hi n i t i a ld e f e c t si sa n a l y s i s e d a n ds t u d i e di nt h i sp a p e r , t h ee l e m e n ts t i f f n e s sm a t r i xi sd e d u c e dw h e nt l l i n ko v e r s e c o n d - o r d e re f f e c t s ，t h ei n i t i a ld e f e c t so fc o n s i s t e n td e f o r m a t i o n ，s e m i - r i g i d c o n n e c t i o no ft h ee l e m e n ti nb a l a n c e d - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nm e t h o d ， t h e n ，e s t a b l i s h e dt h ec a l c u l a t i o nf o r m a to fq rm e t h o di np l a n ef r a m es t r u c t u r e ， p r o g r a m m e df o rq rm e t h o di np l a n ef r a m es t r u c t u r e ，s ot h a tq r m e t h o dc o u l d b ea p p l i e di ns o l v i n gp l a n ef la m es t r u c t u r ep r o b l e m 。 i nt h i sp a p e r , am a s so fc o m p u t ew o r ki sd o n et oa n a l y s i st h ee f f e c to f v a r i o u sn o n l i n e a rf a c t o r so nt h es t r u c t u r e ，a n dt h er a n d o md i s t r i b u t i o no fd e f e c t s i ss t u d i e d t h er e s u l t ss h o w e dt h a tt h es e c o n d o r d e re f f e c t , t h ei n i t i a ld e f e c t so f c o n s i s i t e n td e f o r m a t i o n ，a n ds e m i r i g i dn o d ee n g e n d e rg r e a ti m p a c to nt h el a t e r a l s w a ya n di n t e r n a l f o r c eo ft h es t r u c t u r e ，e n l a r g i n gt h el a t e r a ls w a yo ft h e s t r u c t u r e ，t h es a m et i m e ，r e d u c i n gt h es t r u c t u r e sc a r r y i n gc a p a c i t yo fs t a b i l i t y q rm e t h o du s e di nt h i sp a p e rh a ss o m em e r i t s ，s u c ha sg o o da c c u r a c y , s m a l l n u m b e ro fu n k n o w nq u a n t i t i e s ，t h es t i f f n e s sm a t r i xc a l c u l a t i o np r o c e s si se a s y k e y w o r d s ：i n i t i a ld e f e c t so fc o n s i s t e n td e f o r m a t i o n ；s e m i - r i g i dn o d e ；q r m e t h o d ；s e c o n d o r d e re f f e c t ；l i m i tb e a r i n gc a p a c i t y ；t h er a n d o md i s t r i b u t i o no f i n i t i a ld e f e c t s 1 2 半刚性连接钢框架国内外研究概况2 1 - 3 初始缺陷国内外研究概况8 1 4 本文的主要研究内容1 1 第二章q r 法的基本原理1 2 第三章单元刚度矩阵的推导1 6 3 1 考虑p - 8 效应1 6 3 2 考虑p 一8 、p a 效应2 l 3 3 考虑p 一6 、p _ 效应及一致变形初始缺陷影响2 3 3 4 考虑p 一6 、p - 效应及一致变形初始缺陷、节点半刚性影响2 5 第四章程序的编制及其正确性验证2 8 4 1 程序的编制流程2 8 4 2 正确性验证3 0 第五章算例的比较分析3 5 5 1 算例分析3 5 5 2 本章小结4 6 第六章初始几何缺陷随机分布对结构的影响4 7 6 1 初始缺陷随机分布的研究现状4 7 6 2 初始缺陷分布带对结构的影响4 7 6 3 抽样法模拟初始缺陷随机分布对结构的影响5 6 6 4 本章小结6 l 第七章稳定承载力分析6 2 7 1稳定基本理论6 2 7 2特征值稳定分析6 6 7 3稳定承载力分析7 7 7 4本章小结8 8 第八章结论与展望8 9 参考文献9 l 豸【谢一9 4 攻读学位期间发表论文情况9 5 过去由于受到经济发展的限制，钢结构建筑形式在我国很少被采用，钢筋混凝土结 构与砖混结构是最主要的建筑形式。改革开放以来我国经济发展越来越快，科学技术水 平也大幅度提高，钢结构建筑在我国建筑产业当中所占的份量也越来越重，因此钢结构 中存在的问题逐渐引起人们的重视。1 9 9 7 年1 1 月建设部发布的中国建筑技术政策 中明确提出发展建筑钢材、建筑钢结构和建筑钢结构施工工艺的具体要求，对于钢结构 发展的宗旨由原来的“节约钢材变成“合理用钢。1 9 9 8 年1 0 月，建设部发出关于 建筑业进行推广应用1 0 项新技术通知，通知中明确提出推广高层钢结构技术。 钢结构在国外尤其是西方发达国家的应用越来越多，钢结构的研究与发展也取得不 少成果。钢结构建筑在美国低层民用住宅中所占的比例目前已达到2 5 ，非居住型低层 建筑中更是达到7 5 之多；日本与意大利开发了比较完备的节能型钢结构住宅体系，比 如日本积水房屋株式会社开发的b 型体系。 钢结构与混凝土结构相比具有以下显著的优点： 一、钢结构工业化程度高，适合工厂大批量生产，还可以集节能、防水、隔热等先 进成品于一体，可以将设计、生产、施工一体化，因此钢结构符合产业化要求。 二、由于钢材具有高强度的特点，钢结构可以设计成较大跨度或开间的建筑形式， 这样就能满足大空间使用功能建筑的需求。 三、由于钢结构实行生产工厂化，现场施工机械化，另外钢结构施工基本上不受冬 季施工的影响，所以钢结构施工方便，可以大大缩短工期。 四、钢结构的延性好，塑性变形能力强，属于柔性结构，因而能够很好地降低地震 带来的能量，降低地震的破坏程度，因此，钢结构的抗震性能好。 五、与混凝土相比，钢材可重复利用程度高，钢结构施工对周边环境影响小，因此 钢结构符合国家的可持续发展要求。 六、钢结构自重轻，可以降低建筑基础的建设费用；工期短，可以减少建筑的间接 费用，综合效益好；有关研究表明 2 j h 型钢钢结构小高层节能住宅的造价并不是很高， 含随机初始缺陷半刚j 4 t - 售e l 框架结构的稳定性能研究 与钢筋混凝土结构的造价相比基本持平。 基于以上所述钢结构的优点，可以预见在不久的将来，钢结构建筑将会迎来一个发 展高峰。 随着钢结构的层数不断加大以及各种复杂的建筑环境影响，高层以及超高层钢结构 建筑的稳定性成了一个非常重要的问题。影响结构稳定性的因素很多，已经不能忽略， 其中主要有结构的半刚性连接、材料非线性和几何非线性的影响、构件初始缺陷、材料 的强度、构件和结构的刚度、结构类型、结构的支撑情况、结构的约束类型、荷载类型、 大变形效应等。而我国在实际的钢结构稳定性分析中还没有对钢结构的节点作半刚性处 理的简单实用的依据，同时考虑节点的半刚特性与结构的初始几何缺陷对结构的稳定影 响也没有进行深入的研究。事实上，节点半刚性加大了结构的柔度，初始缺陷对结构的 内力和位移会产生很大的影响，因此同时考虑这两种因素的存在，对考虑初始缺陷的半 刚性连接钢框架进行静力分析研究，不仅仅具有理论上的意义，而且具有重要的实用价 值。完善的钢结构高级分析会为我国国民经济的发展节省大量的建筑钢材，使钢结构设 计做到更加安全、经济、合理。 1 2 半刚性连接钢框架国内外研究概况 1 2 1 常见半刚性连接节点形式 传统的钢框架设计和分析做了较多的简化，假定梁柱连接是完全刚性或理想铰接 的，然而实际上，理想当中的完全刚性与铰接是不存在的，刚性连接具有一定程度的柔 性，铰接也具有一定程度的刚性。为了设计与研究的方便，对于刚接与铰接分别给予了 定义，当梁柱连接节点对转动的约束与理想刚性连接相比达到或超过理想刚性连接的 9 0 时，我们认为该连接是刚接；在外力作用下当梁与柱轴线夹角的改变量达到或超过 理想铰接情形下夹角改变量的8 0 时，我们认为该连接是铰接；假如连接的特性处在上 述两种情形之间时，我们即认为是半刚性连接。通常钢框架结构梁柱的连接主要是通过 焊缝施焊、摩擦型高强螺栓等来实现的。常见的半刚性连接形式主要有如下几种，如图 卜l 所示： 2 一r _ 司爿1 # j k j 噼回归国 图1 - 1 常见的半刚性梁柱连接节点形式 f i g u r el - lc o m m o nc o n n e c t i o no f s e m i r i 舀db e a m - c o l u m n 1 2 2 半刚性连接节点弯矩一转角特性 钢框架结构梁柱节点传递梁与柱的内力，包括轴力、剪力、弯矩、扭矩。在平面问 题的分析中一般不考虑扭矩的影响，另外由轴力及剪力引起的变形相对弯矩变形来说非 常的小，所以平面问题分析中一般不考虑这两者的影响。弯矩一转角特性成了我们研究 的主要对象，研究表明半刚性连接节点的弯矩一转角呈现非常明显的非线性特性。如图 卜2 所示，为半刚连接节点m 只示意图5 1 ，图卜3 显示了半刚性连接典型的m p 特 图卜2 半刚性连接的转动变形 f i g u r e1 - 2r o t a t i o n a la n g l eo fs e m i - r i g i dn o d e 3 转角0 ， 图1 - 3 半刚性连接的典型的弯矩一转角特性 f i g u r e1 - 3t y p i c a lm o v e m e n t - a n g l eo fs e m i - r i g i dn o d e 半刚节点的弯矩一转角非线性特性产生的原因主要有几个方面：连接件本身的不连 续性，在进行加载的时候，连接件之间可能产生滑动和错动；连接件可能产生局部屈曲 以及连接件之间的局部应力集中；另外，在外部荷载的作用下，结构整体发生几何变形。 1 2 3 半刚性连接节点的计算模型 平面钢框架结构半刚节点弯矩转角变形是研究的主要对象，弯矩一转角关系也最 能反映结构变形与荷载之间的变化情况，因此在研究半刚节点的性能之前必须首先确定 连接的m b 函数关系，目前，体现节点m 一嘭函数关系的模型主要有以下几种： ( 1 ) 线性模型 线性模型认为弯矩与转角呈现线性关系。沈祖炎、丁洁民1 1 1 1 对近1 4 0 个节点的试验 数据进行分析并建立了强化双线性分析模型，如下式： i 如b ( m o 8 帆) 其中，心为连接初始刚度；坂为连接极限弯矩。 ( 2 ) 多项式模型 1 9 7 6 年f r y e 和m o m s 6 】把m 一只的关系用一个奇次方的多项式来表示，如下： b = q ( 枷) 1 + c 2 ( 枷) 3 + c 3 ( 枷) 5 4 含翻翻扎初始缺陷半刚接钢框架结构的稳定性能研究 k 为与连接类型和几何尺寸相关联的常数；c 1 、c 2 、c 3 为曲线的拟合常数。该模型 的优点是很好地拟合了m 一只的变化关系，缺点在于多项式存在极值点，因此用曲线的 切线斜率来表示连接的刚度就会出现负值，这在现实情况当中是不成立的。 ( 3 ) b 样条函数模型 1 9 8 2 年j o n e s 等人建立了b 样条函数模型1 3 6 1 ，对实验所得出的数据用b 样条的方法来 进行曲线模拟，首先把实验数据分成若干组，在保证每组数据的一阶、二阶导数连续的 前提下用三次b 样条曲线对每组数据进行模拟。这种方法避免了负刚度问题，而且对 m 一只的模拟效果很好，缺点在于需要大量的数据，工作量很大。 ( 4 ) 幂函数模型 k i s h i 和c h e n 按弹塑性应力一应变三参数模型提出一个幂函数模型【7 1 1 5 1 ，形式如下： 弘瓦m 面击玎 其中，m 为连接的极限弯矩；如为连接的初始刚度；衲m q 曲线的形状参数。 这个模型所需的数据减少了很多，但是它的精确性却比不上样条模型。 ( 5 ) 指数函数模型 l u i 和c h e n 3 7 1 提出了一个多参数的指数模型： m ：羔q ( 1 一e 槲2 归) + 心+ 川 j = l 其中，呀为连接的应变硬化刚度；m o 为曲线拟合连接弯矩的初始值；q 为曲线拟合 常数；口为标量系数。该模型的缺点是假如肘一只曲线斜率急剧改变则不能很好地表达 出来，优点是较好地模拟了连接的非线性。 1 9 8 6 年，k i s h i 和c h e n 7 1 8 1 改进了l u i 和c h e n 的模型，使之能够适应m p 曲 线斜率的急剧变化，形式如下： m ：羔q ( 1 一e 电i 2 弦) + m o + 窆q ( b 一幺) 日( p o k ) j - - i i = l 其中，砬是曲线线性部分的定值参数；日( 口) 是h e a v i s i d e 阶梯函数；q 是拟合常数。 s 含随机初始缺陷半月j 妾钢框架结构的稳定性矧淘f 究 1 2 4 半刚性连接节点的试验研究 王燕嘲采用m e 的三参数线性化模型对各种钢框架半刚性节点的受力性能及设r 计方法进行分析，通过试验推导出各种形式半刚性连接的线性初始刚度的计算公式和在 荷载作用下的内力计算公式；彭福明 z 2 1 等通过试验利用拟静力法在位移和力的控制下， 研究外伸端板半刚性节点在循环荷载作用下的破坏形式、承载能力、滞回性能；顾强n 幻 对腹板双角钢半刚性节点进行了梁端循环位移加载试验，分析了这种连接的破坏模式和 变形能力，在试验中考察了角钢与柱翼缘连接高强螺栓的排列布置和直径、角钢高度对 连接的滞回性能、承载能力和破坏机理的影响。 1 2 5 半刚节点对结构稳定性影响的研究概况 钢框架结构的设计包括以下几个方面的内容：强度，稳定性和刚度，而稳定性的设 计是这几个方面内容中尤为重要的。过去的钢框架结构设计，认为结构梁柱单元是独立 的，计算独立单元的稳定性，这样考虑是不与实际相符的。事实上，框架结构梁柱之间 是相互影响的，不可能以独立的形式存在。目前比较流行的考虑这种相互影响的方法是 采用计算长度概念。钢框架结构的节点半刚性特性，加大了结构的柔度，增强了结构耗 能抗震的能力；但是我国 万2 e i r 时， 4 在柱子的中部施加水平力0 0 1 p 来等效构件的初始弯曲。e c c s 采用5 1 0 0 0 的重力荷载 以免在弹塑性分析中过高估计构件强度。加拿大与澳大利亚也允许采用这一方法。这种 方法的缺点在于，对于弯矩和轴力共同作用的柱子强度过低估计达到2 0 以上，单个梁 柱单元又过高估计强度达1 0 以上，而且分析之前必须知道轴力的大小，而确定构件的 轴力并非易事。另外对于图1 - 7 所示的二层框架，柱子肋上所作用的荷载方向也是很 难确定的。 9 拽 忠 捌 一 交 ；趸 i l 曲 1 ，扎，氐 ，1|，了 l_t，l一，。o上 图1 - 7 二层框架 f i g u r e1 。7t w os t o r e yf r a m e 3 、随机缺陷模态法 这种方法是从概率统计观点出发的，认为结构的缺陷不论分布如何复杂，安装误差 近似符合正态分布规律，因此结构的初始安装缺陷是一多维随机变量，其样本空间的每 一个样本点都对应着结构的一种缺陷模态。取容量为n 的样本对结构进行统计分析，即 随机取n 个缺陷模态进行结构的荷载一位移全过程分析，找出统计规律，以此来评价缺 陷结构的稳定承载力。 本文考虑初始缺陷的方法是采用一致变形初始缺陷模型1 4 l 】。一致变形初始缺陷假定 梁柱单元的初始缺陷与梁柱单元的变形即挠度1 ，一致。梁柱单元的初始缺陷包括安装误 差、初始弯曲、残余应变等用1 ，。表示，1 l d 与1 ，的关系表示为：v o = 口v ，其中口为一致 变形影响系数。梁微元如图卜8 ： n d s ) d s 图1 - 8 梁微元 f i g u r e1 8i n f i n i t e s i m a le l e m e n to f b e a m 图中9 由梁单元挠度v 产生，岛由一致变形初始缺陷1 ，。产生，r o = 生d x ，岛= 警。 1 0 含随机初始缺箨 半刚接钢框架结构的稳定性能研究 1 4 本文的主要研究内容 本文采用q r 法研究二阶效应、一致变形初始缺陷及节点半刚性对平面钢框架结构 的影响，并着重探讨了初始缺陷随机分布对钢框架结构的影响。首先，采用平衡微分方 程法推导考虑二阶效应、一致变形初始缺陷及节点半刚性影响的单元刚度矩阵；其次， 建立平面钢框架q r 法计算格式，用m a t l a b 语言编制平面框架非线性分析的q r 法计算 程序并验证本文理论分析与计算程序的正确性；再次，采用大量算例分析上述非线性因 素对钢框架结构的内力及侧移影响；最后对钢框架结构进行了特征值稳定分析。 含随机初始缺陷半刚舞嗣框架结构的稳定性能研究 第二章q r 法的基本原理 2 1q r 法基本原理 1 9 8 4 年，秦荣教授提出了用于结构分析的新方法q r 法1 6 5 1 【6 6 l 【6 7 】【硎。该方法对于整 个结构或者一个子域做一个方向或两个方向的样条结点离散，把样条结点的位移参数或 广义位移参数作为基本未知量，采用b 样条函数和正交多项式乘积的线性组合作为位移 场函数。通常情况下，对于平面结构来说，一个方向采用b 样条函数，另一个方向采用 正交多项式；对于空间结构来说，可以一个方向采用b 样条函数，另外两个方向采用正 交多项式；或者在两个方向采用b 样条函数离散，在一个方向采用正交多项式。所采用 的b 样条函数是比较理想的插值函数，它具有高阶、紧凑、连续性好的优点；对于其他 方向采用的正交多项式来说，只要能反映结构在该方向的变形规律，且满足边界条件就 可以了，因此q r 法是一种半数值半解析法，具有解析法未知量少、精度高的优点。q r 法通常与有限元法结合起来使用，大大拓宽了它的使用范围。有限单元法的离散是要针 对整个结构的，根据单元的结点位移建立起每个单元独立的位移场函数，由此推出每个 单元的总势能泛函及刚度矩阵。q r 法的离散对于平面结构来说只限于一个方向，对于空 间结构来说只限于两个方向，建立起来的位移场是整体位移函数，q r 法借助于有限单元 法的单元插值函数、单元总势能泛函及单元刚度矩阵，把单元的结点位移用q r 法的整 体位移表示，就可以实现q r 法中最关键的一步一q r 变换，通过整个结构的总势能泛函， 利用最小势能原理建立整个结构的刚度方程。 q r 法的基本原理包括： ( 1 ) 结构样条离散化。这一步中将样条函数与正交函数或正交多项式结合起来，建立 整个结构子域的位移函数： v = 【】 万) ( 2 1 ) 式中【】是形函数， 田是广义参数，可以是位移参数，也可以是混合参数，但【】与 研 要相对应； ( 2 ) 建立单元样条离散化总势能泛函。这一步当中先将整个结构划分为有限元网格， 建立单元总势能泛函，经过变换得样条结点位移向量与单元结点位移向量的转换关系： 1 2 广西大掌硕士嵌吁 含翻脚l 初始缺陷半月, j 接- t n 框架结构的稳定性能研究 。= 【】。 艿) ( 2 2 ) ( 3 ) 通过将所有单元的势能泛函叠加起来，形成结构的样条离散化总势能泛函； ( 4 ) 利用变分原理，建立结构的刚度方程及动力方程。 2 2 样条离散化 在下图所示的平面框架当中，每个点有三个位移( 甜， ，汐) ，沿框架y 方向采用正交 多项式，x 方向采用b 样条函数进行单样条离散化，再将b 样条函数与正交多项式的乘 积加以线性组合构成结构的位移模式，则该平面框架的位移函数为： 图2 - 1 框架样条离散化 f i g u r e2 - 1d i s c r e t i z a t i o no ff r a m e w o r kb ys p l i n e = m ) x 。( j ，) j h i l v = p 】 v ) 。l ( j ，) 埘= l 0 = 】 目) 。0 。( y ) 甜) 用= 强 v m = 【v o m o 舶= l e o b 毪 吃 幺 研= 【死磊呜氐】 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其中 ”) ，、 v ) 。、 口) 。为样条结点的广义位移，妒，( x ) 为样条基函数，满足条件： 、l_l_i，r_-_， e e e v 氏 若将平面框架分成若干个梁单兀，则每个梁单兀f i b 的结点位移向量司以写成： y ) 。= 【叽 ( 2 9 ) 式中： y 。= y ： y ： r ( 2 1 0 a ) 眦= 【】：【盯 ( 2 1 0 b ) 其中： 万 为框架样条结点的位移向量， y ) 。为单元结点的位移向量， 【】一是【】在梁 端a 点的形函数矩阵。 2 4 形成单元的样条离散化泛函 任意梁单元的总势能泛函如下： n 。= i 1i y j 。t 【丁r 【后】。【丁】 y 。一 y ) ；【丁】r 厂) 。 ( 2 1 1 ) 【丁】_ s i n 口0000 c o s 口0000 010o0 o0c o s 口s i n 口0 o0 - s i n 口c o s a0 00 oo1 1 4 ( 2 1 2 ) 口 m 吣咖0 0 0 o c 含随机初始缺陷半刚接钢框架结构的稳定性期掏f 究 式中【尼】。及 ) 。分别为梁单元a b 的刚度矩阵及荷载向量，【丁】为梁单元坐标转换矩 阵。 将式( 2 9 ) 带入式( 2 1 1 ) 可得： n 。= 吾 万) r 【k 】。 万) 一 万) r f ) 。 ( 2 1 3 ) 式中： k i 。= 【r ( 【r n 七】。【r 】) 【】。 ( 2 1 4 a ) f 。= 【】；( 【丁】r 儿) ( 2 1 4 b ) 2 5 形成框架样条离散化的总势能泛函 如果框架共有m 个单元则它的总势能泛函如下： l - i = r l 。 ( 2 1 5 ) 将式( 2 1 3 ) 代入式( 2 1 5 ) 可以得到： n = 圭 万) r 【k 】 万) 一 万) r ( 2 1 6 ) 式中： 【k 】= 【k 】。 ( 2 1 7 a ) f = f 九 ( 2 1 7 b ) 2 6 建立框架的样条离散化总刚度方程 框架的样条离散化刚度方程可以利用变分原理得到如下： 【k 舻 = 厂 ( 2 1 8 ) 式中【k 】及 以为框架的刚度矩阵，荷载向量。 2 7 框架的内力与位移 由式( 2 1 8 ) 求得 万) 后，再由式( 2 9 ) 求出 y ) 。，单元的内力则由下式求解： 。= 时。+ ； ( 2 1 9 ) 式中【后】。为单元刚度矩阵， 万 。为单元结点位移， f ) ；为单元固端约束力。 1 5 含随机初始缺陷半刚接钢框架结构的稳定性能研究 第三章单元刚度矩阵的推导 本文利用平衡微分方程来推导结构单元的刚度矩阵( 以梁单元为例) ，综合考虑的 非线性因素有：轴力影响( p 一6 效应) 、杆件单元的侧移( p 一效应) 、一致初始缺陷、 节点半刚性影响；推导单刚的原则和步骤是：逐步增加非线性因素，直至综合考虑四种 非线性因素的情况。 3 1 考虑p 一6 效应 考虑p 一6 效应的平面梁单元刚度矩阵利用平衡微分方程法进行推导。平衡微分方程 可由图3 一l ( a ) 、3 - 1 ( b ) 所示微分段的平衡条件导出。截面内力q 沿垂直方向，沿 水平方向。 n ( ” 图3 - 1 ( a ) 梁单元、( b ) 梁微元 f i g u r e3 - 1 ( a ) e l e m e n to fb e a m 、( b ) i n f m i t e s i m a le l e m e n to fb e a m 水平方向受力平衡的方程为： + 型d s n ：0( 3 1 ) 凼 垂直方向受力平衡的方程为： 1 6 含圈渖l 初始缺陷半刚接钢框架结构的稳定铝。眨研究 q + 掣凼一q ：o ( 3 2 ) 弯矩平衡的方程为： m + 警坦+ 掣a s 州肺倒 3 ， 凼 z 、 删+ 型d s 凼+ 忉s 逾偿) = 。 由以上各式可以z 。，1 4 ： 盟：o ：塑：o ( 3 4 ) 警办一( 2 q + 警凼) c o s 偿) + ( 2 + 等凼) s 证谨) = 。 5 ， 忽略微小量( d q 凼) ( 凼) 2 及微小量( a w 凼) ( 凼) 2 ，且由小变形可得： 凼d x ，c o s p 1 ，s i n p 口_ d - v ( 3 6 ) a b e 代入式( 3 5 ) 可得： 一d m d + 尘：0 ( 3 7 ) 两边同时对x 求一阶导数可得： 百d 2 m 一塑+ j i v n 了d 2 v ：0 ( 3 8 ) d x 2d xd x 2 又由材料力学梁的挠度曲线微分方程可得： m ：一日一d 2 1 7 ( 3 9 ) 并取n = 一p 可得梁的平衡微分方程： 日窘+ 尸窘= 。 慨 鲥= 斟赃 当p 0 的时侯，( 3 1 0 ) 式变为： 争留窘= 。 由梁的边界条件： 由v i 脚= 咆，vl p 工一吼 可得梁端弯矩的刚度方程为： 以= t e i ( 口a + s 0 ，以) m b = - - 等嘞卧柏) 非 铲旷瓮毫筹箦 铲铲凿生笺盖 当p = 0 时，( 3 1 0 ) 式变为： 窘= 。 由式( 3 1 2 ) 、( 3 1 4 ) 条件可得与( 3 1 5 ) 式同样的形式，其中： = s = 4 s q2s j t = 2 当尸 0 时，( 3 i 0 ) 式变为： 磐掣盟：o , x 4d x 2 f h 吉( 31 2 、( 31 4 ) 錾件可得与( 31 5 ) 同样的形吉苴中： 1 8 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 a ) ( 3 1 5 b ) ( 3 1 6 a ) ( 3 1 6 b ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 a ) ( 3 1 8 b ) ( 3 1 9 ) p ：丝”( 3 2 2 ) 三 为了求出单元刚度矩阵，便于计算机编程，我们需要将上述求出的内力与位移关系 通过等效力系( 如图3 2 、3 3 ) 转化。比较图3 2 、3 3 可知：巴= 研、吃= 岛、“= u 1 一”：， 并且有： 幽 图3 - 2 单元力系1 f i g u r e3 - 2e l e m e n ts y s t e mo f f o r c e1 曲幽 图3 - 3 单元力系2 f i g u r e3 - 3e l e m e n ts y s t e mo ff o r c e2 1 9 广西大尊瞻炙吐啼仑文 含商瞵f o 防始缺陷半刚接钢框架结构的稳定性期田船宅 1 = p ：e _ a ( z l l 一吃) q 。= - - q = 半= 等眠w 州勺w b 】 m l = m a ：e t l ( s 参l + s 8 2 ：一p ：一_ e a ( h i - - 2 ) q 2 = q 一半一等附硼地w 睦】 m 2 = m b ：半s j 9 、+ s 。吩 ( 3 2 3 ) 将上述关系写成矩阵相乘的形式：【七】 田= n ，于是就求出了单元刚度矩阵【尼】。： i - a h0 0纠，00 巾l 1 0 0q 坞犯0 0 ( s , + s j ) ti | v 1 刮0 0 s n 00 号1 1 0 l z l 枷o o朋oo 1 1 “2 1 0 0 飞坞班00 飞坞班忆 l 0 0 0 0 _ j i 幺 ( s i ：、而、j j 、j f 如上面推导过程所得) 从而得出单兀刚度矩阵【尼】。为： 剐1 00础100 i l 00q 坞犯00q 乜) 亿 阻司二三亳朋0 三老 1 0 0 飞坞) i - , 00 飞乜) t 1 0 0 嘞0 0 含随机初始缺陷半刚接钢框架结构的稳定性能研究 3 2考愿p 一6 、p 一双应 这种情况的单刚推导即在考虑p _ 6 的基础上考虑杆件的杆端侧移，由杆端位移 ( 小变形) 产生的杆端转角为垒l 。这里可以将杆端的转角分别设为吼一z a 和一z a ，这 样，梁端弯矩的刚度方程可直接由式( 3 1 5 ) 修改得到，推导过程与3 1 节相似，这里 不再赘述。 心= 警 ( 秒_ 一全) + 勘( 岛一全) ( 3 2 4 a ， = 等k 啪一( + 勖) 全l = 斗( 吁* ( 岛一刽 = 等h 啪一( + ) 全i 。2 4 ” 由a 端力矩平衡得： q = 一( 丝2 塑争丝) ( 3 2 5 ) 设单元轴力与轴向位移成正比，即：p = 丝l ( 3 2 6 ) 为了求出单元刚度矩阵，同3 1 节的处理，将上述求出的内力与位移关系通过等效 力系( 图3 - 4 、3 - 5 ) 进行转化。其中等效力系( 图3 - 5 ) 左右两端的位移分别为： 弘、m 、岔、v 、鼠，其中：a u = 矾一、a = h v 1 。 幽 图3 _ 4 单元力系1 f i g u r e3 - 4e l e m e n ts y s t e mo ff o r c e1 2 1 含随和。功始缺陷半刚接钢框架结构的稳定性能研究 q 2 凶盥 图3 - 5 单元力系2 f i g u r e3 - 5e l e m e n ts y s t e mo ff o r c e2 。= p = f f - 等- ( u , - u s ) q = 一q = 尘! 二! 半= ( s j i + j ，j + s 驴+ s j j ) 等一煅+ ( s o + s j j 破一 le i m ，：m ：争们坞p ：一啪气粤】 n 2 ：一p ：一了e a ( “l 一“2 ) q ：q ：一些型半：一下e 1 一) ”h + 蹦p ：一 ( s i i + $ f l + s q + s j j ) 丁v 2 - v i + 掣】 m ：= m 曰= 等【s j i 秒i + s j j 吁( s f l + $ j ) v 2l - - v 1 。】 把上述关系写成矩阵相乘的形式：【明 毋= 乃，于是就求出了单元刚度矩阵陋】。： 吼：争 厶 一a 0 1 0 一一a o 0 i 罟办兰办 。 一詈么兰唬 对称 4 九0 彳 i 欢2 么 0o 詈办一兰唬 4 唬 ( 3 - 2 7 ) j l k r 上 九= 丝鱼掣；以= 2 2 c 。s h 地一地s i i l l l 地 ( 3 2 8 c ) z 以 3 3 考虑p 一6 、p 一效应及一致变形初始缺陷影响 结构的安装误差或者单元的几何初始缺陷等也是影响结构变形不可忽略的因素；一 致变形初始缺陷假定梁的初始缺陷与梁单元的变形一致4 1 l ，即： 5 口y 式中为初始缺陷，y 为梁的挠度，口为初始缺陷影响系数。 ( 3 2 9 ) 考虑了一致初始缺陷，与前者只考虑p 一6 、p _ 的区别在于增：扫i i t 由于初始缺陷 引起的初始转角岛( 图3 6 ) 。 n 图3 - 6 梁微元 f i g u r e3 - 6i n f i n i t e s i m a le l e m e n to f b e a m d s ) d $ 含随和。防始缺陷半月接钢框架结构的稳定性期朔f 究 把杆件的初始缺陷等效成杆端的转角o o 采考愿。e 对构件的影响，单刚的推导同 样应用平衡微分方程法，与3 1 节考虑p 一6 情形单刚推导过程相似，由 y x ：o 、y y ：o 、y m = 0 得： j l 一j i _ 一j 一 n + a nd s n ：0 ( 3 3 0 ) 凼 q + 挈凼一q ：o ( 3 3 1 ) m+掣-(q+d出qds+q)cosds 3 2 ， d s z ，、 + ( + 掣a s 办+ ) s i n p + 吼) ( 害) = 。 z 化简各式得： 一d n ：0 ：塑：0 ； ( 3 3 3 ) 出出 警凼一( 2 q + 警凼) 砷+ 岛) ( 譬) + ( 2 + 罢凼 s m