（理论物理专业论文）混沌和分数阶混沌系统同步研究及电路仿真.pdf

摘要 混沌现象是在确定性菲线性系统中患现的内在随机的过程。它的特征是对系统的初 始条件具有极端的敏感性。长期以来，人们一直视混沌行为为一种有害的现象，在国际 电子工业及其他领域都尽量回避混沌行为。自从人们开创性的提出混沌控制和混沌同步 的概念以来，应用混沌已经成为整个j 线性领域全新和具有挑战性的前沿课题之一，其 中混沌同步令人瞩目，有一些方法已经应用于实际并取得了良好的效果。 分数阶微积分已有3 0 0 多年的历史，其发展几乎与整数阶微积分同步，但将其应用 列物理学和工程学的研究热潮还是最近凡十年兴起的。研究证实，许多物理系统能展现 出分数阶动力学行为。分数阶动力学系统的混沌控制与混沌同步已成为非线性领域研究 的重点，但分数阶混沌控制与同步的策略和方法还较少，尚处在研究初期。分数阶混沌 同步的电路实现还未见报道；壹于分数阶混淹系统在保密遥信等领域中拥有潜在麴应用 前景，在这一领域将会有更大的发展空间。 本文利用计算机数值模拟和电路仿真的方法研究了混沌系统的自适应同步问题和 分数阶混沌系统的同步闻题。基本内容分为匿步：( 1 ) 较系统的总结了前人的工作，包括 混沌同步的概念、方法及其应用，特别是对现有的混沌同步方法作了简要的评述。( 2 ) 介绍了混沌系统和分数阶系统的数值模拟和电路仿真方法。0 ) 利用自适应控制方法实现 参数不确定混沌的同步和广义投影同步，逶过严密豹数学推导得出同步的充分条件。所 提方法中的控制器结构简单，通用性强，工程上易于实现。以r 6 s s l e r 混淹系统、新三 维自治混沌系统、超混沌c h e r t 系统、c h e n 混沌系统，超混沌l o r e n z 系统，a r n e o d o 混 沌系统为例，给出了数值模拟或电路仿真结果。( 4 ) 提出分数阶混淹系统的自同步和异结 构反馈线性化同步方法。基于分数阶线性系统稳定性原理进行了理论证明，以分数阶 c h e r t 混沌系统、分数阶r s s s l e r 混沌系统、分数阶l i u 混沌系统、分数阶r 6 s s l e r 超混沌 系统和分数阶新超混沌系统给出了数值模拟或电路仿真结果。 总之，本文对参数不确定漫沌系统提出了自适应同步和广义投影同步方案，对分数 阶混沌系统提出了反馈线性化同步和异结构同步方案，并进行了数值模拟与电路仿真， 它们是对现有混沌同步和分数阶混沌同步理论的重要补充，是对分数阶混沌同步电路的 有益探索，同时它们也具有较高的应用价值。 关键词：混淹圈步，广义投影同步，分数阶混沌，自适应控制，反馈线性化，电路仿真 m a b s t r a c t a l t h o u g ht h ep h e n o m e n o no fc h a o si sd e r i v e df r o mt h ed e t e r m i n i s t i cn o n l i n e a rs y s t e m ， i t s d y n a m i c a lp e r f o r m a n c ei sp s e u d o r a n d o m c h a o si sc h a r a c t e r i z e db yas e n s i t i v e d e p e n d e n c eo f as y s t e m sd y n a m i c a lv a r i a b l e so nt h ei n i t i a lc o n d i t i o n s f o ral o n gt i m ep a s t ，i t i sg e n e r a l l yc o n s i d e r e dt h a tt h ec h a o si sah a r m f u lp h e n o m e n o n ，s oi ti so f t e nd e s i r e dt ob e a v o i d e di nm a n yp r a c t i c a lf i e l d s h o w e v e r , t h ea p p l y i n gc h a o sh a sb e e no n eo ft h en e wa n d c h a l l e n g i n gp r o j e c ti nn o n l i n e a rd y n a m i c a lf i e l ds i n c et h ec h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o n a r ep r o p o s e dc r e a t i v e l y i nr e c e n ty e 码t h ea p p l i c a t i o no ft h ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o nh a sb e e n g i v e nm u c ha t t e n t i o n , b yf a rs o m es y n c h r o n i z a t i o nt e c h n i q u e sh a v eb e e nu s e di nm a n yf i e l d s a n dp r o g r e s sh a sb e e nm a d e t h es t u d yo nf r a c t i o n a l - o r d e rc a l c u l u st h e o r yh a sah i s t o r ym o r et h a n3 0 0y e a r s h o w e v e r , t h ea p p l i c a t i o n so ff r a c t i o n a lc a l c u l u st op h y s i c sa n de n g i n e e r i n ga r ej u s tar e c e n t f o c u so fi n t e r e s t m a n ys y s t e m sa r ek n o w nt od i s p l a yf r a c t i o n a lo r d e rd y n a m i c s t h e s y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o lo ff r a c t i o n a l o r d e rs y s t e mi st h ef o c u so fr e c e n tr e s e a r c h e s ，b u t c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n m e t h o d sa r e 。l i m i t e da n df e wo ff r a c t i o n a l o r d e r c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o nb y c i r c u i tw a sr e p o r t e d i ti sb e l i e v e dt h a tt h ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o nw i l lp l a y a ni m p o r t a n tr o l ei nf i e l d ss u c ha ss e c u r ec o m m u n i c a t i o ni nt h ef u t u r e i nt h i sp a p e r , w eh a v es t u d i e da d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i ca n df r a c t i o n a l o r d e r c h a o t i cs y s t e m su s i n gt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o na n dc i r c u i ts i m u l a t i o nm e t h o d s t h em a i n c o n t e n t sc a nb ed i v i d e di n t of o u rp a r t s t h ef i r s t p a r tg i v e st h ei n t r o d u c t i o no ft h e p r e d e c e s s o r s w o r k ss y s t e m a t i c a l l yi n t h i sf i e l di n c l u d i n gt h en o t i o n , t h em e t h o d sa n dt h e a p p l i c a t i o nt op r a c t i c eo ft h ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o n i nt h es e c o n dp a r t , t h en u m e r i c a l s i m u l a t i o na n dc i r c u i ts i m u l a t i o nm e t h o d sf o rs y n c h r o n i z i n gc h a o t i ca n df r a c t i o n a l o r d e r c h a o t i cs y s t e m sa r eg i v e n i nt h et l l i r dp a r t , u s i n ga d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o la p p r o a c h , b a s e do n l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , t h es y n c h r o n i z a t i o n a n d g e n e r a l i z e dp r o j e c t i v e s y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d sf o rc h a o t i cs y s t e m sw i t hu n c e r t a i np a r a m e t e r sa r es t u d i e d a d a p t i v e c o n t r o l l e ra n du p d a t el a wo fp a r a m e t e r sa r eo b t a i n e d ；t h ec o n t r o l l e ri ss i m p l ea n ds y s t e m i c r s s s l e rc h a o t i cs y s t e m , n e wt h r e e - d i m e n s i o n a la u t o n o m o u sc h a o ss y s t e m ，h y p e r c h a o t i cc h e n s y s t e m ，c h e nc h a o t i cs y s t e m , h y p e r c h a o t i cl o r e n zs y s t e ma n da m e o d oc h a o t i cs y s t e ma r e t a k e na se x a m p l e st oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so f p r o p o s e dm e t h o d i nt h el a s tp a r t ，u s i n g s t a b i l i t yt h e o r yo ff r a c t i o n a l o r d e rl i n e a rs y s t e m s ，an o v e lm e t h o do fc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n b a s e do nl i n e a r i z a t i o nb yf e e d b a c ki sp r o p o s e df o rt h ef r a c t i o n a l - o r d e rc h a o t i cs y s t e m s t h e c o n t r o l l e ri so b t a i n e d ，a n dt h em e t h o dc a l lb ea p p l i e dt os o l v es y n c h r o n i z a t i o np r o b l e m so f s e v e r a lc l a s s e so ff r a c t i o n a l o r d e rc h a o t i cs y s t e m s ，e g ，l o r e n zs y s t e m , r f s s l e rs y s t e m ，c h e n s y s t e m , l i us y s t e m ，lus y s t e m ，r 6 s s l e r a n dn e wh y p e r c h a o t i cs y s t e m n u m e r i c a l s i m u l a t i o na n dc i r c u i ts i m u l a t i o nr e s u l t sa l ep r e s e n t e dt od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s sa n d f e a s i b i l i t yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d i ng e n e r a l ，w ep r e s e n t e da d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o na n dg e n e r a l i z e d p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d sf o rc h a o t i cs y s t e m sw i t hu n c e r t a i np a r a m e t e r s ，a n dp r o p o s e dan o v e lm e t h o d o fc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nb a s e do nl i n e a r i z a t i o nb yf e e d b a c kf o rt h ef r a c t i o n a l o r d e rc h a o t i c s y s t e m s b o t hn u m e r i c a ls i m u l a t i o n a n dc i r c u i ts i m u l a t i o nr e s u l t sa l e p r e s e n t e dt o d e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s sa n df e a s i b i l i t y i nf i e l d so nc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nr e s e a r c ht h e r e a l eaf e wm e t h o d st h es a m ea st h eo p i n i o no ft h i sp a p e r , s ot h e ya l en o to n l yt h ep e r f e c t c o m p l e m e n tt oc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n df r a c t i o n a l o r d e rc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nt h o r y , b u t a l s oap r o f i t a b l ee x p l o r a t i o nt oc i r c u i tf o rf r a c t i o n a l o r d e rc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o ni np r a c t i c e k e yw o r d s ：c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n , f r a c t i o n a l - o r d e rc h a o s ，g e n e r a l i z e dp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n , a d a p t i v ec o n t r o l ，l i n e a r i z a t i o nb yf e e d b a c k , c i r c u i ts i m u l a t i o n v 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文混沌和分数阶混沌同步研究及电路仿真，是在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者c ：；钙黼 砂话年r 月如日 指导教师确认( 签名) ： w 年j 月罗口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文俐：豚匍指导刻雅孙 加形年上月夕。日加前年j 月加日 引言 混沌是当今前沿的研究课题，它揭示了自然界和人类社会中普遍存在的复杂性，反 映了世界上无序和有序之间、确定性与随机性之间的辩证统一的关系。混沌的发现被认 为是2 0 世纪物理学的三大成就之【强。近十年来，混沌学与其健科学相互渗透，在各 学科领域中得到了广泛的研究与应用。今天，混沌理论与计算机科学理论相结合，使人 们对一些久悬未解的难题的研究取得了突破性进展，在研究客观世界的复杂性方面发挥 了巨大作用，成为世人瞩嗣的学术研究热点貉嘲。 控制和利用混沌是当前研究的热点问题之。自从1 9 9 0 年o t t 等人f 7 】提出控制混沌 的o g y 方法、p e c o r a 和c a r r o l l t 8 】提出混沌同步的原理并在电路中得以实现以来，人们 提出了各种混沌控制与同步方法。但这些方法讨论的大都是参数已知或确定的混沌系 统，或者讨论的虽是未知系统，面所用控制方法比复杂。在实际应用中，一般混沌系统 的参数常常是未知的或不确定的，混沌系统的控制器应该是简单、有效和工程上易于实 现的。一般来说，控制器的数目越少，其控制方法越好。为此，本文研究了参数不确定 混沌系统的自适应同步、广义投影同步，所用控制器简单、数匿少，且能辨识所有未知 参数。 分数阶微积分( f r a c t i o n a lc a l c u l u s ) 有3 0 0 多年的历史，其发展几乎与整数阶微积分 圈步，但将其应用到物理学和工程学的研究热潮还是最近几十年兴起的。许多物理系统 能展现出分数阶动力学行为。最近，分数阶混沌系统又引起人们广泛的兴趣和深入的研 究。在一些混沌系统中，通过计算机数值仿真发现，当系统的阶数为分数的时候，系统 仍呈现混淹状态，且更能反映系统所呈现的物理现象。分数阶动力学系统的混沌控制与 混沌同步是近年来研究的重点，但无论是从文献的数量还是分数阶混沌控制与同步的策 略和方法，目前都还较少，尚处在研究初期。由于分数阶混沌系统在保密通信等领域中 拥有潜在的应用前景，在这一领域将会有更大的发展空间。基于反馈线性化法思想，利用 分数阶线性稳定性理论，本文提出了分数阶混沌系统的同步和异结构同步方法，并设计 了分数阶同步电路进行电路仿真。 本文的组织如下：第一章简要介绍了混沌理论、判断混沌的一般方法和混沌同步控 制的基础知识和混沌、分数阶混沌研究现状；第二章介绍了本文所用的理论知识和仿真 方法，为后面的数值模拟与电路仿真提供理论支持和切实可行的方法；第三章研究了参 数不确定混沌系统的自适应同步、广义投影同步问题，并进行了数值模拟或电路仿真； 第四章研究了分数阶混沌系统的反馈线性化同步和异结构同步问题，同时进行了数值仿 真与电路仿真实验。最后给出了全文的结论。 2 第一章混沌理论概述 1 1 混沌的产生与发展 混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，它广泛存在于自然界，诸如物理、 纯学、生物学、医学、电子学、信息科学、保密通信、天文学、气象学、经济学等各种 科学领域。混沌揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，展示了确定性与随机性 的统一、有序与无序的统一，大大加深了人们对大自然的理解。混沌理论的基本思想起 源于2 0 世纪初，发生于2 0 憷纪醐年代藤，发展壮大子2 0 世纪8 0 年代。近十年来， 混沌学与其他科学相互渗透，在各学科领域中得到了广泛的研究与应用，混沌学已经发 展成为具有丰富内涵的交叉学科，混沌现象的研究是当今诸多科学研究领域的热点问题 - y 一 1 - 1 0 1 “一 o 1 9 0 3 年，美国科学家j t 。p o i n c a r e 在科学与发展书中提出了p o i n c a r e 猜想， 把动力学系统和拓扑学两大领域结合起来，指出了混沌存在的可能性，成为现代最先预 测混沌存在的入。 1 9 5 4 年，前苏联概率论大师a n k o l m o g o r o 在探讨概率起源过程中注意到? 哈密 顿函数中微小变化时条件周期运动的保持，这一思想为如下结论奠定了基础，即不仅耗 散系统有混沌，而且保守系统也有混沌。 1 9 6 3 年，美国气象学家l o r e n z 在美国大气科学杂志上发表了文章“确定性的 非周期流”【1 1 1 。他从对流问题中提炼出一组完全确定的三维常微分方程组用来描述天气 的演变情况，发现了天气演变对初值的敏感依赖性。为此，l o r e n z 提出了一个形象的比 喻：靠巴西的一只蝴蝶煽动凡下翅耪，可能会改交3 个月后美国得克萨斯娥的气候捧。 这就是著名的“蝴蝶效应 。可以说，是天气预报和气象学的研究叩开了混沌学的大门。 l o r e n z 也因此成为“混沌学之父一。 1 9 6 4 年，法国科学家h e n o n 从研究球状星霜以及l o r e n z 吸引子中得到启发，给出 了h e n o n 映射【1 2 l ，h e n o n | 导到了一个最简单的吸引子，并用它建立了“热引力崩坍 理 论，解释了几个世纪以来直遗留的太阳系稳定性问题。 3 2 0 世纪7 0 年代是混沌科学发展史上成果倍出的年代。在这一时期，混沌作为- i 1 新的学科正式诞生。1 9 7 1 年，r u d l e 和t a k c n s 首次利用混沌吸引子的结论解释了湍流 产生的机制。1 9 7 5 年，李天岩和y o r k 提出“周期3 蕴含混沌”的思想，被认为是混沌 的第一次正式表述，“c h a o s 一词自此正式使用【1 3 】。1 9 7 6 年，美国生态学家m a y 在自 然杂志上发表的论文中，首次揭示了描述物种繁衍的l o g i s t i c 映射中通过倍周期分岔 达到混沌的道路。1 9 7 8 1 9 7 9 年f e i g e n b a u m 在m a y 的基础上发现了倍周期分岔过程中 间距的几何收敛率，并发现了收敛率每次缩小的倍数为4 6 6 9 2 是个常数，这就是著名 的f c i g c n b a u m 常数。f e i g c n b a u m 还把相变临界态理论中的普适性、标度律、重正化群 方法引入混沌的研究，计算出一组普适常数，建立了关于一维映射混沌现象的普适理论， 发现了怎样做尺度变换，给出了一条走向混沌的具体道路，把混沌学的研究从定性分析 推向定量计算阶段，成为混沌学研究的一个重要的里程碑 1 4 】。 到了2 0 世纪8 0 年代，混沌的理论体系迅速完善，标度律、普适性、l y a p u n o v 指数、 分数维和吸引子等一系列刻划混沌的概念先后被确定下来。1 9 8 3 年，物学家m b e r r y 首 次提出了混沌学( c h a o l o g y ) 的名称，并己逐渐为科学界所接受。1 9 8 6 年，中国第一届混 沌会议在桂林召开。中国科学家徐京华首次提出三种神经细胞的复合网络，并证明它存 在混沌。1 9 8 8 年，丁明州和郝柏林对洛伦兹模型周期窗口进行了系统的研究，找到了与 反对称三次映射的关系。1 9 8 9 年，郝柏林、郑伟谋在：现代物理学国际杂志上发表文 章，抛弃了人工造作的“反谐波 和“谐波”概念，推广了星号组合律。这是混沌学理 论上近年来的重要进步。1 9 8 9 年，卢侃、林雅谷、卢火在人脑脑电图的分维数上找到了 与脑功能锻炼历史时间的回归方程，即林雅谷功能方程式。这为应用混沌维数找到了可 行的方式。1 9 9 4 年谢法根和郝柏林在 p h y s i c a ) ) a 2 0 2 卷上发表论文，完全解决了具有 多个临界点一维连续映射的周期数目的问题。1 9 9 9 年，陈关荣教授利用一个简单的线性 状反馈控制器驱动著名的l o r e n z 系统在非混沌区域产生混沌，导致了一个新的混沌统 的发现，这个系统称为c h c n 系统，并发现了另外一个混沌吸引子【1 5 】。经研究发现，l o r e n z 系统和c h c n 系统可分属于两个相反的类。 2 0 0 1 年，吕金虎等人发现在这两个对偶系统之间存在一个新的混沌系统，称为l u 系统【1 6 1 ；2 0 0 2 年，吕金虎、陈关荣等人又提出一个新的混沌系统一统一系绀1 7 1 ，这个系 统连接了l o r e n z 吸引子和c h c n 吸引子，并包含l n 系统作为它的一个特例；即l n 系统在 l o r e n z 系统和c h e n 系统之间架起了桥梁，实现了从一个系统到另一个系统的过渡。2 0 0 4 4 - 年，刘崇新等又提出了一种新的混沌系统叫j u 系统【1 8 l 。近几年，人们不断发现新混沌 系统和超混沌系鲥1 9 2 4 1 。各种混沌模型的研究一方面为混沌系统理论的发展提供分析依 据，另一方面也为混沌的应用研究提供了丰富的源泉。 近年来，又将分数微分算子引入到动力学系统中，对分数阶动力系统的混沌、混沌 控制和同步的研究已成为热点【2 5 。3 1 ，4 刀。 总之，自1 9 7 5 年混沌作为数学名词第一次出现，3 0 多年来国内外的研究迅猛发展， 混沌已成为物质科学和数学科学的边缘科学，混沌理论在许多领域获得了广泛的应用。 可以预言，二十一世纪将是非线性科学迅猛发展的时代。 1 2 混沌的基本特征和判断方法 1 2 1 混沌系统的基本特征 混沌运动是一种不稳定有限定常运动，即为全局压缩和局部不稳定的运动，或除了 平衡、周期和准周期以外的有限定常运动。混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂 运动形态，出现在某些耗散系统、不可积h a m i l t o n 保守系统和非线性离散映射系统中， 有时被描述为具有无穷大的周期运动或类似随机的运动。与其它复杂现象相比较，混沌 运动有着自己独有的特征，主要有： 1 对初始条件具有敏感的依赖性 混沌系统对其初始条件具有敏感的依赖性，这是混沌区别于其他运动形态的本质特 征。这一特征意味着混沌的不可预测性。这里，不可预测性是针对混沌系统的长期行为 而言的，其短期行为是可预测和完全确定的【1 1 。 2 有界性 混沌是有界的，它的运动轨线始终局限于一个确定的区域，这个区域称为混沌吸引 域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会走出混沌吸引域。所以从整体上来 说混沌系统是稳定的。 3 遍历性 混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的。在混沌系统的时间演化过程中，系统可 以到达嵌入在混沌吸引子内部的任何不稳定周期轨道邻域内的每个点，即在有限时间内 混沌轨道经过混沌区内每一个状态点。 4 内随机性 虽然混沌系统的动力学方程是确定的，但其运动形态却具有某些“随机”性。这种 5 随机性是在系统自身演化的动力学过程中由于内在非线性机制作用而自发产生出来的。 因此，混沌的随机性是确定系统的内在随机性。混沌的内在随机性说明，混沌系统是局 部不稳定的。 5 分数维特性 奇异吸引子是轨道在相空间中经过无数次的靠近和分离，拉伸与折叠形成的几何图 形，具有层次结构的自相似特点。由于耗散系统运动在相空间的收缩，使奇异吸引子维 数小于相空间的维数，在维数上表现为非整数维数，即分数维。平衡点、极限环及二维 环面等吸引子具有整数维数。分维数是奇异吸引子的基本特征。分维数包括h a u s d o f f 维数、关联维数、自相似维、盒维数、l y a p u n o v 维数、信息维以及点形维等。 6 普适性 普适性是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共同特征，它不依具体的系 统方程或参数而变。具体体现为几个混沌普适常数，如著名的f e i g e n b a u m 常数等。普 适性是混沌内在规律的一种体现。 7 统计特征 混沌运动具有某种统计确定性。例如，具有至少一个正的l y a p u n o v 指数以及连续 功率谱等。 1 2 2 混沌的判断方法 混沌系统往往貌似随机系统，在实际测量过程中，由于计算方法和测试工具等的限 制，使得系统的测试信号中不可避免伴有随机的噪声信号，噪声的出现给系统的测量分 析带来极大的困难甚至导致错误的结论。所以在直观上很难对混沌系统和随机系统进行 有效的区分，常常用以下几种方法判断一个动力学系统是否混沌系统： 1 运动轨迹与相图法 根据m a t l a b 的o d e 系统进行仿真实验或用r u n g e k u t t a 法对系统进行仿真实验可 以得到系统的运动轨迹和相平面图，观察相点的运动轨迹或变化情况，就可凭经验对系 统的运动特性进行初步判断。该方法只能得到大致的定性估计，精确的情形还需要下面 的定量方法进行验证。 2 频谱分析 分析系统的功率谱，如果谱图具有单峰或几个峰，则该系统为周期或准周期系统； 如果谱图无明显的峰值或峰连成一片，则该系统对应为湍流或混沌系统。 6 3 李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 指数 在混沌系统中，混沌运动最基本的特性之一是运动对初始条件的敏感性。由于状态 空间相邻轨道是指数形式发散的，所以即使是两个靠得很近的初值所产生的轨道，随着 时间的推移它们也按指数的方式分离。 定义：设自治系统 膏= 厂( 矽，x r ”( 1 - 1 ) 它经过在相空间形成以轨迹x ( f ) ，若初始值而有一偏差a x o ，则由x o + 峨出发就 形成另一轨迹，它们形成的一个切空间相量缸( 而，t ) ，其范数i ia x ( x o ，t ) l l 。 令c o ( x 0 ，t ) = a x ( x o ，t ) ，满足 i d o ) ：肘( x ，f ) 国 ( 1 2 ) d t 、一 、。 m ：望 出 则n 维系统的l y a p u n o v 指数定义为： 讹，a x ) = ! 骢寺i n 丽 ia x ( x o , t ) l ，i i 哩x o , o ) i i 一。 ( 1 - 3 ) l y a p u n o v 指数定量描述了相空间中相邻轨迹呈指数发散的性质。由于在相空间各点 的收敛率或发散率不相同，因此为了刻划非线性动力学的整体效果，l y a p u n o v 指数是对 运动轨道各点的拉伸或压缩速率进行长时间的平均后得出的。l y a p u n o v 指数可能小于、 等于、或者大于零。l y a p u n o v 指数为负表明相空间体积收缩，轨迹在局部是稳定的，系 统对初始条件不灵敏。l y a p u n o v 指数为零表示相空间体积不变，当l y a p u n o v 指数大于 零时，表明系统轨迹在每一个局部都不稳定，相邻轨迹按指数迅速分离，此时系统轨迹 在整体的稳定因素下反复重叠，形成吸引子，因此l y a p u n o v 指数大于零可以看成系统 出现混沌的标志。一般情况下l y a p u n o v 指数的个数等于相空间的维数。对于一个混沌 系统，它的l y a p u n o v 指数谱中至少有一个指数值为正值。含有两个以上的正l y a p u n o v 指数的系统是超混沌系统。 4 庞加莱截面( p i o n c a r es u r f a c e - s e c t i o n ) 法 所谓的庞加莱截面就是在相空间中适当选取一截面，该截面要有利于观察系统的运 动特征和变化的规律，它不能与轨线相切，也不能包括轨线的截面。通过观察庞加莱截 7 面上截点的情况可以判断是否发生混沌。当庞加莱截面上有且只有一个不动点或少数离 散点时，运动是周期的；当庞加莱截面上是一封闭曲线时，运动是准周期的；当庞加莱截 面上一些成片的具有分形结构的密集点时，运动便是混沌的。 1 3 混沌同步的概念 混沌同步即指系统的轨道将收敛于另一系统轨道的同一值，它们之间始终保持着步 调一致，且这种同步是步调稳定的。由于混沌具有对初值极端的敏感性，且实际操作中 初始条件的精度受到种种限制，因此让两个混沌系统保持很好的全同性似乎是不可能 的。然而1 9 9 0 年，美国海军实验室的专家l m p e c o r a 和t l c a r r o l l 开创性地提出混沌 系统同步的概念( 简称p c 同步) ，并首次在电子线路实验中实现了两个混沌系统同步【8 1 。 混沌理论的这一重大发现，促使人们重新审视混沌的可利用性，也由此激起混沌同步理 论与实验应用研究的蓬勃发展。首先，混沌同步的概念被进一步推广：1 9 9 5 年n f r u l k o v 等人针对耦合系统提出广义同步的概念。1 9 9 6 ，m g r o s e n b l u m 等人通过合理的定义混 沌信号的相位引出相同步的概念。在相同步中，混沌系统的相位满足同步条件，而其振 幅往往是混沌的且互不关联。广义同步和相同步的提出，丰富了混沌同步的内涵，是 混沌同步理论的重要进展。其次，混沌同步的方案不断涌现，继p e c o r a 和c a r r o l l 提出 驱动响应同步方法之后，人们又提出了主动被动拆分法( 简称a p d 法) ，连续变量反馈 微扰同步法，基于相互耦合的同步方法，参数微调法，脉冲法，神经网络同步法，观测 器同步法、驱动参量同步法等多种多样的混沌同步法【3 2 3 6 1 。此外，在混沌控制中的一些 思想也直接应用到了混沌同步中，如追踪控制同步法。这些方法各有优势，但又互相补 充，构成混沌同步理论最重要的组成部分。实验上，混沌同步的研究更是丰富多彩，硕 果累累。p e c o r a 和c a r r o l l 以马里兰大学的r o b e r t n e w c o m b 设计的电路为基础，首次实 现了两混沌系统的同步【引。后来c u o m o 和o p p e n h e i m 也成功地用电子线路模拟了l o r e n z 系统的同步【3 7 】；k a p i t a n i a k 和c h u a 等人用相互耦合的方法使两个c h u a 电路达到同步【1 9 1 ； 1 9 9 8 年胡岗等人以耦合振子为研究对象，当各个振子的运动状态处于同步流形时对混沌 同步态进行了线性稳定性分析，并用钉扎法( 简称p i n n i n g 法) 实现了对混沌同步态的控 制，更将此法引申用于通信加密，获得了很好的效果【3 8 1 。 实验上的这些进展掀起了人们研究混沌同步技术的新高潮。研究表明，混沌同步在 物理、化学、生物、力学、医学、电子学、信息科学、保密通信等领域均具有十分诱人 的应用前景和巨大的市场潜在价值。混沌同步近几年来一直是非线性科学的研究热点之 8 一。下面对同步的概念和同步的方法作一简要的介绍。 1 3 1 混沌同步的定义 1 精确同步 定义1 1 考虑如下两个非线性动力学系统 j = f ( t ，功 ( 1 - 4 ) 夕= g ( t ，y ) + u ( t ，五j ，)( 1 - 5 ) 其中， z = ( x l ，x 2 ，毛) r ，y = ( 乃，y 2 ，以) r r “分别为系统的状态变量， 厂= ( 石( f ，x ) ，f 2 ( t ，x ) , - - - , z ( f ，功) r ，g = ( g i ( f ，x ) ，9 2 ( f ，z ) ，岛o ，功) r 分别为系统的状态变量 函数，“= ( ，“：，u n ) r 为混沌系统的同步控制量。如果存在d ( 气) r 4 ，v x o ，y o d ( t o ) ，有 ；i m 。l l y ( t ；t o ，y 。) 一x ( t ；t o ，y o ) l l = o 成立，则称系统( 1 - 5 ) 和系统( 1 4 ) 精确同步。称系统( 1 4 ) 为 驱动系统，系统( 1 5 ) 为响应系统，d ( t o ) 为同步区域。若d ( t o ) 支撑整个空间，即 d ( t o ) = r “，则称该精确同步定义为全局精确同步，若d ( t o ) 是尺“的一个子集，则称该精 确同步定义为部分精确同步。 2 广义同步 考虑如下的两个混沌动力学系统 j = 厂( 曲 ( 1 - 6 ) 夕= g ( y ，s ( x ) )( 1 - 7 ) 其中，x , y r 4 ，j ：r 4 专r 4 是来自系统( ( 1 6 ) 的驱动函数，系统( 1 - 6 ) j l 匝常被称为驱动系 统，系统( 1 7 ) 称为响应系统。 定义1 2 广义同步( ( g s ) 【3 9 舯】，考虑驱动混沌系统( 1 6 ) 和响应混沌系统( 1 7 ) ，对于给 定的工和y 之间的一个变换关系h ：r “一r ，在子集dcr 4 寸r ”上定义一个函数流形 m = ( 工，j ，) l y = 日( 功)( 1 - 8 ) 且满足mc d 如果对于所有初始条件( x o ，) d 的响应系统轨道都随时间趋于无穷 而趋于m ，即当t 0 0 时，响应系统与驱动系统之间满足 9 严溅 的函数关系，则称系统( 1 6 ) 和( 1 7 ) 广义同步。 3 广义投影同步 定义圭3 考虑如下的非线性混沌系统 莺= 八x ) 夕燃g ( ) ，) + 甜( 墨y ) ( 1 9 ) ( 1 - l o ) ( 1 - 1 1 ) 式中，x , y 天“，f ，g 为群岭r 4 翦可徽函数，豁嘏谚= 锈u 是控制输入。系统董。l 妨为 驱动系统，系统 1 1 1 ) 为响应系统。如果存在一个对角矩阵茗盎痰蹭 毒，龛，鸯，厦g 震删， 盖，使得麸不同的初值焉，出发韵系统满足l i m | | 菇一匆| | _ o ，郡么称系统( 差一i 妨获 褥广义投影同步g p s 矿“，常数z 称为拢铡因子。其中冀= l 为混沌系统豹精确同步，盖一1 为混沌系统反相位同步，都是混沌广义投影同步的特殊情况。 4 相同步l 竭 相同步裁是两个混沌系统鞔道的横使差镆定在2 磐戮内，磊它 豹振壤仍然保持湛 沌状态且互不相关。 1 3 2 混沌同步的方法 1 驱动响应溺步法 这是由p e c o r a 和c a r r o l l 提出的一种演沌同步方法，也是最早提出的混沌同步方法， 该方法用于实现同步的原理如图1 1 所示。这个方法的最大特点是：两个非线性动力学 系统存在驱动与响应( d r i v e - r e s p o n s e ) 关系。响应系统的行为取决子驱动系统，丽驱动系 统贻行为与螭瘟系统无关。 设一个n 维自治非线性动力系统：拉= ，0 ) ，将其分解必v ，w 两个子系统： t 2 鬯兰 ( i - 1 2 ) 谤= 矗纸协l _ l o _ 驱动系统响应系统 图1 1 驱动响应法的同步原理 其中甜= u l ，“2 ，y ， ，= 嵋，i 2 ，“。y ，w = u m + lu m + 2 ，“。y f = 抚，以，) r ，g = 抚，f 2 ，厶) r ，h = 帆小厶伽，) r ，( 1 1 2 ) 式被称为驱动系统。 现在复制一个响应系统： 桫= h ( v ，) ，( 1 - 1 3 ) 式中 ，为驱动变量，它由驱动系统( 1 1 5 ) 产生，用来驱动响应系统。p e c o r a 和c a r r o l l 对响 应系统的稳定性及同步原理进行了分析，发展了混沌信号驱动系统的稳定性分析理论， 即所谓的条件l y a p u n o v 指数稳定性判据，给出如下定理：只有当响应系统( 1 1 3 ) 式的所 有条件l y a p u n o v 指数都是负值时，才能达到响应系统和驱动系统的同步【8 】，即， 州f ) = ! 骢l l w ( o 一川) 0 = o( 1 1 4 ) - - 。0 0月 但p o c o m 和c a r r o l l 给出的只是发生同步化现象的必要条件( 大多数情况下也是充分条 件) 。h e 和v a i d y a 用渐进稳定性理论证明了：当且仅当对相空间中一定区域内的初始