（生物医学工程专业论文）活性Brown粒子随机动力学.pdf

浙江大学博士学位论文a b s a c t a b s t r a c t t h es t o c h a s t i cd y n a m i c so fa c t i v eb r o w n i a n p a r t i c l e si si n l t o d u c e db yi l l u m i n a t i n g t h eb i o l o i g c a la c t i v em o t i o n a n dt h e n ，t h et h e o r yo fs t o c l m s d cd y n a m i c sf o rq u a s i h a m i l t o n i a n s y s t e m si sa p p l i e d t ot h e s t u d yo f d y n a m i c s o f a c t i v eb r o w n i a n p a r t i c l e s as e r i e so fs t a t i o n a r ya n a l y t i c a ls o l u t i o n sa o b t a i n e df o rt h ef i r s tt i m ef o rt h e d y n a m i c a ls y s t e mo fb r o w n i a np a r t i c l e sw i t hr a y l e i g hf r i c t i o nm o d e la n dp a r a b o l i c p o t e n t i a lu n d e ro a n s s i a nw h i t en o i s ee x c i a t a t i o n i nt h ec a s eo f f a rf r o m e q u i l i b r i u m ， t h es t a t i o n a r ya n a l y t i c a ls o l u t i o ni n4 - d p h a s es p a c e i st w od i f f u s e dl i m i tc y c l e sw h i c h i sv e r i f i e db yc o m p a r i n gw i t hr e s u l t sf r o md i g i t a ls i m u l a t i o n a sf o rt h eo t h e rc a s e s a n ds y s t e ms t r u c t u r e s ，s u c ha s e l l i p t i c a l a n dq u a r t i c p o t e n t i a l ，p a r a m e t r i c n o i s e e x c i a t a t i o n ，s o m es a t i s f a c t o r ya n a l y t i c a l r e s u l t sa r ea l s oo b t a i n e db ys t u d y i n gt h e p a r t i c l e ss y s t e mi nd e t a i l f o rs t u d y i n gt h em o t i o no f as w a l t no fp a r t i c l e s ，s o m e c o u p l i n gm e c h a n i s mi s i n t r o d u c e db 髓w o e nt h ep a r t i c l e s o u rd i g i t a ls i m u l a t i o n v e r i f i e so t h e rs c h o l a r sj u d g e m e n tt h a tt h em a s sc e n t e ri sa tr e s ti ns t a t i o n a r yc a s e b a s e do nt h i sj u d g e m c n t , t h o s ea n a 王徊c a ls o l u t i o n so b t a i n e df o rs i n g l ep a r t i c l ea r e a p p l i e d t os w a r m s p a r t i c u l a r l y , t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no ft o t a le n e r g yi so b t a i n e da n d v e r i f i e db y d i g i t a ls i m u l a t i o n f u r t h e r m o r e ，t h ef i r s t - p a s s a g et i m eo fp a r t i c l e ss y s t e m w i t ho t h e rs t r u c t u r ei ss t u d i e d t h e s eo b t a i n e dr e s u l t sa g r e ew i 也t h o s ef r o md i g i t a l s i m u l a t i o n t h et h e o r yo fs t o c h a s t i cd y n a m i c sf o rq u a s ih a m i l t o n i a ns y s t e m si st h e b e s tt h e o r yf o rt h ei n v e s t i g a t i o no ft h ef i r s t - p a s s a g ep r o b l e mo fb r o w n i a np a r t i c l e s w i t hm u l t i - w e l lp o t e n t i a l f i n a l l y , as t o c h a s t i ca v e r a g i n gm e t h o db a s e do ng e n e r a l i z e d h a r m o n i cf u n c t i o n sh a sb e e ni n t r o d u c e da n da p p l i e dt ot h es t u d yo fd y n a m i c so f b m w n i a n p a r t i c l e s k e y w o r d s ：a c t i v eb r o w n i a np a r t i c l e s ，q u a s ih a m i l t o n i a ns y s t e m s ，g a u s s i a nw h i t e n o i s e ，s t o c h a s t i cd y n a m i c s ，s t a t i o n a r y 跚| a l 舛c a ls o l u t i o n ，v e l o c i t y - d e p e n d a n tf r i c t i o n m o d e l ，p a r a b o l i cp o t e n t i a l 2 学号 ! q 2 1 q q 生 独创性声明 y7 2 2 6 8 7 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别搬以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得堂鎏盘茔或其他教育机 构的学位或证书丽使用过的材料。与我一圊工作的同志对本研究所骰的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：砷投影卜签字目期： 。f 年r 月寥日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘鎏盘鲎有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盘釜盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编 有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用率授权书) 学位论文作者签名 霹暾水 导师签名 l 乙夹 签字日期：? 。j r 年f 胃g 日签字日期： r 年。胃髟f 1 学伊论文作者毕业后去向： 工作单位：、j 析i 工7 c 学 f 通讯地址： 2 ) 二d 2 0 y 幽”，c d m n 0 屯 。 电话： 邮编 浙江大学博士学位论文第1 章 第1 章绪论 大约在1 8 4 5 年，伟大的科学家h e l m h o l t z 和他的同事d ub o i s b e y m o n d ， b r o o k e 和l u d w i g 共同提出了“生命中的物理”的概念【l 】，这个概念提倡把物理学 应用于生物系统。这以后，他们对于生命现象并不与物理学相矛盾的陈述也得到 了b o l t z m a n n 和其他学者的详细论证。在2 0 世纪，s c b r 6 d i n g e r ，d e l b r f i c k ， b e r t a l a n f f y ，p r i g o g i n e ，e i g e n 和v o l k e n s t e i n 等学者的工作使人们对生命系统的 进化条件有了更深刻的了解圆。通过对生物学上的问题采用特殊的理论方法，并 做了适当地简化，他们的研究取得了成功。e i g e n 在给v o l k e n s t e i n 的书田作序时 写道：“许多生物学家不相信生物学能够有物理学理论的根基，他们更愿意坚 持整体性的方法而另一方面，物理学家们则并不总是欣赏那种生物学理论必 须从生物学事实开始的态度，他们经常认为生物学领域不过就是那种可以立刻把 他们的物理方程应用上去的领域雨已。”这段话表明通往物理学家与生命科学家 亲密合作的道路是充满障碍的。然而，即便如此，我们还看到了一些希望，将物 理学应用于生物系统，使我们得到了一些有用的结果，也使得我们对生物学中的 现象有了更好的理解。这其中的应用就有将随机动力学应用于研究生物体的活性 运动。 1 1 生物体的活性运动和基于粒子的模型 活性运动，也可以称为主动运动，或称为自驱动性运动，它广泛存在于生物 界的不同物种当中，从细胞 3 , 4 1 或微生物等单细胞生物，直到鸟类或鱼类i s , 6 等高 等生物都有发现。此外，人类的活动川，还有交通工具的运动酣1 都可以用活性运 动来描述。所有这些活性运动的发生都有能量的获取、消耗、储存和转化的过程。 能量的提供可以通过不同的方式，例如可以通过化学组成或资源等物质形态提 供，也可以通过高温辐射或者信号等形式提供。此外，生物体能够做活性运动并 不仅仅依赖于能量的提供，还依赖于系统内部结构间的相互作用。为了描述活性 运动的广泛概念，我们必需考虑到以下几个方面【l 习： 1 ，确定性因素的影响，例如运动主体有目的性的定向运动， 2 随机扰动，随机因素会干扰运动主体确定性的运动，可以改变它的运动方向， 3 运动主体如何获取活性运动所必需的能量， 4 能量如何在运动主体内部储存、累积和形成蓄能池， 5 储存的能量如何转化成运动的能量。 浙江大学博士学位论文 第】章 需要注意的是，当受到对流或受到外部场所驱动时，生物体也可能做被动运动 【6 4 j ，而且被动运动也可以是定向的。但与活性运动不同的是，活性运动依赖于 能量的提供，当生物体内存在着能量消耗与获取的新陈代谢活动时，活性运动才 可能发生。 研究生物体活性运动最普遍的物理方法是基于活性粒子的，许多类型的复杂 运动都采用了活性粒子模型。例如在化学领域，n o s s a l | 9 ，m i k h a i l o v ，m e i n k 6 h n o o 和s c h i m a n s k y - g e i e r i i l , 1 2 l 等研究了有化学物质介入的b r o w n 粒子模型。离散的、 基于粒子的建模方法是种非常有前途的方法，它可以用来描述生物系统中复杂 的现象。这种方法可以用于人口动力学的研究 1 4 - 16 】，也可以用于对社会性昆虫的 聚集行为的研究【1 7 l 叭，蚂蚁行走后的痕迹研究就是一个很好的例子，蚂蚁个体间 的相互作用和聚集行为得到了成功地模拟f 1 6 2 3 1 。此外，还有许多物种的活性运动 和聚集行为，例如蠕虫、幼虫或细胞等都曾用基于粒子的模型来研究 2 4 - 3 2 1 。 1 2 活性b r o w n 粒子模型 从经典物理学知道，b r o w n 运动指的是在环境媒介( 气体或液体) 中小的， 但比分子大的微小粒子做的不规则运动，这种不规则运动是由于媒介中的原子或 分子与粒子间发生碰撞而引起的，碰撞引起了粒子速度和运动方向的改变。由于 碰撞是随机发生的，这使得b r o w n 粒子运动是一种随机运动。直观上看来，b r o w n 粒子的随机运动类似于微小生物体的运动，因此，英国植物学家r o b e r tb r o w n 在1 8 2 7 年发现这种微小粒子在液体中作不规则运动时，才会误认为这些粒子是 有生命的生物个体。在二十世纪，e i n s t e i n ，s m o l u c h o w s k ，l a n g e v i n 和其他学者 阐明了b r o w n 粒子的行为可以用简单的物理模型来解释。这种无生命的粒子所 做的b r o w n 运动其实是被动运动，粒子保持了运动是因为磨擦引起的能量消耗 和环境媒介碰撞随机力提供的能量达到了平衡状态，这点在e i n s t e i n 的流动耗散 理论中有阐述。 为了研究生物体的活性运动，我们对b r o w n 粒子的非平衡态运动更感兴趣。 随着能量转化为动力能量，运动系统就离开了平衡态。这点可以通过复杂的磨擦 系数函数来实现，将磨擦系数函数设计为依赖于粒子位移与运动速度的函数，使 得磨擦可以出现负值，这样我们就可以让b r o w n 粒子具有丰富的管理能量的机 制。本质上，负磨擦起着提供能量的作用，例如在机械钟里，发条中势能就是通 过磨擦传递给运动零件，以补充结构运动所消耗的能量。另一个例子就是小提琴， 琴弓通过磨擦把能量传给了琴弦。在l o r dr a y l e i g h 的经典著作声音的理论 当中1 ，就有关于负磨擦传递能量的论述。在获取能量方面，生物体的活性运动 浙江大学博士学位论文第1 章 与具有负磨擦的b r o w n 粒子运动有很大的相似。为此，我们引入了活性b r o w n 粒子的概念【1 1 ，1 2 2 2 , 3 4 - 3 8 1 。 活性b r o w n 粒子能够从外界环境中获取能量，并以内能量的形式储存在内 部的蓄能池中，还能够把蓄能池中的内能量转化为外能量，来实现许多活动，比 如新陈代谢、加速运动、改变环境和信号响应等等活动 3 9 - 4 2 。改变环境和信号响 应都是较特殊的活动，在以前建立的一些活性b r o w n 粒子模型 1 1 , 1 2 , 2 2 , 2 司中考虑了 这两种活动，在这些模型中，活性b r o w n 粒子能够产生和自身一致的场，来影 响着粒子下一步的运动和物理的或化学的行为，这些模型被用来模拟在复杂系统 中不同模式的运动，这些复杂系统从物理系统、化学系统、直至社会系统都有 7 , 1 1 , 1 2 , 2 2 , 2 3 ，2 9 j 9 郴1 。 1 3 活性b r o w n 粒子的动力学特性 生物体的活性运动在许多物种水平上已经得到过研究 4 , 3 4 , 3 9 , 4 4 5 0 1 。活性运动 就像其名字所提示的那样，必需存在着生命的新陈代谢活动才能够发生。燃料( 食 物) 的提供和能量的消耗、储存与转化是新陈代谢的基本特点。因此，我们把活 性b r o w n 粒子作为研究生物体运动的模型，注意力主要集中于能量方面，而不 是环境改变，s t e u e m a g e l 开创了活性b r o w n 粒子能量管理机制方面的研究【3 4 l 。 通过把蓄能池作为一个额的因素加入到活性b r o w n 粒子动力学当中去【”】，粒子 变得更加复杂了，它具有了能量消耗、获取、储存和转化的功能。活性b r o w n 粒子的这些动力学特性可能类似于活性生物体的活动。研究活性b r o w n 粒子的 基本思想可以这么描述：我们究竟需要补充多少物理结构，才能达到一定的复杂 程度，使得我们对生物系统中发现的运动现象有所理解。 在活性b r o w n 粒子一般性的模型当中，蓄能池是空间依赖的，它在某些区 域可以是充满能量的( 食物区域) ，而在别的区域可以是缺乏能量的，这些区域 对粒子并没有吸引力，它只是随机地被粒子所光顾。另一方面，b r o w n 粒子的平 衡点( 巢穴) 是通过势能来模型化的，它产生的回复力驱使粒子回到它的巢穴。 给定某种在空间上局部分布的能量供给形式，就可以观察到活性b r o w n 粒子在 巢穴和食物之间的振动型运动。在这里，在食物区域获取的能量大小决定了粒子 能够再次离开巢穴多远的距离。 活性b r o w n 粒予的运动有两点是和活性生物体运动相似的： 1 ，运动主体都有消耗、获取、储存和转化能量的能力，能够将自身的内能量转 化为外部的动力能量，以维持运动， 2 运动主体处在环境的随机扰动( 噪声) 之下。 浙江大学博士学位论文第1 章 我们忽略了粒子运动时可能发生的环境改变，更关注在噪声作用下b r o w n 粒子 对能量的消耗、获取和转化的活动，然后使用l a n g e v i n 和f o k k e r - p l a n c k 方程来 描述活性b r o w n 粒子的基本动力学。通过引入位移与速度依赖的磨擦系数函数 和外部势能函数，以及环境噪声，我们就可以对b r o w n 粒子随机动力学作理论 上的分柝。考虑到b r o w n 粒子运动的随机性，粒子运动状态的概率密度函数或 分布函数才是描述粒子动力学特性的最好指标。在抛物型势能作用的情况下，我 们导出了一些粒子运动状态的概率密度函数和分布函数，并且对l a n g e v i n 方程 做了计算机模拟。解析结果和模拟结果都显示了粒子作稳态运动时极限环的存 在，以及如下几点新的动力学特性： 1 粒子作稳态运动时呈显出非平衡态弹坑形的速度分布和位移分布， 2 在四维相空间上，粒子的动力学响应表现为左旋和右旋、且互相交叉的轮胎 形的运动极限环， 3 运动过程中，在随机激励的影响下，粒子经常穿越极限环之间的分形线， 在化学系统中也有与活性b r o w n 粒子这些动力学特性类似的特点，例如在热表 面液滴的运动，或者是表面活性固体粒子的运动 1 0 , 5 1 - 5 3 1 ，此外，也与活性生物体 的运动相联系p 5 j 6 - 4 取蜘。事实上，活性b r o w n 粒子模型并不能完全模拟真实生 物体的活性运动，生物体的活性运动远比物理模型描述的机制要复杂得多。但我 们的目的并不是要刻意地模拟生物体的活性运动，而是要分析活性b r o w n 粒子 运动系统在非平衡态上的性质。我们发现了b r o w n 粒子丰富的动力学，建立了 能量管理机制，这些研究可能对建立活性生物体的运动理论以及发展理论有所帮 助。p a u la s a m u e l s o n 说：“任何理论，无论是物理学、生物学或者是社会科学 的，都会因为过予简单而偏离了现实。如果这个理论是好的，那么它虽然抛弃一 些错综复杂的事实，但是却带来了清晰的理解，被理论忽略的东西也就显得次要 了。” 1 4 活性b r o w n 粒子的群体运动 鱼类的成群运动、鸟类的聚集运动、有蹄动物的集团运动等等生物体的集体 运动也吸引了物理学家们的注意。在为生物体的集体运动建立物理模型时，关于 群体行为更深刻的生物学因素被抛弃了，主要关注点在于群体中个体之间的局部 或全局的耦合因素。为生物体的群体运动建立基于粒子的模型也是可行的，它能 通过统计物理等数学方法来进行研究。将活性b r o w n 粒子群体化，并为群体粒 子间建立耦合机制，这样我们就获得了b r o w n 粒子群体运动的模型，它既考虑 了活性运动的能量条件，又考虑到了粒子个体间的吸引力。因此，群体运动可以 浙江大学博士学位论文第1 章 体现出两种特性： 1 个体粒子的活性运动，它获取能量并作自主驱动，最终导致群体在空间上的 扩散， 2 通过耦合机制，粒子间的相互作用将导致群体在空间上的聚集趋势， 关于耦合机制，有不同的假设提出，例如假设粒子个体的运动方向耦合于群 体的平均运动方 5 6 , 5 7 1 ，或者粒子个体的位置耦合于群体的平均位置( 质量中心) 1 5 8 1 ，以及粒子个体的速度耦合于群体的平均速度 5 4 , 5 7 , 5 9 ，删。此外，还有一些局部 耦合描述了群体内生物个体间的化学通信，例如细菌的流动行为 2 8 , 6 1 , 6 2 】，蚂蚁的 定向运动 1 9 , 2 0 , 4 1 ，或者细胞的运动等等旧】。与建立活性b r o w n 粒子模型的目的一 样，我们在这里建立起活性b r o w n 粒子群体运动模型的目的也不是刻意地要为 生物系统建立模型。我们目标仅仅是通过一些讨论来扩展已知的动力学，通过给 粒子系统增加更多的复杂性，我们得到了粒子系统的动力学特性。从中可能会发 现一些与生物系统中类似的东西，这种研究方式也许可以为物理学与生物动力学 之间建立起沟通的桥梁。 1 5 拟h a m i l t o n 系统随机动力学在b r o w n 粒子研究中的应用 上世纪初，e i n s t e i n 等人对b r o w n 粒子运动的研究标志着随机动力学研究的 开端，对非线性随机动力学的研究则始于上世纪六十年代初。至上世纪九十年代 初，对非线性随机振动的研究基本上局限于拟线性系统与单自由度线性随机系 统。首次穿越问题的研究局限于单自由度随机系统。随机分岔研究始于上世纪八 十年代初，至今也基本上局限于一、二维随机系统。近十年来，朱位秋院士【6 4 】 将非线性随机动力学的研究从l a g r a n g e 体系转到h a m i l t o n 体系，将非线性随机 动力学系统表示成随机激励的耗散的h a m i l t o n 系统，根据相应h a m i l t o n 系统的 可积性与内共振性，将系统分成不可积、可积非内共振、可积内共振、部分可积 非内共振和部分可积内共振五类，提出与发展了随机激励的耗散的h a m i l t o n 系 统理论，包括g a u s s 白噪声激励下耗散的h a m i l t o n 系统的精确稳态解与等效非 线性系统法、拟h a m i l t o n 系统随机平均法、拟h a m i l t o n 随机稳定性、随机分穰、 首次穿越等理论方法，为解决多自由度强非线性系统随机动力学的问题提供了一 整套理论方法。 拟h a m i l t o n 系统随机动力学理论在活性b r o w n 粒子动力学中有着极大的应 用前景。在此之前，陷于理论研究上的困难，研究者难以得到粒子运动方程的解 析解，为了获得活性b r o w n 粒子的运动特性，很多情况下不得不借助于计算机 模拟。在拟h a m l l t o n 系统理论的框架内，前述在抛物型势能中的活性b r o w n 粒 浙江大学博士学位论文 第1 章 子运动系统成为了两自由度的线性随机动力系统，我们可以方便地得到粒子在稳 态运动下运动状态概率密度的解析解，它较为精确地描述了活性b r o w n 粒子的 运动特性。将拟h a m i l t o n 系统随机动力学应用于对b r o w n 粒子个体运动和群体 运动的研究，我们得到了如下几点很好的理论结果【6 5 州： 1 为四维相空间上交叉极限环的概率密度函数得到了稳态解析解， 2 令人满意地得到了b r o w n 粒子弹坑形的位移或速度的分布函数，且与计算机 模拟结果符合得很好， 3 单个粒子能量概率分布和角动量概率分布得到了准确的预测， 4 对于多粒子的群体运动，群体的总能量符合正态分布，得到了它的数字特征， 由于拟h a m i l t o n 系统随机动力学理论在研究多自由度、强非线性系统的随机动 力学中有着独特的优势，因此该理论为活性b r o w n 粒子动力学的进一步发展拓 宽了道路。通过应用拟h a m i l t o n 系统随机动力学，b r o w n 粒子对于能量的管理 机制可以不拘泥于速度依赖磨擦模型，外部势能的形式和所受环境噪声的激励形 式也可以多样化，概括起来，我们可以从以下几个方面来扩展活性b r o w n 粒子 随机运动学的研究： 1 可以建立起更符合实际生物体活性运动的能量管理机制，比如同时依空间和 依速度的能量消耗、获取、储存和转化机制， 2 可以建立非中心对称的外部势能形式，更重要的是，可以建立非抛物型势能 形式，从而建立强非线性运动系统， 3 可以研究活性b r o w n 粒子的首次穿越问题，对于在多势阱势能中的b r o w n 粒子动力系统，研究它的首次穿越问题有着更大的意义， 4 环境噪声的激励形式可以多样化，可以引入参激噪声和多个噪声源。 虽然我们强调研究生物系统动力学必需忽略掉一些细节，并且我们的目的并 不是刻意地要为具体的生物系统建立物理模型，但是对活性b r o w n 粒子动力学 的研究必定会为我们理解生物系统的动力学特性提供帮助。此外，生物体活性运 动的复杂性也体现在活性b r o w n 粒子动力学的复杂性上，不断地丰富活性b r o w n 粒子的结构，提高动力学的复杂性，会给我们带来更多的、新的动力学特性，这 将使我们更加深刻地理解生物动力学。随着活性b r o w n 粒子动力学的研究逐渐 复杂化，应用拟h a m i l t o n 系统随机动力学的方法将会取得更多更大的成果。 1 6 本文的工作 本文的主要工作在于将拟h a m i l t o n 系统随机动力学引入到活性b r o w n 粒子 随机动力学的研究中，并取得了一系列的研究成果。在第2 章，根据研究工作的 6 浙江大学博士学位论文第l 章 需要，有选择地简述了拟h a m i l t o n 系统随机动力学的部分思想和理论方法，在 第3 章简述了活性b r o w n 粒子随机动力学的建立过程，阐明了构成活性b r o w n 粒子运动系统的组成要素，包括复述了e b e l i n g 掣3 5 j 为活性b r o w n 粒子建立的能 量管理机制，并由此导出了e r d m a n n 速度依赖磨擦模型【3 8 】，以及将粒子置于多 种形式的势能及环境噪声的作用下等等，然后对b r o w n 粒子运动系统在确定性 情形下的运动特性做了详细地分析，以期对随后的研究有所帮助。由于在研究工 作中经常涉及计算机模拟工作，因此在第3 章也对所采用的m o n t ec a r l o 模拟方 法做了简介。第4 章至第7 章是本文完成的主要研究工作，我们应用拟h a m i l t o n 系统随机动力学方法研究了多种情形和结构下的活性b r o w n 粒子动力系统，并 对得到的结果做了详细的分析，综合说来，大致包括以下工作： 1 在g a u s s 白噪声、r a y l e i 曲磨擦模型以及在抛物型势能中的b r o w n 粒子随机 动力系统，采用内共振情形下的拟可积h a m i l t o n 系统随机平均法【】进行理论 研究，得到了关于系统稳态响应的解析解，并与数字模拟结果做比较分析 1 6 5 , 6 6 1 ， 2 对于在非中心对称的椭圆型势能中的b r o w n 粒子动力系统，采用非内共振情 形下的拟可积h a m i l t o n 系统随机平均法吲进行了研究， 3 在中心对称的四次方型势能中的b r o w n 粒子运动系统是不可积的，我们运用 拟不可积h a m i l t o n 系统随机平均法【9 3 】进行了研究，并对系统的可积性对解的 影响作了阐述， 4 考虑了一种很简单的磨擦模型，它同时依赖于位移和速度，通过对受此种模 型控制下b r o w n 粒子动力系统的研究，我们指出，具有更复杂能量管理机制 的b r o w n 粒子运动系统仍然可以应用拟h a m i l t o n 系统随机动力学方法来研 究， 5 对环境噪声的激励形式进行了扩展，引入了参激噪声，同样在应用拟h a m i l t o n 系统随机动力学方法之后，得到了描述系统响应的f o k k e r - p l a n c k 方程。 6 研究了b r o w n 粒子群体动力学，证实了在稳态运动下，群体的质心是趋近于 静止的，据此，可以把在研究单个b r o w n 粒子随机动力学中得到的结果应用 于群体情形，数字模拟结果证实了正确性【6 7 】。 7 研究了b r o w n 粒子随机动力系统的首次穿越问题，得到了反映首次穿越特性 的条件可靠性函数和首次穿越时间的条件均值函数，并由此指出拟h a m i l t o n 系统随机动力学在反应生物分子随机动力学中的可能应用。 此外，在第8 章我们还介绍了另一种基于广义谐和函数的随机平均法【76 1 ，把它作 为前述拟h a m i l t o n 系统随机平均法的补充，它适用研究受宽带随机激励的强非 浙江大学博士学位论文第l 章 线性系统，我们采用这种随机平均法重复研究了先前的b r o w n 粒子动力系统， 不同的是粒子所受的g a u s s 白噪声激励换成了宽带噪声，理论研究表明，我们也 可以为宽带噪声激励下的b r o w n 粒子随机动力系统建立一系列描述系统响应的 方程。 浙江大学博士学位论文第2 章 第2 章拟h a m i l t o n 系统随机动力学基础嗍 近十年来，朱位秋教授将非线性随机动力学的研究从l a g r a n g e 体系转到 h a m i l t o n 体系，提出与发展了拟h a m i l t o n 系统随机动力学。将非线性随机动力 学系统表示成随机激励的耗散的h a m i l t o n 系统，提出与发展了随机激励的耗散 的h a m i l t o n 系统理论，拟h a m i l t o n 系统随机平均法则是这套理论的核心，根据 相应h a m i l t o n 系统的可积性，可分为不可积随机平均法、可积随机平均法和部 分可积随机平均法。又根据相应h a m i l t o n 系统的内共振性，可分为内共振和非 内共振两种情形下的随机平均法。随机平均法是非线性随机动力学中一种十分有 效的近似方法，经过随机平均处理得到的随机平均方程较原运动方程大大简化， 往往维数少得多，而且平均后系统的响应为近似的扩散过程，可通过求解 f o k k e r - p l a n c k 方程得到系统的响应。原有的标准随机平均法【舛1 只适用于拟线性 多自由度随机系统的研究，能量包线随机平均法喁3 ，8 坷只适用于单自由度强非线性 随机系统的研究，而拟h a m i l t o n 系统随机平均法 9 2 , 9 3 , 9 5 在集中了以往所有随机平 均法的优点基础上，可以应用于多自由度、强非线性系统的研究。 2 1 从l a g r a n g e 方程到h a m i l t o n 方程 一个系统，若其运动可用一组h a m i l t o n ( 正则) 方程描述，就称它为h a m i l t o n 系统。h a m i l t o n 方程通常由l a g r a n g e 方程经l e g e n d r e 变换导得。考虑一个月自 由度理想、完整、有势的动力学系统，以q ，与或分别表示广义位移( 坐标) 与广 义速度，三= l ( q ，尊，f ) 表示l a g r a n g e 函数，g = 【g l q 2 吼r ，由h a m i l t o n 原理 j j l ( q ，玑t ) d t = 0 ( 2 1 - 1 ) 可导出如下l a g r a n g e 方程： 要要一罢：0 ，2 ，厅 ( 2 1 _ 2 ) d t8 4 j 8 q j 。：二；?。 该方程之解在几何上为疗维位形空间中的轨线，通过该空间中任一点，可有无穷 多条轨线，因而在理论研究中很不方便。可以将广义位移与广义速度组成状态矢 量，将l a g r a n g e 方程化为状态方程，以克服上述不便，但更方便的做法是引入广 义动量，将l a g r a n g e 方程化为以广义位移与广义动量为基本变量的h a m i l t o n 方 程。 ，。义动量定义为 浙江大学博士学位论文第2 章 p ：等，注1 一，2 ，, ( 21 3 ) 2 i ，z = ，厶一，-u j 式( 2 1 - 3 ) 称为由l a g r a n g e 函数工生成的l e g e n d r e 变换。设三对牙。的h e s s e 式不为 零，即 、 a e t i 高卜 h ， l d 当西，i 、7 则式( 2 1 3 ) 为非奇异变换，可逆，其逆变换也是l e g e n d r e 变换。据l e g e n d r e 变 换的逆变换定理，式( 2 1 - 3 ) 之逆变换的生成函数为 宝一h 。= 日( 譬，p ，f ) ( 2 1 - 5 ) 式中重复下标表示求和，下同，p = 嘛p 2 a r 。而逆交换为 或：婴，扛1 加m ( 2 1 - 6 ) 吼2 面_ 1 弦川 同时，正逆变换的生成函数上与h 之间有如下关系式： 婴：一罢，i ：1 2 ( 2 1 - 7 ) 8 q t8 q i ： 一： j4 由式( 2 1 2 ) 、( 2 1 3 ) 及( 2 1 7 ) 可得 豇：一掣，渊川2 ，挖 ( 2 1 8 )a 2 一i 一，1 2 l ，挖 t i 。 组合式( 2 1 6 ) 与( 2 t 一8 ) 就得到以g f ，只为基本变量的h m r t i l t o n 方程 口，：百o h ，直：一百o h ，江l ，2 ，n ( 2 1 9 ) 。，2 面a 一面芦1 ，2 ，m m 9 ) 该方程与l a g r a n g e 方程( 2 1 - 2 ) 等价。吼，a 称为正则( 状态) 变量，由它们组成 的状态空间称为系统的相空间，日( 吼p ，f ) 称为h a m i l t o n 函数。 2 2p o i s s o n 括号 设f = f ( q ，p ，f ) 与g = g ( p ，覃，0 为定义在相空间中的两个任意连续可微的 动力学量，f 与g 的p o i s s o n 括号是另一个动力学量，它定义为 f ，g 】= 嚣嚣一普署 山 不难验证，p o i s s o n 括号具有如下重要性质： 1 反对称性 1 0 浙江大学博士学位论文 第2 章 【f ，g 】_ _ 【g ，川( 2 2 2 ) 2 双线性 【a f + b g ，k 】= a y ，k 】+ 6 g ，k 】( 2 2 3 ) 式中k = r ( q ，p ，t ) 为另一个连续可微动力学量，a 、b 为常数； 3 l e i b n i t z 法则 f g ，k = f g ，k 】+ g 【f ，世】( 2 2 4 ) 4 j a e o b i 恒等式 【f ，【g ，k 】+ 【g ，【k ，f 】+ 量， f ，g = o ( 2 2 5 ) 5 非退化性若z = 由tp 7 r 不是f 的临界点，即1 ) f ( z ) 0 ，则存在连续可微 函数g ，使【f ，g 】( z ) t 0 。换言之，若f 使得 f ，g 】- o 对一切连续可微函数g 都 成立，则，必是运动常数，即在h a m i l t o n 系统的整个运动过程中f 保持守恒。 利用p o i s s o n 括号，h a m i l t o n 方程( 2 1 - 9 ) 可改写成 或= 【日，g j 】，a = 【日p 1 1 ，f - 1 ，2 ，甩 ( 22 6 ) 利用h a m i l t o n 方程( 2 1 - 9 ) ，任一动力学量f ( q ，p ，t ) 的时间变化率可用p o i s s o n 括 号简洁地表示为 d 出f = 胃，f + o f ( 2 2 - 7 )出 。 所 7 若d f d t = 0 ，则称f 为首次积分。若f 不显含t ，则有 i d f ：阻f ( 2 2 8 ) 出 71一 对自治h a m i l t o n 系统，若f 为运动常数( 首次积分) ，则有 日，f j _ 0 ( 2 2 - 9 ) 式( 2 2 9 ) 可作为自治h a m i l t o n 系统中f 为运动常数或首次积分的定义。对自治的 h a m i l t o n 系统，日不显含t ，有 1 日，h 户0 ( 2 2 - 1 0 ) 这意味着自治h a m i l t o n 系统的总机械能守恒，相应的h a m i l t o n 系统常称为保守 系统。 若f 与g 同为一个自治h a m i l t o n 系统的运动常数( 首次积分) ，即它们分别 满足式( 2 2 + 9 ) ，则可用j a c o b i 恒等式( 2 2 5 ) i i e n 【f ，g 卜常数( 2 2 11 ) 浙江大学博士学位论文 第2 章 可知，由两个运动常数构成的p o i s s o n 括号也是运动常数，此称为p o i s s o n 定理。 据此，可从已知运动常数获得新的运动常数。但是，这样得到的运动积分可能有 意义，也可能没有意义。若 f ，g 】_ 0 、 ( 2 2 1 2 ) 则称运动积分f 与g 对合。令f 与g 分别为吼与b ，则有 k 。，q j 】= 0 ， p ，n 】= 0 ，【q ，乃】= 一屯 ( 2 。2 - 1 3 ) 从现代观点看来，p o i s s o n 括号奠定了h a m i l t o n 提法的基础。例如，可用广 义p o i s s o n 括号直接定义广义h a m i l t o n 系统。 2 3h a m i l t o n 系统的可积性与内共振性 一个一( 2 ) 自由度h a m i l t o n 系统，如果不存在与h a m i l t o n 函数日独立、对 合的首次积分，就称它为( 完全) 不可积h a m i l t o n 系统；如果存在九个独立的、 两两对合的首次积分e ( i = 1 ，2 ，功，就称它为( 完全) 可积h a m i l t o n 系统。这 里所说的首次积分只独立，是指d e 线性无关；所谓两两对合，就是任意两个f 的p o i s s o n 括号为零，即 峨，e 】- o ，f ，j = 1 ，2 ，以( 2 3 i ) 式中 ，】表示p o i s s o n 括号；若对于三个与三个以上自由度h a m i l t o n 系统中，独 立对合的首次积分数大于l 而小于系统的自由度数，则称这种h a m i l t o n 系统为 部分可积的h a m i l t o n 系统。近百年来，许多学者曾致力于有效的可积性准则， 然而迄今仍无一般的方法，但也发展了不少方法，如h j 法、l a x 对法、p a i r d e v 6 奇性分析法和p o i n c a r d 截面，等等 6 4 1 。 完全可积的h a m i l t o n 系统的另一个定义可表述如下。考虑一个 自由度 h a m i l t o n 系统，它由以下h a m i l t o n 方程表示 或= 等，矗一鬻，江l ，2 m ( 2 3 - 2 )吼2 雨只一面p 1 ，乙川_ 这里吼和p f 是相应的广义位移和广义动量；h = h ( q ，力是连续一阶可导的 h a m i l t o n 函数。若存在如下的正则变换 上= ( 叮，p ) ，6 ：= q ( g ，p ) ， f = 1 ，2 ，- ，h ( 2 3 3 ) 使得新的h a m i l t o n 方程具有如下正则形式 t = 一嘉日( ，) = o ，谚= 矗日( j ) = q ( i ) j = 1 ，2 ，即( 2 3 4 ) 濒江大学博士学位论文 第2 耄 上式中j ，岛及国，分别为作用量、角变量及频率，h ( t ) 为新的h a n d i t o n 函数，它 与角变量只无关，就称( 2 3 - 2 ) 为完全可积h a m i l t o n 系统。此时，由方程( 2 3 - 4 ) 积 分可得 = z ，( o ) ，谚= 。( r ) f + 磊，i = l ，2 ，n 、( 2 , 3 5 ) 其中磊是任意常数。和4 构成了2 行个积分常数，于是可以作为n 个特殊的独 立的运动积分，它满足如下的方程： ，1 j = 0 ， f ，j = l ，2 ，雅( 2 3 - 6 ) 对于 自由度可积h a m i l t o n 系统，若国，满足非内共振条件 t q 0 ，i = 1 , 2 ，聆( 2 3 7 ) 称对应h a m i l t o n 系统为非内共振的。若n 个频率满足的关系 群o g j = 0 ，“= 1 ，口， f = 1 ，力( 2 3 8 ) 则称( 2 3 8 ) 为内共振关系，掣为整数，? 旧f 称为内共振阶数。对 自由度可积 h a m i l t o n 系统，最多可有以一1 个内共振