矩阵的特征值与特征向量.ppt

第五章矩阵的特征值与特征向量,在经济理论及其应用中常要求一个方阵的特征值和特征向量的问题数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题也都要用到特征值的理论,2,引言,纯量阵lE与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An=An(lEn)=lAn矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)Ax=lx?例：,一特征值与特征向量定义:,非零列向量X称为A的对应于特征值的特征向量,定义6设A是n阶矩阵如果对于数，存在n维非零列向量X,使,AXX成立,则称为方阵A的一个特征值,第一节矩阵的特征值与特征向量p117,AXX,如何求特征值和特征向量?,即,齐次方程有非0解,齐次方程有非0解的充要条件是系数行列式为0,即|IA|0,(2)|IA|0称为方阵A的特征方程,二特征多项式与特征方程,定义设A为n阶方阵,(1)f()|IA|称为方阵A的特征多项式,即,即,(3)方阵A的特征值就是特征方程|IA|0的根,所以方阵A的特征值也称为方阵A的特征根,齐次线性方程组,的每一个非零解向量，都是方阵A的对应于特征值的特征向量,所以方阵A对应于每一个不同特征值的特征向量都有无穷多个,三特征向量,定理1如果非零向量X为矩阵A对应于特征值的特征向量,则CX(C0为任意常数）也是A对应于特征值的特征向量,定理2如果X1，X2为矩阵A对应于特征值的特征向量，,且X1+X20，则X1+X2也是A对应于特征值的特征向量，,即:矩阵A对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍然为A对应于特征向量(不能为0),综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如下:,第一步计算矩阵A特征多项式|IA|;,第二步求出矩阵A的特征方程|IA|=0的全部根,即求得A的全部特征值1，1，-n，(其中可能有重根）,第三步对于A的每个特征值i,求出对应的齐次线性方程组（iIA）X=0的一个基础解系.,矩阵A对应于特征值i的全部特征向量为,例1求矩阵的特征值和特征向量,解,(1)A的特征方程为,所以A的特征值为142-2,(2)当14时,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值14的全体特征向量为,例1求矩阵的特征值和特征向量,解,(3)当2-2时,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值2-2的全体特征向量为,例2求矩阵的特征值和特征向量,解,(1)A的特征方程为,所以A的特征值为1224,(2)当12时,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值12的全体特征向量为,例2求矩阵的特征值和特征向量,解,(3)当24时,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值24的全体特征向量为,例3求矩阵的特征值和特征向量,解,(1)A的特征方程为,所以A的特征值为124，32,例3求矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征值为1=2=432,(2)当12=4,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值12=4的全体特征向量为,例3求矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征值为1=2=432,(3)当3=2,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值32的全体特征向量为,例4求矩阵的特征值和特征向量,解,(1)A的特征方程为,所以A的特征值为1=2=132,2019/12/12,16,可编辑,例4求矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征值为1=2=132,(2)当12=1,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值12=1的全体特征向量为,例4求矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征值为1=2=132,(3)当32,其基础解系可取为,则矩阵A对应于特征值3=2的全体特征向量为,在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,ln，则l1+l2+ln=a11+a22+annl1l2ln=|A|（利用根与系数的关系可证，证明不要求。但性质本身需牢固掌握）,四特征值与特征向量的性质,例5设是方阵A的特征值证明(1)2是A2的特征值,证明,因为是A的特征值,故有X0,使AXX,于是,(1)A2X,2X,(AX),A(X),A(AX),所以2是A2的特征值,因为X0知0,有XA1X,由AXX,(2)当A可逆时,(2)当A可逆时,是的特征值,是的特征值,例5：设l是方阵A的特征值，证明(1)l2是A2的特征值；(2)当A可逆时，1/l是A1的特征值结论：若非零向量p是A对应于特征值l的特征向量，则l2是A2的特征值，对应的特征向量也是plk是Ak的特征值，对应的特征向量也是p当A可逆时，1/l是A1的特征值，对应的特征向量仍然是p,一般地，令,则,例6：设3阶方阵A的特征值为1,1,2，求A*+3A2E的特征值解：A*+3A2E=|A|A1+3A2E=2A1+3A2E=j(A)其中|A|=1(1)2=2从而A*+3A2E的特征值分别为,例7主对角线上的元素为1，2-n的n阶对角矩阵或三角形矩阵A的n个特征值就是其主对角线上的n个元素1，2-n,定理4n阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值,证明,转置矩阵AT的特征多项式为,即方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式,所以方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值,例8证明:方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一个特征值为0,证明,必要性,则,如果A为奇异阵,所以A有一个特征值为0,充分性,如果A有一个特征值为0，对应的特征向量为X,则,有非0解,所以|A|=0,定理3n阶方阵A可逆的充要条件是A的每一个特征值均不为0,p120定理2设12m(mn)是n阶方阵A的m个互不同特征值X1X2Xm分别是A对应于12m的特征向量则X1X2Xm线性无关,A(k1X1k2X2ksXs)0,证明,设有常数k1k2ks,1k1X12k2X2sksXs0,用数学归纳法,m=1时X10显然成立,使k1X1k2X2ksXs0,设m=s-1时X1X2Xs-1线性无关,现证明m=s时X1X2Xs线性无关,k1X1k2X2ksXs0,sk1X1sk2X2sksXs0,1k1X12k2X2sksXs0,两边同乘s,两式相减,(s-1)k1X1(s-2)k2X2(s-s-1)ks-1Xs-10,所以X1X2Xs线性无关,由设m=s-1时X1X2Xs-1线性无关,由数学归纳法知,对任意正整数m,结论成立,p121例10设1和2是矩阵A的两个不同的特征值对应的特征向量依次为X1和X2证明X1X2不是A的特征向量,用反证法假设X1X2是A的特征向量则应存在数使A(X1X2)(X1X2)于是,证明,按题设有AX11X1AX22X2故,A(X1X2)1X12X2,即(1)X1(2)X20,(X1X2)AX1AX21X12X2,因此X1X2不是A的特征向量,与题设12矛盾,即12,120,故由上式得,因为X1X2线性无关,定理6设12m是方阵A的m个互不同特征值,为1的r1个线性无关特征向量,为2的r2个线性无关特征向量,为m的rm个线性无关特征向量,则向量组,共r1+r2+rm个,线性无关,例3求矩阵的特征值和特征向量,解,(1)A的特征方程为,所以A的特征值为124，32,(2)当12=4,其基础解系可取为,(3)