（应用数学专业论文）非线性微分方程的解及其应用(1).pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 非线性微分方程的解及其应用 摘要 非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，它能够清楚的解释自 然界中很多自然现象，因而受到了越来越多的数学家与数学工作者的关注其 中，非线性初值与边值问题来源于应用数学和物理的多个分支，是目前分析数 学中研究最为活跃的领域之一本文利用锥理论，不动点定理，不动点指数方 法，上下解方法等研究了几类积微分方程奇异边值问题解的情况，获得了一些 新的结果 根据内容本文分为以下四章t 第一章第一章是本文的绪论部分主要介绍了本文的研究课题 第二章本文允许h ( t ) 在t = 0 和= 1 奇异，利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定 理和l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理。得到了二阶三点边值问题多个正解的存在 性结果 第三章本文允许 ( t ) 在= 0 和t = 1 奇异，在与相应的线性算子第一特 征值有关的条件下，利用不动点指数方法，获得了次线性脉冲s t u r m l l o u v i l l e 边值问题正解的存在性结果 第四章本文在不要求，连续的前提下，利用较为宽松的条件研究了b a n a e h 空间中非线性混合型微分积分方程初值问题解的存在唯一性以及解的迭代逼 近，改进和推广了最近的一些结果，并有新的应用 关键词；边值问题；脉冲；正解；初值问题；迭代 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o r d e r na n a l y s i s m a t h e m a t i c s i tc a ne x p l a i nal o to fn a t u r a lp h e n o m e n ac l e a r l y , s om o r ea n d m o r em a t h e m a t i c a n sa n dm a t h e m a t i c a lr e s e a r c h e r sa r ed e v o t i n gt h e i rt i m e t oi t a m o n gt h e m ，t h en o n l i n e a ri n i t i a lv a l u ep r o b l e ma n db o u n d a r yv a l u e p r o b l e mc o m e sf r o mal o to fb r a n c h e so fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s i t i sa tp r e s e n to n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d st h a ti ss t u d i e di na n m y s em a t h e - m a t i c s t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y st h ec o n et h e o r y , f i x e dp o i n tt h e o r y ，f i x e d p o i n ti n d e xm e t h o r da n du p p e ra n dl o w e rm e t h o r da n ds oo n ，t oi n v e s t i g a t e t h e ；x l s t e n c eo fs o l u t i o n st oi n i t i a lv a l u ep r o b l e ma n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o fs e v e r a lk i n d so fn o n l i n e a rs y s t e m so fd i 稚r e n t i a le q u a t i o n s t h eo b t a i n e d r e s u l t sa r ee i t h e rn e wo ri n t r i n s i c a l l yg e n e r a l i z ea n di m p r o v et h ep r e v i o u st e l - e v a n to n e su n d e rw e a k e rc o n d i t i o n s t h et h e s i si sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，i ti st h ei n t r o d u c t i o no ft h i sp a p e r ，w h i c hi n t r o d u c e st h e m a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，a l l o w i n gh ( t ) i ss i n g u l a ra tt = oa n dt = l ，t h ee x i s t e n c eo f m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fs e c o n d o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m si sa t t a i n e d t h ee x i s t e n c er e s u l t sa r eg i v e nb yu s i n gk r a s n o s e l s k i if i x e d p o i n tt h e o r e ma n dl e g g e t t w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e m i nc h a p t e r3 ，a l l o w i n gh ( t ) i ss i n g u l a ra tt = oa n dt = l ，t h ee x i s t e n c e o fp o s i t i v es o l u t i o n so fs u b l i n e a ri m p u l s i v es t u r m l i o u v i l l eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m si sa t t a i n e d t h ee x i s t e n c er e s u l t sa r eg i v e nb ym e a n so ft h ef i x e dp o i n t i n d e xu n d e rs o m ec o n d i t i o n sc o n c e r n i n gt h ef i r s te t g e n v a t n e sc o r r e s p o n d i n gt o t h er e l e v a n tl i n e a ro p e r a t o r ， i nc h a p t e r4 ，i nt h i sp a p e r ，t h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mo ft h en o n l i n e a r i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e si si n v e s t i g a t e du n d e rt h ec o n d i - 曲阜师范大学硕士学位论文 t i o nw e a k e rt h a nt h ec o n t i n u i t yo ff t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sa n di t e r a t i v e a p p r o x i m a t i o no fs o l u t i o nf o rt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mi sa b t a l n e d t h er e s u l t s p r e s e n t e dh e r en o to n l yi m p r o v ea n de x t e n dm a n yr e s u l t s ，b u ta l s oa p p l yt o o t h e ra s p e c t s k e yw o r d s ：b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ；i m p u l s i v e ；p o s i t i v e s o l u t i o n ；i n i t i a l v a l u ep r o b l e m ，i t e r a t i v et h e c h m q u e 第一章绪论 1 1 引言 近年来，分析学研究对象和方法的发展，表明泛函分析的地位日益重要在 科学技术进步中，要求分析和控制客观对象的数学能力向着富有全局性的高。 精水平发展从而使非线性泛函分析的成果不断积累，逐渐促成了分析数学内 新分之学科的诞生无论如何，在无穷维空间框架中处理分析学的线性及非线 性问题的方式有着无穷的潜力进数十年的成就，以充足理由要求人们接受非 线性泛函分析这一重要的分支学科非线性泛函分析的内容可追溯到二三十年 代，现今大体上公认的几个方面，如变分学及变分方法的成就就丛泛函分析开 始成为学科就起着作用拓扑学方法及其成就，不动点及拓扑度理论，乃至解 析方法大致也是如此 1 2 微分方程边值问题的研究 目前，在这方面的专题文章很多：两点边值问题，三点边值问题，四点边 值问题，1 t i 点边值问题( 一阶，二阶等) 等等多点边值问题在弹性稳定性理 论当中有着广泛的应用它的研究始于i l i n 和m o i s e e v ，此后，c u p t a 等人相 继就解的存在性建立了一些结果近年来，诸多文献大都是利用非线性项f 满 足某种条件( 例如，次线性或超线性，关于某一变元单调，满足某种增性条件 等) 的情况下，从而借助g r e e n 函数的一些性质给出各种边值问题正解的存在 性，唯一性，多解性我们可将非线性项f 推广到更加一般的形式给予研究， 甚至可以将方程推广到方程组的边值问题上去研究 1 3 脉冲微分方程的研究 脉冲微分方程描述了自然界及工程领域一类在某些特定时刻突变的过程 由于其在控制论，人口理论，传染病等问题中有着深刻的背景。近年来得到系 统的研究尤其是在一阶，二阶混合型脉冲积分一微分方程初值问题解的存在 第一章序论 性上，许多的作者都得到了很深刻的结果许多作者进步改进和推广前面的 比较定理，获得了一些新的结论 2 第二章奇异二阶三点边值问题的多重正解 2 1 引言 以o ) ，扫o ) ) _ 0 0 “， ( 2 “) l 让( o ) = 0 ，a u ( o ) = t ( 1 ) 其中0 ，7 0 ，a t 0 ( 凰) 詹g c t ，t ) h ( t ) d t + 2 2 预备知识 令e = c o ，1 】，e 中定义范数i i i i 为i l u l l = s u pi 札( t ) t e o ，1 1 3 第二章奇异二阶三点边值问题的多重正解 引理2 2 1 假设! ，c o ，1 】，则方程 搿掣蒜t 搿e ) 仁2 m 的解等价于下述积分方程 u ( t ) = g ( t ，s ) y ( s ) d s + a t ( 2 2 2 ) 其中 g ( 抽卜【t 。( ( 1 。- 一s ) ，, 。o 三 t 。三 s 。三 。l a = 两o t 上1 g ( ) 掣( s ) d s 令q ( t ) = m i n t ，1 一t ，由( 2 2 3 ) 式，有 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) c ( 8 ，8 ) g ( t ，8 ) q ( t ) g ( s ，s ) 0 ，t 【0 ，1 】( 2 2 5 ) 取6 ( 0 ，；) ，使得幻( 6 ，1 6 ) ，再令1 = m m q ( t ) l t 慨1 一司) 引理2 2 2 令y c o ，1 】且y20 ，则方程( 2 2 1 ) 的唯一解满足 u ( t ) ，y l l u l l ，t 【d ，1 一川 2 3主要结果 定义 ( t u ) ( t ) = l g ( 以s ) ( s ) ，( u ( s ) ) d s + l a t n 7 7 ，f 。lg ( ”，s ) ( s ) ，( u ( s ) ) d s ( 2 3 1 ) _ p = t 工e i u o ，蜓r a 呸i l n 一6u ( 。) 一y i | u i i ( 2 3 2 ) 显然，二阶三点边值问题( 2 1 1 ) 的解等价于算子t 有不动点 4 曲阜师范大学硕士学位论文 罡埋2 3 11 发议【h t j 一【爿3 ) 褥足，则 ( i ) t ( p ) cp ， ( i i ) t 为全连续算子 证明( i ) 由0 叩 飞m 螂i n jq ( 。) 【j o g ( ) ( s ) 伽( s ) ) 如 + 南z ig ( ) ) m ( 圳d s 7 o 1 g ( s 啪m ( s ) ) 如+ r 南z 1g ( ) 忡) m ) 叫 由匕式及f 2 3 3 1 式可得 阳m i l n d ( t u ) ( t ) f l l t u l 因此，t u p 从而，t ( p ) cp 5 笠三童鸯异二阶三点边值问题的多重正解 ( i i ) v u p ，有 ( t u m ) = i g j 0啪( s ) ，( 缸( 圳d s + r j 厂0 1g ( ) 蜘) m ( 枷d 8 i 一“ ( 峋m 剑a x 圳m ，) l ( 1 蛳汕+ 击石小 s ，叫 - ! - - ：5 ：( 。s m ，；a i x l 。l i ，( ) ) z 1g ( s ，s ) ( s ) d s 对n 2 为自然数) ，令 h n ( t ) 0 t ! 一 一n 1 n 一1 一 t nn 坠尘 t 1 n 一一 ( 瓦u ) ( t ) = f 0 1g ( t ，s ) 。( s ) ，( ( s ) ) 幽+ i 兰：lgj0j o ( 仉s ) k ( s ) ，( u ( s ) ) 如( 瓦u ) ( t ) =t ，s ) 。( s ) ，( ( s ) ) 幽+ f = 毛( 仉s ) k ( s ) ，( u ( s ) ) 如 1 一“7 7 显然，死：p p 全连续 6 吼孚 0 幻h 一 k且 并 续连+ 0_lok是 于设 曲阜师范大学硕士学位论文 田积分网党珂建瑛任，喟 。一l i r a 。l i t ( u ) 一t ( 训i = 。1 i m 。蚝s u 【0 l p 】m 1 g ( t ，s ) i _ i l ，l ( s ) 一 ( s ) l ，( t ( 8 ) ) d s + f a tf 0 1g ( ) ( s ) 一郴) l ，( u ) 叫+ f( 叩，5 ( 8 ) 一i l ( 8 ) l m ( 8 ) 灿i 等(。蛾supl) 。魄z 1 蛳) 一 一口刀、n ( t ，( 一l 。、一，n = ；k ，n r r 7 l 危。( s ) 一h ( s ) l d s =埠(蚴su剑p1训m ) ) 。小) g ( s ，曲 一。卵、n 0 ，使得t 【o ，c 】，( u ) 0 , - 1 c ， 则二阶三点边值问题( 2 1 1 ) 至少存在两个正解u l ，u 2 ，满足0 i l u l l l c i | 让2 证明第一步，e hj o = 0 0 ，选取c l ( 0 ，c ) ，使得对任意0 “ 0 ，满足 矾7 6 1 作c l * = m a x 2 c ，c 2 n ，f z c a * = t c o ，1 】u l i c l 则对u p ，l i t f | = c l * ，有 。嬲nu ( t ) ，y l l u l l c 2 j t 1 - 6 8 厂厶禹 曲阜师范大学硕士学位论文 于是， t u ( t o ) = z 1g ，s ) ( s ) ，( u ( s ) ) 幽+ r 竺z 1 0 g ( 叮，s ) ( s ) ，( u ( s ) ) 幽 j 0- 一u ，j ，l fg ( t o ，s ) h ( s ) f ( u ( s ) ) d s f l - 6 g ( t o ，s ) ( s ) 舰u ( s ) d s 2m l ，y b l l u i j l u l l 所以， l l t u i l 0 乱| i ，v u pna q 。，。( 2 3 5 ) 第三步，作集合吼= c o ，l 川i 0 c ) 对任意让p l l 钍8 = c ，有 ) = z 1 g ( t , s ) h + 禹l gtu(ts ) h ( s ) f ( u ( s ) ) d s s ) h ( s ) f ( u ( s ) ) d s 00 ) = g (+ 戋( 町， j一u | l ：a - l c ( o l c ( s ，s ) s + 若面z 1 g 蝴) d s ) 即 i | t u l l i l u l l ，v u pna q 。( 2 3 6 ) 由( 2 3 4 ) ( 2 3 6 ) 式及定理2 3 2 知，r 有不动点t l pn ( 砭q 。) 和不动 点t 2 p n ( q 。q 。) 因此，二阶三点边值问题( 2 1 1 ) 至少存在两个正解_ l ，钍2 ，满足0 1 t u l lj c 0 ，使得对札h d ，司，有f ( u ) b - l d ， 则二阶三点边值问题( 2 1 1 ) 至少存在两个正解u 1 ，u 2 ，满足0 l i 让1 0 d i i 札z m 9 第二章奇异二阶三点边值问题的多重正解 证明第一步，由于，0 = 0 ，存在d l ，0 d i d ，使得对任意0 0 ，满足e l a 1 作d l * = m a x 2 d ，d 2 ，y ) ，q 血+ = u c o ，1 】| 让l l d 1 ，则对u p ，l = d l ，有 j 裂1 1 3 一6 缸( t ) ，y 27 d l d 2 于是 t 札= f og s ) ) m ) d s + r z 1 g ( ) m ) 伽( s ) ) d s z 1g ( s ，s ) ( s ) ，( u ( s ) ) 幽+ r 当面z l a ( 7 7 ，s ) ( s ) ，( u ( s ) ) d s e l a l l u l i 忆“ 即 i i t u l l i i u l l ， v u 尸n a q d 。( 2 3 8 ) 第三步，作集合q d = u c i o ，l 】川u 0 d ) ，对任意“p l l 0 = d ，有 。卿n 缸( t ) ，y = 7 d d t 1 - - 6 ” 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 于是 = 0 1 g ( 。， + r 耐o 0 1 g(tu(to)c ( ts ) h ( s ) l ( u ( s ) ) d s 叩，s ) h ( s ) f ( u ( s ) ) d s 0 j 0 = o ，+ _叩， - r l g ( t o ，s ) h ( s ) ( u o ) ) d s r 1 - 6 g ( t o ，s ) h ( s ) d b 。1 d s = d = i l u l l 所以 i i t u l i i l u l l ，v u pna q d ( 2 3 9 ) 根据( 2 3 7 ) 一( 23 9 ) 式及定理2 3 2 知，t 必有不动点札l pn ( _ d q d ，) 和 不动点7 2 尸n ( q d ，。q d ) 因此，二阶三点边值问题( 2 1 1 ) 至少存在两个正解u l ，u 2 ，满足0 t i i d i l u 2 1 1 令e 为实数空间，p 为e 中的锥p ：p - - - - 【0 ，+ o 。) 是一个非负连续 凹函数，如果p 满足下列两个条件： ( 1 ) 卢连续， ( 1 i ) p ( t x + ( 1 一t ) y ) 2t 口( z ) + ( 1 一t ) 卢( ) ，v x ，y p t 0 ，l 】 p ，7 , 为两实数，0 p n ，卢是尸上的非负连续凹函数定义凸集 b = 茹p l l l z l i p ) p ( 卢，p ，n ) = z p i p 卢( z ) ，i i = 1 i n 定理2 3 5t ：_ l 斗_ l 是全连续算子，卢是p 上的非负连续凹函数 对任意z _ l ，有卢( z ) l i = 1 1 假设存在0 g p ， ( i i ) 如果i i x l i g ，有i i t = i i g ， 第二章奇异二阶三点边值问题的多重正解 ( i i i ) v x p ( b ，p ，f ) ，l l t z 0 n ，有卢( t z ) p ， 则t 至少存在三个不动点x l ，- t 2 ，z 3 ，并且l i $ l 玑p 儡，( x 3 ) p 定理2 3 6 假设( 甄) 一( 风) 成立，存在p ，g ，0 g p ，使得 伽) 导， 地【0 ，乩 v u 协，p 川 ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) 这里 拈卸m a ，x 。l 掣l g 啪) d s f l - 6 k = m i n ， a ( t ，s ) h ( s ) d s a s t sz 一6 j 6 下面两个条件之一成立： ( 凰) l i r a 。一。掣 p 7 ，若让【0 ，f 】，那么有，( 牡) 专 则二阶三点边值问题( 2 1 1 ) 至少存在三个正解u 1 ，“2 ，u 3 ，满足i l u l t o ，盯 m 曲阜师范大学硕士学位论文 令e = m a x u o ，卅( - ) ，从而对任意u 【0 ，+ o o l ，( u ) o u + e 取l m a x i 、。一，v 。，p , y 如果u 一l ，则 凡m a x l 山f lg s ) 婚) m ( 枷d s + 芒面z 1 g ( ) m ) m ( 枷d s ( t + 南) 黼z 1 ，s ) m ) 州盯i i i i + e ) = 吲m a x ，掣f f g ( 抽嘶m ) = q ( c r f + e ) z 即 i i t u l l 1 ( 2 3 1 2 ) 第二步，证明若存在正数r ，使得对任意t 【o ，r 】，有，( u ) p ) 妒，并且对任意u p ( 卢，p ，p ，y ) ， 都有卢( t u ) p 事实上，取z ( ) = 笋 p ，故z u p ( 卢，p ，p 7 ) i 卢( 札) 第二章奇异二阶三点边值问题的多重正解 p 进而，对t 尸( ，p ，p 7 j ，有( 让) p 于是 p ，y 1 1 t 1 1 j 。r a 。i l n jt ( t ) = 卢( t ) p 由( 2 3 1 1 ) 式，有 卵u ) = 艘m 弘i n 。 o ig ( m i n j o 和) ) m ( s ) ) 如+ r z 1 ，啪伽( s ) ) d s 】 卢( t u ) 2 艘 p 根据 c ( t ，8 ) q ( t ) g ( s ，s ) ，q c t ) t 一方面有 即u ) = 艘m 小i n 。o g ( 抽) 吣) m ( s ) ) 幽+ r 0 1 。g ( ) 忡) m ) d s 一 蜓m t s i l n 一6 【口( t j o g ( s ，8 ) ( 8 ) ，( u ( 8 ) ) d 8 + 若丽z 1 删( u ( s ) ) d s 】 = 7 o c ( s is ) ) m ( s ) ) d s + 南z 1g ( ) 吣) ，( u ( s ) ) d s 另一方面有 恻i o g “啪伽( s ) ) d s + i _ 南z 1g ( 町i s ) 吣) m ( s ) ) d 7 ( 2 3 1 5 ) 由( 2 3 1 4 ) 式和( 2 3 1 5 ) 式，有 卢( t u ) l i t u i i ，y = p = p 综上可知，定理2 3 5 的全部条件均已满足取口= ：，所以，算子t 至少有 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 笼意蒙0 1 ) 协3 朋， 其中，h c ( 【o ，1 ) ，【o ，+ o o ) ) ，3 x o ( o ，1 ) ，使得h ( x o ) 0 ，f 2c ( t ，t ) ( t ) 0 1im+掣=lim丽1u-+0 u - - - - + 0 + i n 砘 + 让j3 l 。掣州。- - - m - 4 0 0 南一o - o 。札i i n 2 i ( i l ) 取；1 d 南，当札【7 d ，d 】时，有 m ) = 南禹南= 而7 d 玎1 d 1 5 第三章次线性脉冲s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题的正解 3 1 引言 本文考虑如下脉冲s t u r m l i o u v i l l e 方程边值问题 l 一( l 暂) ( t ) = ( t ) ，( 爹( ) ) ，0 t 1 ，t t 1 ， 衄k h 一妇。l ( 3 ) l y l b 。= ( 可( t i ) ) ， ir 1 b ) = n l 可( o ) 一所( o ) = 0 ，r 2 ( y ) = a 2 y ( 1 ) + 岛( 1 ) = 0 ， 其中( l y ) ( t ) = ( p ( t ) y ( t ) ) ，i ：r 尉笙续，n ：r ( - - 0 0 ，o 】连续，并且允 许 ( t ) 在t = 0 和t = 1 奇异 脉冲微分方程描述了自然界及工程领域一类在某些特定时刻突变的过程 近年来，得到了系统的研究见文【1 1 1 5 】徐西安在文【1 1 】中讨论了脉冲跳跃 项为线性时的情形，文【1 1 】的方程如下 iy ”+ f ( t ，可) = 0 ，0 t 1 ，t t l ， 衄“_ f l ：。叫o a ( 3 1 2 ) i y l b i = - a 2 y ( t 1 ) ， 【( o ) = ( 1 ) = 0 其中a l20 ，a 2 0 最近， e u nk y o u n gl e e 1 2 1 等人研究了如下方程 i 矿( t ) + a h ( t ) l ( y ( t ) ) = 0 ，0 t 0 ，q 。20 ，反0 ，q ；+ 群0 “= 1 ，2 ) ( 314 ) 一( l 妙) ( ) = o o 0 ，t 【o ，1 ) ； ( v ) ( l a ) ( t ) 兰0 ，a ( o ) = 岛，0 , i ( o ) = a l ； ( v i ) ( l b ) ( t ) 三0 ，b ( 1 ) = 岛，6 ，( 1 ) = 一锄； ( v i i ) p 为正常数 ( 仍) h ：( 0 ，1 ) 【0 ，+ o o ) 连续，h ( t ) 不恒为0 ，并且 ，l fg ( f ，t ) h ( t ) d t + o 。( 3 2 1 ) j 0 ( 飓) ，：【0 ，+ o o ) 斗【o ，+ o o ) 连续 ( 凰) 0 2 n ( t ) ( 9 ( t ) ) s ，( ( t ) ) 0 1 6 ( t ) ( f ( ) ) ( 3 2 2 ) 并且存在常数m 0 ，使得 0 ( t ) ) 一m ，y ( t ) 0 ( 3 2 3 ) 引理3 2 2 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中的一个锥。q ( p ) 是p 中的有界开集，假设a ，n ( p ) 尸为全连续算子，如果存在y o p 以，使 得! 一a y # y o ，v y o n ( p ) ，p 0 ，则不动点指数t 似，q ( p ) ，p ) = 0 引理3 2 3 设p 是实b a n a c h 空间e 中的个锥，q 是e 的一个有界开 集，口q ，且a 。p n 孬+ 尸为一个全连续算子如果对任意p n a q 曲阜师范大学硕士学位论文 m = | = ：嬲= 燃裂卜z 固 o ；m 。! a x l | 圳ii ，( u ) i - p 。；m 。；i n l l 圳l ( “) k ) ， o 娜元1 ， 删= 似) ， ； t h ( 3 3 1 ) 妒十0 +舻 州l i m 。s u p 警 0 和0 盯 1 ，对任意妒r 1 ， 有，( 妒) 盯a 1 妒根据( 飓) 可知，存在b 0 ，使得 ，( 妒) 盯a l 妒+ b ，0 妒+ o o ( 3 3 3 ) 令丑= a a l t y ，y p c r 1 】，容易知道乃：p c r 1 】，p c r 1 】是 2 0 曲阜师范大学硕士学位论文 一个线性有界算子，并且7 1 ( p ) cp 令 ，l 工2 舀躏6 j cg ( 2 ，s ) ( s ) d e + 2 p m ( 3 3 4 ) 显然。l + o o 令 b = 鲈p l 掣= p a y ，0 p 1 下证集合b 有界 对任意y b ，根据( 32 5 ) 式，( 3 2 6 ) 式和( 3 3 3 ) 式，可得 y ( t ) = # a y ( t ) o ( t ，s ) 危( s ) ，( ( s ) ) d s + u 0 ，y ) s 趴j ( 1 g s ) m ) 出) d s + 6 2 1 ，啪。) d s + w ) 趴吲吲m 吣a x l 6 2 1 g 啪( 帕+ b | _ p 卿m f 吲t ) a 可( 。) 十吲m 吣a x l6 上g ( 。，5 ) ( 8 ) d s + 2 胛 矸弘( t ) + l 这里，工是由( 3 3 4 ) 式定义的于是，( ( ，一五) 掣) ( ) l ，t 【0 ，1 】由于 入1 是线性算子t 的第一特征值，并且0 m a x s u p b ，r i ，并作h ( t ，可) = 可一h ( t ，y ) ，其 中，h ( t ，) = t a y 显然，h ：【o ，1 】百三n p p 是全连续算子 下证p h ( t ，o b r n p ) 一方面，如若不然，jt o f 0 ，1 】，y o o b r n p ， 使得y o = t o a y o 根据集合b 的定义，y o b 从而i i v o l i s u p b 另一方 第三章次线性脉冲s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题的正解 面。y o o b nn p ，得到l l 跏0 = r 因而r s u p b ，这与r 的定义矛盾根 据不动点指数的同伦不变性质，我们得到 i ( a ，b r np p ) = i ( 口，b r np ，p ) = 1 ( 3 3 6 ) 由( 3 3 1 ) 式，存在0 0 和y l 7 - 鲈由t ( p ) cp ，可见a i t y l 7 - a 1 t y * = 7 - 木掌 根据( 3 3 9 ) 式，有 y l = a y l + a l y * a 1 2 1 + a l y * p + a 1 ) 暑， 此时与丁t 的定义矛盾，所以( 3 3 8 ) 式成立根据引理，有 i ( a ，s r np ，p ) = 0( 3 3 i 0 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 由( 3 3 6 ) 式和( 3 3 1 0 ) 式，有i ( a ，( b r 鳓np p ) = i ( a ，b 冠np p ) 一 i ( a ，b r np p ) = 1 _ 于是a 在( 目k 目n p 上至少存在个不动点，即脉冲 s t u r m - l i o u v i l l e 方程边值问题( 3 1 1 ) 至少存在一个正解 定理3 3 2 假设( 日1 ) 一( 凰) 和( 3 3 1 ) 式成立，如果 l i m 趔：a ( 3 3 1 1 、 p + 这里a k ，a 。：n = 1 ，2 ，是线性算子t 的特征值，则脉冲s t u r m l i o u v i l l e 方程边值问题( 3 1 1 ) 至少存在个正解 证明根据( 3 3 1 1 ) 式，可以得到 ，l ( a k 妒) ( t ) = a g ( t ，s ) ( s ) 妒( s ) d s = a ( t 妒) ( ) ( 3 3 1 2 ) 由于1 不是a k 的特征值，根据l e r a y s c h a u d e r 定理1 1 6 ，存在充分大的尼 有 。( a ，b r np ，p ) = z ( a 乞，b r np ，p ) = 士1 ( 3 3 1 3 ) 由( 3 3 1 ) 式，类似于定理3 3 1 的证明，存在0 r r ，有 2 ( a ，b r np p ) = 0 ( 3 3 1 4 ) 由( 3 3 1 3 ) 式和( 33 1 4 ) 式，有z ( a ，( b r 两) np p ) = 。似，b r np p ) 一 ；( a ，岛np ，尸) = 士1 所以a 在( b r 鳓np 上至少存在一个不动点，即脉 冲s t u r m l i o u v i l l e 方程边值问题( 311 ) 至少存在一个正解 考虑如下非奇异脉冲s t u r m - l i o u v i l l e 问题 i 一( l y ) ( t ) = f ( t ，可( t ) ) ，0 一 ( 3 3 1 6 ) p 。l i r a 。8 印掣 一 ( 3 3 1 7 ) ( 3 3 1 6 ) 式和( 3 3 1 7 ) 式对te 【0 ，1 j 一致成立，则脉冲s t u r m - l i o u v i l l e 问题 ( 3 3 1 5 ) 至少存在一个正解 证明定义算子 r 1 ( k 妒) ( t ) = g ，s ) 妒( s ) d s ， 妒0 ( 3 3 1 8 ) 易知，k 为