（理论物理专业论文）声衍射层析有限形式重建算法及数值模拟.pdf

a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，f i r s t ，ab r i e fi n t r o d u c t i o ni sg i v e n ，t od i f f r a c t i o nt o m o g r a p h y ( d t ) ，i n c l u d i n g i t sm e a n m g ，o b j e c t i v ea n ds i g n i f i c a n c e a n dt h e np r e s e n t e di sah i s t o r i c a lo v e r v i e wo ft h er e s e a r c h o ni n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m sa n dd t e s p e c i a l l y , c u r r e n tr e s e a r c hw o r ko nt h e ma r ed i s c u s s e d a n dt h eu n d e r l y i n gi d e a so fs e v e r a lt y p i c a li n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d sa r ee x p o u n d e d t h ef i r s t o r d e rb o r na n d r y t o va p p r o x i m a t i o n sh a v e b e e nw i l d l yu s e di nt h ep a s tf e wd e c a d e s t h e s et w or e c o n s t r u c t i o nm e t h o d s ，m d u d i n gf o u r i e rd i f f r a c t i o nt h e o r e m ( f d t ) a r ea l s od e s c r i b e d i ns o m ed e t a i l ，b e c a u s et h e ya r ec l o s e l yr e l a t e dt oo u rr e c o n s t r u c t i o nm e t h o d s f o rc o m p u t e rs i m u l a t i o no fo u rn e wr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m ，w h i c hi s o n l yv a l i df o rs o m e s p e c i a ls c a t t e r e r s ，t h ec o r r e s p o n d i n gd i r e c ts c a t t e r i n gd a t aa r ei n d i s p e n s a b l ea n ds o m ea r eg i v e n f o rs e v e r a ls c a t t e r e rm o d e l so u to fs u c hc o n s i d e r a t i o n t h ew o r ko fo u l r e s e a r c ho nt h eg e n e r a l i z e dp e r t u r b a t i o nt h e o r i e sa n dr e c o n s t r u c t i o na l g o - r i t h m si ss u m m a r i z e d t h em e t h o do ff o r m a lp a r a m e t e re x p a n s i o nu n d e rb o r nt r a n s f o r ma n di t s r e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mo fa c o u s t i c a ld i f f r a c t i o nt o m o g r a p h ya r ep r e s e n t e d t h ec o m p u t e rs i m u l a - t i o n sa r ea l s o 百y e na n dt h e ys h o wt h a ti t sr e l a t i v ee r r o r sd e c r e a s er e m a r k a b l yc o m p a r e dw i t ho n e s w i t ht h eb o r na n dr y t o v a p p r o x i m a t i o n su n d e rt h es a i n es c a t t e r i n gi m e i l 8 i t m s f i n a l l y , t w oi m p o r r a n tf a c t o r st h a ta f f e c tt h i sr e c o n s t r u c t i o nm e t h o da r ed i 8 c u s s e da n dt h ef u r t h e rw o r ki su n d e rw a y k e y w o r d sf o r m a lp a r a m e t e re x p a n s i o n ；a c o u s t i c a li n v e r s es c a t t e r i n g ；a c o u s t i c a ld i f f r a c t i o n t o m o g r a p h y ；g e n e r a li n v e r s es c a t t e r i n gp e r t u r b a t i o nt h e o r y 第一章绪论 本章回答如下问题： 什么是衍射层析术( d i f f r a c t i o nt o m o g r a p h y ，d t ) ? 为什么要研究d t ? 逆散射和d t 的研究是怎样建立和发展起来的? 当前哪些工作代表着逆散射和d t 问题的最新进展? 本文的主要内容有哪些? 1 1 引言 我们从“层析术”( t o m o g r a p h y ) 开始在医学成像的早期研究中【1 】， “t o m o g r a p h y ”被定义为：一种应用x 射线照相的诊断技术，其中，需被详细 检测的层面的前方和后方的结构不被显影“t o m o ”来自于希腊语“t o m o s ”， 即“截面。剖面”的意思而“g r a p h y ”则是“描绘，影像”的意思现在，层析 术通常是指对被检测物体进行横断面成像，所用数据来自于当物体被来自于 多个方向的入射场照射时，所收集到的透射和( 或) 反射数据。当传统的x 射 线显影技术同复杂的计算机信号处理相结合时，就是所谓的计算机层析术， c t ( c o m p u t e rt o m o g r a p h y ) 这项医学诊断技术的产生具有革命性的影响，它使 得医生可以以前所未有的精确性和安全性来观察患者体内的器官影像，为疾 病诊断提供最坚实的根据。第一台用于医疗的x 射线成像仪所成影像是基于 组织对x 射线的吸收系数但是近年来，一些新的成像手段，如放射性同位素 成像，超声成像，磁共振成像等也被成功的引入到医学成像领域中来，且不同 的技术所依赖的成像参数也各不相同 c t 在医学成像领域的成功使得它很快地被推广到其它众多的非医学成像 领域研究者们已经成功的将它的方法论应用于地下资源的勘探，工业无损 探测中一些特殊情形的截面成像，天文学中天球亮度分布的确定，电子显微技 1 第一章绪论 本章回答如下问题： 什么是衍射层析术( d i f f r a c t i o nt o m o g r a p h y ，d t ) ? 为什么要研究d t ? 逆散射和d t 的研究是怎样建立和发展起来的? 当前哪些工作代表着逆散射和d t 问题的最新进展? 本文的主要内容有哪些? 1 1 引言 我们从“层析术”( t o m o g r a p h y ) 开始在医学成像的早期研究中【1 】， “t o m o g r a p h y ”被定义为：一种应用x 射线照相的诊断技术，其中，需被详细 检测的层面的前方和后方的结构不被显影“t o m o ”来自于希腊语“t o m o s ”， 即“截面。剖面”的意思而“g r a p h y ”则是“描绘，影像”的意思现在，层析 术通常是指对被检测物体进行横断面成像，所用数据来自于当物体被来自于 多个方向的入射场照射时，所收集到的透射和( 或) 反射数据。当传统的x 射 线显影技术同复杂的计算机信号处理相结合时，就是所谓的计算机层析术， c t ( c o m p u t e rt o m o g r a p h y ) 这项医学诊断技术的产生具有革命性的影响，它使 得医生可以以前所未有的精确性和安全性来观察患者体内的器官影像，为疾 病诊断提供最坚实的根据。第一台用于医疗的x 射线成像仪所成影像是基于 组织对x 射线的吸收系数但是近年来，一些新的成像手段，如放射性同位素 成像，超声成像，磁共振成像等也被成功的引入到医学成像领域中来，且不同 的技术所依赖的成像参数也各不相同 c t 在医学成像领域的成功使得它很快地被推广到其它众多的非医学成像 领域研究者们已经成功的将它的方法论应用于地下资源的勘探，工业无损 探测中一些特殊情形的截面成像，天文学中天球亮度分布的确定，电子显微技 1 2 第一章绪论 术中的三维影像的重建等等 从根本上说，层析术依赖于“投影”来重建图象就其严格的意义来说， 一个特定方向的投影是指图象在该方向上的积分但就广义雨言，当物体被某 一方向的入射波照射时，投影则可泛指由传播的能量所携带的信息；所以，当 入射场如超声或微波等具有衍射性时，就有所谓的“衍射投影”的说法。 x 射线c t 带来的巨大成功，使人们很自然地在近些年将更大的注意力放 到如何扩展这种成像技术到以下几个方向，一方面是核医学和磁共振，一方面 是超声和微波在医学成像上的应用。同x 射线c t 相比，当超声和微波作为入 射源时，尽管二者的目标可能相同，比如说，要对物体的吸收系数进行截面成 像，但是不同之处在于，x 射线衍射性很弱，即它们几乎沿着直线传播，而超 声和微波则具有较强的衍射性当物体被具有衍射性的入射波照射时，波场 会被散射到各个方向，尽管在特定条件下，如当散射体的不均匀性远大于波 长且成像参数为折射率时，可以通过直线传播近似地处理此种情况通常，当 ( 波场被不均匀性散射体散射造成的) 衍射效应必须被考虑进来时，层析成 像就必须依赖于建立在d t 基础之上的算法 在过去近三十年间建立起来的d t 技术，是一种线性化逆散射成像技术， 其目的是要通过一系列散射实验，在散射体外部测得散射波，进而定量重建出 散射体内部结构【2 1 在d t 中，由于入射波采用具有衍射性的场，通常被用来 重建的结构是散射体内部( 大多是复值) 的相对折射率的空间分布。所以，d t 是逆散射领域研究的一个重要方向，同时d t 也是直线模型层析术的一个重要 变体在某些方面的应用中，用于成像的x 射线和核辐射本身所造成的损害， 远大于所成层析图象带来的益处这也是为什么人们采用声或电磁波作为辐 射源，从而将照射带来的损伤降到最低的原因另外，采用这些入射源，所得 关于散射体对声或电磁的折射率的信息也是无法通过x 射线层析来得到的 ! ! ：! 垄墼堑墨里! ：翌塞塑盟皇塑鎏! 1 2 逆散射及d t 研究的历史概述 1 2 1 正散射问题的提出 逆散射问题的基础是正散射问题，在了解逆散射问题的历史之前，我们先 来看正散射问题是如何提出的。 散射理论在二十世纪数学物理的发展过程中扮演了一个十分重要的角色 从瑞利解释天空为什么是蓝色的开始，到卢瑟福发现原子核，再到c t 在现代 医学中的广泛应用，近百年来，散射现象对物理学家和数学家而言，一直是一 个充满着诱惑和挑战的研究领域f 3 】 粗略地说，散射理论关心的是非均匀介质和入射粒子或波之间的相互作 用其中正散射问题是要通过入射场班和描述波动的微分方程来求出散射场 机经典散射理论( 相对于量子散射理论而言) 中的两个基本问题是单频声波 或电磁波被两种类型的散射体散射第一种是具有紧支撑的非均匀可穿透介 质另一种是具有确定边界的不可穿透的障碍物限于篇幅，本文的讨论仅限 于单频声波考虑第一种情形，假设入射场为一单频平面声波 母；( z ，) = e i ( k o x d - - w t ) 其中k o = u 向为波数，u 为圆频率，匈为声速，d 为传播方向。则关于一个非 均匀介质的最简单的正散射问题就是求出符合下列条件的总场妒( 声压) 咖+ 砖n 2 ( z ) 妒= 0 i n 虢3 ( 1 1 ) 妒( z ) = e 。d + 妒。( 霉)( 1 2 ) 熙r ( 挚 如仉) = o ( 1 3 ) 其中r = n = c 0 c 是由声速比给出的相对折射率c 0 为均匀背景介质声速， c = c ( z ) 为散射体声速( 13 ) 即s o m m e r f e l d 辐射条件。该条件保证讥为发散波。 ! ! ：! 垄墼堑墨里! ：翌塞塑盟皇塑鎏! 1 2 逆散射及d t 研究的历史概述 1 2 1 正散射问题的提出 逆散射问题的基础是正散射问题，在了解逆散射问题的历史之前，我们先 来看正散射问题是如何提出的。 散射理论在二十世纪数学物理的发展过程中扮演了一个十分重要的角色 从瑞利解释天空为什么是蓝色的开始，到卢瑟福发现原子核，再到c t 在现代 医学中的广泛应用，近百年来，散射现象对物理学家和数学家而言，一直是一 个充满着诱惑和挑战的研究领域f 3 】 粗略地说，散射理论关心的是非均匀介质和入射粒子或波之间的相互作 用其中正散射问题是要通过入射场班和描述波动的微分方程来求出散射场 机经典散射理论( 相对于量子散射理论而言) 中的两个基本问题是单频声波 或电磁波被两种类型的散射体散射第一种是具有紧支撑的非均匀可穿透介 质另一种是具有确定边界的不可穿透的障碍物限于篇幅，本文的讨论仅限 于单频声波考虑第一种情形，假设入射场为一单频平面声波 母；( z ，) = e i ( k o x d - - w t ) 其中k o = u 向为波数，u 为圆频率，匈为声速，d 为传播方向。则关于一个非 均匀介质的最简单的正散射问题就是求出符合下列条件的总场妒( 声压) 咖+ 砖n 2 ( z ) 妒= 0 i n 虢3 ( 1 1 ) 妒( z ) = e 。d + 妒。( 霉)( 1 2 ) 熙r ( 挚 如仉) = o ( 1 3 ) 其中r = n = c 0 c 是由声速比给出的相对折射率c 0 为均匀背景介质声速， c = c ( z ) 为散射体声速( 13 ) 即s o m m e r f e l d 辐射条件。该条件保证讥为发散波。 4 第一章绪论 这里假定1 一n 2 具有紧支撑如果介质具有吸收性，则n 为复值现在考虑由 不可穿透的障碍物d 造成的散射最简单的正问题是找到符合下述条件的总 场妒。 妒+ 瑶1 】c = 0i n 舻西( 1 4 ) 1 ；f i ( z ) = e h “+ 饥( z ) ( 1 5 ) 妒= 0 o no d ( 16 ) 熙r ( 等一i k o 币扣o ( 1 7 ) 其中式( 1 4 ) 就是h e l m h o t z 方程边界条件( 1 6 ) 对应于声软型( s o u n d s o f t ) 障碍物。 其它类型的边界条件比如n e u m a n n 或声硬型( s o u n d h a r d ) 边界条件 筹= 岬d ) 更一般的是声阻抗条件 筹“妒= o ( 其中v 为o d 上的外法向单位矢量a 为一个正的常数问题( 1 1 1 ，3 ) 及( 1 4 - 1 7 ) 可能是声散射理论中最简单的实际物理问题但仍不能认为它们已完全被解 决了，尤其是从数值计算的观点来看，关于这个课题还有不少内容正在研究 当中 这里还有几个问题需要说明首先，本文所涉及到的散射问题仅限于“共 振区”。换句话说，如果n 代表散射体的特征尺度，岛代表入射波圆波数的话， 则n 应小于1 或在1 附近，即所谓的“共振区”，而非b o 1 的“高频区”事 实上，对此两种区域的散射现象所采用的数学处理方法是截然不同的。而本文 只关心前者 其次，对于正散射还有两个重要的问题第一个是关于解的唯一性。由于 方程( 1 4 ) 具有常系数，所以问题( 1 4 - 1 7 ) 的唯一性问题容易处理。最初的结果 l ! ：兰垄墼笪丛旦三堡壅鲤盟皇塑笙曼 是由s o m m e r f e l d 在1 9 1 2 年关于声波情形的工作中给出的 4 问题( 1 1 1 3 ) 的解的 唯一性问题就困难得多原因在于必须要建立具有变系数椭圆方程的一致连 续性原理在这个方向上最初的结果由m u e l l e r 给出【5 j 。以上两种情形都是针 对i m n 2 0 的对于i mn 2 10 的情况上述的唯一性结论都不再成立再一个问 题就是解的存在性和数值近似问题确定存在性的最通常的方式是采用积分 方程方法，具俸说，对于问题( 1 1 1 3 ) 易证，对于所有正值硒，总场妒就是如 下l i p p m a n n s c h w i n g e r 方程的唯一解 妒( ) = e “。8 + 墙g ( 旧一7 1 ) 一，( z 。) 妒( z ) 】如z 铲( 1 8 ) j 翳3 其中，= n 2 一l ； g ( i x - - 2 ：j 1 ) = 嘉矧 ( 1 9 ) 为二维自由空间标量h e l m h o l t z 方程的g r e e n 函数 另一个令人感兴趣的问题是关于散射声波的远场数据或散射振幅特别 地，如果化为问题( 1 1 1 3 ) 或( 1 4 - 1 7 ) 的散射场，则讥具有如下的渐近行为： 讥= 等! 妒。+ d ( 去) r ：_ o 。 ( 1 1 0 ) 札。即为讥的远场数据 3 1 1 2 2 逆散射问题及d t 研究的历史 逆散射问题研究的目标是要通过对散射体外部的散射场的测量，揭示出 散射体的一些重要信息，如散射体的位置、形状、运动速度或各种物理参数， 如电导率、折射率等的分布因其在诸多领域中具有广泛的应用( 如军事应用 【6 2 】，无损探测【6 q ，地球物理勘探【6 4 】，遥感【6 5 】，医学成像【6 3 】等等) ，在过 去的几十年中越来越多的引起了人们的研究兴趣 7 0 3 j 逆散射问题根据入射 波与散射体相互作用的性质大体上可以分为两类f 3 】，即障碍物逆散射和介质 l ! ：兰垄墼笪丛旦三堡壅鲤盟皇塑笙曼 是由s o m m e r f e l d 在1 9 1 2 年关于声波情形的工作中给出的 4 问题( 1 1 1 3 ) 的解的 唯一性问题就困难得多原因在于必须要建立具有变系数椭圆方程的一致连 续性原理在这个方向上最初的结果由m u e l l e r 给出【5 j 。以上两种情形都是针 对i m n 2 0 的对于i mn 2 10 的情况上述的唯一性结论都不再成立再一个问 题就是解的存在性和数值近似问题确定存在性的最通常的方式是采用积分 方程方法，具俸说，对于问题( 1 1 1 3 ) 易证，对于所有正值硒，总场妒就是如 下l i p p m a n n s c h w i n g e r 方程的唯一解 妒( ) = e “。8 + 墙g ( 旧一7 1 ) 一，( z 。) 妒( z ) 】如z 铲( 1 8 ) j 翳3 其中，= n 2 一l ； g ( i x - - 2 ：j 1 ) = 嘉矧 ( 1 9 ) 为二维自由空间标量h e l m h o l t z 方程的g r e e n 函数 另一个令人感兴趣的问题是关于散射声波的远场数据或散射振幅特别 地，如果化为问题( 1 1 1 3 ) 或( 1 4 - 1 7 ) 的散射场，则讥具有如下的渐近行为： 讥= 等! 妒。+ d ( 去) r ：_ o 。 ( 1 1 0 ) 札。即为讥的远场数据 3 1 1 2 2 逆散射问题及d t 研究的历史 逆散射问题研究的目标是要通过对散射体外部的散射场的测量，揭示出 散射体的一些重要信息，如散射体的位置、形状、运动速度或各种物理参数， 如电导率、折射率等的分布因其在诸多领域中具有广泛的应用( 如军事应用 【6 2 】，无损探测【6 q ，地球物理勘探【6 4 】，遥感【6 5 】，医学成像【6 3 】等等) ，在过 去的几十年中越来越多的引起了人们的研究兴趣 7 0 3 j 逆散射问题根据入射 波与散射体相互作用的性质大体上可以分为两类f 3 】，即障碍物逆散射和介质 曼苎二主董堡 逆散射障碍物逆散射中的散射体是具有给定边界数据的均匀的物体，其最大 特点在于入射波不能穿透该散射体，如金属物体对于电磁波的散射，声软体 ( s o u n d - s o f to b s t a c l e ) 对于声波的散射，其逆问题是通过散射体外部的散射场， 例如，散射场在无限远处的信息( 即远场数据) 来确定散射体的形状和位置； 介质逆散射中，散射体是具有一个( 或几个) 特征参数的非均匀介质，入射波 可以渗透到散射体内部继续传播，如电磁波之于绝缘体，声波之于流体和固 体，地震波之于大地等等，其逆问题是通过散射体外部的散射场( 包括远场数 据) 来重建介质的这些特征参数当中的一个( 或几个) 。限于篇幅，本文的讨 论仅限于介质逆散射问题 到目前为止，人们对于逆散射问题的认识远没有正散射那么多关于具有 实用价值的逆散射问题的完整的数学物理模型还没有建立起来这使得对逆 散射问题的研究尚缺少坚实的数学基础最主要的原因在于逆散射问题的严 重的“不适定”性和“天生”的非线性一般，采用正则化方法处理逆散射问 题的非稳定性，否则测量数据微小的误差都会导致散射体重建的巨大误差逆 散射问题是雷达、声纳、地球物理勘探、医学成像和无损探测等领域的基础。 可以肯定地说，逆散射问题至少和正散射问题同等重要，逆散射问题已成为目 前散射理论数学物理研究的前沿【6 7 】【6 8 】【6 9 】 关于介质逆散射问题的解的唯一性问题，正式的肯定的回答是由n a c h m a n f 6 】， 胁n m 【7 】等在s y l v e s t e r 和u h l m a m a 8 的工作的基础上在1 9 8 8 年做出的现有的各 种由有噪声的远场数据来确定介质折射率分布的方法，如果不是通过先线性 化再解决该问题，则基本上都是基于非线性最优化的方法其中最简单的一个 方案就是通过将散射波满足的微分方程应用g r e e n 公式改写为所谓的l i p p m a n n s c h w i n g e r 积分方程，并在此基础上设计出一个非线性最优化方案来确定散射体 折射率的分布函数应用此种方法较好的进行了数值重建工作的包括g u t m a n l ! ：! 垩堂丝墨旦! ：堑塞塑旦塞煎望! 和k l i b a n o v 9 ，k l e i n m a n 和v a n d e nb e r g 1 0 ，n a t t e r e r a 和w u b b e l i n g 1 i ，以及w a n g 和 c a e w 1 2 等人事实上，采用非线性最优化方法来重建散射体折射率的方法是 非常耗时的，尤其对于实际应用中的三维散射情形然而在很多现实的应用当 中，对于折射率的完全而准确的了解有时并非是必须的，通常是只要确定散射 体的个数与各自的支集即足够了针对此种情况，由c o l t o n 和m o n k 等人所建立 的线性取样法取得了比较好的结果【13 】 d t 作为一种逆散射成像技术，采用了两种线性近似，即b o r n 或r y t o v 近 似来处理存在于入射波、散射体折射率、可测量的总波之间的非线性关系。 这种线性化d t 的基础就是所谓的g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s l i c et h e o r e m ，( 也有人称 为f o u r i e rd i i e r a c t i o nt h e o r e m ，f d t ) 是由w o l f 在1 9 6 9 年建立的 1 4 w o l f 的工作 在1 9 7 4 年得到1 w a t a 和n a g a t a 1 5 的推广，使之对于散射体的限制进一步放宽， 即由原来仅适用b o r n 近似的散射体扩展到可适用r y t o v 近似的散射体。1 9 7 9 年，m u e l l e r 1 】等人在b o r n 和r y t o v 近似的基础上提出了适用于超声衍射层析逆 问题的f o u r i e r 插值算法。1 9 8 2 年，d e v a n e y 1 6 推导出了一种新颖的反演算法， 即f i l t e r e db a c k p r o p a g a t i o na l g o r i t h mo fd t ，适用于全角度、b o r n 和r y t o v 近似下散 射数据的反演该方法是通过估计未知散射体折射率分布的频谱的低频部分 来重建散射体的，对于所用波长为州向散射试验，此方法给出以原点为圆心， 譬讵为半径的圆内散射体折射率的频谱成份，而该圆之外的高频部分则设为 零 这种f i l t e r e db a c k p r o p a g a t i o n 算法被认为可以给出当时质量最好的重建图像。 d e v a n e y 在1 9 8 4 17 】午和1 9 9 6 年( 同d e m i n g 合作) 【18 】分别改进了该方法，使之 熊够应用于地球物理的层析勘测之后，t s i h r i n t z i s 和d e v a n e y 19 】着重分析了对 有噪声污染的散射数据进行线性化d t 重建的问题，并给出了如何通过最优 ( w i e n e r ) 估计滤波来得到f i l t e r e db a c k p r o p a g a t i o n 算法的一种方法另外，l a d a s 璺 一 苎二主堑堡 和d e v a n e y 2 0 还讨论了对有限角度无噪声线性化散射数据进行反演的叠代算 法 线性化d t 目前已经被应用于如超声、地下勘测、和光学成像等的商用样 机中尤其是地球物理d t 算法更是在地下成像的一些问题中有很好的应用， 如油田勘测、水库监测和南北朝鲜之间地下管道的定位【2 1 l 、在新墨西哥沙漠 下寻找恐龙化石 2 l 】等等但是，线性化d t 算法的成功依赖于两个关键的假 设：1 ) 可线性化和2 ) 多次试验的可行性在很多情况下，线性化假设并不成 立，而各种不同的约束( 如出于经济，安全，可操作性，具体形状，物理因素 等原因) 又限制了散射试验的数量和( 或) 只能提供低信噪比的数据，尽管代 数重建技巧降低了由低次数散射试验带来的影响，但是非线性的影响依然难 以克服并仍然是当前研究的课题 还有一种成像的情况的特别重要，就是当物体内包含有多个分立的散射 体时。正如a z i m i 和k k 3 6 以及s l a n e y ，k a k 和l a r s e n 2 3 所指出的那样，尽管每 一个单独的散射体所形成的散射可能弱到是以使b o r n 和r y t o v 近似模型有效， 但是在多个散射体之间的多重散射相互作用却降低了线性化d t 重建算法的 有效性这种情况迫使人们开始研究基于高阶( 非线性) 散射模型的重建算 法事实上，确实有一些工作给出了道散射问题的形式序列解，尤其在d e v a n e y 和w o l f 2 4 1 ，l u 2 5 】，l u 和z h a n g 2 6 1 等工作中，对于散射体f o u r i e r 变换的微扰展开 被用来建立高阶的d t 重建算法，而原来的线性化重建算法只是此时的一个特 例本文中所要建立的形式参数展开法就是建立在上述后两者工作基础之上 的一种重建算法，由于该方法是建立在逆散射微扰论基础上的，这使得该方 法在基本思想上与其它建立在正散射基础上的微扰展开方法【2 1 2 7 有着本质的 不同。 l ! ：! 兰堕垄墼堑塑壅堕丛苎塞垒篓董箜董查星塑 ! 1 3 当前逆散射问题的几种典型解法的基本思想 1 3 1b o r n 叠代法 这是以b o r n 叠代法( b o r n i t e r a t i v em e t h o d 记为b i ) 1 2 】为代表的一系列近似算 法。b o r n 近似的本质在于通过将散射体内的总波用入射波来代替从而将逆散 射问题线性化b i 从b o r n 近似开始，反复计算正散射和逆散射，通过最大限 度地近似散射体内的总场来提高重建效果。数值计算表明，采用叠代法确实 有效，即使对于包含噪声的测量数据，叠代过程也是可行的这种方法的缺陷 在于，对于跃变型、高反差的散射体，效果不好，只能得到平滑解( 后面我们 将会看到，这主要是由于【广s 方程成立的条件得不到满足而造成的) b i 的一个延伸是所谓的变形b o r n 叠代法( d i s t o r t e db o r ni t e r a t i v em e t h o d 记为 d b i ) 其主要思想是，在每一步叠代过程中，与散射体内的每个像素相联系的 积分核( 即g r e e n 函数) 都将依据上次叠代的结果进行重新估算。这种算法提高 重建质量的效果很好其缺点在于对噪声非常敏感需要对重建图形进行“后 滤波”( p o s t - f i l t e r i n g ) 以消除高幅高频形变 在d b i 基础上又产生一种所谓改进型变形b o r n 叠代法( t h e m o d i f i e dd i s t o r t e d b o r n i t e r a t i v e m e t h o d 记为m d b i ) 在此方法中，研究者在叠代过程中应用了图象 分析技术，以进一步改善d b i 的重建效果。他们发现，对于积分核的重新估 算，只需应用到那些具有非均匀性特征的像素上，而不是散射体内的全部像 素都需要这种有选择性的做法避免了大部分不必要的积分核重估，从而提 高了叠代过程的速度和稳定性这使得m d b i 同d b i 相比，实用性能和抗噪声 性能都更胜一筹 同b o r n 叠代法相反，后面将要介绍的两种方法都没有回避逆散射问题的非 线性特征。这代表了解决逆散射问题的另一类方法一一非线性方法。这些方法 ( 以障碍物逆问题为例) 通常是采用积分方程或g r e e n 公式把障碍物逆问题改写 l ! ：! 兰堕垄墼堑塑壅堕丛苎塞垒篓董箜董查星塑 ! 1 3 当前逆散射问题的几种典型解法的基本思想 1 3 1b o r n 叠代法 这是以b o r n 叠代法( b o r n i t e r a t i v em e t h o d 记为b i ) 1 2 】为代表的一系列近似算 法。b o r n 近似的本质在于通过将散射体内的总波用入射波来代替从而将逆散 射问题线性化b i 从b o r n 近似开始，反复计算正散射和逆散射，通过最大限 度地近似散射体内的总场来提高重建效果。数值计算表明，采用叠代法确实 有效，即使对于包含噪声的测量数据，叠代过程也是可行的这种方法的缺陷 在于，对于跃变型、高反差的散射体，效果不好，只能得到平滑解( 后面我们 将会看到，这主要是由于【广s 方程成立的条件得不到满足而造成的) b i 的一个延伸是所谓的变形b o r n 叠代法( d i s t o r t e db o r ni t e r a t i v em e t h o d 记为 d b i ) 其主要思想是，在每一步叠代过程中，与散射体内的每个像素相联系的 积分核( 即g r e e n 函数) 都将依据上次叠代的结果进行重新估算。这种算法提高 重建质量的效果很好其缺点在于对噪声非常敏感需要对重建图形进行“后 滤波”( p o s t - f i l t e r i n g ) 以消除高幅高频形变 在d b i 基础上又产生一种所谓改进型变形b o r n 叠代法( t h e m o d i f i e dd i s t o r t e d b o r n i t e r a t i v e m e t h o d 记为m d b i ) 在此方法中，研究者在叠代过程中应用了图象 分析技术，以进一步改善d b i 的重建效果。他们发现，对于积分核的重新估 算，只需应用到那些具有非均匀性特征的像素上，而不是散射体内的全部像 素都需要这种有选择性的做法避免了大部分不必要的积分核重估，从而提 高了叠代过程的速度和稳定性这使得m d b i 同d b i 相比，实用性能和抗噪声 性能都更胜一筹 同b o r n 叠代法相反，后面将要介绍的两种方法都没有回避逆散射问题的非 线性特征。这代表了解决逆散射问题的另一类方法一一非线性方法。这些方法 ( 以障碍物逆问题为例) 通常是采用积分方程或g r e e n 公式把障碍物逆问题改写 ! q釜二茎堕堡 为一个非线性最优化问题在达到稳定解的每一步叠代过程中都需要计算正 散射在不同区域的解这些方法的最新发展是，避开了每一步叠代过程中对于 正散射的计算，同时，将障碍物逆问题分解为一个线性不适定部分和一个非 线性适定部分下面来看这两种方法的具体思想 1 3 2 非线性积分方程方法 例如，对于( 1 4 ) 一( 17 ) 的障碍物散射，假定我们对障碍物d 有一定的先验了 解，使得我们有充分的理由认为，d 内有一个曲面r ，使得瑶不是算子一v 。在 f 内的d i r i c h l e t 本征值相应于确定的波矢量b ，可以把散射场讥表示成一个 单层势场 2 s 1 1 2 9 l 妒，( z ) = 一p ( ) g 扣，y ) d s ( y )( 1 1 1 ) 其中妒l ：( r ) 称为密度函数且未知此时远场数据表示为 妒m ( 囊d ) = 去z e _ b 奶劬) 出( f ) 童n ( 1 1 2 ) 其中i = x i x l ，若给定远场数据妒。，这也是一个关于密度函数的第一类线性积 分方程，于是求边界a d 的问题化为( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 和以+ 讥= 0 ( a d ) ，其中也( x ) ，妒( x ) 和a d 都是未知的特例，假定a d 为星形，即 0 d ，a n ，x ( a ) - r ( a ) a ，便得关于 r ( a ) 的非线性积分方程 妒i + 妒。= e i ( 曲和。+ 妒p ( a ) a ，y ) d s ( y ) = 0 a n ( 1 1 3 ) 然后用非线性最优化问题求解且此最优化问题的解连续地依赖于测量数据。 因为第一类线性积分方程是不适定的，所以必须进行正则化处理 1 3 3 对偶空间法 对偶空间法也是一种非线性方法f 3 】以三维空间逆散射为例，其积分形式 ! q釜二茎堕堡 为一个非线性最优化问题在达到稳定解的每一步叠代过程中都需要计算正 散射在不同区域的解这些方法的最新发展是，避开了每一步叠代过程中对于 正散射的计算，同时，将障碍物逆问题分解为一个线性不适定部分和一个非 线性适定部分下面来看这两种方法的具体思想 1 3 2 非线性积分方程方法 例如，对于( 1 4 ) 一( 17 ) 的障碍物散射，假定我们对障碍物d 有一定的先验了 解，使得我们有充分的理由认为，d 内有一个曲面r ，使得瑶不是算子一v 。在 f 内的d i r i c h l e t 本征值相应于确定的波矢量b ，可以把散射场讥表示成一个 单层势场 2 s 1 1 2 9 l 妒，( z ) = 一p ( ) g 扣，y ) d s ( y )( 1 1 1 ) 其中妒l ：( r ) 称为密度函数且未知此时远场数据表示为 妒m ( 囊d ) = 去z e _ b 奶劬) 出( f ) 童n ( 1 1 2 ) 其中i = x i x l ，若给定远场数据妒。，这也是一个关于密度函数的第一类线性积 分方程，于是求边界a d 的问题化为( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 和以+ 讥= 0 ( a d ) ，其中也( x ) ，妒( x ) 和a d 都是未知的特例，假定a d 为星形，即 0 d ，a n ，x ( a ) - r ( a ) a ，便得关于 r ( a ) 的非线性积分方程 妒i + 妒。= e i ( 曲和。+ 妒p ( a ) a ，y ) d s ( y ) = 0 a n ( 1 1 3 ) 然后用非线性最优化问题求解且此最优化问题的解连续地依赖于测量数据。 因为第一类线性积分方程是不适定的，所以必须进行正则化处理 1 3 3 对偶空间法 对偶空间法也是一种非线性方法f 3 】以三维空间逆散射为例，其积分形式 ! q釜二茎堕堡 为一个非线性最优化问题在达到稳定解的每一步叠代过程中都需要计算正 散射在不同区域的解这些方法的最新发展是，避开了每一步叠代过程中对于 正散射的计算，同时，将障碍物逆问题分解为一个线性不适定部分和一个非 线性适定部分下面来看这两种方法的具体思想 1 3 2 非线性积分方程方法 例如，对于( 1 4 ) 一( 17 ) 的障碍物散射，假定我们对障碍物d 有一定的先验了 解，使得我们有充分的理由认为，d 内有一个曲面r ，使得瑶不是算子一v 。在 f 内的d i r i c h l e t 本征值相应于确定的波矢量b ，可以把散射场讥表示成一个 单层势场 2 s 1 1 2 9 l 妒，( z ) = 一p ( ) g 扣，y ) d s ( y )( 1 1 1 ) 其中妒l ：( r ) 称为密度函数且未知此时远场数据表示为 妒m ( 囊d ) = 去z e _ b 奶劬) 出( f ) 童n ( 1 1 2 ) 其中i = x i x l ，若给定远场数据妒。，这也是一个关于密度函数的第一类线性积 分方程，于是求边界a d 的问题化为( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 和以+ 讥= 0 ( a d ) ，其中也( x ) ，妒( x ) 和a d 都是未知的特例，假定a d 为星形，即 0 d ，a n ，x ( a ) - r ( a ) a ，便得关于 r ( a ) 的非线性积分方程 妒i + 妒。= e i ( 曲和。+ 妒p ( a ) a ，y ) d s ( y ) = 0 a n ( 1 1 3 ) 然后用非线性最优化问题求解且此最优化问题的解连续地依赖于测量数据。 因为第一类线性积分方程是不适定的，所以必须进行正则化处理 1 3 3 对偶空间法 对偶空间法也是一种非线性方法f 3 】以三维空间逆散射为例，其积分形式 l ! ：! 堂塑垩墼塑塑墨塑丛壁壅型竖鲨塑叁查墨垫望 为 讥( x ，d ，岛) = 妒( x ，d ，k o ) 一e 。4 = 一磕g ( i x x i ) f ( x ) 妒( x 。，d ，k o ) d x ( 1 ，1 4 ) ，丑 惦( 量i d 】k o ) = 筹上e - l k v x j 勺( x w ( x ，d ，) d ( 1 1 5 ) 其中b 为包含散射俸的一个球体 对偶空间法的基本思想是：通过入射波的加权叠加将逆散射问题转化为一 个内边值问题。然后用非线性最优化方法求解，( x ) ，具体做法如下： 1 将入射波诎= e 涵* 6 加权叠加 嗷= 上蛔( d ) d s ( d ) ( 1 1 6 ) 其中f 2 为单位球面，使相应的综合散射波w 。( x ，k o ) 在远处( x 辨3 b ) 为已知， 且使w 。o ( 3 ，岛) 在铲( n ) 空间中完备，例如使 矸二( 薰，k o ) = f 1 ( 凫0 i x i ) m 。( x ) ( 1 1 7 ) 其中硝1 为第一类z 阶h a n k e l 函数，m 。为球函数因而有 w k ( 置b ) = m 。( i ) = j r 妒。( 宜，d ，k o ) g ( d ) d s ( d ) = ( 1 ，1 8 ) m 。( 奎) 在l 2 ( n ) 中是完备的其中职称为h e r g l o t z 波函数，g ( d ) 为它的h e r g l o t z 核。在i mn 2 0 假定下，如果g ( d ) 存在，则必定是唯一的 2 关于加权后的散射波矾满足以下内边值问题，其积分形式为 l 虬( 墨k o ) = 一碲a ( i x x 7 1 ) ，( f ) ( x ，) d 3 x ( o b )( 1 1 9 ) 巩l o s = 一瑞a ( i x x t i ) 1 8 b ，( x ) t 矿( x ，k o ) d s x ( 1 2 0 ) j 丑 警伽=