2016年高中数学联赛试题答案.pdf

2016 年全国高中数学全国高中数学联合竞赛一联合竞赛一试试（A 卷）卷） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档；其他各题的分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题小题 4 分为一个档次，第分为一个档次，第 10、 11 小题小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次分为一个档次，不要增加其他中间档次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分 1. 设实数a满足 3 911aaaa，则a的取值范围是 答案答案： 2 310 , 33 a 解解：由aa= ， 即 2 1911 1a ，所以 2 104 , 93 a 又0a = 求 2222 12232015201620161 () ()() ()aaaaaaaa的最大值 解解 令 2222 12232015201620161 () ()() ()Paaaaaaaa= 由已知得，对1, 2, 2015i =，均有 222 111 11 0 9 iiii aaaa + 若 2 20161 0aa，则0S 10 分 以下考虑 2 20161 0aa的情况约定 20171 aa=由平均不等式得 1 201620162016 22 2016 11 111 11 () 20162016 iiii iii Paaaa + = = 201620162016 2 111 11 (1) 20162016 iiii iii aaaa = = 20 分 2 2016 1 1(1)111 2016 20162201644 ii i aa = + = ， 所以 2016 1 4 P 30 分 当 122016 1 2 aaa=时 ， 上 述 不 等 式 等 号 成 立 ， 且 有 2 1 911 ii aa + (1, 2, 2015)i =，此时 2016 1 4 P = 综上所述，所求最大值为 2016 1 4 40 分 二二、 （本题满分（本题满分 4 40 0 分）分） 如图所示， 在ABC中， ,X Y是直线BC上两点（, , ,X B C Y顺次排列） ，使得 BX ACCY AB 设ACX，ABY的外心分别为 12 ,O O，直线 12 OO与,AB AC分别交于点,U V 证明：AUV是等腰三角形 V U O2 O1 Y BC A X 证法证法一一 作BAC的内角平分线交BC于点P. 设三角形ACX和ABY的外 接圆分别为 1 和 2 . 由内角平分线的性质知， BPAB CPAC =. 由条件可得 BXAB CYAC =. 从而 PXBXBPABBP PYCYCPACCP + = + ， 即CP PXBP PY= 20 分 故P对圆 1 和 2 的幂相等，所以P在 1 和 2 的根轴上 30 分 于是 12 APOO，这表明点,U V关于直线AP对称，从而三角形AUV是等腰 三角形. 40 分 证证法法二二 设ABC的外心为O，连接 12 ,OO OO过点 12 ,O O O分别作直线BC 的垂线，垂足分别为 12 ,D DD作 1 O KOD于点K 我们证明 12 OOOO在直角三角形 1 OKO中， 1 1 1 sin O K OO OOK 由外心的性质， 1 OOAC又ODBC，故 1 OOKACB 而 1 ,D D分别是,BC CX的中点，所以 11 111 222 DDCDCDCXBCBX 因此 11 1 1 1 2 sinsin 2 BX O KDDBX OOR AB OOKACBAB R ， 这里R是ABC的外接圆半径同理 2 CY OOR AC 10 分 由已知条件可得 BXCY ABAC ，故 12 OOOO 20 分 由于 1 OOAC，所以 12 90AVUOOO同理 21 90AUVOO O 30 分 又因为 12 OOOO， 故 1221 OOOOO O， 从而AUVAVU 这样AUAV， 即AUV是等腰三角形 40 分 K D2DD1 O V UO2 O1 Y BC A X P V UO2 O1 Y A CB X 三三、 （本题满分（本题满分 5 50 0 分）分） 给定空间中 10 个点, 其中任意四点不在一个平面 上将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形， 试确定所连线段数目的最大值 解解 以这 10 个点为顶点, 所连线段为边, 得到一个 10 阶简单图G. 我们证 明G的边数不超过 15 设G的顶点为 1210 ,v vv，共有k条边，用deg( ) i v表示顶点 i v的度. 若 deg( )3 i v对1,2,10i =都成立，则 10 1 11 deg( )10 315 22 i i kv = = = 假设存在 i v满足deg( )4 i v不妨设 1 deg( )4vn=，且 1 v与 21 , n vv + 均相 邻于是 21 , n vv + 之间没有边，否则就形成三角形所以， 121 , n v vv + 之间恰有 n条边 10 分 对每个j（210nj+） ， j v至多与 231 , n v vv + 中的一个顶点相邻（否则设 j v与(),21 st v vstn 数列 n a定义为 1 2a =, 1 1 n nn pa aa n =+ ,2,3,n =这里x 表示不小于实数x的最小整数 证明：对3,4,1np=均有 1 1 n n pa +成立 证明证明 首先注意， n a是整数数列 对n用数学归纳法 当3n =时， 由条件知 2 2ap=+， 故() 2 2 11pap+ =+ 因 p与2p +均是素数，且3p ，故必须31p +因此 2 31pa +，即3n =时结论成 立 对31np， 设对3,1kn=成立 1 1 k k pa +， 此时 11 1 kk papa kk + = ， 故 22 122 1 111 11 kk kkk papa pap ap a kk + + =+ =+ ()() 2 11 1 k papk k + = 10 分 故对31np，有 ()() 123 112 111 112 nnn pnpnpn papapa nnn + + =+=+ () 2 123 1 123 pnpnp pa nn + =+ ， 20 分 因此 () ()() 1 21 1 2 n np n n p paC pnp + + + = + 由