电路原理讲稿(下).doc

第八章相量法重点：1. 正弦量和相量之间的关系；2. 正弦量的相量差和有效值的概念；3. R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式4. 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。难点： 1. 正弦量与相量之间的联系和区别； 2. 元件电压相量和电流相量的关系。章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。 预习知识：1.三角函数；2.复数运算8.1 复数相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表示形式及运算规则。1. 复数的四种表示形式代数形式 A = a +jb 复数的实部和虚部分别表示为： ReA=a ImA=b 。图 8.1 为复数在复平面的表示。 根据图 8.1 得复数的三角形式： 两种表示法的关系： 或 图 8.1根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式： 指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系，这对复数的运算非常重要。2. 复数的运算(1) 加减运算 采用代数形式比较方便。若 则 即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得，如图8.2所示。(2) 乘除运算 采用指数形式或极坐标形式比较方便。若 图 8.2则 即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。除法运算满足模相除，辐角相减，如图8.3示。 图 8.3 图 8.4(3) 旋转因子：由复数的乘除运算得任意复数 A 乘或除复数 ， 相当于 A 逆时针或顺时针旋转一个角度，而模不变，如图 8.4 所示。故把 称为旋转因子。当 当 故 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。3. 复数运算定理定理1 式中 K 为实常数。定理2 定理3 若则 例 81 ，例 82 ，8.2 正弦量1.正弦量电路中按正弦规律变化的电压或电流统称为正弦量，以电流为例，其瞬时值表达式为（本书采用 cosine 函数）： 波形如图 8.5 所示。 图 8.5注意：激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路。研究正弦电路的意义：（1）正弦电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。由于： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数； 2）正弦信号容易产生、传送和使用。（2）正弦信号是一种基本信号，任何复杂的周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。因此对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。2. 正弦量的三要素 （1）Im幅值(振幅、最大值)：反映正弦量变化过程中所能达到的最大幅度。 （2）角频率：为相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。它与周期和频率的关系为： rad/s （3）y 初相角：反映正弦量的计时起点，常用角度表示。需要注意的是：1）计时起点不同，初相位不同，图 8.6 给出了同一个正弦量在不同计时起点下初相位的取值。 2）一般规定初相位取主值范围，即 |y| 。3）如果余弦波的正最大值发生在计时起点之后，如图8.7所示，则初相位为负，如果余弦波的正最大值发生在计时起点之前，则初相位为正。4）对任一正弦量，初相可以任意指定，但同一电路中许多相关的正弦量只能对于同一计时起点来确定各自的相位。 图 8.6图 8.73. 相位差相位差是用来描述电路中两个同频正弦量之间相位关系的量。设 则相位差为： 上式表明同频正弦量之间的相位差等于初相之差，通常相位差取主值范围，即：| 如果上式中 0 ，称 u 超前 i ，或 i 滞 u ，表明 u 比 i 先达到最大值；如图 8.8（a）所示。如 0 ， 称 i 超前 u ，或 u 滞后 i , 表明 i 比 u 先达到最大值。如 =p ，称 i 与 u 反相，如图 8.8（b）所示；如 =0 ，称 i 与 u 同相，如图 8.8（c）所示。 图 8.8 （a）（b）（c） 需要注意的是：两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。4. 正弦电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效应，工程上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值的物理意义如图 8.9 所示，通过比较直流电流 I 和交流电流 i 在相同时间 T 内流经同一电阻 R 产生的热效应，即令： 从中获得周期电流和与之相等的直流电流 I 之间的关系： 这个直流量 I 称为周期量的有效值。有效值也称方均根值。 图 8.9同样，可定义电压有效值： 设正弦电流 相应的有效值为： 因为 所以 即 正弦电流的有效值与最大值满足关系： 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 若一交流电压有效值为 U = 220V ，则其最大值为Um311V ；需要注意的是：（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。（3）区分电压、电流的瞬时值 i、u ，最大值 IMm 、 Um 和有效值 I、U 的符号。 例 83 ，例 84 ，8.3 相量法的基础正弦稳态线性电路中，和各支路的电压和电流响应与激励源是同频率的正弦量，因此应用基尔霍夫定理分析正弦电路将遇到正弦量的相减运算和积分、微分运算，在时域进行这些运算十分繁复，通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电路分析得到简化。1. 正弦量的相量表示 构造一个复函数 对 A(t) 取实部得正弦电流： 上式表明对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数，即： A(t) 还可以写成 称复常数为正弦量i(t)对应的相量，它包含了i(t)的两个要素I ,Y 。任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的相量，即： 注意：相量的模为正弦量的有效值，相量的幅角为正弦量的初相位。同样可以建立正弦电压与相量的对应关系： 例如若已知正弦电流和电压分别为： 则对应的相量分别为： 若正弦电流的相量 频率 则对应的正弦电流为：2. 相量图 在复平面上用向量表示相量的图称为相量图。如已知相量 则对应的相量图如图 8.10 所示。辐角为零的相量称为参考相量。 图 8.10 3.相量法的应用(1) 同频率正弦量的加减 则：图 8.11 从上式得其相量关系为： 故同频正弦量相加减运算可以转变为对应相量的相加减运算，运算过程如图 8.11 所示。（2）正弦量的微分、积分运算 设 则 即 对应的相量为 而 即 对应的相量为 以上式子说明正弦量的微分是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量i 的相量乘以，正弦量的积分也是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量 i 的相量除以。例如图8.12所示 RLC 串联电路，由 KVL 得电路方程为 根据正弦量与相量的关系得以上微积分方程对应的相量方程为 因此引入相量的优点是：图 8.12 （1）把时域问题变为复数问题； （2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；需要注意的是： 1）相量法实质上是一种变换，通过把正弦量转化为相量，而把时域里正弦稳态分析问题转为频域里复数代数方程问题的分析； 2）相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 3）相量法用来分析正弦稳态电路。 例 85 ，例 86 ，8.4 电路定律的相量形式 1. 电阻元件 VCR 的相量形式 设图8.13(a)中流过电阻的电流为 则电阻电压为： 其相量形式： 以上式子说明： 图8.13（a）（1）电阻的电压相量和电流相量满足复数形式的欧姆定律：，图8.13(b)为电阻的相量模型图。（2）电阻电压和电流的有效值也满足欧姆定律：UR = RI （3）电阻的电压和电流同相位，即：u = i电阻电压和电流的波形图及相量图如图8.14(a)和(b)所示。 图 8.13（ b ）图 8.14（a） 图 8.14（b）电阻的瞬时功率为： 即瞬时功率以2 交变，且始终大于零，如图8.14（a）所示，表明电阻始终吸收功率。2. 电感元件 VCR 的相量形式 图 8.15 （a）图 8.15（b） 设图8.15（a）中流过电感的电流为 则 对应的相量形式分别为： 以上式子说明：（1） 电感的电压相量和电流相量满足关系：，其中XL=L=2fL ，称为感抗，单位为(欧姆)，图8.16（b）为电感的相量模型图。（2）电感电压和电流的有效值满足关系：，表示电感的电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积。（3）电感电压超前电流 相位，即： 电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16（a）和（b）所示。注意:（1） 感抗表示限制电流的能力；（2）感抗和频率成正比如图8.16（c）所示，当；电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16（a）和（b）所示。 图 8.16 （a）图 8.16（b）图 8.16（c） 电感的瞬时功率为： 即电感的瞬时功率以 2 交变，有正有负，如图8.16（a）所示。电感在一个周期内吸收的平均功率为零。3. 电容元件 VCR 的相量形式 设图8.17（a）中电容的电压为： 则 对应的相量形式分别为： 图 8.17（a）图 8.17（b）以上式子说明：（1）电容的电压相量和电流相量满足关系： 其中 XC =1/C ，称为容抗，单位为(欧姆)，图8.17（b）为电容的相量模型图。（2）电容电压和电流的有效值满足关系：，表示电容的电压有效值等于电流有效值与容抗的乘积。（3）电容电压滞后电流 相位，即： 电容电压和电流的波形图及相量图如图8.18（a）和（b）所示。注意: 容抗和频率成反比如图8.18（c）所示，当 ，说明电容有隔断直流的作用，而高频时电容相当于短路。 图 8.18（a）图 8.18（b）图 8.18（c）电容的瞬时功率为： 即电容的瞬时功率以 2 交变，有正有负，如图8.18（a）所示。电感在一个周期内吸收的平均功率为零。4. 基尔霍夫定律的相量形式 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦稳态电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示。对电路中任一结点，根据KCL有，由于 得 KCL 的相量形式为： 同理对电路中任一回路，根据 KVL 有 ，对应的相量形式为： 上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足 KCL ；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足 KVL 。例 87 ，例 88 ，例 89 ，例 810 ，例 811 ， 例 812 ， 第九章 正弦稳态电路的分析重点：1. 复阻抗、复导纳的概念以及它们之间的等效变换2. 正弦稳态电路的分析3. 正弦稳态电路中的平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算4. 最大功率传输5. 串、并联谐振的概念难点：1. 复阻抗和复导纳的概念以及它们之间的等效变换2. 直流电路的分析方法及定理在正弦稳态电路分析中的应用3. 正弦稳态电路中的功率与能量关系，如平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算。 4. 应用相量图分析电路的方法 5. 谐振的概念本章与其它章节的联系：本章内容以直流电路的分析和第八章阐述的相量法为基础，正弦稳态电路的分析方法在第10、11、12章节中都要用到。 预习知识：复数概念和复数运算91 阻抗和导纳阻抗和导纳的概念以及对它们的运算和等效变换是线性电路正弦稳态分析中的重要内容。1. 阻抗1）阻抗的定义图9.1所示的无源线性一端口网络，当它在角频率为的正弦电源激励下处于稳定状态时，端口的电压相量和电流相量的比值定义为该一端口的阻抗 Z 。即 单位：上式称为复数形式的欧姆定律，其中称为阻抗模，称为阻抗角。由于 Z 为复数，也称为复阻抗，这样图9.1所示的无源一端口网络可以用图9.2所示的等效电路表示，所以Z也称为一端口网络的等效阻抗或输入阻抗。 图9.1 无源线性一端口网络 图9.2 等效电路2）单个元件的阻抗当无源网络内为单个元件时，等效阻抗分别为： a图 b图 c图 说明 Z 可以是纯实数，也可以是纯虚数。 a 电阻 b 电容c 电感图 9.3 单个元件的网络3） RLC 串联电路的阻抗由 KVL 得： 因此，等效阻抗为 图 9.4 RLC 串联电路其中 R等效电阻 (阻抗的实部)；X等效电抗(阻抗的虚部)；Z、R 和 X 之间的转换关系为： 或 图 9.5 阻抗三角形可以用图 9.5 所示的阻抗三角形表示。结论：对于RL 串联电路：（1） 当L1/C 时，有 X0，z0，表现为电压领先电流，称电路为感性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图 9.6 所示； 图9.6 L 1/C 时的相量图和等效电路（2）对于RLC串联电路当L 1/C时，有 X0，z0，表现为电流领先电压，称电路为容性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图 9.7 所示； 图9.7L 1/C 时的相量图和等效电路（3） 当L 1/C 时，有 X0 ， z0 ，表现为电压和电流同相位，此时电路发生了串联谐振，电路呈现电阻性，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图9.8所示；图9.8L 1/C 时的相量图和等效电路（4）RLC 串联电路的电压 UR 、U X 、U 构成电压三角形，它和阻抗三角形相似。 满足： 注：从以上相量图可以看出，正弦交流RLC串联电路中，会出现分电压大于总电压的现象。2. 导纳 1）导纳的定义图9.1所示的无源线性一端口网络，当它在角频率为的正弦电源激励下处于稳定状态时，端口的电流相量和电压相量的比值定义为该一端口的导纳 Y 。即 单位：S 上式仍为复数形式的欧姆定律，其中称为导纳模，称为导纳角。由于Y 为复数，称为复导纳，这样图9.1所示的无源一端口网络可以用图9.9所示的等效电路表示，所以 Y 也称为一端口网络的等效导纳或输入导纳。 图9.9 无源线性一端口网络等效导纳 2）单个元件的导纳 当无源网络内为单个元件时如图 9.3 所示，等效导纳分别为： a图 b图 c图 说明 Y 可以是纯实数，也可以是纯虚数。 3） RLC 并联电路的导纳 由 KCL 得： 因此，等效导纳为图 9.10 RLC 并联电路其中G等效电导(导纳的实部)；B等效电纳(导纳的虚部)；Y 、G 和 B 之间的转换关系为：或 可以用图 9.11 所示的导纳三角形表示。图 9.11 导纳三角形结论： 对于 RLC 并联电路：（1）当L1/C时，有B0 ， y0 ，表现为电流超前电压，称电路为容性电路，其相量图（以电压为参考相量）和等效电路如图 9.12 所示； 图 9.12 L 1/C 时的相量图和等效电路 （2）当L1/C 时，有B0，y0，表现为电压超前电流，称电路为感性电路，其相量图（以电压为参考相量）和等效电路如图 9.13 所示； 图 9.13 L 1/C 时的相量图和等效电路（3）当L=1/C 时，有X0，z0，表现为电压和电流同相位，此时电路发生了并联谐振，电路呈现电阻性，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图9.14所示。图 9.14 L=1/C时的相量图和等效电路（4）RLC 并联电路的电流 IR、IX 、I 构成电流三角形，它和阻抗三角形相似。满足 注：从以上相量图可以看出，正弦交流RLC并联电路中，会出现分电流大于总电流的现象。3. 复阻抗和复导纳的等效互换 同一个两端口电路阻抗和导纳可以互换，互换的条件为： 即： 9.15 串联电路和其等效的并联电路如图 9.15 的串联电路，它的阻抗为： 其等效并联电路的导纳为： 即等效电导和电纳为： 同理，对并联电路，它的导纳为 其等效串联电路的阻抗为： 即等效电阻和电抗为： 例 91 ，例 9292 阻抗(导纳)的串联和并联1. 阻抗的串联 图 9.16 为 n 个阻抗串联的电路，根据 KVL 得： 图 9.16 n 个阻抗串联 其中 Z 为等效阻抗，因此图 9.16 的电路可以用图 9.17 的等效电路替代。 串联电路中各个阻抗的电压分配为： 其中 为总电压， 为第 k 个阻抗的电压。图 9.17 图9.16的等效电路2. 导纳的并联图 9.18 为 n 个阻抗并联的电路，根据 KCL 得：其中 图 9.18 n 个阻抗并联 Y 为等效导纳，因此图 9.18 的电路可以用图 9.19 的等效电路替代。 并联电路中各个阻抗的电流分配为： 其中 为总电流， 为第 k 个导纳的电流。两个阻抗 Z1、Z2 的并联等效阻抗为： 图 9.19 图 9.18 的等效电路 注：阻抗的串联和并联计算及分压和分流计算在形式上与电阻的串联和并联及分压和分流计算相似。例 93 ，例 94 ，例 95 93 正弦稳态电路的分析1电阻电路与正弦电流电路的分析比较 结论：引入相量法和阻抗的概念后，正弦稳态电路和电阻电路依据的电路定律是相似的。因此，可将电阻电路的分析方法直接推广应用于正弦稳态电路的相量分析中。 2. 典型例题 例 96 ， 例 97 ， 例 98 ， 例 99 ， 例 910 ， 例 911 ， 例 91294 正弦稳态电路的功率1. 瞬时功率设无源一端口网络如图9.20所示，在正弦稳态情况下，端口电压和电流为： 图 9.20式中 是电压和电流的相位差，对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。则一端口网络吸收的瞬时功率为： 上式可以分解为： 从上式可以看出瞬时功率有两个分量，一个为恒定量，一个为两倍电压或电流频率的正弦量， P(t)的波形如图9.21所示。瞬时功率还可以写为： 图 9.21 上式中第一项始终大于零，为瞬时功率的不可逆部分，第二项为两倍电压或电流频率的正弦量，是瞬时功率的可逆部分，代表电源和一端口之间来回交换的能量。P(t)的波形如图9.22示。图 9.22注意：瞬时功率有时为正,有时为负，p0,表示电路吸收功率，p0，表示电路发出功率。2. 平均功率 P 为了便于测量，通常引入平均功率的概念。平均功率为瞬时功率在一个周期内的平均值，即： P 的单位是 W（瓦）。式中 cos称为功率因数，说明平均功率不仅与电压和电流的乘积有关，而且与它们之间的相位差有关。注意： 当 cos =1, 表示一端口网络的等效阻抗为纯电阻，平均功率达到最大。当 cos =0 ，表示一端口网络的等效阻抗为纯电抗，平均功率为零。一般有 0 cos1 。因此，平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率。3. 无功功率 Q 工程中还引入无功功率的概念，其定义为：单位： var (乏) 。当 Q 0 ，认为网络吸收无功功率； Q 0 ，认为网络发出无功功率。注意： 当 cos = 1, 有 sin = 0 ，纯电阻网络的无功功率为零。当 cos = 0，有 sin = 1 ，表示纯电抗网络无功功率最大。因此 Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件 L、C 的性质决定的。4. 视在功率 S 定义视在功率为电压和电流有效值的乘积，即：单位： VA (伏安) 视在功率反映电气设备的容量。有功功率，无功功率和视在功率满足图 9.23 所示的功率三角形关系： 图 9.23 5. 任意阻抗的功率计算 以上式子说明功率三角形与阻抗三角形是相似三角形。图9.24（a）图9.24(b)和(c)为图 9.24(a)所示的RLC 串联电路中电感和电容的瞬时功率的波形，从中可以看出，当 L 发出功率时，C 刚好吸收功率，当C 发出功率时，L 刚好吸收功率，说明电感、电容的无功具有互相补偿的作用。 图9.24（b）图9.24（c）6. 功率因数的提高 有功功率的表达式说明当功率一定时，若提高电压 U 和功率因素 cos，可以减小线路中的电流，从而减小线路上的损耗，提高传输效率。电力系统中就是采用高压传输和并联电容提高功率因素的方式来提高传输效率。图 9.25（a）给出了电感性负载与电容的并联电路，图（b）为其相量图，显然并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。 根据相量图可以确定并联电容的值，由图可知：图 9.25（a）图 9.25（b） 因此 注意： 并联电容后，电源向负载输送的有功功率 UILcos1 = UIcos2 不变，但是电源向负载输送的无功 UIsin2 UIL sin1 减少了，减少的这部分无功就由电容“产生”的无功来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。例 913 ，例 914 95 复功率正弦电流电路的有功功率、无功功率和视在功率三者之间的关系可以通过“复功率”表述。1. 复功率 设一端口网络的电压相量和电流相量为，定义复功率 为： 单位： VA 因此 复功率也可表示为： 或 注意： （1）复功率 把 P、Q、S 联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率；辐角是功率因素角。（2）复功率 是复数，但不是相量，它不对应任意正弦量；（3）复功率 满足复功率守恒。因为在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的有功功率之和为零，吸收的无功功率之和为零，即： 因此 例 91596 最大传输功率图 9.26（a）所示电路为含源一端口网路向终端负载传输功率，下面分析在正弦稳态条件下负载从含源一端口网络获取最大功率的条件。根据戴维宁定理，把图（a）电路简化为图（b）所示的等效电路进行研究。设 Zi=Ri+jXi ，ZL=RL+jXL ，则负载电流为： 负载吸收的有功功率为 若ZL=RL+jXL 可任意改变，先设RL不变，XL改变，显然，当 Xi+XL=0 ，即XL=-Xi时，有功功率P 获得最大值，这时 再改变RL使P 获得最大值。把上式对RL求导，并使之为零，得RL=Ri 时，P 获得最大值。 图 9.26（a）图 9.26（b）综合以上结果，可得负载上获得最大功率的条件是： RL=RiXL=-Xi 即 ZL = Zi * 此时有最大功率 例9-16 ，例9-17 97 串联电路的谐振谐振是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。1. 谐振的定义 含有 R、L、C 的一端口电路，外施正弦激励，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。因此谐振电路的端口电压、电流满足： 2. 串联谐振的条件图 9.27 所示的 R、L、C 串联电路发生谐振时称串联谐振。电路的输入阻抗为： 根据谐振定义，当时电路发生谐振，由此得 R、L、C 串联电路的谐振条件是 谐振角频率为：谐振频率为： 上式说明R、L、C串联电路的谐振频率仅由电路的参数决定，因此谐振频率又称固有频率。由谐振条件得串联电路实现谐振或避免谐振的方式为：（1）L、C 不变，改变 达到谐振。（2）电源频率不变，改变L 或 C(常改变C)达到谐振。图 9.273. R、L、C 串联电路谐振时的特点（1）谐振时电路端口电压 和端口电流 同相位；（2）谐振时入端阻抗 Z = R 为纯电阻，图9.28为复平面上表示的|Z|随 变化的图形，可以看出谐振时抗值 |Z| 最小，因此电路中的电流达到最大。（3）谐振时电感电压和电容电压分别为： 图 9.28上式表明L、C上的电压大小相等，相位相反，如图9.29所示，串联总电压，LC 相当于短路，所以串联谐振也称电压谐振，此时电源电压全部加在电阻上，即。（4）谐振时出现过电压现象电感电压和电容电压表示式中的 Q 称为品质因数，有 如果Q1，则有当Q 1时，电感和电容两端出现大大高于电源电压 U 的高电压，称为过电压现象。图 9.29（5） 谐振时的功率 有功功率为： P = UIcos UI即电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。无功功率为： 其中 即电源不向电路输送无功，电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。如图9.29所示。 图 9.29 （6）谐振时的能量关系设电源电压 则电流 电容电压 电容储能 电感储能 以上表明：1）电感和电容能量按正弦规律变化，且最大值相等，即 WLm = WCm 。L、C 的电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，而不与电源进行能量交换。2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值，即 电感、电容储能的总值与品质因数的关系为： 即品质因数 Q 是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越大，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般应用于谐振状态的电路希望尽可能提高 Q 值。4. RLC 串联谐振电路的谐振曲线和选择性 物理量与频率关系的图形称谐振曲线，研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。（1）阻抗的频率特性 串联阻抗 其中(阻抗幅频特性) （阻抗相频特性） 图 9.30（a）给出了阻抗幅频特性曲线，（b）给出了阻抗相频特性曲线。 图 9.30（a） 图 9.30（b） （2）电流谐振曲线电流幅值与频率的关系为：得电流谐振曲线如图 9.31 所示。如图 9.31从电流谐振曲线看出谐振时电流达到最大，当 偏离0时，电流从最大值 U/R 下降，即：串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以0和I(0)，即 得 所以 由上式得通用谐振曲线如图9.32所示。显然Q 越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。因此，Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出。图 9.32在通用谐振曲线 处作一水平线，与每一谐振曲线交于两点，对应横坐标分别为，称半功率点，有 把称为通频带，通频带规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。是比较和设计谐振电路的指标。可以证明 Q 与通频带的关系为： （3） UL() 与 UC() 的频率特性因为 它们的曲线如图 9.33 所示。可以证明当时，UL()与UC()获最大值，峰值的频率为： 峰值为图 9.33Q 越高，峰值频率越靠近谐振频率。 例 918 ，例 919 ，例 920 ，例 92198 并联电路的谐振1. G、C、L 并联电路当图9.34所示的 G、C、L 并联电路发生谐振时称并联谐振，并联电路的入端导纳为： 谐振时应满足 谐振角频率 图 9.34 采取与串联谐振电路同样的分析方法得并联谐振电路的特点为：（1）谐振时电路端口电压和端口电流 同相位；（2）谐振时入端导纳 Y=G 为纯电导，导纳|Y |最小，如图9.36所示，因此电路中的电压达到最大。如图9.37所示。 图 9.36图 9.37(3) 谐振时电感电流和电容电流分别为： 上式表明L、C上的电流大小相等，相位相反，如图9.38所示，并联总电流，LC 相当于开路，所以并联谐振也称电流谐振，此时电源电流全部通过电导，即。图 9.38(4) 谐振时出现过电流现象 电感电流和电容电流表示式中的 Q 称为并联电路的品质因数，有 如果 Q 1，则有当 Q 1 时，电感和电容中出现大大高于电源电流的大电流，称为过电流现象。(5) 谐振时的功率有功功率为： 即电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。无功功率为： 即电源不向电路输送无功，电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。两种能量的总合为常量： 2. 电感线圈与电容器的并联谐振 实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图 9.39 所示。 （1）谐振条件 电路的入端导纳为： 图 9.39谐振时 B =0 ，即 谐振角频率 上式说明该电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，必须满足 考虑到一般线圈电阻 RL ，则等效导纳近似为： 谐振角频率近似为 电路的等效电阻为： 等效电路如图 9.40 所示。电路的品质因数为： 图 9.40（2）谐振特点 1) 电路发生谐振时，输入阻抗很大 2) 电流一定时，总电压较高 3) 支路电流是总电流的 Q 倍，相量图如图9.41所示。设RL 例 922 例 923图 9.41 第十章 含有耦合电感的电路重点：1.互感和互感电压的概念及同名端的含义；2.含有互感电路的计算； 3.空心变压器和理想变压器的电路模型。难点： 1. 耦合电感的同名端及互感电压极性的确定； 2. 含有耦合电感的电路的方程； 3. 含有空心变压器和理想变压器的电路的分析。本章与其它章节的联系：本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上。 预习知识：电磁感应定律 10.1 互感耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。1. 互感 两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1中通电流 i1 时，不仅在线圈1中产生磁通f11，同时，有部分磁通 f21 穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流 i2 时，不仅在线圈2中产生磁通f22，同时，有部分磁通 f12 穿过线圈1，f12和f21称为互感磁通。定义互磁链： 图 10.1 12 = N112 21 = N221 当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链： 互感磁通链： 上式中 M12 和 M21 称为互感系数，单位为（H）。当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和： 需要指出的是：）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足M12 =M21 =M ）自感系数 L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。2. 耦合因数 工程上用耦合因数 k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度， 定义 一般有： 当 k =1 称全耦合，没有漏磁，满足 f11 = f21 ， f22 = f12 。 耦合因数 k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。3. 耦合电感上的电压、电流关系 当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为： 即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。在正弦交流电路中，其相量形式的方程为 注意： 当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助”作用，互感电压取正；否则取负。以上说明互感电压的正、负：（1）与电流的参考方向有关。（2）与线圈的相对位置和绕向有关。4. 互感线圈的同名端 由于产生互感电压的电流在另一线圈上，因此，要确定互感电压的符号，就必须知道两个线圈的绕向，这在电路分析中很不方便。为了解决这一问题引入同名端的概念。同名端 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出时，若产生的磁通相互增强，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端，用小圆点或星号等符号标记。例如图10.2中线圈1和线圈2用小圆点标示的端子为同名端，当电流从这两端子同时流入或流出时，则互感起相助作用。同理，线圈1和线圈3用星号标示的端子为同名端。线圈2和线圈3用三角标示的端子为同名端。注意：上述图示说明当有多个线圈之间存在互感作用时，同名端必须两两线圈分别标定。 图 10.2根据同名端的定义可以得出确定同名端的方法为： (1) 当两个线圈中电流同时流入或流出同名端时，两个电流产生的磁场将相互增强。 (2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。两线圈同名端的实验测定： 实验线路如图10.3所示，当开关S闭合时，线圈1中流入星号一端的电流i 增加，在线圈2的星号一端产生互感电压的正极，则电压表正偏。 图 10.3有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及电流和电压的参考方向即可，如图 10.4 所示。根据标定的同名端和电流、电压参考方向可知： 图 10.4 （a） 图 10.4（b） （a）图 （b）图 例 10-1 ，例 10-210.2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感（简称互感）电路的计算要注意：(1) 在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍可应用前面介绍的相量分析方法。(2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。(3) 一般采用支路法和回路法计算。因为耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，还与其他某些支路电流有关，若列结点电压方程会遇到困难，要另行处理。 1. 耦合电感的串联 （1） 顺向串联图 10.5图10.5 所示电路为耦合电感的串联电路，由于互感起“增助”作用，称为顺向串联。 按图示电压、电流的参考方向，KVL方程为： 根据上述方程可以给出图10.6所示的无互感等效电路。等效电路的参数为： 图 10.6（2） 反向串联图 10.7 所示的耦合电感的串联电路，由于互感起“削弱”作用，称为反向串联。按图示电压、电流的参考方向，KVL方程为： 图 10.7 根据上述方程也可以给出图10.6所示的无互感（去耦）等效电路。但等效电路的参数为： 在正弦稳态激励下，应用相量分析，图10.5和图10.7的相量模型如图10.8所示。 图 10.8 （a）图 10.8（b） 图（a）的 KVL 方程为： 输入阻抗为： 可以看出耦合电感顺向串联时，等效阻抗大于无互感时的阻抗。顺向串联时的相量图如图 10.9 所示。图（b）的 KVL 方程为： 输入阻抗为： 可以看出耦合电感反向串联时，等效阻抗小于无互感时的阻抗。反向串联时的相量图如图 10.10 所示。 图 10.9注意：（1） 互感不大于两个自感的算术平均值，整个电路仍呈感性，即满足关系：（2）根据上述讨论可以给出测量互感系数的方法：把两线圈顺接一次，反接一次，则互感系数为： 图 10.102. 耦合电感的并联 （1）同侧并联图 10.11 为耦合电感的并联电路，由于同名端连接在同一个结点上，称为同侧串联。 根据 KVL 得同侧并联电路的方程为： 由于 i = i1 + i2 解得 u , i 的关系： 图 10.11根据上述方程可以给出图 10.12 所示的无互感等效电路，其等效电感为： （2） 异侧并联图 10.12图 10.13 中由于耦合电感的异名端连接在同一个结点上，故称为异侧并联。 此时电路的方程为： 考虑到： i = i1 + i2 解得 u , i 的关系： 图 10.13根据上述方程也可以给出图 10.12 所示的无互感等效电路，其等效电感为： 3. 耦合电感的 T 型去耦等效 如果耦合电感的2 条支路各有一端与第三条支路形成一个仅含三条支路的共同结点如图 10.14 所示，称为耦合电感的 T 型联接。显然耦合电感的并联也属于 T 型联接。图 10.14图 10.15（1）同名端为共端的T 型去耦等效图10.14的电路为同名端为共端的 T 型联接。根据所标电压、电流的参考方向得： 由上述方程可得图 10.15 所示的无互感等效电路。