毕业设计（论文）-基于偏微分方程的图像平滑方法的研究.doc

目 录1、引言12、图像处理22、1 图像平滑22、1、1邻域平均法32、1、2 低通滤波法32、1、3 多图像平均法43、 基于偏微分方程的图像平滑43、1 偏微分方程的概述43、2 基于偏微分方程的图像处理43、3 基于偏微分方程的图像平滑53、3、1 各向同性扩散方程53、4 各向异性扩散方程63、4、1 P-M模型63、4、2 Catte模型74、实验与分析84、1 MATLAB概述84、1、1 MATLAB基础84、1、2 MATLAB 特色84、1、3 MATLAB在图像处理中的应用94、2 实验结果与分析94、2、1 对偏微分方程数值计算94、2、2 实验准备104、2、3 结果与分析104、3 结论135、结束语14附录15参考文献20致谢21ABSTRACT22 基于偏微分方程的图像平滑方法的研究 摘要：随着图像处理领域的迅速发展，图像平滑作为图像处理中的重要环节，也逐渐受到人们的关注。图像平滑的目的主要是消除噪声。本文详细介绍了图像平滑的发展，图像平滑方法按空间域和频率域的分类及各种方法的特点，由于传统的这些方法在去噪的同时会破坏图像的重要特征从而引出了基于偏微分方程的图像平滑方法。本文分别从各向同性扩散方程和各向异性扩散方程对基于偏微分方程的图像平滑方法进行研究，进一步完善图像平滑方法，以达到平滑效果更理想的目的。关键词：偏微分方程；图像平滑；各向同性扩散；各向异性扩散1、引言图像是自然界景物的客观反映，是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的，要以直接或间接作用于人眼并进而产生视觉知觉的实体。图像信息不仅包含光通量分布，而且还包含人类视觉的主观感受。随着计算机技术的迅速发展，人们还可以人为地创造出色彩斑斓、千姿百态的各种图像。人类社会已经进入了信息时代，对信息的获取、加工、传输等构成了现代社会的基础性工作。科学研究和统计表明，人类从外界获得的信息约为75%来自视觉系统，也就是从各种图像中获得的。这里图像的定义是比较广泛的，包括照片、图形、视频等等。图像中带有大量的信息，古人云“百闻不如一见”就充分了说明了这个道理。 图像是人类获取和交换信息的主要来源，因此，图像处理的应用领域必然涉及到人类生活和工作的方方面面。从六十年代初开始, 图像处理领域一直在蓬勃发展1。最早期的图像处理是采用模拟处理, 代表性的模拟处理系统是美国密执安大学环境研究院的模拟计算机系统, 主要缺点是速度慢、精度低、处理不灵活、功能少。后来发展了数字图像处理，它是指将图像信号转换成数字信号并利用计算机进行处理的过程。其优点是处理精度高，处理内容丰富，可进行复杂的非线性处理，有灵活的变通能力，一般来说只要改变软件就可以改变处理内容。所以数字图像处理成为了图像处理的发展方向2。除了医学和空间项目的应用外，数字图像处理技术现在已应用于更广泛的范围。计算机程序用于增强对比度或将亮度编码为彩色，以便于解释X射线和用于工业、医学及生物科学等领域的其他图像。地理学用相同或相似的技术从航空和卫星图像中研究污染模式。图像增强和复原过程用于处理不可修复物体的已损图像或者造价昂贵不可复制的实验结果。在考古学领域，使用图像处理方法已成功地复原了的图片，这些图片是丢失或损坏的稀有物品的唯一现有的记录。在物理学和想减领域，计算机技术通常增强如高能等离子和电子显微镜方法等领域的实验图像。图像处理技术也成功地应用在天文学、生物学、核医学、法律实施、国防及工业领域中。目前人们主要研究的是数字图像，如图像的采集、获取、编码、存储、和传输，图像的合成和产生，图像的显示和输出，图像的变换、增强、恢复和重建，图像的分割，特征的提取和测量，图像的分类，图像模型等3。进入二十世纪九十年代，图像技术已经逐步渗透到人类生活和社会发展的各个方面，如多媒体技术，虚拟现实技术等，如今的图像处理技术在不断与网络技术特别是互联网技术相融合4。 基于偏微分方程的图像处理是图像处理领域中的一个重要分支，这方面的研究工作可从Nagao,rudin等关于图像光滑和图像增强的研究以及Koenderink对于图像结构的探索。 图像处理中的两个分支直接影响到了这个学科的最终形成。第一是图像分割，它实际上的是为了把真实世界中的物体从图像中分离出来，同时得到真就的边界。其中Mumford-Shah模型是较为常用的方法。具体算法略。第二是图像滤波，它是所有图像处理方法的前奏。1984年，Koenderink发现了图像信号经过高斯滤波后的结果与热传导方程存在一定的联系。图像滤波需要两个限制条件：对比度不变和仿射不变，满足的偏微分方程只有一个，所谓的AMSS方程。基于偏微分方程的图像处理应用范围几乎覆盖要整个图像处理领域，包括图像识别、图像分割、图像重建、图像边缘提取、图像检索、医学图像处理、彩色图像处理、动态图像分析等。有的研究甚至用到了视觉哲学等的一些结论。一方面，这个领域的发展在应用领域不断拓展，另一方面随着本学科的发展，人们试图用严格的数学理论对现存的图像处理方法进行改造。基于偏微分方程的图像处理在使用偏微分方程理论的同时也推动了偏微分方程理论的以展。我国的研究人员从20世纪90年代中期开始关注这个领域的工作，也获得了大量的研究成果。2、图像处理 图像在生成和传输过程中会受到各种噪声源的干扰和影响，使图像质量变差，使得图像的视觉效果受到严重的影响，对图像后继处理和分析带来很大不便。图像处理中的两个主要分支是图像增强和图像还原。图像增强的空间滤波算法有两种，一是平滑空间滤波，是为了在提取大的目标之前去除图像中的一些琐碎的细节、连接、或者缝隙；二是锐化空间滤波，是为了突出图像中的细节或增强被模糊的细节，这种模糊的产生不是因为错误操作而是特殊图像获取过程中的固有影响，其应用领域很广泛，从电子映像和医学成像到工业检测和系统的制导等。图像还原算法通常是用来处理受到噪声干扰的图像。数字图像的噪声主要来源于图像的获取过程和传输过程。去噪是图像处理领域中最成熟的分支之一，目前已有许多的方法。通过观察噪声图像、考察图像的噪声模型可以知道不必要的细节和一些不光滑的现象。2、1 图像平滑 图像平滑是图像处理中的重要环节，它极大地影响着后继处理的结果。抑制或消除这些噪声而改善图像质量的过程称为图像的平滑。图像平滑的目的是为了消除噪声。图像噪声的来源有三：一为在光电、电磁转换过程中引入的人为噪声；二为大气层电（磁）暴、闪电、电压、浪涌等引起的强脉冲性冲激噪声的干扰；三为自然起伏性噪声，由物理量的不连续性或粒子性所引起，这类噪声又可分成热噪声、散粒噪声等5。一个较好的去除噪声的方法应该是既能消除噪声又不使图像的边缘轮廓和线条变模糊,即在抑制噪声的同时有效地保持空间分辨率6。图像平滑作为图像处理的重要环节，平滑质量的好坏直接影响到后继处理和分析的结果。通过观察噪声图像、考察图像的噪声模型可以知道不必要的细节和一些不光滑的现象，图像平滑算法可以去除图像中原本没有的、由噪声所带来的细节3。 图像平滑的方法有很多，亦可以分为空间域或频率域，亦可以分为全局处理或局部处理，亦可以按线性平滑、非线性平滑和自适应平滑来区别。下面介绍几种简单的图像平滑的方法: 2、1、1邻域平均法 邻域平均法是一种局部空间域处理的算法。设一幅图像f(x,y)为M N 的阵列，平滑处理后得到的图像为g(x,y)。g(x,y)由式（2.1）决定 （2.1）（2.1）式中的x,y=0 , 1 , 2 ， ，N-1, S 是(x,y)点邻域中心点的坐标的集合，但不包括点(x,y)，M 是S 内坐标点的总数。平滑化的图像g(x,y)的每个像素的灰度值由包含在(x,y)的预定邻域中的f(x,y)的几个像素的灰度值的平均值所决定。以上方法简单，计算速度快，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像产生模糊，邻域越大，模糊越厉害。为了减少这种效应，可以采用阈值法。当一些点和它的邻域内点的灰度的平均值的差不超过规定的阈值时，就仍然保留其原灰度值不变，如果大于阈值时就用它们的平均值来代替该点的灰度值。这样平滑后的图像会比邻域平均法模糊度减少。 2、1、2 低通滤波法 这是一种频域处理法。在分析图像信号的频率特性时，对于一幅图像，它的边缘、跳跃部分以及噪声都代表图像的高频分量，而大面积的背景区和慢变部分则代表图像的低频分量，用频域低通滤波法除去其高频分量就能去掉噪声，从而使图像得到平滑。利用卷积定理，可以写成以下形式 （2.2）其中F(u,v)是含噪图像的傅里叶变换，G(u,v)是平滑后图像的傅里叶变换，H (u,v)是传递函数。利用H(u,v)使F(u,v)的高频分量得到衰减，得到G(u,v)后再经过反变换就得到所希望的平滑图像g(u,v)了。 图 2-1 低通滤波平滑图像的处理框图 由于傅里叶变换的性质决定，这种平滑的方法在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象5。 2、1、3 多图像平均法 如果一幅图像包含有加性噪声，这些噪声对于每个坐标点是不相关的，并且其平均值为零，在这种情况下就可能采用多图像平均法来达到去掉噪声的目的。设f(x,y)为有噪声图像 ，n(x,y)为噪声，g(x,y)为原始图像，g(x,y)可用（2.3）式表示： （2.3） 多图像平均法是把一系列有噪声的图像f(x,y)叠加起来，然后再取平均值以达到平滑的目的。 当做平均处理的含噪声图像数目增加时，其统计平均值就越接近原始无噪声图像。这种方法在实际应用中的最大困难在于把多幅图像配准起来，以便使相应的像素能正确地对应排列3。3、 基于偏微分方程的图像平滑传统的这些方法在去噪的同时会破坏图像的重要特征，如边缘、纹理等，于是基于偏微分方程的图像平滑方法得到了迅速的发展9。3、1 偏微分方程的概述 偏微分方程概念的引入是科学家研究自然的一个必然结果，因为几乎所有的研究对象，包括天文学、物理学等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受到一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述并求解。大多数的偏微分方程都与某个实际问题有密切的联系，或者就是从某个实际问题中导出的。偏微分方程是十分复杂的研究对象，即使是线性的方程，也可以复杂到很难处理的程度，至于非线性方程，人们更加感到，目前大体上还只能分别针对各种具体问题，提出个别的解决办法。在这个过程中，随着偏微分方程研究的内容越来越多、越来越难，各种新方法不断涌现，不断丰富和发展了偏微分方程的研究内容，同时也促进了许多其它数学分支的发展。3、2 基于偏微分方程的图像处理 人们对偏微分方程的研究已经有近 300 年的历史。早期的偏微分方程问题产生于力学、几何、物理等理论学科和实际工程中。近年来，在生命科学、经济学中也出现了大量的偏微分方程问题。正是这些偏微分方程的出现，使得图像处理产生了不同的意义。基于偏微分方程的图像处理是图像处理领域中的一个重要分支。在过去的几年中,基于偏微分方程的图像处理技术在图像分析中成为一个引起众多研究者感兴趣的课题。它能够良好地兼顾噪声消除和特征保护,在图像分割、序列图像恢复方面都可以取得较好的效果。在图像分析中引入偏微分方程有很多优点。可将图像模型在一个连续域中分析,与网格无关,且具各向同性,可以很自然地合并算法。在图像处理中运用偏微分方程的思想最早可追溯到Gabor和更近一些的Jain 。Koenderink 14独立研究工作使本领域有了突出进步。他们引入了尺度空间的概念,在多尺度同时表达图像。他们通过高斯滤波获得多尺度图像表达,这等价于以经典的热传导方程对原始图像各向同性变形。以Perona 和Malik 在系数各向异性分布方面的研究在本领域最有影响。他们提出以系数方向性分布取代高斯( Gaussian) 平滑(相当于各向同性分布) ,保留边缘信息。他们揭开了一系列偏微分图像处理领域理论和实际上的问题。经过众多研究者广泛深入研究,偏微分方程理论框架应用到了图像处理和计算机视觉许多方面与许多问题的解决中。基于偏微分方程（PDE）的图像处理方法已经在图像处理领域得到了广泛应用。使用偏微分方程方法,由对数值分析广泛研究,增加了获得高精度和稳定性的可能8。偏微分方程方法与通常的图像处理算法相比，虽然计算量较大，耗时较长，但由于其灵活的拓扑学结构、广阔的应用领域逐渐受到人们的重视，包括数学形态学、不变形状分析、分割问题、图像增强、图像去噪等7。 3、3 基于偏微分方程的图像平滑3、3、1 各向同性扩散方程传统的图像平滑算法如均值滤波、中值滤波和高斯滤波等,由于不考虑图像的形状特征,其平滑结果等价于传导系数为常量的热扩散方程,属于各向同性扩散10。如果图像中存在某种杂质，并且期浓度分布不均匀，这时，杂质将从浓度较高的区域向浓度较低区域迁移，这种迁移过程在物理学了称之为扩散；类似地，当介质中的温度分布不均匀时，将发生热量从温度较高的区域向温度较区域的迁移过程，称之为热传导。若以函数u(x,y,z,t)表示浓度随空间和时间的变化，那么空间分布的不均匀性用梯度来刻画，于是可以将杂质在宏观上的定向迁移，看成是由梯度产生的作用力-所推动的，这里负号表示作用力指向u值减小的方向。如果介质是各向同性的，那么，在这一作用力下的推动下，将产生流密度，即单位时间通过与梯度矢量垂直的单位面积的杂质 （3.1)式中a为一标题，称为传输系数。在最简单的情况下，a是一个常数，但a也可以是依赖于空间位置的标题函数，即a(x,y,z)；更复杂的情况是，传导系数还依赖于u本身，即a(x,y,z,u)。 在另外一类介质中，流密度的方向并不与梯度的方向一致，例如，晶体中的杂质扩散就可能出现这种情况 。这种介质称为各向异性介质11。为避免对图像特征的损害,又能取得良好效果,平滑处理应该自适应调整权值,基于各向同性平滑方法各方向的梯度权值相同,不能很好地保留边缘信息。高斯平滑过程可用各向同性分布偏微分方程(即热传导方程) 表示如下: (3.2) 式中表示演化中的图像，为初始图像。 式(3.2)可通过fourier变换方法 得到它的解为 (3.3)式中 （3.4）（3.4）表示中心在坐标原点的二维Gaussian函数，其x和y方向上的等效宽度均为。由此可见，令图像进行线性扩散，等价于传统图像处理中对图像采用Gaussian滤波器进行滤波。对线性扩散方程生成尺度空间的性质，数学上已进行了充分研究，其主要结论可归纳如下：1） Gaussian函数是唯一能满足对称性、归一化并且不增加局部极大值的卷积核。2） 对于图像对比变换和Euclidean变换而言，线性方程的解具有不变性。3） 满足极值原理，即 式中是图像的定义域。4） 线性扩散方程的稳态解为 式中，常数等于的平均灰度， 随着尺度参数（扩散时间）的增大，图像变得越来越模糊，最后以图像灰度值为常数（平均值）而告终。Gaussian滤波在平滑噪声的同时，使图像边缘越来越模糊。图像的边缘模糊化在图像处理中往往是不能接受的，因为边缘被认为是图像的最重要的特征，并且人的视觉对边缘也非常敏感11。 3、4 各向异性扩散方程3、4、1 P-M模型 为了达到去噪同时保护边缘，可以采用扩散过程中的传导系数依赖于图像的局部特征。具体来说，在图像比较平坦的区域，传导系数能自动增大。这可使平坦区域中较小的起伏被平滑；而在图像的边缘附近，传导系数能自动减小，可使边缘几乎不受影响。 Perona和Malik引入的各向异性扩散方程是这个领域最有影响的工作13。他们提出用保边界的具有方向性的热扩散方程来代替高斯平滑滤波器。他们的研究开辟了图像处理中偏微分方程理论和应用的很多新领域。 Perona和Malik提出的各向异性平滑过程可以表达为： （3.5） u(x,y)为原始灰度图像，其中div是散度算子, u 是图像的梯度, c是扩散系数,k是梯度门限。通常采用 分析Perona-Malik方程的扩散系数可知，只有梯度幅值大于参数K的像素才作为边缘信息被保留；而梯度幅值较小的低对比度边缘将被滤除。因此，K的取值直接影响到各向异性扩散方法对图像的平滑去噪和细节保持能力。参数K为常数时实验结果不佳，原因在于：在对噪声图像平滑的异性扩散过程中，随着图像平滑程度的增加，相应的梯度不断下降，因此参数K递减才能有效地保持边缘。 虽然各向异性扩散方法得到了广泛应用，但它仍然存在一些缺陷，比如平滑时有可能保留梯度值较大的孤立噪声点；方程在迭代过程中会出现不适定情况，从而使得相近图像滤波后得到差异很大的结果。3、4、2 Catte模型 理想的扩散系数要使得式在图像均质区域内扩散程度大以利于噪声消除；在边缘区域内扩散程度小以利于保持边缘。Catte 等人指出P-M 方法是“病态”的，输入的微小变化会导致输出完全改变;Whitaker 证明P-M 方法处理所得的图像受“阶梯”效应干扰，视觉效果差。对P-M 模型加以修改，得到以下Catte模型 （3.6）式中 这里表示方差为的Gaussian函数。对图像进行平滑时, 应该同时保持信号的特征。扩散应该满足如下两个原则:a)速度。在具有图像特征的位置上,扩散速度应该降低, 而在没有明显特征灰度变化平缓的地方, 扩散速度应增加.b )扩散方向。在穿过图像特征的方向上, 不应进行扩散, 否则将使特征模糊化, 而在沿图像特征的方向上, 可进行扩散12。 4、实验与分析4、1 MATLAB概述 4、1、1 MATLAB基础随着计算机技术的迅猛发展，图像技术与计算机技术不断融合，产生了一系列图像处理软件，如VC、MATLAB，这些软件的广泛应用为图像技术的发展提供了强大的支持。MATLAB是由Math Works公司开发的一种主要用于数值计算及可视化图形处理的工程语言。它以编程环境和工具箱的形式将数值分析、矩阵计算、图形图像处理、信号处理和仿真等诸多强大的功能集成在较易使用的交互式计算机环境中，为科学研究、工程应用提供了一种功能强、效率高、可扩展的编程工具。4、1、2 MATLAB 特色1. 语言简洁，编程效率高因为MATLAB 定义了专门用于矩阵运算的运算符，使得矩阵运算就像列出算式执行标量运算一样简单，而且这些运算符本身就能执行向量和标量的多种运算。利用这些运算符可使一般高级语言中的循环结构变成一个简单的MATLAB 语句，再结合MATLAB 丰富的库函数可使程序变得相当简短，几条语句即可代替数十行C 语言或Fortran 语言程序语句的功能。2. 交互性好，使用方便在MATLAB 的命令窗口中，输入一条命令，立即就能看到该命令的执行结果，体现了良好的交互性。交互方式减少了编程和调试程序的工作量，给使用者带来了极大的方便。因为不用像使用C 语言和Fortran 语言那样，首先编写源程序，然后对其进行编译、连接，待形成可执行文件后，方可运行程序得出结果。3. 强大的绘图能力，便于数据可视化MATLAB 不仅能绘制多种不同坐标系中的二维曲线，还能绘制三维曲面，体现了强大的绘图能力。正是这种能力为数据的图形化表示(即数据可视化)提供了有力工具，使数据的展示更加形象生动，有利于揭示数据间的内在关系。4. 学科众多、领域广泛的工具箱MATLAB 工具箱(函数库)可分为两类：功能性工具箱和学科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能、图示建模仿真功能、文字处理功能以及与硬件实时交互的功能。而学科性工具箱是专业性比较强的，如优化工具箱、统计工具箱、控制工具箱、通信工具箱、图像处理工具箱、小波工具箱等。5. 开放性好，易于扩充除内部函数外，MATLAB 的其他文件都是公开的、可读可改的源文件，体现了MATLAB 的开放性特点。用户可修改源文件和加入自己的文件，甚至构造自己的工具箱。6. 与C 语言和Fortran 语言有良好的接口通过MEX 文件，可以方便地调用C 语言和Fortran 语言编写的函数或程序，完成MATLAB 与它们的混合编程，充分利用已有的C 语言和Fortran 语言资源。4、1、3 MATLAB在图像处理中的应用MATLAB图像处理工具包由一系列支持图像处理操作的函数组成的。所支持的图像处理操作有：图像的几何操作、邻域和区域操作、图像变换、图像恢复与增强、线性滤波和滤波器设计、变换（DCT变换等）、图像分析和统计、二值图像操作等。MATLAB已成为国际公认的最优秀的科技应用软件之一，具有编程简单、数据可视化功能强、可操作性强等特点，而且配有功能强大、专业函数丰富的图像处理工具箱，是进行图像处理方面工作必备的软件工具。4、2 实验结果与分析4、2、1 对偏微分方程数值计算如果对于给定的偏微分方程定解问题能够求得解析解，那么当然是十分理想的，因为有了解析解，我们便能精确地掌握解的全部细节。但不幸的是，这种理想情况在实际应用中是非常少见的。例如，在图像处理应用中所出现的各种非线性偏微分方程，解析解都难以奏效。这时有必要求助于数值计算以获取该问题的近似解。常用的PDE数值方法有有限差分法、有限元法、谱法等。不过在图像处理应用中，有限差分法最为常用 。这是因为待处理的图像通常已经是在二维空间中，按等间隔采样而得到的离散化数学图像。这样就自然地构成了有限差分法所需要的等分网格。有限差分法的基本思想是：利用相距有限距离的两邻点的函数值的差与两点间距离的比值来近似函数对变量的偏导数。下面我将采用左差分法对P-M方程进行离散化。4、2、2 实验准备本实验采用图片bood1进行实验，图片大小为6*6厘米。实验主要采用的软件是MATLAB 6.5，在其环境下进行编程实现图像平滑处理。实验的目的有：(1)采用MATLAB对几种图像平滑的方法进行实现(2）比较和分析几种图像平滑方法(3）分析基于偏微分方程的图像平滑方法的优点4、2、3 结果与分析 （a） 原图像 （b） 添加淑盐噪声的图像 （c）3*3窗的领域平均滤波图像 （d）7*7窗的领域平均滤波图像图1 领域平均法的图像平滑处理图1（a）为原图像，图1（b）是在原图像的基础了添加了加入均值为0. 02淑盐噪声，图1（c）、（d）采用了领域平均法，领域半径分别取3和7厘米。由图得这种方法可以有力的抑制了噪声，同时也由于平均而引起了模糊现象，模糊程度与领域半径成正比。 （a）含有噪声的原图像 （b) 三阶Butterworth滤波图像图2 低通滤波平滑方法低通滤波器有分理想滤波器、布特沃斯（Butterworth)滤波器、指数低通和梯形低通滤波器几种。我们这里以Butterworth低通滤波器为例。图2（a）是含有均值为0.02的噪声的图像，图2（b) 是采用三阶Butterworth滤波对含有噪声的图像进行平滑，滤波器窗口的大小为，可以使噪声减到不明显的程度，但是由于低通滤波器对噪声等寄生成分滤除的同时，对有用的高频成分也有滤除作用，因此，这种去噪的美化处理是以牺牲清晰度为代价而换取的。 （a）含有噪声的原图像 （b）线性滤波后的图像图3 线性滤波平滑方法图3（a）是含有均值为0.05的噪声的图像，图3（b) 是采用线性滤波对含有噪声的图像进行平滑，滤波器窗口的大小为，经过线性滤波后的图像明显变得模糊了。以上几种是普通的图像平滑方法。通过比较可以看出，普通的平滑方法在一定程度上可以有效地抑制了噪声，但总存在一定的弊端，比如领域平均法在去噪的同时也引起了图像的模糊现象，低通滤波法在去噪的美化处理的同时也牺牲了清晰度。 （a） 原图像 （b）高斯滤波后的图像图 4 高斯滤波平滑方法图 4（b）是对原图像高斯滤波后的图像，图像大小为厘米。可以看出，在平滑噪声的同时，使图像边缘越来越模糊。 （a） 原图像 （b）PM平滑后的图像 K=1 （c）PM平滑后的图像 K=10 （d）PM平滑后的图像 K=30图 5 PM方程平滑方法图 5 是采用PM方程对原图像进行平滑处理，图像大小为厘米，迭代次数为15，时间步长为0.02，方差为0.04，参数K的取值分别为1，10，30，K的取值越小图像的边缘信息才能被保留，K的取值越大平滑后的图像与原图像的差异越大。参数K的取值直接影响到各向异性扩散方法对图像的平滑去噪和细节保持能力，具有一定的“病态”性。 （a）原图像 （b）Catte平滑后的图像 迭代1次 （c）Catte平滑后的图像 迭代3次 （d）Catte平滑后的图像 迭代5次 图 6 Catte型图像平滑方法图 6是采用Catte模型对原图像进行平滑后的图像，图像大小为厘米，时间步长为0.02，方差为0.04，参数K的取值为1，迭代次数分别为1，3，5。Catte 对PM方程进行了修正改进后模型为适定问题，平滑后图像视觉效果明显改善。迭代次数越少图像平滑的效果越理想，越接近于原图像。4、3 结论 通过实验对图像进行平滑处理然后进行相应的比较和分析得出的结论是：在具有图像特征的位置上,扩散速度应该降低, 而在没有明显特征灰度变化平缓的地方, 扩散速度应增加扩散方向；在穿过图像特征的方向上, 不应进行扩散, 否则将使特征模糊化, 而在沿图像特征的方向上, 可进行扩散。这样就使图像在扩散的过程中更好保持图像边缘，从而得到更好的平滑效果。5、结束语随着时代的不断发展，图像处理在航空航天、工业生产、医疗诊断、资源环境、气象及交通监测、文化教育等领域应用越来越广泛，创造了巨额的社会价值，人们对图像处理的研究也越来越深入。而图像处理和图像分析领域去除噪声是一个长期存在的问题,这个问题已经得到了人们更多的关注和研究。一个较好的平滑噪声的方法应该是既能消除噪声又不使图像的边缘轮廓和线条变模糊,即在抑制噪声的同时有效地保持空间分辨率。本文详细介绍了图像平滑的发展，图像平滑在图像处理环节中的重要性，图像平滑方法按空间域和频率域的分类及各种方法的特点，本文引入了MATLAB的图像处理，通过采用MATLAB对图像平滑的方法进行实现。传统的平滑方法在去噪的同时会破坏图像的重要特征，从而引出了基于偏微分方程的图像平滑方法。本文分别从各向同性扩散方程和各向异性扩散方程对基于偏微分方程的图像平滑方法进行研究，通过比较和分析得出了基于偏微分方程的图像平滑方法的一些利弊，进一步完善图像平滑方法，以达到平滑效果更理想的目的。同时本文也简要介绍了偏微分方程数值计算的一些方法。图像平滑的方法自身仍在不断完善和发展，有很多新的方面要探索，处理算法更优化，处理速度更快，实现图像的智能生成、处理、识别和理解。 附录 1 领域平均法 代码I=imread(blood1.tif);J=imnoise(I,salt & pepper,0.02);%添加椒盐噪声subplot(221),imshow(I)subplot(222),imshow(J)K1=filter2(fspecial(average,3),J)/255;%应用3*3领域窗口法subplot(223),imshow(K1)K2=filter2(fspecial(average,7),J)/255;%应用7*7领域窗口法subplot(224),imshow(K2)2 低通滤波法 代码I=imread(blood1.tif);J=imnoise(I,salt & pepper,0.02);%图像添加盐椒噪声subplot(121),imshow(J)J=double(J);f=fft2(J);g=fftshift(f);M,N=size(f);n=3;d0=20;n1=floor(M/2);n2=floor(N/2);for i=1:M for j=1:N d=sqrt(i-n1)2+(j-n2)2); h=1/(1+0.414*(d/d0)(2*n); g(i,j)=h*g(i,j); endendg=ifftshift(g);g=uint8(real(ifft2(g);subplot(122),imshow(g)3 线性滤波 代码 I=imread(blood1.tif); I=imnoise(I,gaussian,0,0.05);%添加噪声 subplot(1,2,1);imshow(I); h=ones(3,3)/9;%产生滤波模板 J=conv2(I,h); subplot(1,2,2);imshow(J,);4 各向同性扩散 高斯平滑滤波 代码clc;close all;clear;%图像高斯平滑滤波处理img=imread(blood1.tif); u=img; subplot(1,2,1); imshow(u); u=double(u); u=fft2(u); u=fftshift(u); m,n=size(u); % d0=200;m1=fix(m/2); n1=fix(n/2); for i=1:m for j=1:n d=sqrt(i-m1)2+(j-n1)2); h(i,j)=exp(-d2/2/d02)； end end g=u.*h; g=ifftshift(g); g=ifft2(g); g=mat2gray(real(g); subplot(1,2,2); imshow(g); 5 各向异性扩散方程 PM模型图像平滑 代码clc;clear;u = imread(blood1.tif);subplot(1,2,1);imshow(u);u=double(u);%parametersK=10; % pm thresholditer = 15;dt=0.02;sigma=0.4J=diffusion(u,pm1,iter,K,sigma);J=uint8(J);subplot(1,2,2);imshow(J);Diffusion函数function Jd=diffusion(J,method,N,K,dt,sigma2)% private function: diffusion (by Guy Gilboa):% Jd=diffusion(J,method,N,K)% Simulates N iterations of diffusion, parameters:% J = source image (2D gray-level matrix) for diffusion% method = lin: Linear diffusion (constant c=1).% pm1: perona-malik, c=exp-(|grad(J)|/K)2 PM90% pm2: perona-malik, c=1/1+(|grad(J)|/K)2 PM90% rmp: complex valued - ramp preserving GSZ01% K edge threshold parameter% N number of iterations% dt time increment (0 dt = 0.25, default 0.2)% sigma2 - if present, calculates gradients of diffusion coefficient% convolved with gaussian of var sigma2 (Catte et al CLMC92)if exist(N) N=1;endif exist(K) K=1;endif exist(dt) dt=0.2;endif exist(sigma2) sigma2=0;endNy,Nx=size(J); if (nargin0) Jo = J; % save J original J=gauss(J,2*ceil(sigma2*3)+1,sigma2); %原代码是 J=gauss(J,5,sigma2); end% calculate gradient in all directions (N,S,E,W)In=J(1,:); J(1:Ny-1,:)-J;Is=J(2:Ny,:); J(Ny,:)-J;Ie=J(:,2:Nx) J(:,Nx)-J; Iw=J(:,1) J(:,1:Nx-1)-J;% calculate diffusion coefficients in all directions according to method if (method = lin) Cn=K; Cs=K; Ce=K; Cw=K; elseif (method = pm1) Cn=exp(-(abs(In)/K).2);Cs=exp(-(abs(Is)/K).2);Ce=exp(-(abs(Ie)/K).2);Cw=exp(-(abs(Iw)/K).2); elseif (method = pm2) Cn=1./(1+(abs(In)/K).2);Cs=1./(1+(abs(Is)/K).2);Ce=1./(1+(abs(Ie)/K).2); Cw=1./(1+(abs(Iw)/K).2); elseif (method = rmp) % complex - ramp preserving k=K(1); theta=K(2); j=sqrt(-1); Cn=exp(j*theta)./(1+(imag(In)/(k*theta).2); Cs=exp(j*theta)./(1+(imag(Is)/(k*theta).2); Ce=exp(j*theta)./(1+(imag(Ie)/(k*theta).2); Cw=exp(j*theta)./(1+(imag(Iw)/(k*theta).2);else error(Unknown method method ); end if (sigma20) % calculate real gradiants (not smoothed) In=Jo(1,:); Jo(1:Ny-1,:)-Jo;Is=Jo(2:Ny,:); Jo(Ny,:)-Jo;Ie=Jo(:,2:Nx) Jo(:,Nx)-Jo; Iw=Jo(:,1) Jo(:,1:Nx-1)-Jo; J=Jo;end % Next Image J J=J+dt*(Cn.*In + Cs.*Is + Ce.*Ie + Cw.*Iw);end; % for iJd = J; % Refs:% PM90 P. Perona, J. Malik, Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion, PAMI 12(7), pp. 629-639, 1990.?% CLMC92 F. Catte, P. L. Lions, J. M. Morel and T. Coll, Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion, SIAM J. Num. Anal., vol. 29, no. 1, pp. 182-193, 1992.% GSZ01 G. Gilboa, N. Sochen, Y. Y. Zeevi, Complex Diffusion Processes for Image Filtering, Scale-Space 2001, LNCS 2106, pp. 299-307, Springer-Verlag 2001.参考文献1 刘继宗 .国外遥感数字图像处理的发展评述.中国期刊全文数据库,2000,20(43):1-3. 2 刘中合，王瑞雪，王锋德，马长青，刘贤喜.数字图像处理技术现状与展望.计算机时代，2005,第5期:1-4.3 阮秋琦.数字图像处理学(第二版）.北京：电子工业出版社，2007:21-198.4 秦瑞.现代图像处理技术的发展趋势.研究生论坛,2006:1-3.5 李世进. 数字图像的平滑处理.湖南科技学院学报,2008,29(12):1-3.6 李世飞，董福安，伍友利.偏微分方程图像平滑模型的一种最优先停止准则.计算机仿真,2005,22(11):1-4.7 张亶，陈刚.基于偏微分方程的图像处理.高等教育出版社.2004:8-14.8 杨新.图像偏微分方程的原理与应用.上海交通大学出版社.2003:3-15.9 王竹霞，臧顺全. 基于偏微分方程的图像平滑方法比较研究.电脑知识与技术,2009,5(14):1-3.10 林方特. 几种常见图像平滑技术的研究. 科技天地，2005,10(15):1-3.11 王大凯，侯榆