（概率论与数理统计专业论文）多元混合正态分布的monte+carlo检验.pdf

摘要 在实际情况中，包括生物统计与计量经济在内的很多领域中数据并不一定服 从标准的正态分布，这时数据常被假定来自混合正态分布例如，摩根银行采用假 定收益率服从两个子总体的正态分布的方法度量市场风险由于混合正态分布模 型是非正则的，它的参数估计及其检验都存在很多困难针对大部分检验一般正 态分布的方法并不能同样应用到多元混合正态分布的检验中这一问题，本文结合 基于经验特征函数的检验统计量以及m o n t ec a r l o 检验方法解决了这个问题，并 且通过大量的模拟证明了此方法的可行性 关键词：多元混合正态分布；m o n t ec 盯l o 检验；经验特征函数；统计 量；e m 算法估计 a b s t r a c t i na c t u a l l y ，i n c l u d i n gb i o l o g ys t a t i s t i c sa n de c o n o m e t r i c 8d a t ai s n o tn e c e s s a r i l ys u b j e c tt ot h en o r m a ld i s t r i b u t i o n t h i 8d a 土ai so f t e n a s s u m e dt h a tf r o mt h em i x t u r ed i s t r i b u t i o n f b re x a m p l e ，m o r g a n b a n ka d o p t e da 8 8 u m e dt h er a 七eo fr e t u r nb e l o n 9 8t ot h em i 斌u r en o 卜 m a ld i s t r i b u t i o nt om e a s u r i n gt h em a r k e tr i sk s i n c em i x t u r en o r m a l d i 8 t r i b u t i o ni s 七h en o n m i x e d ，t h ee s t i m a t i o na n dt e s th a 、r em a n yd i f _ f i c u l t i e s m o s tt e s 恤1 9m e t h o d sf o rn o r m a ld i s t r i b u t i o nc a nn o t 印p l y t ot h et e s t i i 培f o rm i x t u r ed i s t r i b u t i o n t h i sp 印e ri sb a s e do nt h e e m p i r i c a lc h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o na n dm o n t ec a r l ot e s ts 0 1 u t i o nt h i 8 p r o b l e m ，a n dal o to fs i m u l a t i o n sp r o v e dt h ep r a c t i c a lo ft h i sm e a - s u r e k e y w o r d s ：m u l t i v a n a t em i x t u r en o r m a l i t y ；m o n t ec 盯1 0t e s t 8 e m p i r i c a ic h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ；t h et e s ts t a t i s t i c ；b ma l g o r i t h m e s t i m a t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：f 茎l 丝日期：蛰笸：蛰 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：闺群指导教师签 同 期：盈罐( ，矽同 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 名：史鼻了 期：趔 。趁 电话 邮编 引言 在统计问题中，有限样本的参数统计推断的有效性依赖分布的设定，因此， 检验很设分布与数据是否相容就变得很重要而在统计分析中，比如计量经济 分析中，常常会假设分布服从正态分布很多学者就正态检验问题提出了很多解 决方法，包括1 l 类比较著名的检验统计量tk o l m o g o r o v s m i r n 。v ，a n d e r s o n d a r l i n g ，c r a m l e r _ v o nm i s e 8 ，s h a p i 廿w i l k ，j a q u o - b e r a ，s h a p i r 0 一n a n c i a ：w 幽b e r g b i n g h a l ，d 1 a 9 0 s t l n 。，f l u i b e n 。但是这些统计量的分布大部分都无法精确求出， 因此，在实际应用中以近似临界值表作为确定判决域时的参考。大部分临界值表 是对来自位置尺度模型的独立同分布的观测值进行随机模拟产生的。但由于模型 中的各个参数都会影响到检验的有效性，而且大部分检验统计量都对样本个数有 要求，所以标准检验的方法需要改进。 jmd u f o u r ，a 胁h a t ，l g 盯d i 0 1 ，和l k h 乱a f ( 1 9 9 8 ) 提出运用m o n t ec a r l o 检 验方法构造有限样本的经验p - 值，用来检验线性回归模型中的残差项的正态性检 验。这种方法只需要少量的统计量的实现值就能得到随机的判别域。而且模拟表 明m o m ec a r l o 检验克服了普遍的样本大小问题( 即过度拒绝或过度接受) ，且即 使在模拟次数很少的情况下，也能得到很好的效。 e p p s 和p u l l e y ( 1 9 8 3 ) 提出基于经验特征函数构造检验统计量检验元正态 虽然他们没有得到统计量的渐进分布，但是相对于基于s h a p i r o w l l k ，s h a p l r o n a n c i a 和a n d e r 8 0 n d n r l i n g 的检验有一个很好的模拟结果。 lb a r i n h a u s 和nh c h z e ( 1 9 8 8 ) 将e p p s 和p u l l e y ( 1 9 8 3 ) 提出的基于经验特征函数的方法扩展 到了多元的情况，并且得到了统计量的渐进分布。 在实际情况中，包括生物统计与计量经济在内的很多领域中数据并不一定服 从标准的正态分布，这时数据常被假定来自混合正态分布。例如，摩根银行采用 从标准的正态分布，这时数据常被假定来自混合正态分布。例如，摩根银行采甩 假定收益率服从两个子总体的正态分布的方法度量市场风险由于混合正态分布 模型是非正则的，它的参数估计及其检验都存在很多困难而且大部分检验一般 正态分布的方法并不能同样应用到多元混合正态分布的检验中，而我们可以考虑 结合基于经验特征函数的检验统计量和m o n t ec a r 】o 检验方法解决这个问题，并 且通过大量的模拟证明了此方法的可行性。 本文的第一部分是关于多元混合正态分布的m o n t ec a r l o 检验方法，第二部 分介绍了基于经验特征函数的检验统计量，第三部分是关于各个参数的估计问题， 第四部分就此问题进行了模拟研究，第五部分给出结论。 2 1 ，检验方法 j 一m d u f o u r ，a f k h a t ，l g 缸d i o l ，和l k 口f n ，f 1 】提出运用m o n t ec a r l o 检 验方法获得有限样本的经验p - 值 假设我们能够生成n 个独立的统计量的实现值丑，乃，强，由此我们能计算 出经验p 一值函数 a = 掣， 其中 。( 垆丢妻1 f 0 “正刊，1 施) ： 1 蚝一 。扣) _ 嘉善1 fo 佤一) ，1 卜ki ： 相应的m o n t ec a r l o 判别区域是一随机的判别域，定义为户( 蜀) a 定理lp 由上述定义给出，且蜀的分布连续时，对于v0 o 乃或五= 巧且磁) 这样，过程可作为连续的情况计算 氐= 紫， 其中 。n， n 瓯( 石) = 卜寺1 【0 删( 石一正) + 专岫】慨一掣) 1 。) ( m 一) 3 在文1 1 1 中作者就回归模型中残差正态性检验作了大量的模拟，通过实验比较 了m o n t ec a r l o 检验与标准检验的优劣，说明m o n t ec 村1 0 检验不需要临界表也 能得到很好的效，而且计算成本不高。 4 2 检验统计量 e p p s 和p u l e y ( 1 9 8 3 ) 【3 】提出基于经验特征函数构造检验统计量来检验一元正 态分布，并且在备择假设下得到了很高的势。l b 甜i n h a u s 和n m e n z e ( 1 9 8 8 ) 1 4 】将这 种方法扩展到多元的情形，而且得到了统计量的渐进分布我们可以应用文f 3 】、 4 中的方法先构造检验一元混合正态分布的统计量 我们假设一元混合正态分布的形式为： os 丸 1 ，1 ? 冬七 其中只) 一( 胁，口2 ) ，当i j ，t = 1 ，七，j = 1 ，七时，雎脚 k 且九= 1 _ i ；1 考虑检验问题： 凰：x f ( z ) u s h 1 ：n o t 丑d 首先看两个子总体的情况 f ( 茁) = ( 1 一a ) 只( z ) + a f 2 向) ，o a 1 其中只( 。) 一( p 1 ，矿) ，f 2 ) 一( ，矿) 1 卢2jx = ( x 1 ，x 2 ，) 为一 组独立同分布的样本。 我们构造的检验统计量是一个加权的积分 ， 矗= n l 妒。( t ) 一，( t ) 1 2 妒( t ) d t ( 2 ) 磊 其中( f ) 2 ：毛8 。p ( 匏码) ，。r 表示x 的经验特征函数，( 。) 表示原假 设成立下的特征函数，( t ) = ( 1 一a ) e 叩( t 舢l 一；t 2 盯2 ) 十ae 印( i 扯2 一；t 2 盯2 ) 我 5 z 只 a 。谢 = 掣f 们取权函数为：妒( t ) = 去e 叫( 害) ，f 见当然，其他的权函数也可以，但若 取妒( t ) 一去，t 【一，川，。，算不出具体的表达式，所以看起来这样的妒( t ) 是个很好的选择当原假设成立时，死趋近于零从而可求得： l 去e i 丢喜e 嘶邓叫m 咛舻砒螂”妒1 2 e 墨出 竹2 ” e “睁“ j ，k = l 譬矾 一去e 骞 c ，一冰喇1 计一竿乒+ 彬矿蚴一字矿 出 一去e 喜 c ，一班似m 卜宰铲+ 删心1 。一掌p 卜一志_ 。若【( 1 。) e ”似”瑚一半铲矿“”2 1 。一半p 卜 + 坠等塑、二r ， 九a f l 一 。、丽 ，“e 掣 譬出 j o o e 缸l _ 蚓- c 2 以 + 骂e 抄p 1 卜冉l 掣一黼骞e 一瞄一浩喜e 一嚼 + 等岩e 一描+ 错+ 刁睾方。”叶二万幸乏茅一 对于k 个子总体的多元混合正态分布的情况， 耳 f ( z ) = 九只( z ) ， o l ，1 fsa ， l = 1 其中e 扫) ( 胁，盯2 ) ，当t j ，t = 1 ，r r ，j 一1 ，k 时，肌脚 且九= 1 6 。 1 一礼 = 砌麦捣e 一捌+ 喜志钳n 萎捣e 一粉佃善高丢 同样的方法考虑多元混合正态分布的情况，多元混合正态分布形式为； f ( z ) = 九只( z ) ， o 九 1 ，1 i ， 其中只( 茁) 一( 地，) ，当t j ，l = 1 ，j = 1 ，时，胁蜥 且气= 1 考虑检验问题： 凰：x f ( o ) 口s 皿：n o 凰 在两个子总体的情况下： f ( 茹) = ( 1 一a ) f l 扛) + a 玛扛) ，osa 出 名j ，是= l 。 一( 2 ”) - 耋 ( 1 一柚e 印( ( 玛一p - 卜警一警) + a e 印( ( 玛一p ：) - 譬一警) 】出 并j = 1 一一一 。 一( 2 丌) 一厂砉 ( 1 一a ) e z 硝一( p ，一玛) 一孚一警) + a e 印( 州p 。一) 一雩一害) 】疵 备j = 1 一一一 + 州1 叫( 2 矿g 厂e 硼以旷帕一警) 出 + 州1 一吲2 丌) _ 2 厂e 印u 。一川一警) 出 州l 埸蚴2 ) ( 2 矿唧( 一害) 斑 8 其中 - ( 2 矿g 厂妻 ( 1 叫e 硼懈m ) 一等一铷t 五，= 1 ：( 1 一a ) 妻厂( 2 丌) 一gi + ，i e 印 一扣一( + ，) 一l i ( 一p 。) 】( e + j ) 冲一( e + ，) 一1 t ( 蜀一m ) 】) ，= i 咒 l 十，l 一 e z p 一；【( + ，) 一1 ( 砀一卢1 ) 】，( + ，) ( e + j ) 一t ( _ 一肛1 ) 】) 出 = ( 1 一a ) l + 圹l e 。p 一i ( 码m ) 临+ 矿1 ( 蜀咱) ) j = l ( 2 矿g 膛m 州( 玛啪) _ 雩一铷t a 】= 1 = a i + 矿 唧卜；( 玛一p 2 ) ，( + 矿1 ( 玛一p 2 ) ) 同理可得 死= n 。1 e 印 一i ( 玛一托) ( 玛一托) ) j ，k = l 一2 ( 1 一a ) i + 旷 e z p 一( 玛m ) ，( + 矿1 ( 玛柏) ) j = 一2 a i e + ，一e 即 一i ( 玛一p 2 ) ( + ，) _ ( 一p 2 ) ) ，= 1 + 2 n a ( 1 一a ) 1 2 + ，r e a 矽 一；( “1 一肛2 ) ( 2 + ，) 一1 ( 卢l p 2 ) ) + n ( 1 2 a + 2 a 2 ) 1 2 + ，r _ 9 对于k 个子总体的多元混合正态分布的情况， 已的形式为 o 九 1 ，1 t k ；( 玛一虬) ，( 玛一列) n1 2 i + 圹 凡e z p - ；( 玛啪) ，( e + 矿1 ( 啪) + 2 n 1 2 + 叩 e 州一i ( 胁一蜥) ，( 2 + 矿1 ( 旷晰) ) 相1 2 + 叩 a ； z r 商 i l 功 f 心 卢 时k = k = 当 e 肛 脚忙 中墨锄 其且 p z 。归 他 1 | r 3 估计方法 b m 算法自d e m p 8 t e r 等( 1 9 9 7 ) 提出以来，已成为获得最大似然估计的一种 有效算法，当涉及到的一些随机变量不可观测，郎有缺失效据时，用最大似然估计 参数，b m 算法提供了一种直观的方法 假设概率模型为t k f ( x ) = 尹( xf 秽) = 奄聊( xf 岛) j = 1 k 我们只考虑角= 2 的情况，其中口= n 1 ，p 1 ，e ) 是未知参数，= l 且肋( x i 白) 是均值为如，协方差阵为e 的d 维正态分布假设已有一组样 本x 1 ，x 2 ，j 问题是由这组样本估计a hp l ，砌，的值 似然函数可表示为： 俐x ) = 陬( ) 一 ( 置一p 。) ) + a 2 i 陬( e ) 一5 陇一) ) 1 4 = 1 。 由于似然函数很难极大化，我们引入潜在数据蜀， = 1 ，2 ，礼，j = l ，2 ， 其中= 1 表示第i 个数据来自第j 个子总体，五j = 0 表示第i 个数据来 自别的子总体，五1 + 磊2 = l ，且尸( = 1 ) = ，j = 1 ，2 。那么完全 数据就可以表示为 x ，zj x = ( x 1 ，尥，) ，z = ( z l x ，z 1 2 ，磊1 ，磊2 ) ) ， 下面求完全数据的似然函数l ( 目lx 、z ) ( 也称添加似然函数) 由p ( 再j6 i ，z ) = 矗f ；多( ) 一；( 置一纷) ) ) “。， 得到尹( xi 口，z ) ；行卉( 1 p 驴( ( e ) 一 ( x ；一脚) ) 1 ， 扛= ij = l 、 n2。 而p ( zp ) = 兀na 夕， 所以p ( z ，x ih ) ：p ( z i 口) p ( x lp ，z ) ；卉矗f i 1 吾( ( e ) 一 ( 砥一心) ) ) 从而完全数据的似然函数为p ( 日lz ，x ) ：n 卉( l i 曲( ( e ) 一 ( 五一蜥) ) ) ， t = 1 i = 1 、 ， 对效似然函数为 l l iz ，x ) 舀 f d 9 一；2 。g ( 2 丌) 一 凹i 一一；( 五一心) 7 _ 1 ( 墨一) l = lj = l 舀f 。9 一譬f 叼( 2 ”) 一毛f 。9 i 睁 = 1j = 1 一 t = 1j = 1 。n2 一；一心) 7 _ 1 ( 五一m ) 若第k 次迭代后参数p 的值为萨= ( a p ，p 子，p ，( 1 ) ，则b m 算法的两 步分别为：( j i a na n ds o n gh a i y a n ( 2 0 0 2 ) 5 1 给出了由b m 得到的一元混合正 态分布的参数估计，下面将其扩展到d 维的情况，由此得到混合分布的参数估计) e 步： q ( 驯矿，x ) = e ( l l 徊i z ，目i x ，日( ) l o g 蚴( 西石朱幂e 掣( 一；( 苁一纷) e 以( k 一如) ) ) 其中 。! 砷：e f 磊；lx ，口( 。，1 ；垄生! ! 至! 竺! ：i ! 墨二堂! ! ! u 孑= e 锄lj x ，9 忙1 。i ；：；i 丢三；j 黼 显然，越；+ 罐= 1 。 1 2 忙汀 u 。触 。试 = 罐 。弹 。湖 + 进而q 函数为 q ( 日渺，x ) nz- nz f 0 9 一u 妒f d 9 i l j i ( 五一心) 口1 陇一心) + a t 兰1 ，= 1 。 = 1j = 1 n nnn = u 弘f 叼a t 十( 1 一“黜叼( 1 一a ，) 一“鼽叼i 一一( 1 一u 蜘叼邮 t = lf = 1 = 1 l = 1 m 步： 舻- 1 ( p 小；喜( 1 叫( x 咱( 置刊+ e 由驴= n r 9 l o z q ( p 伊，x ) 可解得 a + ，；壹“鼽乱 t = 1 p ：+ - ：量越：墨妻越p t = 1t = 1 p 矿1 ，p k + 1 一 从而得到一次迭代口( 哟日( k 十1 1 一直重复这个过程直到懈。) 一口( “+ 1 i i 1 0 一1 5 即可 罐 。触 。僦 = 墨七l0 。渊 1 2 一 4 ，模拟研究 在这里只对一元混合正态分布的检验进行模拟。 检验问题一 其中， 风：x f ( z ) 伽 日1 n o 亡凰 f ( 茹) = 九只( z ) o ! 凡 l ，11 七，惫= 2 t = 1 e ( z ) 。( m ，口2 ) ，当i j ， ：1 ，j ：1 ，时，“脚，且圭k ：l 语1 假设样本来自于原假设： f ( z ) = ( 1 一a ) 日( z ) + a b ( z ) 其中f 1 ( z ) 一( “l ，口2 ) ，f 2 ( z ) 一( 卢2 ，一) 表_ = 1 = 0 3 ，p 1 = 一4 ，肛2 = 7 。 盯2 = 1 1 = 03 ，肛1 = 4 ，卢2 = 7 。 口2 = 1 l 样本个数 丸“l2 疗2 p 一值 2 00 3 5 0 04 1 7 0 36 2 8 6 808 8 7 30 6 5 9 0 5 0o 3 8 0 04 1 0 4 4 6 8 0 6 1 1 0 1 5 50 7 2 5 0 1 0 00 2 7 0 03 8 1 7 07 0 0 5 10 9 4 7 70 6 6 5 0 i2 0 0o 3 0 0 03 9 0 8 26 9 5 4 61 0 5 1 l06 3 2 0 表二 表三 a 1 = 0 2 ，灿1 = 一1 ，p 2 = 7 ， 盯2 = 4 样本个数a 1 p 1“2 盯2 p 一值 2 00 1 2 6 2 0 8 0 0 57 3 1 0 96 6 0 3 10 6 6 7 0 5 00 1 5 6 1 0 3 7 1 57 2 8 2 73 9 7 6 60 4 3 3 5 1 0 0o 1 7 1 61 4 9 9 86 7 1 1 93 8 2 3 00 5 6 5 5 2 0 00 1 8 3 0一o 6 5 0 6 6 8 7 9 74 1 4 6 60 6 0 5 5 a l = 0 5 ，p 1 = o ，芦2 = 2 ， 仃2 = 1 样本个数a 1“l弘2 盯2 p 一值 2 00 5 1 1 00 2 9 7 52 8 9 1 10 8 7 0 0o 9 9 6 7 5 00 6 5 0 00 4 6 3 91 1 1 1 91 3 4 3 7o 7 1 1 7 1 0 0 o 4 8 2 5 0 3 1 8 81 8 0 0 3o 7 8 3 3 0 9 7 2 7 2 0 00 6 2 7 4o 2 7 4 32 0 8 2 2 1 1 6 2 2 0 5 1 8 7 下面我们再来考虑样本来自于备择假设的情况 表四 表五： 爿( = z _ ) ( 8 ，1 ) ，g ( z ) e 印( 1 ) ，= o 3 ，a 2 = o 。7 样本个数尸l 岛恳只r 3 5 00 0 9 8 00 0 5 2 0 0 1 2 0 0o 0 3 2 00 0 8 0 0 4 0 0 00 5 2 00 ，1 2 8 0o 0 8 8 0o 0 5 8 0o 0 9 2 0 4 5 00 1 0 0 0o 0 7 0 00 0 6 0 00 0 4 0 00 1 0 0 0 5 0 0o 0 7 0 0o 1 l o o o 0 7 0 00 ，0 5 0 0 o ，0 4 0 0 6 0 0 0 0 4 0 00 0 2 4 00 0 4 4 00 0 3 2 00 0 5 2 0 日( z ) ( 6 ，1 ) ，最( z ) 一b e q ( 4 ，1 5 ) ，a 1 = o ，3 ，a 2 = o 7 样本个数p 1p 2b只r 8 00 0 6 6 00 0 8 8 00 1 2 2 00 0 8 6 0o 0 7 4 0 1 0 0o 0 5 4 0o 1 3 0 00 0 3 6 00 0 1 8 00 0 2 2 0 1 5 00 0 2 0 00 0 4 8 00 0 1 0 00 0 3 2 00 0 2 6 0 2 0 0o 0 0 4 00 0 0 4 00 0 2 0 00 0 1 8 0o o f ) 4 0 3 0 0o 0 0 0 00 0 0 2 00 0 0 8 00 0 0 4 00 0 0 2 0 1 6 f | 。湖 七 一 1一 一 oz 巧 ， 。日 = zf 表六 日( 。) 一( o ，o 8 ) ，巧( 。) 一( 4 ，o 8 ) ，g ( z ) 一( 8 ，o 8 ) a 1 = 0 3 ，a 2 = = 0 3 ，a 3 = 0 4 样本个数 尸1 尼忍rr 1 0 00 0 9 4 0o 0 0 6 0 0 0 6 2 00 0 5 0 00 0 1 8 0 1 5 00 0 1 4 00 0 0 2 00 0 0 6 00 0 0 4 00 0 0 2 0 2 0 00 0 3 8 00 0 3 6 00 0 6 0 00 0 1 4 00 0 3 2 4 3 0 00 0 0 0 0o 0 0 0 00 0 2 0 0o 0 0 0 00 0 0 2 0 5 结论 多元混合正态分布的m o n t ec a r l o 检验问题在现实生活中具有一定的实际意 义，并且在生物统计与计量经济在内的很多领域中有一定的实用价值运用m o n 忱 c 距l o 检验理论处理高维数据及参数的检验问题解决了大部分检验统计量对样本 个数要求的难题我们通过模拟可以很清楚的看到结合基于经验特征函数的检验 统计量和m o n t ec 缸l o 检验对于处理多元混合正态分布是一个很好的方法 1 8 参考文献 【1 】j e a n _ m a r i ed u f o u r ，a b d e 功e l i lf k h a t ，l u c i e ng 8 r d i o l ，l y n d ak h m a s i m u l a t i o n - b 船e df i n a i t es 啪p l en o r m a l i t yt e 8 t 8i nl i n e a r & g e r 鹤s i o 8 e c o n o m e t r i c sj o u r n 日l ， 1 9 9 8 ( 1 ) ：1 5 41 7 3 【2 】d u f o u r ，j m m o n t ec a r l ot e s t sw i t hn u i s n c ep 8 r a h l e t e r s ：ag e n e r a la p p r o a c ht o f i n i t e _ s 咖p l ei n f e r e n c ea n dn o i l 8 t a n d a r da 8 y m p t o t i c si ne c o n o m e t r i c 8 ，r e d m i c 砒r e _ p o 吨c r d e ，u n i v e r 8 i t yd em o n t r e a l ，1 9 9 5 【3 】e p p st w ，p u l l e yl a w r e n c eb at e 8 tf o rn o r m “t yb a s e do nt h ee m p i r i c a lc h a r a c - t e r i s t i cf u n c t i o n b i o m e t r i k a ，1 9 8 3 ( 7 0 ) ：7 2 37 2 6 【4 l b a r i n g h a u s ，n h e n z e ac o n s i s t e n tt e s tf o rm u l t i v a r i a t en o r m a h t yb a 8 e d o nt h e e m p i r i c a lg h a r a e t e r i s t i c 乳n c t i o n m e t r i k a ，1 9 8 8 ( 3 5 ) ：3 3 93 4 8 【5 】7 i 铀j i a n ，s o n gh a i y a n f i n i t e m i x t u r en o r m 址m o d e l s ，w i t ha p p l i c a t i o nt od o 婚 r 舒p o n s es t u d i e 8 n o r t he a s t m a t h j 2 0 0 2 ( 1 8 ) ：58 【6 】l i - x i n gz h u n o n p 驸a m e t r i cm o l l t ec a r l ot e s t sf o rm u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o n s ，u n i - v e r 8 i t yo fh o n gk o n g b i o m e t r i l c a 2 0 0 0 7 】e p p 8 ，t w ，s i n g l e t o n ，k j p u l l e y ll b at e 8 to f8 印a r 8 t ef 哪i l i e so fd i s t r i b u t i o n 8 b